Polynome durch gemeinsamen Faktor faktorisieren Fragen mit Lösungen
Wie faktorisiert man ein Polynom
unter Verwendung eines gemeinsamen Faktors? Fragen werden zusammen mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Faktorisierung durch gemeinsamen Faktor
Es handelt sich um eine Faktorisierungsmethode, die auf dem Gesetz der Distributivität basiert, welches lautet:
a(b + c) = a · b + a · c
und in umgekehrter Form wie folgt verwendet wird
a · b + a · c = a(b + c)
a ist ein gemeinsamer Faktor von a b und a c, wird daher herausgefaktorisiert.
Ein Polynom zu faktorisieren bedeutet, es als Produkt einfacherer Polynome zu schreiben.
Beispiel
2 x + 4 = 2 · x + 2 · 2 = 2 (x + 2) der gemeinsame Faktor ist 2
3 x 2 - x = 3 x · x - 1 · x = x (3x - 1) der gemeinsame Faktor ist x
HINWEIS: Es ist sehr einfach zu überprüfen, ob Ihre Faktorisierung korrekt ist, indem Sie die faktorisierte Form erweitern, um zu überprüfen, ob Sie das ursprüngliche Polynom erhalten
Beispiel: Überprüfen Sie, ob 3 x 2 - x = x (3x - 1) durch Expansion von x (3x - 1) unter Verwendung des Gesetzes der Distributivität wie folgt:
x (3x - 1) = (x) (3x) +(x) (-1) = 3 x2 - x , was korrekt ist.
Weitere Beispiele
Finde einen gemeinsamen Faktor und verwende die Methode der Distributivität in umgekehrter Form, um die Polynome vollständig zu faktorisieren.
a) 9 x - 6
b) x 2 - x
c) 3 x + 12 x y
d) 16 x 3 + 8 x 2 y + 4 x y 2
e) 2 x 4(x + 5) + x 2(x + 5)
Lösungen zu den obigen Beispielen
a)
Finde gemeinsame Faktoren in den beiden Termen von 9 x - 6, indem beide Terme 9x und 6 in der gegebenen Binomdarstellung als Primfaktorzerlegung ausdrückt werden. Daher
9 x - 6 = 3 ·3 ·x - 2 ·3
Der größte gemeinsame Faktor ist 3 und wird herausgefaktorisiert. Daher
9 x - 6 = 3 (3 x - 2)
b)
Die Primfaktorzerlegung von x 2 und x wird benötigt, um den größten gemeinsamen Faktor in x 2 - x zu finden.
x 2 - x = x · x - x = x · x - 1 · x
Der größte gemeinsame Faktor ist x und wird daher herausgefaktorisiert. Daher
x 2 - x = = x (x - 1)
c)
Die Primfaktorisierungen von 3 x und 12 x y werden benötigt, um den größten gemeinsamen Faktor in 3 x + 12 x y zu finden.
3 x + 12 x y = 3 · x - 3 · 4 · x · y = 3 · x · 1 - 3 x · 4 · y
Der größte gemeinsame Faktor ist 3 x. Daher
3 x + 12 x y = 3 x (1 + 4 y)
d)
Die Primfaktorzerlegung von 16 x 3 , 8 x 2 y und 4 x y 2 wird benötigt, um den größten gemeinsamen Faktor in 16 x 3 + 8 x 2 y + 4 x y 2 zu finden.
16 x 3 + 8 x 2 y + 4 x y 2
= 2 · 2 · 2 · 2 · x · x · x + 2 · 2 · 2 · x · x · y + 2 · 2 · x · y · y
Der größte gemeinsame Faktor ist 2 · 2 · x = 4
We note that x + 5 is a common factor which can be factored out as follows:
2 x 4(x + 5) + x 2(x + 5) = (x + 5)(2 x 4 + x 2)
We now find the greatest common factor of the terms 2 x 4 and x 2 and factor it out.
2 x 4 + x 2 = 2 · x · x · x · x + x · x = x 2 (2 x 2 + 1)
The complete factoring of 2 x 4(x + 5) + x 2(x + 5) is written as follows:
2 x 4(x + 5) + x 2(x + 5) = x 2(x + 5)(2 x 2 + 1)
Questions
Use common factors to factor completely the following polynomials
- 3 x + 9 28 x + 2 x 2 11 x y + 55 x 2 y 20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 5 y (x + 1) + 10 y 2(x + 1) - 15 x y (x + 1)
Write the prime factorization of each of the terms in the given polynomial 28 x + 2 x 2.
28 x + 2 x 2 = 2 · 2 · 7 · x + 2 · x · x
The greatest common factor is 2 x and is factored out. Hence
28 x + 2 x 2 = 2 x (14 + x)
Write the prime factorization of each of the terms in the given polynomial 11 x y + 55 x 2 y.
11 x y + 55 x 2 y = 11 · x · y + 5 · 11 · x · x · y
The greatest common factor is 11 x y and is factored out. Hence
11 x y + 55 x 2 y = 11 x y(1 + 5 x)
Write the prime factorization of each of the terms in the given polynomial 20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2.
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 2 · 2 · 5 · x · y + 5 · 7 · x · x · y - 3 · 5 · x · y · y
The greatest common factor is 5 x y and is factored out. Hence
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 5 x y( 4 + 7 x - 3 y)
We start by factoring out the common factor (x + 1) in the given polynomial.
5 y (x + 1) + 10 y 2(x + 1) - 15 x y (x + 1) = (x + 1)(5y + 10y2 - 15 x y)
We now factor the polynomial 5y + 10y2 - 15 x y using the GCF to all three terms.
5 y + 10y2 - 15 x y = 5 · y + 2 · 5 · y · y - 3 · 5 · y · x = 5 · y (1 + 2 y - 3 x)
The given polynomial may be factored as follows.
5 y (x + 1) + 10 y 2(x + 1) - 15 x y (x + 1) = 5 y(x + 1)(1 + 2y - 3 x)
