Trigonometrie Probleme und Fragen mit Lösungen - Klasse 10

Klasse 10 Trigonometrie-Probleme und Fragen mit Antworten und Lösungen werden präsentiert.

Probleme

1. Finde x und H im rechtwinkligen Dreieck unten.
   

   
   

2. Finde die Längen aller Seiten des rechtwinkligen Dreiecks unten, wenn sein Flächeninhalt 400 beträgt.
   

   

   
   
3. BH steht senkrecht zu AC. Finde x, die Länge von BC.
   

   

   
   
4. ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel bei A. Finde x, die Länge von DC.
   

   

   
   
5. In der Abbildung sind AB und CD senkrecht zu BC, und die Größe des Winkels ACB beträgt 31°. Finde die Länge des Segments BD.
   

   

   
   
6. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 50. Einer seiner Winkel beträgt 45°. Finde die Längen der Seiten und der Hypotenuse des Dreiecks.
   
7. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt tan(A) = 3/4. Finde sin(A) und cos(A).
   
8. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit dem Winkel A gleich 90° finde die Winkel B und C, so dass sin(B) = cos(B).
   
9. Ein Rechteck hat die Abmessungen 10 cm mal 5 cm. Bestimme die Maße der Winkel an der Stelle, an der sich die Diagonalen schneiden.
   
10. Die Längen der Seite AB und der Seite BC eines ungleichseitigen Dreiecks ABC betragen 12 cm bzw. 8 cm. Die Größe des Winkels C beträgt 59°. Finde die Länge der Seite AC.
    
11. Von der Spitze eines 200 Meter hohen Gebäudes aus beträgt der Winkel des Blicks zum Boden eines zweiten Gebäudes 20 Grad. Vom gleichen Punkt aus beträgt der Winkel des Anstiegs zur Spitze des zweiten Gebäudes 10 Grad. Berechne die Höhe des zweiten Gebäudes.
    
12. Karla fährt vertikal in einem Heißluftballon direkt über einem Punkt P auf dem Boden. Karla entdeckt ein geparktes Auto auf dem Boden unter einem Depressionswinkel von 30°. Der Ballon steigt um 50 Meter. Jetzt beträgt der Depressionswinkel zum Auto 35 Grad. Wie weit ist das Auto von P entfernt?
    
13. Wenn der Schatten eines Gebäudes um 10 Meter zunimmt, wenn der Elevationswinkel der Sonnenstrahlen von 70° auf 60° abnimmt, wie hoch ist dann das Gebäude?

Lösungen zu den obigen Problemen

1. x = 10 / tan(51°) = 8,1 (2 signifikante Stellen)
   H = 10 / sin(51°) = 13 (2 signifikante Stellen)
   
   
2. Fläche = (1/2)(2x)(x) = 400
   Löse für x: x = 20 , 2x = 40
   Satz des Pythagoras: (2x)² + (x)² = H²
   H = x √(5) = 20 √(5)
   
   
3. BH senkrecht zu AC bedeutet, dass die Dreiecke ABH und HBC rechtwinklige Dreiecke sind. Daher
   tan(39°) = 11 / AH oder AH = 11 / tan(39°)
   HC = 19 - AH = 19 - 11 / tan(39°)
   Satz des Pythagoras auf rechtwinkliges Dreieck HBC angewendet: 11² + HC² = x²
   Löse für x und setze HC ein: x = √ [ 11² + (19 - 11 / tan(39°))² ]
   = 12,3 (auf 3 signifikante Stellen gerundet)
   
   
4. Da Winkel A rechtwinklig ist, sind sowohl die Dreiecke ABC als auch ABD rechtwinklige Dreiecke, und daher können wir den Satz des Pythagoras anwenden.
   14² = 10² + AD² , 16² = 10² + AC²
   Auch x = AC - AD
   = √( 16² - 10² ) - √( 14² - 10² ) = 2,69 (auf 3 signifikante Stellen gerundet)
   
   
5. Verwende das rechtwinklige Dreieck ABC, um zu schreiben: tan(31°) = 6 / BC , löse: BC = 6 / tan(31°)
   Verwende den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck BCD, um zu schreiben:
   9² + BC² = BD²
   Löse dies für BD und setze BC ein: BD = √ [ 9 + ( 6 / tan(31°) )² ]
   = 13,4 (auf 3 signifikante Stellen gerundet)
   
   
6. Das Dreieck ist rechtwinklig, und einer seiner Winkel beträgt 45°; der dritte Winkel hat eine Größe von 45°, und daher ist das Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig. Sei x die Länge einer der Seiten und H die Länge der Hypotenuse.
   Fläche = (1/2)x² = 50 , löse für x: x = 10
   Verwende nun den Satz des Pythagoras, um H zu finden: x² + x² = H²
   Löse für H: H = 10 √(2)
   
   
7. Sei a die Länge der Seite gegenüber dem Winkel A, b die Länge der Seite neben dem Winkel A und h die Länge der Hypotenuse.
   tan(A) = gegenüberliegende Seite / angrenzende Seite = a/b = 3/4
   Wir können sagen, dass: a = 3k und b = 4k, wobei k ein Proportionalitätskoeffizient ist. Finden wir jetzt h.
   Satz des Pythagoras: h² = (3k)² + (5k)²
   Löse für h: h = 5k
   sin(A) = a / h = 3k / 5k = 3/5 und cos(A) = 4k / 5k = 4/5
   
   
8. Sei b die Länge der Seite gegenüber dem Winkel B und c die Länge der Seite gegenüber dem Winkel C und h die Länge der Hypotenuse.
   sin(B) = b/h und cos(B) = c/h
   sin(B) = cos(B) bedeutet b/h = c/h, was zu c = b führt
   Die beiden Seiten sind gleich lang, was bedeutet, dass das Dreieck gleichschenklig ist und die Winkel B und C gleich groß sind und 45° betragen.
   
   
9. Die Abbildung unten zeigt das Rechteck mit den Diagonalen und der halben Größe eines Winkels mit der Größe x.
   tan(x) = 5/2,5 = 2 , x = arctan(2)
   Größerer Winkel durch Diagonalen 2x = 2 arctan(2) = 127° (3 signifikante Stellen)
   Kleinerer Winkel durch Diagonalen 180 - 2x = 53°.

   

   
   
   
10. Sei x die Länge von Seite AC. Verwende das Kosinusgesetz
    12² = 8² + x² - 2 · 8 · x · cos(59°)
    Löse die quadratische Gleichung nach x: x = 14,0 und x = -5,7
    x kann nicht negativ sein, und daher ist die Lösung x = 14,0 (auf eine Dezimalstelle gerundet).
    
    
11. Die Abbildung unten zeigt die beiden Gebäude und die Winkel der Depression und Elevation.
    tan(20°) = 200 / L
    L = 200 / tan(20°)
    tan(10°) = H2 / L
    H2 = L × tan(10°)
    = 200 × tan(10°) / tan(20°)
    Höhe des zweiten Gebäudes = 200 + 200 × tan(10°) / tan(20°)

    

Weitere Referenzen und Links zur Trigonometrie