Entdecken Sie Algebra-Aufgaben der 11. Klasse zu Funktionen, Polynomen, Kreis- und Parabelgleichungen sowie dem Vereinfachen von Ausdrücken. Jedes Thema enthält Schritt-für-Schritt-Lösungen, die den Schülern helfen sollen, wichtige algebraische Konzepte zu verstehen und zu meistern. Perfekt zur Wiederholung, zum Üben und zum Aufbau von Selbstvertrauen beim Lösen von Problemen.
Führen Sie die quadratische Ergänzung bei der folgenden quadratischen Funktion $f$ durch:
$$ f(x) = 2x^2 - 6x + 4 $$
Klammern Sie 2 aus den ersten beiden Termen aus:
$$ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 $$
Addieren und subtrahieren Sie $\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2$ innerhalb der Klammern:
$$ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 $$
Schreiben Sie $x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ als vollständiges Quadrat $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2$:
$$ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 $$
$$ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 $$
Fassen Sie $-\dfrac{9}{2} + 4$ zusammen:
$$ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} $$
Finden Sie den/die Schnittpunkt(e) der Parabel mit der Gleichung $y = x^2 - 5x + 4$ und der Geraden mit der Gleichung $y = 2x - 2$.
Die Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade finden wir, indem wir das folgende Gleichungssystem lösen:
$$ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} $$
Ersetzen Sie $y$ durch $2x - 2$ in der ersten Gleichung:
$$ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 $$
Schreiben Sie die quadratische Gleichung in die Standardform (eine Seite gleich Null):
$$ x^2 - 7x + 6 = 0 $$
Lösung der quadratischen Gleichung:
$$ x = 1 \quad \text{und} \quad x = 6 $$
Finden Sie die $y$-Koordinaten:
Für $x = 1$, $y = 2(1) - 2 = 0$
Für $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$
Schnittpunkte:
$$ (1, 0) \quad \text{und} \quad (6, 10) $$
Finden Sie die Konstante $k$, sodass: $$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$ für alle reellen Werte von $x$ gilt.
Gegebene Gleichung:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) $$
Ausmultiplizieren der rechten Seite:
$$ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 $$
Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, daher:
$$ -(k + 7) = 6 $$
Auflösen nach $k$:
$$ k = -13 $$
Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises mit der Gleichung: $$ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 $$
Fassen Sie die Terme mit $x$ und die Terme mit $y$ jeweils zusammen:
$$ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 $$
Führen Sie die quadratische Ergänzung bei $x^2 - 2x$ wie folgt durch:
$$ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 $$
Führen Sie die quadratische Ergänzung bei $y^2 + 4y$ wie folgt durch:
$$ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 $$
Schreiben Sie die gegebene Gleichung um als:
$$ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 $$
Schreiben Sie die Kreisgleichung in die Standardform $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$:
$$ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 $$
Bestimmen Sie den Mittelpunkt $(h,k)$ und den Radius $r$:
$$ x - h = x - 1 \quad \text{ergibt} \quad h = 1 $$
$$ y - k = y + 2 \quad \text{ergibt} \quad k = -2 $$
$$ r^2 = 4^2 \quad \text{ergibt} \quad r = 4 $$
Daher:
$$ \text{Mittelpunkt liegt bei: } (1, -2), \quad \text{Radius = } 4 $$
Finden Sie die Konstante $k$, sodass die quadratische Gleichung $$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$ zwei reelle Lösungen hat.
Gegebene quadratische Gleichung:
$$ 2x^2 + 5x - k = 0 $$
Berechnen Sie die Diskriminante:
$$ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k $$
Eine quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen, wenn die Diskriminante strikt positiv ist:
$$ 25 + 8k > 0 $$
Auflösen nach $k$:
$$ k > -\frac{25}{8} $$
Finden Sie die Konstante $k$, sodass das System aus zwei Gleichungen: $$ 2x + ky = 2 \quad \text{und} \quad 5x - 3y = 7 $$ keine Lösungen hat.
Nach der Cramerschen Regel hat das System keine Lösungen, wenn die Determinante $D$ der Koeffizientenmatrix gleich null ist und eine der Determinanten $D_x$ oder $D_y$ ungleich null ist.
Die Koeffizientenmatrix $A$ ist:
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} $$
Ihre Determinante $D$ lautet:
$$ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k $$
Setzen von $D = 0$:
$$ -6 - 5k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{6}{5} $$
Wir definieren die Determinante $D_x$, indem wir die erste Spalte von $A$ durch die Konstantenmatrix $\begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix}$ ersetzen:
$$ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k $$
Einsetzen von $k = -\frac{6}{5}$:
$$ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) = -6 + \frac{42}{5} = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 $$
Da die Koeffizientendeterminante $D = 0$ ist, aber $D_x \neq 0$, ist das System inkonsistent und hat keine Lösungen, wenn:
$$ k = -\frac{6}{5} $$
Faktorisieren Sie den Ausdruck: $$ 6x^2 - 13x + 5 $$
Im quadratischen Ausdruck $ax^2 + bx + c$ identifizieren wir $a = 6$, $b = -13$ und $c = 5$. Multiplizieren Sie $a$ und $c$:
$$ 6 \times 5 = 30 $$
Wir brauchen zwei Zahlen, die multipliziert 30 ergeben und addiert -13. Die Zahlen -10 und -3 erfüllen diese Bedingungen:
$$ -10 \times -3 = 30 $$
$$ -10 + (-3) = -13 $$
Wir verwenden diese Zahlen, um $-13x$ in $-10x - 3x$ aufzuteilen:
$$ 6x^2 - 10x - 3x + 5 $$
Fassen Sie die Terme zusammen und klammern Sie gemeinsame Elemente aus:
$$ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) = 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) $$
Da $(3x - 5)$ in beiden Termen vorkommt, wird der Ausdruck wie folgt faktorisiert:
$$ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) $$
Vereinfachen Sie $i^{231}$, wobei $i$ die imaginäre Einheit ist, definiert als $i = \sqrt{-1}$.
Beachten Sie, dass $i^4 = 1$ ist. Beobachten Sie auch, dass $231 = 4 \times 57 + 3$ ist. Daher:
$$ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \cdot i^3 = (i^4)^{57} \cdot i^3 $$
Da $i^4 = 1$ ist, erhalten wir:
$$ = 1^{57} \cdot (-i) = -i $$
Was ist der Rest, wenn $f(x) = (x - 2)^{54}$ durch $x - 1$ geteilt wird?
Nach dem Restsatz ist der Rest $r$ der Division von $f(x)$ durch $x - c$ gegeben durch $f(c)$. Hier ist $c = 1$.
$$ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 $$
Finden Sie $b$ und $c$, sodass die Parabel mit der Gleichung $y = 4x^2 - bx - c$ einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten $(2 , 4)$ hat.
Die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts $h$ lautet $-\frac{b}{2a}$:
$$ h = \frac{- (-b)}{2(4)} = \frac{b}{8} = 2 $$
Auflösen nach $b$:
$$ b = 16 $$
Der Scheitelpunkt ist eine Lösung der Parabelgleichung. Setzen Sie also $x=2$ und $y=4$ ein:
$$ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 $$
$$ 16 - 32 - c = 4 \quad \Rightarrow \quad -16 - c = 4 $$
Auflösen nach $c$:
$$ c = -20 $$
Daher ist $b = 16$ und $c = -20$.
Finden Sie alle Nullstellen des Polynoms $P(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$, wenn bekannt ist, dass $x = 2$ eine Nullstelle von $P(x)$ ist.
Da $x = 2$ eine Nullstelle ist, ist $(x - 2)$ ein Faktor von $P(x)$. Dividieren Sie $P(x)$ durch $(x - 2)$, um den quadratischen Quotienten $Q(x)$ zu finden:
$$ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24}{x - 2} = x^2 - x - 12 $$
Somit haben wir nun:
$$ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) $$
Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:
$$ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) $$
Finale Faktorisierung:
$$ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) $$
Setzen Sie jeden Faktor gleich Null, um alle Nullstellen aufzulisten:
$$ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 $$
Wenn $x$ eine ganze Zahl ist, was ist der größte Wert von $x$, der die Ungleichung $5 \lt 2x + 2 \lt 9$ erfüllt?
Lösen Sie die zusammengesetzte Ungleichung, indem Sie auf allen Seiten 2 subtrahieren:
$$ 3 \lt 2x \lt 7 $$
Durch 2 dividieren:
$$ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} $$
Da $\frac{7}{2} = 3,5$ ist, ist der größte ganzzahlige Wert von $x$, der die gegebene Ungleichung erfüllt, $3$ (die größte ganze Zahl, die strikt kleiner als $3,5$ ist).
Die Mengen $A$ und $B$ sind gegeben durch $A = \{2 , 3 , 6 , 8, 10\}$ und $B = \{3 , 5 , 7 , 9\}$.
a) Finden Sie die Schnittmenge der Mengen $A$ und $B$.
b) Finden Sie die Vereinigungsmenge der Mengen $A$ und $B$.
a) Das einzige gemeinsame Element von $A$ und $B$ ist 3, daher ist die Schnittmenge:
$$ A \cap B = \{3\} $$
b) Alle Elemente von $A$ und $B$ befinden sich in der Vereinigungsmenge. Elemente, die in beiden vorkommen, werden nur einmal aufgelistet:
$$ A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} $$
Vereinfachen Sie: $\left| -x^2 + 4x - 4 \right|$
Schreiben Sie den Ausdruck um, indem Sie das negative Vorzeichen ausklammern:
$$ = | - (x^2 - 4x + 4) | $$
Führen Sie die quadratische Ergänzung durch:
$$ = | -(x - 2)^2 | $$
Verwenden Sie die Eigenschaft, dass $|-A| = |A|$ ist. Da $(x-2)^2$ für jede reelle Zahl $x$ immer nicht-negativ ist, können wir die Betragsstriche vollständig weglassen:
$$ = (x - 2)^2 $$
Finden Sie die Konstante $k$, sodass die Gerade mit der Gleichung $y = kx$ eine Tangente an den Kreis mit der Gleichung $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4$ ist.
Eine Gerade und ein Kreis berühren sich als Tangente, wenn sie genau einen Schnittpunkt haben. Setzen Sie $y = kx$ in die Kreisgleichung ein:
$$ (x - 3)^2 + (kx - 5)^2 = 4 $$
Ausmultiplizieren:
$$ x^2 - 6x + 9 + k^2x^2 - 10kx + 25 = 4 $$
Fassen Sie die Terme zusammen, um die quadratische Gleichung in der Standardform $(Ax^2 + Bx + C = 0)$ zu schreiben:
$$ (1 + k^2)x^2 - (6 + 10k)x + 30 = 0 $$
Damit die Gerade eine Tangente ist, muss diese quadratische Gleichung genau eine Lösung haben, was bedeutet, dass ihre Diskriminante $\Delta$ gleich null sein muss:
$$ \Delta = B^2 - 4AC = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 $$
Multiplizieren Sie die Diskriminantengleichung aus:
$$ (36 + 120k + 100k^2) - 120 - 120k^2 = 0 $$
$$ -20k^2 + 120k - 84 = 0 $$
Teilen Sie die gesamte Gleichung durch $-4$, um sie leichter lösen zu können:
$$ 5k^2 - 30k + 21 = 0 $$
Lösen Sie diese quadratische Gleichung für $k$ mit der Mitternachtsformel (oder pq-Formel):
$$ k = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2 - 4(5)(21)}}{2(5)} = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 420}}{10} = \frac{30 \pm \sqrt{480}}{10} $$
Vereinfachen Sie die Wurzel ($\sqrt{480} = 4\sqrt{30}$):
$$ k = \frac{30 \pm 4\sqrt{30}}{10} = \frac{15 \pm 2\sqrt{30}}{5} $$
Endergebnisse:
$$ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{oder} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} $$