Trigonometrie Textaufgaben Klasse 10 mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

\[ x = \frac{10}{\tan(51^\circ)} = 8.1 \; \text{(2 signifikante Ziffern)} \] \[ H = \frac{10}{\sin(51^\circ)} = 13 \; \text{(2 signifikante Ziffern)} \]

Die Fläche ist gegeben durch: \[ \frac{1}{2}(2x)(x) = 400 \] Löse nach x auf: \[ x = 20, \quad 2x = 40 \] Verwende den Satz des Pythagoras: \[ (2x)^2 + (x)^2 = H^2 \] Löse nach \( H \) auf. \[ H = x \sqrt{5} = 20 \sqrt{5} \]

BH senkrecht zu AC bedeutet, dass die Dreiecke \( \triangle ABH \) und \( \triangle HBC \) rechtwinklig sind. Daher: \[ \tan(39^\circ) = \frac{11}{AH} \quad \Rightarrow \quad AH = \frac{11}{\tan(39^\circ)} \] \[ HC = 19 - AH = 19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)} \] Wende den Satz des Pythagoras auf Dreieck \( \triangle HBC \) an: \[ \quad 11^2 + HC^2 = x^2 \] Setze HC ein und löse nach \( x \) auf. \[ x = \sqrt{11^2 + \left(19 - \frac{11}{\tan(39^\circ)}\right)^2} \] \[ x \approx 12.3 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Ziffern)} \]

Da \( \angle A \) rechtwinklig ist, sind sowohl die Dreiecke \( \triangle ABC \) als auch \( \triangle ABD \) rechtwinklig, und daher können wir den Satz des Pythagoras anwenden. \[ 14^2 = 10^2 + AD^2, \quad 16^2 = 10^2 + AC^2 \] Löse nach AD und AC auf: \[ AD = \sqrt{14^2-10^2} , \quad AC = \sqrt{16^2 - 10^2} \] \[ \text{Auch gilt: } x = AC - AD \] \[ x = \sqrt{16^2 - 10^2} - \sqrt{14^2 - 10^2} \] \[ x \approx 2.69 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Ziffern)} \]

Verwende das rechtwinklige Dreieck \(\triangle ABC\), um zu schreiben: \[ \tan(31^\circ) = \frac{6}{BC} \quad \Rightarrow \quad BC = \frac{6}{\tan(31^\circ)} \] Verwende den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \(\triangle BCD\), um zu schreiben: \[ 9^2 + BC^2 = BD^2 \] Löse nach \( BD \) auf und setze \( BC \) ein: \[ BD = \sqrt{9^2 + \left( \frac{6}{\tan(31^\circ)} \right)^2} \] \[ BD \approx 13.4 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Ziffern)} \]

Das Dreieck ist rechtwinklig und einer seiner Winkel beträgt \( 45^\circ \). Der dritte Winkel beträgt ebenfalls \( 45^\circ \), und daher ist das Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig.

Sei \( x \) die Länge einer der Katheten und \( H \) die Hypotenuse. \[ \text{Fläche} = \frac{1}{2}x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = 10 \] Verwende den Satz des Pythagoras: \[ \quad x^2 + x^2 = H^2 \] \[ \Rightarrow \quad H = 10\sqrt{2} \]

Sei \( a \) die Länge der Seite gegenüber Winkel \( A \), \( b \) die Länge der Seite anliegend an Winkel \( A \) und \( h \) die Länge der Hypotenuse. \[ \tan(A) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \] Wir können schreiben: \( a = 3k \) und \( b = 4k \), wobei \( k \) ein Proportionalitätskoeffizient ist. Finden wir \( h \). Mit dem Satz des Pythagoras schreiben wir: \[ \quad h^2 = (3k)^2 + (4k)^2 \] \[ h^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2 \quad \Rightarrow \quad h = 5k \] \[ \sin(A) = \frac{a}{h} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}, \quad \cos(A) = \frac{b}{h} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5} \]

Sei \( b \) die Länge der Seite gegenüber Winkel \( B \), \( c \) die Länge der Seite gegenüber Winkel \( C \) und \( h \) die Hypotenuse. \[ \sin(B) = \frac{b}{h}, \quad \cos(B) = \frac{c}{h} \] \[ \sin(B) = \cos(B) \quad \Rightarrow \quad \frac{b}{h} = \frac{c}{h} \quad \Rightarrow \quad b = c \] Da die beiden Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig, und die Winkel \( B \) und \( C \) sind gleich, jeder misst \( 45^\circ\).

Das Diagramm unten zeigt ein Rechteck mit Diagonalen und der Hälfte eines der Winkel, bezeichnet mit \( x \). \[ \tan(x) = \frac{5}{2.5} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) \] Der größere Winkel, der von den Diagonalen gebildet wird, ist \( 2x \): \[ 2x = 2 \arctan(2) \approx 127^\circ \quad \text{(3 signifikante Ziffern)} \] \[ \text{Kleinerer Winkel, der von den Diagonalen gebildet wird: } 180^\circ - 2x \approx 53^\circ \]

Sei \( x \) die Länge der Seite AC. Verwende den Kosinussatz: \[ 12^2 = 8^2 + x^2 - 2 \cdot 8 \cdot x \cdot \cos(59^\circ) \] Löse die quadratische Gleichung für \( x \): \[ x = 14.0 \quad \text{und} \quad x = -5.7 \] Da \( x \) nicht negativ sein kann, ist die Lösung: \[ x = 14.0 \quad \text{(gerundet auf eine Dezimalstelle)} \]

\[ \tan(20^\circ) = \frac{200}{L} \] \[ L = \frac{200}{\tan(20^\circ)} \] \[ \tan(10^\circ) = \frac{H_2}{L} \] \[ H_2 = L \cdot \tan(10^\circ) \] \[ = \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \] \[ \text{Höhe des zweiten Gebäudes} = 200 + H_2 = 200 + \frac{200 \cdot \tan(10^\circ)}{\tan(20^\circ)} \approx 297 \text{ Meter} \]

Sei \( h \) die anfängliche Höhe des Ballons über Punkt \( P \). Nach dem Aufstieg beträgt die neue Höhe \( h + 50 \) Meter. Die horizontale Entfernung vom Auto zu \( P \) ist \( d \) (die konstant bleibt).
Der Tiefenwinkel vom Ballon zum Auto ist gleich dem Höhenwinkel vom Auto zum Ballon (aufgrund von Wechselwinkeln).
Für die Anfangsposition: \[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{d} \] \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{d} \quad \text{(da } \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{)} \] Somit, \[ h = \frac{d}{\sqrt{3}} \tag{1} \] Nach einem Aufstieg von 50 Metern beträgt die neue Höhe \( h + 50 \), und der Tiefenwinkel beträgt \( 35^\circ \): \[ \tan(35^\circ) = \frac{h + 50}{d} \] Also, \[ h + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \tag{2} \] Setze nun Gleichung (1) in Gleichung (2) ein: \[ \frac{d}{\sqrt{3}} + 50 = d \cdot \tan(35^\circ) \] Stelle um, um nach \( d \) aufzulösen: \[ 50 = d \cdot \tan(35^\circ) - \frac{d}{\sqrt{3}} \] \[ 50 = d \left( \tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \] \[ d = \frac{50}{\tan(35^\circ) - \frac{1}{\sqrt{3}}} \] Verwende die numerischen Werte: \( \tan(35^\circ) \approx 0.7002 \) und \( \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.57735 \), um zu erhalten: \[ d = \frac{50}{0.7002 - 0.57735} = \frac{50}{0.12285} \approx 406.97 \] Daher ist das Auto ungefähr \( 407 \) Meter von Punkt \( P \) entfernt.

Sei \(h\) die Höhe des Gebäudes. Anfänglich, wenn der Höhenwinkel \(70^\circ\) beträgt, ist die Länge des Schattens \(s\).
Wenn der Höhenwinkel auf \(60^\circ\) abnimmt, wird die Schattenlänge \(s + 10\).
Für den Anfangsfall (Winkel \(70^\circ\)): \[ \tan(70^\circ) = \frac{h}{s} \] Also, \[ s = \frac{h}{\tan(70^\circ)} \tag{1} \] Für den neuen Fall (Winkel \(60^\circ\)): \[ \tan(60^\circ) = \frac{h}{s + 10} \] Also, \[ s + 10 = \frac{h}{\tan(60^\circ)} \tag{2} \] Subtrahiere nun Gleichung (1) von Gleichung (2): \[ (s + 10) - s = \frac{h}{\tan(60^\circ)} - \frac{h}{\tan(70^\circ)} \] \[ 10 = h \left( \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} \right) \] Also, \[ h = \frac{10}{ \frac{1}{\tan(60^\circ)} - \frac{1}{\tan(70^\circ)} } \] Vereinfache den Ausdruck: \[ h = \frac{10}{ \cot(60^\circ) - \cot(70^\circ) } \] Werte numerisch aus: \[ h \approx 46.86474 \] Daher beträgt die Höhe des Gebäudes ungefähr \(46.9\) Meter.