Domäne und Bereich von Relationen aus Graphen
Schritt-für-Schritt-Lösungen
Erkunden Sie detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen und Erklärungen für Fragen, wie man die Domäne und den Bereich einer Relation aus ihrem Graphen findet. Lernen Sie anhand klarer Beispiele, Domäne, Bereich und Funktionen zu bestimmen.
Frage 1 - Domäne und Bereich einer Relation aus einem Graphen
Betrachten Sie den Graphen durch die Punkte A, B und C. Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich der Relation. Der Graph ist unten dargestellt:
a) Domäne: Die Punkte \( A(-8 , -0.5) \) und \( B(4,0) \) haben die kleinste bzw. größte x-Koordinate. Daher ist die Domäne: \[ -8 \le x \le 4 \] Beide Punkte sind definiert (geschlossene Kreise), daher verwenden wir \( \le \).
b) Bereich: Die Punkte \( C(-3,-5) \) und \( B(4,0) \) haben die kleinste bzw. größte y-Koordinate. Daher ist der Bereich: \[ -5 \le y \le 0 \] Beide Punkte sind definiert (geschlossene Kreise), daher verwenden wir \( \le \).
c) Die Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet.
Frage 2 - Domäne und Bereich einer Relation aus einem Graphen
Betrachten Sie den Graphen einer gekrümmten Relation, die die Punkte A, B und C verbindet. Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich der Relation. Der Graph ist unten dargestellt:
a) Domäne: Die Punkte \( A(-2, 4) \) und \( B(4, 6) \) haben die kleinste bzw. größte x-Koordinate. Daher: \[ -2 \le x \le 4 \] Geschlossene Kreise bei A und B, also verwenden wir \( \le \).
b) Bereich: Die Punkte \( C(2,-2) \) und \( B(4,6) \) haben die kleinste bzw. größte y-Koordinate. Daher: \[ -2 \le y \le 6 \] Geschlossene Kreise an diesen Punkten, also verwenden wir \( \le \).
c) Die Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet.
Frage 3 - Domäne und Bereich eines halbunendlichen Graphen
Betrachten Sie den Graphen, der sich unendlich nach links erstreckt und an einem geschlossenen Punkt A endet. Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich der Relation. Der Graph ist unten dargestellt:
a) Domäne: Die größte x-Koordinate liegt bei \( A(4,2) \). Der Graph erstreckt sich unendlich nach links, daher: \[ x \le 4 \] Geschlossener Kreis bei A, also verwenden wir \( \le \).
b) Bereich: Die kleinste y-Koordinate tritt an den Punkten \( B(2,-2) \) und \( C(-2,-2) \) auf. Der Graph erstreckt sich unendlich nach oben, daher: \[ y \ge -2 \] Geschlossener Kreis bei \( y=-2 \), also verwenden wir \( \ge \).
c) Die Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet.
Frage 4 - Domäne und Bereich einer geschlossenen Kurve
Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich der Relation, die durch die unten gezeigte geschlossene Kurve definiert ist:
a) Domäne: Punkte \( A(-5,-1) \) und \( B(1,-1) \) ergeben: \[ -5 \le x \le 1 \]
b) Bereich: Punkte \( C(-2,-3) \) und \( D(-2,1) \) ergeben: \[ -3 \le y \le 1 \]
c) Die Relation ist KEINE Funktion, da mindestens eine vertikale Linie den Graphen an zwei Punkten schneidet.
Frage 5 - Domäne und Bereich eines halbunendlichen Graphen
Betrachten Sie den Graphen, der am Punkt A beginnt und sich unendlich nach rechts erstreckt. Bestimmen Sie die Domäne und den Bereich der Relation. Der Graph ist unten dargestellt:
a) Domäne: Die kleinste x-Koordinate liegt bei \( A(-3, 1.8) \). Der Graph erstreckt sich unendlich nach rechts, daher: \[ x > -3 \] Offener Kreis bei A, also verwenden wir \( > \).
b) Bereich: Die größte y-Koordinate liegt bei \( B(-2,2) \). Der Graph erstreckt sich unendlich nach unten, daher: \[ y \le 2 \] Geschlossener Kreis bei B, also verwenden wir \( \le \).
c) Die Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den Graphen mehr als einmal schneidet.