Wie findet man den Definitionsbereich der Quadratwurzelfunktionen? Mehrere Beispiele werden zusammen mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen mit grafischen Darstellungen und Interpretationen des Definitionsbereichs präsentiert.
Wir müssen zuerst verstehen, dass \( \sqrt x \) nur dann real ist, wenn das Argument \( x \), also die Größe unter der Wurzel \( \sqrt{} \), die Bedingung erfüllt: \( x \ge 0 \). Dies kann leicht überprüft werden, indem man sich den Graphen von \( y = \sqrt x \) ansieht, der unten gezeigt wird: Der Graph existiert nur für \( x \ge 0 \).
\( f(x) = \sqrt{x - 2} \) nimmt reale Werte an, wenn das Argument \( x - 2 \), also die Größe unter der Wurzel \( \sqrt{} \), die Bedingung erfüllt: \( x - 2 \ge 0 \). Die Lösung der Ungleichung ist
\( x \ge 2 \)
was der Definitionsbereich der Funktion ist, und dies kann grafisch überprüft werden, wie unten gezeigt, wo der Graph von \( f\) für \( x \ge 2 \) "existiert".
\( f(x) = \sqrt{|x - 1|} \) nimmt reale Werte an, wenn das Argument \( |x - 1| \), also die Größe unter der Wurzel \( \sqrt{} \), die Bedingung erfüllt: \( |x - 1| \ge 0 \). Die Lösung der Ungleichung ist
alle reellen Zahlen, weil der Betragsausdruck \( |x - 1| \) für \( x = 1 \) immer positiv oder null ist.
Der Definitionsbereich der Funktion ist die Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), und dies kann grafisch überprüft werden, wie unten gezeigt, wo der Graph von \( f\) für alle \( x \)-Werte "existiert".
Beispiel 4
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{ \sqrt{x - 2}} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind.
1) \( x + 4 \ge 0 \) , null ist im Zähler erlaubt, daher die Verwendung des Ungleichheitssymbols \( \ge \).
und
2) \( x - 2 \gt 0 \) , null ist im Nenner nicht erlaubt, daher die Verwendung des Ungleichheitssymbols \( \gt \).
Der Definitionsbereich der Funktion ist der Schnitt der beiden Lösungsmengen der beiden obigen Ungleichungen.
\( x \ge - 4 \) und \( x \gt 2 \)
Der Schnitt der beiden obigen Lösungsmengen ist.
\( x \gt 2 \)
Was der Definitionsbereich der gegebenen Funktion ist, wie unten im Graphen von \( f \) gezeigt.
Beispiel 5
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{ {x - 2}}} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn
\( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \ge 0\)
Wir müssen die obige Ungleichung lösen. Die Nullen des Zählers und Nenners sind
x = - 4 und x = 2
Die Nullen teilen die Zahlengerade in 3 Intervalle auf, über die das Vorzeichen der Ungleichung dasselbe ist. Daher die Intervalle.
\( (-\infty , -4) \) , \( (-4 , 2 ) \) , \( (2 , \infty) \)
Wir wählen einen Wert innerhalb jedes Intervalls aus und verwenden ihn, um das Vorzeichen des Ausdrucks \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}}\) zu finden.
1) Auf dem Intervall \( (-\infty , -4) \) , wählen Sie x = -6 und setzen Sie x in \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) durch -6 ein, um sein Vorzeichen zu bestimmen
\( \dfrac{ -6 + 4}{ {-6 - 2}} \gt 0 \)
2) Auf dem Intervall \( (-4 , 2) \) , wählen Sie x = 0 und setzen Sie x in \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) durch 0 ein, um sein Vorzeichen zu bestimmen
\( \dfrac{ 0 + 4}{ {0 - 2}} \lt 0 \)
3) Auf dem Intervall \( (2 , \infty) \) , wählen Sie x = 3 und setzen Sie x in \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \) durch 3 ein, um sein Vorzeichen zu bestimmen
\( \dfrac{ 3 + 4}{ {3 - 2}} \gt 0 \)
Daher ist der Definitionsbereich die Vereinigung aller Intervalle, über die \( \dfrac{x + 4}{ {x - 2}} \gt 0 \), und wird durch die folgende Menge dargestellt.
\( (-\infty , -4] \cup (2 , \infty) \)
Der Graph von \( f \) ist unten gezeigt, und wir können leicht den oben gefundenen Definitionsbereich überprüfen. Beachten Sie, dass x = 2 nicht der Definitionsbereich ist, weil die Division durch null nicht erlaubt ist.
Beispiel 6
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{-x^2-4} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn
\( -x^2 - 4 \ge 0\)
Der Ausdruck \( x^2 + 4 \) ist die Summe eines Quadrats und einer positiven Zahl. Daher
\( x^2 + 4 \ge 0\)
Multipliziere alle Terme der obigen Ungleichung mit -1 und ändere das Ungleichheitszeichen, um
\( - x^2 - 4 \le 0\)
Daher ist der Definitionsbereich der gegebenen Funktion eine leere Menge, und die gegebene Funktion hat keinen Graphen. Versuche, sie mit einem grafikfähigen Taschenrechner zu zeichnen.
Beispiel 7
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{ \sqrt{x - 2}} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind.
1) \( 6 - x \ge 0 \) , null ist im Zähler erlaubt, daher wird das Ungleichheitszeichen \( \ge \) verwendet.
und
2) \( x - 2 \gt 0 \), null ist im Nenner nicht erlaubt, daher wird das Ungleichheitszeichen \( \gt \) verwendet.
Der Definitionsbereich der Funktion ist der Schnitt der beiden Lösungsmengen der beiden obigen Ungleichungen.
\( x \le 6 \) und \( x \gt 2 \)
Der Schnitt der beiden oben genannten Lösungsmengen ergibt das Intervall.
\( (2 , 6] \)
Der Graph von \( f \) ist unten gezeigt, und wir können leicht den gefundenen Definitionsbereich überprüfen. Beachte, dass \( x = 2 \) nicht im Definitionsbereich liegt, da die Division durch null nicht erlaubt ist.
Beispiel 8
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn
\( x^2 - 4 \ge 0\), was auch als \( (x - 2)(x + 2) \ge 0\) geschrieben werden kann.
Die Lösungsmenge der obigen quadratischen Ungleichung ergibt das Intervall
\( (-\infty , -2] \cup [2 , \infty) \)
Der Graph von \( f \) ist unten gezeigt, und wir können leicht den gefundenen Definitionsbereich überprüfen.
Beispiel 9
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an, wenn
\( 4 - x^2 \ge 0\), was auch als \( (2 - x)(2 + x) \ge 0\) geschrieben werden kann.
Die Lösungsmenge der obigen quadratischen Ungleichung ergibt das Intervall
\( [2 , 2] \)
Der Graph von \( f \) ist unten gezeigt, und wir können leicht den gefundenen Definitionsbereich überprüfen.
