Textaufgaben zur Trigonometrie der 10. Klasse mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

$$ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8,1 \; \text{ (2 signifikante Stellen)} $$

$$ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{ (2 signifikante Stellen) } $$

Die Fläche ist gegeben durch:

$$ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 $$

Lösen Sie nach $x$ auf:

$$ x = 20, \quad 2x = 40 $$

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras:

$$ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 $$

Lösen Sie nach $H$ auf:

$$ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} $$

Dass $BH$ senkrecht auf $AC$ steht, bedeutet, dass die Dreiecke $\triangle ABH$ und $\triangle HBC$ rechtwinklige Dreiecke sind. Daher:

$$ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

$$ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} $$

Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf das Dreieck $\triangle HBC$ an:

$$ 11^2 + HC^2 = x^2 $$

Setzen Sie $HC$ ein und lösen Sie nach $x$ auf:

$$ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} $$

$$ x \approx 12,3 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Stellen)} $$

Da $\angle A$ ein rechter Winkel ist, sind beide Dreiecke $\triangle ABC$ und $\triangle ABD$ rechtwinklig, und wir können daher den Satz des Pythagoras anwenden:

$$ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 $$

Lösen Sie nach $AD$ und $AC$ auf:

$$ AD = \sqrt{14^2-10^2}, \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} $$

Zudem gilt $x = AC - AD$:

$$ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} $$

$$ x \approx 2,69 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Stellen)} $$

Verwenden Sie das rechtwinklige Dreieck $\triangle ABC$, um Folgendes zu schreiben:

$$ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} $$

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck $\triangle BCD$, um Folgendes zu schreiben:

$$ 9^2 + BC^2 = BD^2 $$

Lösen Sie nach $BD$ auf und setzen Sie $BC$ ein:

$$ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} $$

$$ BD \approx 13,4 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Stellen)} $$

Das Dreieck ist rechtwinklig und einer seiner Winkel beträgt $45^\circ$. Der dritte Winkel beträgt ebenfalls $45^\circ$, daher ist das Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig.

Sei $x$ die Länge einer der Katheten und $H$ die Hypotenuse.

$$ \text{Fläche} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 $$

Verwenden Sie den Satz des Pythagoras:

$$ x^2 + x^2 = H^2 $$

$$ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} $$

Sei $a$ die Länge der Gegenkathete von Winkel $A$, $b$ die Länge der Ankathete von Winkel $A$ und $h$ die Länge der Hypotenuse.

$$ \tan(A) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $$

Wir können schreiben: $a = 3k$ und $b = 4k$, wobei $k$ ein Proportionalitätsfaktor ist.

Lassen Sie uns $h$ finden. Mit dem Satz des Pythagoras schreiben wir:

$$ h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 $$

$$ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k $$

$$ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} $$

Sei $b$ die Länge der Gegenkathete von Winkel $B$, $c$ die Länge der Gegenkathete von Winkel $C$ und $h$ die Hypotenuse.

$$ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} $$

$$ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c $$

Da die beiden Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig, und die Winkel $B$ und $C$ sind gleich groß und messen jeweils $45^\circ$.

Das folgende Diagramm zeigt ein Rechteck mit Diagonalen und der Hälfte eines der Winkel, bezeichnet als $x$.

$$ \tan(x) = \frac{5}{2,5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) $$

Der größere Winkel, der von den Diagonalen gebildet wird, ist $2x$:

$$ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 signifikante Stellen)} $$

$$ \text{Kleinerer Winkel, der von den Diagonalen gebildet wird: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ $$

Sei $x$ die Länge der Seite $AC$. Verwenden Sie den Kosinussatz:

$$ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) $$

Lösen Sie die quadratische Gleichung nach $x$ auf:

$$ x = 14,0 \quad \text{und} \quad x = -5,7 $$

Da $x$ nicht negativ sein kann, ist die Lösung:

$$ x = 14,0 \quad \text{(gerundet auf eine Dezimalstelle)} $$

$$ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \quad \Rightarrow \quad H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) $$

$$ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} $$

$$ \text{Höhe des zweiten Gebäudes} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ Meter} $$

Sei $h$ die anfängliche Höhe des Ballons über dem Punkt $P$. Nach dem Aufstieg beträgt die neue Höhe $h + 50$ Meter.

Der horizontale Abstand vom Auto zu $P$ ist $d$ (der konstant bleibt).

Der Tiefenwinkel vom Ballon zum Auto ist gleich dem Höhenwinkel vom Auto zum Ballon (wegen Wechselwinkeln).

Also für die Ausgangsposition:

$$ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} $$

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(da } \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} $$

Folglich:

$$ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} $$

Nach einem Aufstieg um 50 Meter beträgt die neue Höhe $h + 50$ und der Tiefenwinkel ist $35^\circ$:

$$ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} $$

Also,

$$ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} $$

Setzen Sie nun Gleichung (1) in Gleichung (2) ein:

$$ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) $$

Stellen Sie die Gleichung um, um nach $d$ aufzulösen:

$$ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} $$

$$ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$

$$ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} $$

Verwenden Sie die numerischen Werte: $\tan(35^\circ) \approx 0,7002$ und $\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,57735$, um Folgendes zu erhalten:

$$ d = \frac{50}{0,7002 - 0,57735} = \frac{50}{0,12285} \approx 406,97 $$

Daher ist das Auto etwa $407$ Meter vom Punkt $P$ entfernt.

Sei $h$ die Höhe des Gebäudes. Wenn der Höhenwinkel anfänglich $70^\circ$ beträgt, ist die Länge des Schattens $s$.

Wenn der Höhenwinkel auf $60^\circ$ abnimmt, wird die Schattenlänge $s + 10$.

Für den Ausgangsfall (Winkel $70^\circ$):

$$ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} $$

Also,

$$ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} $$

Für den neuen Fall (Winkel $60^\circ$):

$$ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} $$

Also,

$$ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} $$

Subtrahieren Sie nun Gleichung (1) von Gleichung (2):

$$ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} $$

$$ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) $$

Also,

$$ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } $$

Vereinfachen Sie den Ausdruck:

$$ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } $$

Numerisch auswerten:

$$ h \approx 46,86474 $$

Daher beträgt die Höhe des Gebäudes etwa $46,9$ Meter.