Umfassendes Tutorial mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Ein Polynom zu faktorisieren bedeutet, es als Produkt einfacherer Polynome zu schreiben. Dies ist eine grundlegende Fertigkeit in der Algebra, die zum Lösen von Gleichungen und zum Vereinfachen komplexer Ausdrücke verwendet wird.
Das Faktorisieren durch einen gemeinsamen Faktor basiert auf der Anwendung des Distributivgesetzes in umgekehrter Richtung:
Standard-Verteilung:
\[ a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]Umkehrung (Faktorisieren):
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]Bei dieser Methode identifizieren wir einen Faktor $a$, der allen Termen gemeinsam ist, und ziehen ihn vor die Klammer.
Hinweis: Um Ihre Faktorisierung zu überprüfen, multiplizieren Sie das Ergebnis einfach wieder aus, um zu sehen, ob Sie zum ursprünglichen Polynom zurückkehren.
Identifizieren Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und faktorisieren Sie die folgenden Polynome vollständig.
Beispiel A: \( 9x - 6 \)
Lösung: Verwenden Sie die Primfaktorzerlegung, um gemeinsame Faktoren zu finden: \( \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \). Der ggT ist 3. Ergebnis: \( 3(3x - 2) \).
Beispiel B: \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
Lösung: Der ggT der Koeffizienten (16, 8, 4) ist 4. Die gemeinsame Variable ist $x$. Der ggT ist $4x$. Ergebnis: \( 4x(4x^2 + 2xy + y^2) \).
Beispiel C: \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
Lösung: Beachten Sie, dass $(x + 5)$ ein gemeinsamer binomischer Faktor ist. Faktorisieren Sie diesen zuerst aus: \( (x + 5)(2x^4 + x^2) \). Faktorisieren Sie dann $x^2$ aus dem verbleibenden Teil. Ergebnis: \( x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \).
Verwenden Sie gemeinsame Faktoren, um die folgenden Polynome vollständig zu faktorisieren. Jede Frage enthält eine detaillierte Lösung.
Aufgabe 1: Faktorisieren Sie \[ -3x + 9 \]
Drücken Sie beide Terme durch Primfaktorzerlegung aus:
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \]Der größte gemeinsame Teiler ist \( \color{red}{3} \). Wenn wir diesen ausklammern, erhalten wir:
\[ = \color{red}{3}(-x + 3) \]Um einen positiven führenden Koeffizienten in der Klammer zu haben, können wir $-3$ ausklammern:
\[ = -3(x - 3) \]Aufgabe 2: Faktorisieren Sie \[ 28x + 2x^2 \]
Identifizieren Sie gemeinsame Faktoren durch Primfaktorzerlegung:
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \]Der größte gemeinsame Teiler ist \( \color{red}{2x} \):
\[ = \color{red}{2x}(14 + x) \text{ oder } 2x(x + 14) \]Aufgabe 3: Faktorisieren Sie \[ 11xy + 55x^2y \]
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms auf:
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \]Der größte gemeinsame Teiler ist \( \color{red}{11xy} \):
\[ = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]Aufgabe 4: Faktorisieren Sie \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \]
Bestimmen Sie den ggT durch Analyse aller drei Terme:
\[ 20xy = 2^2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \] \[ 35x^2y = 7 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} \] \[ -15xy^2 = -3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \]Der größte gemeinsame Teiler ist \( \color{red}{5xy} \):
\[ = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]Aufgabe 5: Faktorisieren Sie \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \]
1. Faktorisieren Sie zuerst den gemeinsamen binomischen Faktor \( (x + 1) \) aus:
\[ (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \]2. Bestimmen Sie nun den ggT für die verbleibenden Terme in der zweiten Klammer ($5y, 10y^2, -15xy$). Der ggT ist \( \color{red}{5y} \):
\[ 5y + 10y^2 - 15xy = \color{red}{5y}(1 + 2y - 3x) \]3. Kombinieren Sie beide Schritte für die endgültige faktorisierte Form:
\[ = 5y(x + 1)(1 + 2y - 3x) \]