Diese Seite bietet detaillierte, Schritt-für-Schritt-Lösungen zu Fragen zum Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen rationaler Ausdrücke . Sie finden klare Erklärungen, ausgearbeitete Beispiele und Übungsaufgaben, die Schülern, Lehrern und Eltern helfen sollen, dieses wichtige Algebra-Thema zu meistern.
\[ \frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24} \]
Die drei Nenner in den obigen Brüchen sind unterschiedlich, daher müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden.
Wir finden zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der drei Nenner 6, 18 und 24.
6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 80,...
18: 18, 36, 54, 72, 90,...
24: 24, 48, 72, 96...
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 72, und wir wandeln nun alle 3 Nenner in den gemeinsamen Nenner 72 um.
\[ \frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24} = \frac{7 \times \textcolor{red}{12}}{6 \times \textcolor{red}{12}} + \frac{1 \times \textcolor{red}{4}}{18 \times \textcolor{red}{4}} - \frac{5 \times \textcolor{red}{3}}{24 \times \textcolor{red}{3}} \]
und vereinfachen wie folgt:
\[ = \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72} \]
\[ \frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2} \]
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Die beiden Nenner \( x + 5 \) und \( x + 2 \) haben keine gemeinsamen Faktoren, daher ist ihr kgV gegeben durch:
\[ \text{kgV} = (x + 5)(x + 2) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
\[ \frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2} = \frac{(x+3)\textcolor{red}{(x+2)}}{(x+5)\textcolor{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\textcolor{red}{(x+5)}}{(x+2)\textcolor{red}{(x+5)}} \] \[ = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)} \]
Wir erweitern nun, vereinfachen und faktorisieren den Zähler, wenn möglich.
\[ = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)} \] \[ = \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)} \]
\[ \frac{-3}{x-4} + x + 4 \]
Um einen rationalen Ausdruck mit einem Ausdruck ohne Nenner zu addieren, wandeln wir den ohne Nenner in einen rationalen Ausdruck um und addieren sie dann.
\[ \frac{-3}{x-4} + x + 4 = \frac{-3}{x-4} + (x+4)\cdot\frac{\textcolor{red}{x-4}}{\textcolor{red}{x-4}} \]
Die beiden rationalen Ausdrücke haben denselben Nenner und werden wie folgt addiert:
\[ = \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4} \]
\[ \frac{x-4}{x^2 - 3x + 2} - \frac{x+5}{x^2 + 2x - 3} \]
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir faktorisieren zunächst die beiden Nenner \( x^2 - 3x + 2 \) und \( x^2 + 2x - 3 \) vollständig und finden das kgV von Ausdrücken.
\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1) (x - 2) \] \[ x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) \] \[ \text{kgV} = (x - 1)(x - 2)(x + 3) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
\[ \frac{x-4}{x^2-3x+2} - \frac{x+5}{x^2+2x-3} = \frac{x-4}{(x-1)(x-2)} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \] \[ = \frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{x+3}{x+3} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{x-2}{x-2} \] \[ = \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)} \]
Wir addieren nun die Zähler, erweitern und vereinfachen.
\[ = \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{x^2 - x - 12 - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)} \]
\[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18} \]
Wir schreiben den gegebenen Ausdruck mit faktorisierten Zählern und Nennern um und vereinfachen, wenn möglich.
\[ \frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x +1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} \]
Wir kürzen gemeinsame Faktoren.
\[ = \frac{\cancel{(x - 3)}(x + 2)}{\cancel{(x - 3)}(x + 1)} - \frac{\cancel{(x + 6)}(x - 1)}{\cancel{(x + 6)}(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3} \]
Die beiden Nenner \( x + 1 \) und \( x + 3 \) haben keine gemeinsamen Faktoren, daher ist ihr Hauptnenner \( (x + 1)(x + 3) \). Wir schreiben das Obige mit dem gemeinsamen Nenner \( (x + 1)(x + 3) \) wie folgt um:
\[ = \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)} \] Erweitern und vereinfachen. \[ = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)} \]
\[ \frac{2}{2x - 1} + \frac{x + 8}{2x^2 + 9x - 5} - \frac{5}{2x + 10} \]
Die drei rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu subtrahieren/addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Listen Sie die drei Nenner \( 2x - 1 \), \( 2x^2 + 9x - 5 \) und \( 2x + 10 \) auf, faktorisieren Sie sie vollständig und finden Sie das kgV.
\[ 2x - 1 = 2x - 1 \]
\[ 2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5) \]
\[ 2x+10 = 2(x + 5) \]
\[ \text{kgV} = 2(2x - 1)(x + 5) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
\[ \frac{2}{2x-1} + \frac{x+8}{2x^2+9x-5} - \frac{5}{2x+10} \] \[ = \frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}2(x+5)}{\color{red}2(x+5)} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}2}{\color{red}2} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}(2x-1)}{\color{red}(2x-1)} \]
Wir addieren nun die Zähler und vereinfachen.
\[ = \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)} \]
\[ \frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)} + \frac{x}{2x-2} \]
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu subtrahieren/addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Listen Sie die beiden Nenner \( y(xy - y + 3x - 3) \) und \( 2x - 2 \) auf, faktorisieren Sie sie vollständig und finden Sie das kgV.
\[ y(xy - y + 3x - 3) = y( y(x - 1) + 3 (x - 1)) = y(x - 1)(y + 3) \]
\[ 2x - 2 = 2(x - 1) \]
\[ \text{kgV} = 2y(x - 1)(y + 3) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
\[ \frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)}+\frac{x}{2x-2}=\frac{y-2}{y(x-1)(y+3)}+\frac{x}{2(x-1)} \] \[ =\frac{y-2}{y(x-1)(y+3)}\cdot\frac{\color{red}2}{\color{red}2}+\frac{x}{2(x-1)}\cdot\frac{\color{red}y(y+3)}{\color{red}y(y+3)} \] \[ =\frac{2(y-2)+xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)} \]
Erweitern und vereinfachen.
\[ =\frac{xy^{2}+3xy+2y-4}{2y(x-1)(y+3)} \]