Detaillierte Lösungen und Erklärungen zu Fragen darüber, wie man den Definitionsbereich und den Wertebereich einer Relation anhand ihres Graphen findet, werden präsentiert.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich für jede Relation anhand ihres Graphen und geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist.
a)
Definitionsbereich: Die Punkte A(-2 , 4) und B(4,6) haben die kleinste und die größte x-Koordinate, respectively. Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte von der kleinsten x-Koordinate (von A) bis zur größten x-Koordinate (von B) und wird geschrieben als:
- 2 ≤ x ≤ 4
Geschlossene Kreise an beiden Punkten A und B, daher wird das Ungleichheitssymbol ≤ verwendet.
b)
Wertebereich: Die Punkte C(2,-2) und B(4,6) haben die kleinste und größte y-Koordinaten, respectively. Daher ist der Wertebereich die Menge aller y-Werte zwischen den kleinsten und größten y-Koordinaten und wird durch die Doppelungleichung ausgedrückt:
- 2 ≤ y ≤ 6
Das Ungleichheitssymbol ≤ wird auf beiden Seiten verwendet, da die Relation an diesen y-Werten definiert ist (geschlossener Kreis).
c)
Die oben dargestellte Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneiden kann.
a)
Definitionsbereich: Der Punkt A(4 , 2) hat die größte x-Koordinate. Wenn x abnimmt (nach links bewegt wird), zeigt der Pfeil oben links an, dass es keine Begrenzung für den kleinsten Wert der x-Koordinate eines Punktes auf dem gegebenen Graphen gibt. Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte kleiner als 4 und wird geschrieben als:
x ≤ 4
Der geschlossene Kreis am Punkt A bedeutet, dass die Relation bei x = 4 definiert ist, daher wird das Ungleichheitssymbol ≤ verwendet.
b)
Wertebereich: Die Punkte B(2,-2) und C(-2,-2) haben die kleinste (und gleiche) y-Koordinaten. Der Pfeil oben links zeigt an, dass beim Abnehmen von x (nach links bewegen) die y-Koordinate der Punkte auf dem Graphen ohne Begrenzung zunimmt. Daher ist der Wertebereich die Menge aller y-Werte größer oder gleich -2 und wird durch die Ungleichung ausgedrückt:
y ≥ -2
Das Ungleichheitssymbol ≤ wird verwendet, weil die Relation bei y = 4 definiert ist (geschlossener Kreis).
c)
Die oben dargestellte Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneiden kann.
a)
Definitionsbereich: Die Punkte A(-5 , -1) und B(1, -1) haben die kleinste und die größte x-Koordinate, respectively. Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte zwischen - 5 und - 1 und wird durch die Ungleichung ausgedrückt:
- 5 ≤ x ≤ 1
Die geschlossenen Kreise an den Punkten A und B bedeuten, dass die Relation bei x = - 5 und x = 1 definiert ist, daher wird das Ungleichheitssymbol ≤ auf beiden Seiten verwendet.
b)
Wertebereich: Die Punkte C(-2,-3) und D(-2,1) haben die kleinste und die größte y-Koordinaten, respectively. Daher ist der Wertebereich die Menge aller y-Werte zwischen -3 und 1 und wird durch die Ungleichung ausgedrückt:
-3 ≤ y ≤ 1
Das Ungleichheitssymbol ≤ wird verwendet, weil die Relation an beiden Punkten definiert ist (geschlossener Kreis).
c)
Die oben dargestellte Relation ist KEINE Funktion, weil mindestens eine vertikale Linie den gegebenen Graphen an zwei Punkten schneidet, wie unten gezeigt.
a)
Definitionsbereich: Der Punkt A(-3 , 1.8) hat die kleinste x-Koordinate. Wenn x zunimmt (nach rechts bewegt wird), zeigt der Pfeil unten rechts an, dass es keine Begrenzung für den größten Wert der x-Koordinate eines Punktes auf dem gegebenen Graphen gibt. Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte größer als -3 und wird geschrieben als:
x > -3
Der offene Kreis am Punkt A bedeutet, dass die Relation bei x = -3 nicht definiert ist, daher wird das Ungleichheitssymbol > verwendet.
b)
Wertebereich: Die Punkte B(-2,2) haben die größten y-Koordinaten. Der Pfeil unten rechts zeigt an, dass beim Zunehmen von x (nach rechts bewegen) die y-Koordinate der Punkte auf dem Graphen ohne Begrenzung abnimmt. Daher ist der Wertebereich die Menge aller y-Werte kleiner oder gleich 2 und wird durch die Ungleichung ausgedrückt:
y ≤ 2
Das Ungleichheitssymbol ≤ wird verwendet, weil die Relation bei y = 2 definiert ist (geschlossener Kreis bei B).
c)
Die oben dargestellte Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneiden kann.
