Kernkonzept
Die Funktion $y = \sqrt{x}$ existiert nur, wenn $x \ge 0$. Wie im folgenden Graphen zu sehen ist, gibt es keine reellen Werte für die Funktion, wenn $x$ negativ ist.
Schritt-für-Schritt-Anleitung, grafische Interpretationen und gelöste Beispiele
Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion $f(x) = \sqrt{g(x)}$ ist die Menge aller reellen Werte von $x$, für die der Ausdruck $g(x)$ nicht-negativ ist ($g(x) \ge 0$). Dies stellt sicher, dass das Ergebnis eine reelle Zahl bleibt.
Die Funktion $y = \sqrt{x}$ existiert nur, wenn $x \ge 0$. Wie im folgenden Graphen zu sehen ist, gibt es keine reellen Werte für die Funktion, wenn $x$ negativ ist.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \sqrt{x - 2} \]
Die Funktion nimmt reelle Werte an, wenn der Ausdruck unter der Wurzel die Bedingung erfüllt:
\[ x - 2 \ge 0 \]Das Lösen der Ungleichung ergibt:
\[ x \ge 2 \]Grafische Überprüfung: Der Graph "existiert" nur für $x$-Werte, die größer oder gleich 2 sind.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \sqrt{|x - 1|} \]
Die Bedingung für reelle Werte lautet:
\[ |x - 1| \ge 0 \]Da ein Absolutwertausdruck für alle reellen Zahlen immer größer oder gleich null ist, ist die Bedingung für jedes $x$ erfüllt.
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen $\mathbb{R}$, oder $(-\infty, \infty)$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} \]
Da eine Division durch null nicht erlaubt ist, muss der Radikand strikt positiv sein:
\[ x + 3 > 0 \]Das Lösen ergibt:
\[ x > -3 \]Grafische Überprüfung: Der Graph beginnt knapp nach $x = -3$ und erstreckt sich nach rechts.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4}}{\sqrt{x - 2}} \]
Zwei Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein:
Der Definitionsbereich ist die Schnittmenge dieser Mengen:
\[ x > 2 \]
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \sqrt{\dfrac{x + 4}{x - 2}} \]
Bedingung: \[ \dfrac{x + 4}{x - 2} \ge 0 \]
Die kritischen Punkte sind $x = -4$ und $x = 2$. Testen der Intervalle:
Definitionsbereich: $(-\infty, -4] \cup (2, \infty)$. (Hinweis: $x=2$ ist aufgrund des Nenners ausgeschlossen).
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \sqrt{-x^2 - 4} \]
Bedingung: \[ -x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 4 \le 0 \]
Da $x^2 + 4$ für jede reelle Zahl $x$ mindestens 4 ist, kann es niemals kleiner oder gleich 0 sein.
Definitionsbereich: Leere Menge (keine reellen Lösungen).
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von: \[ f(x) = \dfrac{\sqrt{6 - x}}{\sqrt{x - 2}} \]
Bedingungen:
Schnittmenge: $2 < x \le 6$. In Intervallschreibweise: $(2, 6]$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von: \[ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \]
Bedingung: \[ x^2 - 4 \ge 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 2) \ge 0 \]
Diese Ungleichung gilt, wenn $x$ außerhalb der Nullstellen $-2$ und $2$ liegt.
Definitionsbereich: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von: \[ f(x) = \sqrt{4 - x^2} \]
Bedingung: \[ 4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow (2 - x)(2 + x) \ge 0 \]
Diese Ungleichung gilt, wenn $x$ zwischen den Nullstellen $-2$ und $2$ liegt.
Definitionsbereich: $[-2, 2]$.
