Wurzeln reeller Zahlen und Radikale
Fragen mit Lösungen

Fragen der 10. Klasse zu Wurzeln von Zahlen und Radikalen mit Lösungen werden vorgestellt.

Definition

\[ \large{\textcolor{red}{x \text{ ist die } n^\text{te} \text{ Wurzel einer Zahl } y \text{ ist äquivalent zu } x^n = y.}} \] Für \( \large {\textcolor{red} {n = 2} } \) wird die \( n^\text{te} \) Wurzel als \( \large {\textcolor{red} {\text{Quadratwurzel}}} \) bezeichnet.

Für \( \large {\textcolor{red} {n = 3} } \) wird die \( n^\text{te} \) Wurzel als \( \large {\textcolor{red} {\text{Kubikwurzel}}} \) bezeichnet.

Beispiele

1) Da \( 3^2 = 9 \), ist \( 3 \) die Quadratwurzel (\( n = 2 \)) von \( 9 \).

2) Da \( (-3)^2 = 9 \), ist \( -3 \) ebenfalls eine Quadratwurzel von \( 9 \).

3) Da \( (-2)^3 = -8 \), ist \( -2 \) die Kubikwurzel (\( n = 3 \)) von \( -8 \).

4) Da \( 3^4 = 81 \) und \( (-3)^4 = 81 \), sind die vierten Wurzeln von \( 81 \) \( 3 \) und \( -3 \).

Eigenschaften von Wurzeln reeller Zahlen

1) Für \( n \) gerade und \( y \) positiv gibt es zwei \( n^\text{te} \) Wurzeln von y.

Beispiel

Da 104=10000 und (-10)4 = 10000, sind die vierten Wurzeln von 10000 10 und -10.

2) Für \( n \) gerade und \( y \lt 0 \) gibt es keine reellen \( n^\text{ten} \) Wurzeln von \( y \).

Beispiel

Die Quadratwurzel von \(-4\) ist keine reelle Zahl, da es keine reelle Zahl \(x\) gibt, für die \(x^2 = -4\) gilt.

Die vierte Wurzel von \(-16\) ist keine reelle Zahl, da es keine reelle Zahl \(x\) gibt, für die \(x^4 = -16\) gilt.

3) Für \( n \) ungerade gibt es immer genau eine \( n^\text{te} \) Wurzel von \( y \).

Beispiel

Die Kubikwurzel \( (n=3) \) von \( 8 \) ist gleich \( 2 \).

Die fünfte Wurzel \( (n=5) \) von \(-100000\) ist gleich \( -10 \).

Hauptwurzel

Für \( n \) gerade ist die Hauptwurzel die positive Wurzel. Für \( n \) ungerade gibt es nur eine Wurzel, und diese ist die Hauptwurzel.

Beispiele

Die \( 6^\text{te} \) Hauptwurzel von \( 64 \) ist gleich \( 2 \), weil \( 2^6 = 64 \).

Die Kubik-Hauptwurzel von \( -64 \) ist gleich \( - 4 \), weil \( (-4)^3 = - 64 \).

Radikal-Schreibweise

Das Symbol \( \sqrt{\hphantom{9}} \) wird Radikal genannt und dient zur Angabe der Hauptwurzel einer Zahl: \[ \large{\sqrt[n]{y}} \] wobei \( n \) der Index des Radikals und \( y \) der Radikand genannt wird.

Beispiele

\[ \sqrt[6]{64} = 2 \] \[ \sqrt[3]{-27} = -3 \] Aufgrund seiner weiten Verbreitung wird die Quadratwurzel \( (n=2) \) von \( y \) als \( \sqrt{y} \) geschrieben, ohne den Index anzugeben.

Fragen mit Lösungen

  1. Was ist (sind) die \( 4^{te} \) Wurzel(n) von 16?
  2. Was ist (sind) die \( 7^{te} \) Wurzel(n) von \(-1\)?
  3. Welche Zahl hat eine fünfte Wurzel gleich \(-3\)?
  4. Wenn die sechste Wurzel von \( y \) gleich \(-5\) ist, dann gilt \( y = \underline{\hspace{2cm}} \).
  5. Was ist (sind) die \( 20^{te} \) Wurzel(n) von \(-1\)?
  6. Was ist die \( 4^{te} \) Hauptwurzel von 81?
  7. \[ \sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}} \]
  18. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um Folgendes auf 3 Dezimalstellen zu approximieren:
    1. \(\sqrt[3]{4} =\)
    2. \(\sqrt{1.3} =\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} =\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} =\)

Lösungen zu den obigen Fragen

  1. Was ist (sind) die \( 4^{te} \) Wurzel(n) von 16?
    \(2\) und \(-2\), weil \(2^4 = 16\) und \((-2)^4 = 16\).
  2. Was ist (sind) die \( 7^{te} \) Wurzel(n) von \(-1\)?
    \(-1\), weil \((-1)^7 = -1\).
  3. Welche Zahl hat eine fünfte Wurzel gleich \(-3\)?
    \((-3)^5 = -243\).
  4. Wenn die sechste Wurzel von \( y \) gleich \(-5\) ist, dann gilt \( y = \underline{\hspace{2cm}} \).
    \(y = (-5)^6 = 15625\).
  5. Was ist (sind) die \( 20^{te} \) Wurzel(n) von \(-1\)?
    Wenn \(x\) die \(20^{te}\) Wurzel von \(-1\) ist, dann gilt \(x^{20} = -1\). Es gibt keine reelle Zahl \(x\), die mit einem geraden Exponenten eine negative Zahl ergibt. Die \(20^{te}\) Wurzel von \(-1\) ist keine reelle Zahl.
  6. Was ist die \( 4^{te} \) Hauptwurzel von 81?
    \(81 = 3^4\) und \(81 = (-3)^4\). Folglich hat \(81\) zwei vierte Wurzeln, aber die Hauptwurzel ist die positive, also \(3\).
  7. \[ \sqrt{-4} = \text{ist keine reelle Zahl} \]
  8. \[ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} = \text{ist keine reelle Zahl} \]
  9. \[ \sqrt[3]{-1} = -1 \]
  10. \[ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 \]
  11. \[ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 \]
  12. \[ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 \]
  13. \[ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 \]
  14. \[ \sqrt[7]{5^7} = 5 \]
  15. \[ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 \]
  16. \[ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 \]
  17. \[ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 \]
  18. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um Folgendes auf 3 Dezimalstellen zu approximieren:
    1. \(\sqrt[3]{4} \approx 1.587\)
    2. \(\sqrt{1.3} \approx 1.140\)
    3. \(\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.632\)
    4. \(\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \approx 1.326\)

Weitere Referenzen und Links