Die Faktorisierung eines Polynoms bedeutet, es als Produkt einfacherer Polynome zu schreiben. Wie faktorisiert man ein Polynom mithilfe eines gemeinsamen Faktors? Hier werden Fragen zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen vorgestellt.
Es ist eine Faktorisierungsmethode, die auf dem Distributivgesetz basiert, welches lautet:
\[
\Large{\color{red} {a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c}}
\]
und in umgekehrter Richtung wie folgt verwendet wird:
\[
\Large{\color{red} { a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) }}
\]
\( a \) ist ein gemeinsamer Faktor von \( a \cdot b \) und \( a \cdot c \) und wird daher ausgeklammert.
\( 3x^2 - x = 3x \cdot \textcolor{red}{x} - 1 \cdot \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{x}(3x - 1) \quad \) Der gemeinsame Faktor ist \(x\).
HINWEIS: Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob Ihre Faktorisierung korrekt ist, indem Sie die faktorisierte Form ausmultiplizieren, um zu sehen, ob Sie das ursprüngliche Polynom erhalten.
Beispiel: Überprüfen Sie, dass \( 3x^2 - x = x(3x - 1) \) ist, indem Sie \( x(3x - 1) \) mithilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
\( x(3x - 1) = x \cdot 3x + x \cdot (-1) = 3x^2 - x \quad \), was dem ursprünglichen Ausdruck entspricht.
a) \( 9x - 6 \)
b) \( x^2 - x \)
c) \( 3x + 12xy \)
d) \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \)
e) \( 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) \)
a)
Finden Sie alle gemeinsamen Faktoren in den beiden Termen des binomischen Ausdrucks \( 9x - 6 \), indem Sie beide Terme \( 9x \) und \( 6 \) als Primfaktorzerlegung darstellen.
Durch Primfaktorzerlegung: \[ 9x - 6 = \color{red}{3} \cdot 3 \cdot x - 2 \cdot \color{red}{3} \]Der größte gemeinsame Faktor (ggF) ist \( \color{red}{3} \). Wir klammern ihn aus dem Ausdruck aus. \[ 9x - 6 = \color{red}{3}(3x - 2) \] Dies ist die vereinfachte, faktorisierte Form des Binoms unter Verwendung seines größten gemeinsamen Faktors.
b)
Die Primfaktorzerlegung von \( x^2 \) und \( x \) wird benötigt, um den größten gemeinsamen Faktor in \( x^2 - x \) zu finden. \[ x^2 - x = \color{red}{x} \cdot x - \color{red}{x} = \color{red}{x} \cdot x - 1 \cdot \color{red}{x} \] Der größte gemeinsame Faktor ist \( x \), und er wird daher ausgeklammert. Somit: \[ x^2 - x = \color{red}{x}(x - 1) \]c)
Um den Ausdruck \( 3x + 12xy \) zu faktorisieren, beginnen wir mit der Primfaktorzerlegung der einzelnen Terme.
Der Term \( 3x \) zerlegt sich in \( 3 \cdot x \), und der Term \( 12xy \) zerlegt sich in \( 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \).
So können wir den Ausdruck umschreiben als: \[ 3x + 12xy = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 \cdot x \cdot y \] Wir stellen fest, dass beide Terme einen gemeinsamen Faktor \( \color{red} {3x} \) haben. Wenn wir \( 3x \) ausklammern, erhalten wir: \[ 3x + 12xy = {\color{red}{3x}} (1 + 4y) \] Somit ist der größte gemeinsame Faktor \( 3x \), und die faktorisierte Form des Ausdrucks ist \( 3x(1 + 4y) \).
d)
Um den größten gemeinsamen Faktor (ggF) des Ausdrucks \( 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 \) zu finden, bestimmen wir zunächst die Primfaktorzerlegung jedes Terms:
Der größte gemeinsame Faktor (ggF) dieser Terme ist: \( 2 \cdot 2 \cdot x = 4x \)
Nun klammern wir den ggF aus dem Ausdruck aus: \[ 16x^3 + 8x^2y + 4xy^2 = \] \[ 4x \left( 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x + 2 \cdot x \cdot y + y \cdot y \right) \] \[ = 4x \left( 4x^2 + 2xy + y^2 \right) \]
e)
Wir stellen fest, dass \(x + 5\) ein gemeinsamer Faktor ist, der wie folgt ausgeklammert werden kann:
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = (x + 5)(2x^4 + x^2) \]Nun ermitteln wir den größten gemeinsamen Faktor (ggF) der Terme \(2x^4\) und \(x^2\) und klammern ihn aus:
\[ 2x^4 + x^2 = 2 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x + x \cdot x = x^2(2x^2 + 1) \]Die vollständige Faktorisierung des Ausdrucks \(2x^4(x + 5) + x^2(x + 5)\) ist:
\[ 2x^4(x + 5) + x^2(x + 5) = x^2(x + 5)(2x^2 + 1) \]Verwenden Sie gemeinsame Faktoren, um die folgenden Polynome vollständig zu faktorisieren:
a) \( -3x + 9 \)
b) \( 28x + 2x^2 \)
c) \( 11xy + 55x^2y \)
d) \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \)
e) \( 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) \)
a)
Finden Sie alle gemeinsamen Faktoren in den beiden Termen von \( -3x + 9 \), indem Sie beide Terme \( 3x \) und \( 9 \) in dem gegebenen Binom als Primfaktorzerlegung darstellen.
\[ -3x + 9 = -\color{red}{3} \cdot x + \color{red}{3} \cdot 3 \] Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{3} \) und wird ausgeklammert. Somit: \[ -3x + 9 = \color{red}{3}(-x + 3) = -3(x - 3) \]
b)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 28x + 2x^2 \).
\[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2} \cdot 2 \cdot 7 \cdot \color{red}{x} + \color{red}{2} \cdot \color{red}{x} \cdot x \] Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{2x} \) und wird ausgeklammert. Somit: \[ 28x + 2x^2 = \color{red}{2x}(14 + x) \]
c)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 11xy + 55x^2y \).
\[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11} \cdot x \cdot y + 5 \cdot \color{red}{11} \cdot x \cdot x \cdot \color{red}{y} \] Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{11xy} \) und wird ausgeklammert. Somit: \[ 11xy + 55x^2y = \color{red}{11xy}(1 + 5x) \]
d)
Schreiben Sie die Primfaktorzerlegung jedes Terms im gegebenen Polynom \( 20xy + 35x^2y - 15xy^2 \).
\[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = 2 \cdot 2 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} + \color{red}{5} \cdot 7 \cdot \color{red}{x} \cdot x \cdot \color{red}{y} - 3 \cdot \color{red}{5} \cdot \color{red}{x} \cdot \color{red}{y} \cdot y \] Der größte gemeinsame Faktor ist \( \color{red}{5xy} \) und wird ausgeklammert. Somit: \[ 20xy + 35x^2y - 15xy^2 = \color{red}{5xy}(4 + 7x - 3y) \]
e)
Wir beginnen damit, den gemeinsamen Faktor \( (x + 1) \) im gegebenen Polynom auszuklammern.
\[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = (x + 1)(5y + 10y^2 - 15xy) \] Nun faktorisieren wir das Polynom \( 5y + 10y^2 - 15xy \) mithilfe des ggF aller drei Terme. \[ 5y + 10y^2 - 15xy = {5 \cdot y} + 2 \cdot {5 \cdot y} \cdot y - 3 \cdot {5 \cdot y} \cdot x = \color{red}{5 \cdot y}(1 + 2y - 3xy) \] Das gegebene Polynom kann wie folgt faktorisiert werden. \[ 5y(x + 1) + 10y^2(x + 1) - 15xy(x + 1) = \color{red} {5y(x + 1)(1 + 2y - 3x)} \]