Nachfolgend finden Sie Aufgaben für die 10. Klasse zu Wurzeln und Radikalen. Gehen Sie die Definitionen und Eigenschaften durch, versuchen Sie, die Übungsaufgaben zu lösen, und klicken Sie auf die Pfeile, um die Schritt-für-Schritt-Lösungen anzuzeigen.
1) Für gerades $n$ und positives $y$ gibt es zwei $n\text{-te}$ Wurzeln von $y$.
Beispiel: Da $10^4 = 10000$ und $(-10)^4 = 10000$ ist, sind $10$ und $-10$ die vierten Wurzeln von $10000$.
2) Für gerades $n$ und $y < 0$ gibt es keine reellen $n\text{-ten}$ Wurzeln von $y$.
Beispiele:
3) Für ungerades $n$ gibt es immer genau eine $n\text{-te}$ Wurzel von $y$.
Beispiele:
Bei geradem $n$ ist die Hauptwurzel als die positive Wurzel definiert. Bei ungeradem $n$ gibt es nur eine Wurzel, und diese ist gleichzeitig die Hauptwurzel.
Das Symbol $\sqrt{\hphantom{9}}$ wird als Radikal bezeichnet und verwendet, um die Hauptwurzel einer Zahl wie folgt darzustellen:
Hierbei ist $n$ der Wurzelexponent und $y$ der Radikand.
$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$
$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$
Hinweis: Aufgrund der häufigen Verwendung wird die Quadratwurzel ($n=2$) von $y$ als $\sqrt{y}$ geschrieben, ohne den Wurzelexponenten anzugeben.
Was ist (sind) die 4. Wurzel(n) von $16$?
$2$ und $-2$, da $2^4 = 16$ und $(-2)^4 = 16$ ist.
Was ist (sind) die 7. Wurzel(n) von $-1$?
$-1$, da $(-1)^7 = -1$ ist.
Welche Zahl hat eine fünfte Wurzel gleich $-3$?
Die Zahl ist $(-3)^5 = -243$.
Wenn die sechste Wurzel von $y$ gleich $-5$ ist, dann ist $y = \underline{\hspace{2cm}}$
$y = (-5)^6 = 15625$.
Was ist (sind) die 20. Wurzel(n) von $-1$?
Wenn $x$ die 20. Wurzel von $-1$ ist, dann gilt $x^{20} = -1$. Es gibt keine reelle Zahl $x$, die mit einem geraden Exponenten ein negatives Ergebnis liefert. Die 20. Wurzel von $-1$ ist keine reelle Zahl.
Was ist die Hauptwurzel der 4. Wurzel von $81$?
$81 = 3^4$ und $81 = (-3)^4$. Daher hat $81$ zwei vierte Wurzeln; die Hauptwurzel ist jedoch die positive, also $3$.
Berechnen Sie: $\sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}}$
Keine reelle Zahl.
Berechnen Sie: $\sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} $$
Keine reelle Zahl.
Berechnen Sie: $\sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{-1} = -1 $$
Berechnen Sie: $\sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 $$
Berechnen Sie: $\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $$
Berechnen Sie: $\sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 $$
Berechnen Sie: $\sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 $$
Berechnen Sie: $\sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[7]{5^7} = 5 $$
Berechnen Sie: $\sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} $$
Dies kann mit gebrochenen Exponenten vereinfacht werden:
$$ = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,828 $$
Berechnen Sie: $\sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Berechnen Sie: $\sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}}$
Umwandlung der gemischten Zahl in einen unechten Bruch:
$$ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2,5 $$
Verwenden Sie einen Taschenrechner, um folgende Werte auf 3 Dezimalstellen zu runden: