Erkunden Sie Algebrafragen der 11. Klasse zu Funktionen, Polynomen, Kreis- und Parabelgleichungen sowie zur Vereinfachung von Ausdrücken. Jedes Thema enthält schrittweise Lösungen, die entwickelt wurden, um Schülern zu helfen, wichtige algebraische Konzepte zu verstehen und zu meistern. Perfekt zur Wiederholung, Übung und zum Aufbau von Vertrauen in die Problemlösung.
Vervollständigen Sie die quadratische Ergänzung in der quadratischen Funktion \( f \), gegeben durch \[ f(x) = 2 x^2 - 6x + 4 \]
Faktorisieren Sie 2 aus den ersten beiden Termen: \[ f(x) = 2(x^2 - 3x) + 4 \] Addieren und subtrahieren Sie \(\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\) innerhalb der Klammern: \[ = 2\left(x^2 - 3x + \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2\right) + 4 \] Schreiben Sie \( x^2 - 3x + \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 \) als Quadrat \( \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 \): \[ = 2 \left(\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 \right) + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 + 4 \] \[ = 2 \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2} + 4 \] Gruppieren Sie \( - \dfrac{9}{2} + 4 \) \[ = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{2} \]
Finden Sie den/die Schnittpunkt(e) der Parabel mit der Gleichung \( y = x^2 - 5 x + 4 \) und der Geraden mit der Gleichung \( y = 2 x - 2 \).
Die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel und der Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems der Parabel und der Geraden gefunden: \[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = 2x - 2 \end{cases} \] Ersetzen Sie \( y \) durch \( 2x - 2 \) in der ersten Gleichung: \[ 2x - 2 = x^2 - 5x + 4 \] Schreiben Sie die quadratische Gleichung in Standardform (eine Seite gleich Null): \[ x^2 - 7 x + 6 = 0 \] Lösung der quadratischen Gleichung: \[ x = 1 \quad \text{und} \quad x = 6 \] Finden Sie die \( y \)-Koordinaten:
Für \( x = 1 \), \[ y = 2x - 2 = 2(1) - 2 = -1 \]
Für \( x = 6 \), \[ y = 2 x - 2 = 2(6) - 2 = 10 \]
Schnittpunkte: \[ (1, 0) \quad \text{und} \quad (6, 10) \]
Finden Sie die Konstante \( k \) so, dass: \[ -x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) \] für alle reellen Werte von \( x \) gilt.
Gegebene Gleichung: \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) \] Ausmultiplizieren der rechten Seite: \[ - x^2 - (k + 7)x - 8 = -x^2 + 6x - 8 \] Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, daher: \[ -(k + 7) = 6 \] Lösen nach \( k \): \[ k = -13 \]
Finden Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises mit der Gleichung \[ x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 \].
Fassen Sie die Terme in \(x\) und die Terme in \(y\) zusammen: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 11 \] Vervollständigen Sie das Quadrat in \( x^2 - 2x \) wie folgt: \[ (x^2 - 2x) = (x - 1)^2 - 1 \] Vervollständigen Sie das Quadrat in \( y^2 + 4y \) wie folgt: \[ y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 \] Schreiben Sie die gegebene Gleichung um als: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 2)^2 - 4 = 11 \] Schreiben Sie die Kreisgleichung in Standardform \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \): \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4^2 \] Identifizieren Sie den Mittelpunkt \( (h,k) \) und den Radius \(r\): \[ x - h = x - 1 \quad \text{ergibt} \quad h = 1 \] \[ y - k = y + 2 \quad \text{ergibt} \quad k = -2 \] \[ r^2 = 4^2 \quad \text{ergibt} \quad r = 4 \] Daher \[ \text{Mittelpunkt ist bei: } (1, -2), \quad \text{Radius = } 4 \]
Finden Sie die Konstante \( k \) so, dass die quadratische Gleichung \[ 2 x^2 + 5 x - k = 0 \] zwei reelle Lösungen hat.
Gegebene quadratische Gleichung: \[ 2x^2 + 5x - k = 0 \] Berechnen Sie die Diskriminante: \[ \Delta = 5^2 - 4(2)(-k) = 25 + 8k \] Eine quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist: \[ 25 + 8 k > 0 \] Lösen nach \( k \): \[ k > -\frac{25}{8} \]
Finden Sie die Konstante \( k \) so, dass das System der beiden Gleichungen: \[ 2x + ky = 2 \quad \text{und} \quad 5x - 3y = 7 \] keine Lösungen hat.
Nach der Cramer'schen Regel hat das System keine Lösungen, wenn die Determinante \( D \) der Koeffizientenmatrix gleich Null ist und eine der Determinanten \( D_x \) oder \( D_y \) ungleich Null ist.
Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix des Systems: \[ \begin{aligned} 2x + ky &= 2 \\ 5x - 3y &= 7 \end{aligned} \] Die Koeffizientenmatrix ist: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{bmatrix} \] Ihre Determinante: \[ D = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 5 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (5)(k) = -6 - 5k \] Setzen Sie \( D = 0 \): \[ -6 - 5k = 0 \] \[ k = -\frac{6}{5} \] Wir definieren die Determinanten \( D_x \) und \( D_y \), indem wir die entsprechende Spalte in \( A \) durch die Konstantenmatrix ersetzen.
Die Determinante \( D_x \) wird definiert durch Ersetzen der ersten Spalte von \( A \) mit den Konstanten \( \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \end{bmatrix} \): \[ D_x = \begin{vmatrix} 2 & k \\ 7 & -3 \end{vmatrix} \] \[ D_x = (2)(-3) - (7)(k) = -6 - 7k \] Einsetzen von \( k = -\frac{6}{5} \): \[ D_x = -6 - 7\left(-\frac{6}{5}\right) \] \[ D_x = -6 + \frac{42}{5} \] \[ D_x = \frac{-30 + 42}{5} = \frac{12}{5} \neq 0 \] Da die Koeffizientendeterminante \( D = 0 \) aber \( D_x \neq 0 \) ist, ist das System inkonsistent und hat keine Lösungen, wenn: \[ k = -\frac{6}{5} \]
Faktorisieren Sie den Ausdruck \[ 6 x^2 - 13 x + 5 \].
Wir werden den quadratischen Ausdruck Schritt für Schritt faktorisieren: \[ 6x^2 - 13x + 5 \] Im quadratischen Ausdruck \( ax^2 + bx + c \) identifizieren wir: \[ a = 6 \] \[ b = -13 \] \[ c = 5 \] Multiplizieren Sie \( a \) und \( c \): \[ 6 \times 5 = 30 \] Wir brauchen zwei Zahlen, die:
1) Multipliziert 30 ergeben
2) Addiert -13 ergeben
Die Zahlen \( -10 \) und \( -3 \) erfüllen diese Bedingungen: \[ -10 \times -3 = 30 \] \[ -10 + (-3) = -13 \] Wir verwenden die Zahlen \( -10 \) und \( -3 \), um \( -13x \) als \( -10x - 3x \) aufzuteilen: \[ 6x^2 - 10x - 3x + 5 \] Gruppieren Sie die Terme: \[ (6x^2 - 10x) + (-3x + 5) \] Faktorisieren Sie die gemeinsamen Terme in jeder Gruppe heraus: \[ 2x(3x - 5) - 1(3x - 5) \] Da \( (3x - 5) \) gemeinsam ist, wird der gegebene Ausdruck faktorisiert als: \[ 6x^2 - 13x + 5 = (2x - 1)(3x - 5) \]
Vereinfachen Sie \( i^{231} \), wobei \( i \) die imaginäre Einheit ist und definiert ist als: \[ i = \sqrt{-1} \].
Beachten Sie, dass: \[ i^4 = 1 \] Beobachten Sie auch, dass: \[ 231 = 4 \times 57 + 3 \] Daher: \[ i^{231} = i^{4 \times 57 + 3} = i^{4 \times 57} \; i^3 = (i^4)^{57} \times i^3 \] Da \( i^4 = 1 \), erhalten wir: \[ = 1^{57} \times (-i) = -i \] Daher \[ i^{231} = -i \]
Was ist der Rest, wenn \( f(x) = (x - 2)^{54} \) durch \( x - 1\) geteilt wird?
Nach dem Restsatz ist der Rest \( r \) der Division von \( f(x) = (x - 2)^{54} \) durch \( x - 1\) gegeben durch: \[ r = f(1) = (1 - 2)^{54} = (-1)^{54} = 1 \]
Finden Sie \( b \) und \( c \) so, dass die Parabel mit der Gleichung \( y = 4 x^2 - b x - c \) einen Scheitelpunkt mit den Koordinaten \( (2 , 4) \) hat?
Die Formel für die x-Koordinate des Scheitelpunkts: \[ h = \frac{- (-b)}{2\cdot4} = \frac{b}{8} = 2 \] Lösen nach \( b \): \[ b = 16 \] Der Scheitelpunkt ist eine Lösung der Parabelgleichung: \[ 4(2)^2 - 16(2) - c = 4 \] Lösen nach \( c \): \[ c = -20 \] Daher \[ b = 16 \; , \; c = -20 \]
Finden Sie alle Nullstellen des Polynoms \[ P(x) = x^3 - 3 x^2 - 10 x + 24 \], wissend, dass \( x = 2 \) eine Nullstelle von \(P(x) \) ist.
Da \( x = 2 \) eine Nullstelle ist, ist \( (x - 2) \) ein Faktor von \( P(x) \).
Verwenden Sie Polynomdivision, um \( P(x) \) durch \( (x - 2) \) zu teilen. \[ \begin{align*} P(x) &= x^3 - 3x^2 - 10x + 24 \\ &= (x - 2) Q(x) \end{align*} \] Teilen Sie \( P(x) \) durch \( (x - 2) \) mittels schriftlicher Division oder synthetischer Division, um zu erhalten: \[ Q(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 10x + 24 }{x - 2} = x^2 - x - 12 \] So haben wir jetzt: \[ P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 12) \] Faktorisieren Sie das Quadrat: \[ x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) \] Endgültige Faktorisierung: \[ P(x) = (x - 2)(x - 4)(x + 3) \] Verwenden Sie die drei Faktoren, um alle Nullstellen aufzulisten: \[ x = 2, \quad x = 4, \quad x = -3 \]
Wenn \( x \) eine ganze Zahl ist, was ist der größte Wert von \( x \), der die Ungleichung \[ 5 \lt 2x + 2 \lt 9 \] erfüllt?
Gegeben: \[ 5 \lt 2x + 2 \lt 9 \] Lösen Sie die zusammengesetzte Ungleichung: \[ \frac{3}{2} \lt x \lt \frac{7}{2} \] Da \( \frac{7}{2} = 3,5 \), ist der größte ganzzahlige Wert von \( x \), der die gegebene Ungleichung erfüllt, 3 (die größte ganze Zahl kleiner als \( \frac{7}{2} \)).
Die Mengen \( A \) und \( B \) sind gegeben durch: \[ A = \{2 , 3 , 6 , 8, 10\} \; , \; B = \{3 , 5 , 7 , 9\} \].
a) Finden Sie den Durchschnitt der Mengen \( A \) und \( B \).
b) Finden Sie die Vereinigung der Mengen \( A \) und \( B \).
a) Das gemeinsame Element von \( A \) und \( B \) ist 3, daher: \[ A \cap B = \{3\} \] b) Alle Elemente von \( A \) und \( B \) sind in der Vereinigung enthalten. Elemente, die sowohl in \( A \) als auch in \( B \) vorkommen, werden nur einmal aufgelistet, da es sich um eine Menge handelt, daher: \[ A \cup B = \{2, 3, 6, 8, 10, 5, 7, 9\} \]
Vereinfachen Sie \[ \left| - x^2 + 4x - 4 \right| \].
Gegeben: \[ | -x^2 + 4x - 4 | \] Schreiben Sie den Ausdruck um, indem Sie das negative Vorzeichen ausklammern: \[ = | - (x^2 - 4x + 4) | \] Vervollständigen Sie das Quadrat: \[ = | -(x - 2)^2 | \] Verwenden Sie die Eigenschaft, dass der Absolutwert eines negativen Quadrats einfach das Quadrat ist: \[ = (x - 2)^2 \]
Finden Sie die Konstante \( k \) so, dass die Gerade mit der Gleichung \( y = k x \) den Kreis mit der Gleichung \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 \] tangiert.
Eine Gerade und ein Kreis sind tangential, wenn sie nur einen Schnittpunkt haben, den Tangentialpunkt.
Gegeben: \[ (x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4 \] Ersetzen Sie \( y \) durch \( k x \): \[ (x - 3)^2 + (k x - 5)^2 = 4 \] Expandieren: \[ x^2 - 6 x + 9 + ( k x )^2 -10 kx + 25 = 4 \] Schreiben Sie die quadratische Gleichung in Standardform: \[ x^2(1 + k^2) - x (6 + 10k) + 30 = 0 \] Damit die Gerade \( y = k x \) den Kreis tangiert, muss die Diskriminante \( \Delta \) der obigen quadratischen Gleichung gleich Null sein: \[ \Delta = b^2 - 4 a c = (-(6 + 10k))^2 - 4(1 + k^2)(30) = 0 \] Expandieren Sie die obige Gleichung: \[ -20 k^2+120 k-84 = 0 \] Lösen Sie die obige quadratische Gleichung, um die Werte von \( k \) zu erhalten, für die die Gerade den Kreis tangiert: \[ k = \frac{15+2\sqrt{30}}{5} \quad \text{oder} \quad k = \frac{15-2\sqrt{30}}{5} \]