Wie faktorisiert man ein Polynom durch Gruppierung? Fragen mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen werden präsentiert.
Fragen mit Lösungen
Frage 1
Faktorisieren Sie vollständig das Polynom 4 x 2 + 4 x + 3 x + 3
Lösung zu Frage 1
Beachten Sie, dass alle vier Terme im gegebenen Polynom keinen gemeinsamen Faktor haben.
Durch Gruppierung der ersten beiden Terme können wir 4 x faktorisieren wie folgt: 4 x 2 + 4 x = 4 x (x + 1)
Nun gruppieren wir die letzten beiden Terme und faktorisieren 3 wie folgt aus: 3 x + 3 = 3 ( x + 1)
Schreiben Sie das gegebene Polynom mit den gruppierten Termen in faktorierter Form um.
4 x 2 + 4 x + 3 x + 3 = 4 x (x + 1) + 3 ( x + 1)
Beachten Sie, dass ( x + 1) ein gemeinsamer Faktor ist, der wie folgt faktorisiert werden kann:
4 x 2 + 4 x + 3 x + 3 = 4 x (x + 1) + 3 ( x + 1) = (x + 1)(4x + 3)
Frage 2
Faktorisieren Sie das Polynom 2 x 2 - 4 x + 3 x y - 6 y
Lösung zu Frage 2
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor für alle 4 Terme im gegebenen Polynom.
Gruppieren Sie die ersten beiden Terme und faktorisieren Sie 2 x aus : 2 x 2 - 4 x = 2 x ( x - 2)
Gruppieren Sie die letzten beiden Terme und faktorisieren Sie 3 y aus : 3 x y - 6 y = 3 y( x - 2)
Schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt um
2 x 2 - 4x + 3 x y + 3 y = 2 x (x - 2) + 3 y(x - 2)
und faktorisieren Sie den gemeinsamen Faktor (x - 2).
2 x 2 + 2 x + 3 x y + 3 y = 2 x ( x - 2) + 3 y( x - 2) = (x - 2)(2 x + 3 y)
Frage 3
Faktorisieren Sie das Polynom x y - x - 2 y + 2
Lösung zu Frage 3
Die Terme im gegebenen Polynom haben keinen gemeinsamen Faktor.
Die ersten beiden Terme können gruppiert und wie folgt faktorisiert werden: x aus: x y - x = x ( y - 1)
Die letzten beiden Terme können faktorisiert werden als: 2 aus: - 2 y + 2 = 2( - y + 1) = - 2(y - 1)
Schreiben Sie das gegebene Polynom in faktorierter Form um
x y - x - 2 y + 2 = x (y - 1) - 2 (y - 1)
Faktorisieren Sie den gemeinsamen Faktor (y - 1), um vollständig zu faktorisieren
x y - x - 2 y + 2 = (y - 1) - 2 (y - 1) = (y - 1)(x - 2)
Frage 4
Faktorisieren Sie vollständig das Polynom 3 x 2 + 4 x + 1
Lösung zu Frage 4
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor zu den Termen im gegebenen Polynom. Eine Möglichkeit besteht darin, das Polynom mit 4 Termen umzuschreiben, die durch Gruppierung faktorisiert werden können.
Wir verwenden die Identität 4 x = 3 x + x, um das gegebene Polynom wie folgt umzuschreiben:
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x 2 + 3 x + x + 1
Wir gruppieren die ersten beiden Terme und faktorisieren 3 x aus wie folgt: 3 x 2 + 3 x = 3 x (x + 1)
Schreiben Sie das gegebene Polynom mit den gruppierten Termen in faktorierter Form um
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x 2 + 3 x + x + 1 = 3 x (x + 1) + 1( x + 1)
Beachten Sie, dass ( x + 1) ein gemeinsamer Faktor ist, der wie folgt faktorisiert werden kann:
3 x 2 + 4 x + 1 = 3 x (x + 1) + 1( x + 1) = (x + 1)(3 x + 1)
Weitere Fragen zur Faktorisierung von Polynomen
Verwenden Sie Gruppierung, um die folgenden Polynome vollständig zu faktorisieren
a) 2 x 2- 4 x + x y - 2 y
b) x 2 + 3 x - 2 x - 6
c) 15 x 2 - 3 x + 10 x - 2
d) 4 x 2 + x - 3
e) x 2 y + 3 x + x 2 y 2 + 3 x y
f) 3 x 2 + 3 x y - x + 2 y - 2
Lösungen zu den obigen Fragen
Lösung zu Frage a)
Wir finden zunächst einen gemeinsamen Faktor in 2 x 2 - 4 und faktorisieren ihn wie folgt:
2 x 2 - 4 x = 2 x (x - 2)
Dann finden wir einen gemeinsamen Faktor in x y - 2 y und faktorisieren ihn wie folgt:
x y - 2 y = y (x - 2)
Verwenden Sie den gemeinsamen Faktor (x - 2) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
2 x 2 - 4 x + x y - 2 y = ( 2 x 2 - 4 x ) + (x y - 2 y)
= 2 x (x - 2) + y (x - 2)
= (x - 2)(2x + y)
Lösung zu Frage b)
Finde einen gemeinsamen Faktor in x2 + 3x und faktorisiere wie folgt:
x2 + 3x = x (x + 3)
Finde nun einen gemeinsamen Faktor in -2x - 6 und faktorisiere wie folgt:
-2x - 6 = -2 (x + 3)
Verwende den gemeinsamen Faktor (x + 3), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
x2 + 3x - 2x - 6 = (x2 + 3x) + (-2x - 6)
= x(x + 3) - 2(x + 3) = (x + 3)(x - 2)
Grafische Interpretation der Faktorisierung eines Polynoms in einer Variable
Die Grafik des oben genannten Polynoms y = x2 + 3x - 2x - 6 wird unten angezeigt. x = -3 macht den Faktor (x + 3) gleich null, und x = 2 macht den Faktor x - 2 gleich null. Sowohl x = -3 als auch x = 2 erscheinen als Nullstellen in der Grafik des gegebenen Polynoms.
Schlussfolgerung: Eine Möglichkeit, unsere Faktorisierung zu überprüfen, besteht darin, das gegebene Polynom zu grafieren und sicherzustellen, dass die x-Intercept-Punkte den Nullen der in der Faktorisierung enthaltenen Faktoren entsprechen.
Lösung zu Frage c)
Finde einen gemeinsamen Faktor in 15x2 - 3x und faktorisiere wie folgt:
15x2 - 3x = 3x (5x - 1)
Finde nun einen gemeinsamen Faktor in 10x - 2 und faktorisiere wie folgt:
10x - 2 = 2 (5x - 1)
Verwende den gemeinsamen Faktor (5x - 1), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
15x2 - 3x + 10x - 2 = (15x2 - 3x) + (10x - 2)
= 3x(5x - 1) + 2(5x - 1) = (5x - 1)(3x + 2)
Lösung zu Frage d)
Das gegebene Polynom hat drei Terme ohne gemeinsamen Faktor. Eine Möglichkeit zu faktorisieren besteht darin, es umzuschreiben und x durch 4x - 3x zu ersetzen:
4x2 + x - 3 = 4x2 + 4x - 3x - 3
Wir können nun 4x2 + 4x wie folgt faktorisieren:
4x2 + 4x = 4x (x + 1)
Faktorisiere nun -3x - 3 wie folgt:
-3x - 3 = -3 (x + 1)
Verwende den gemeinsamen Faktor (x + 1), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
4x2 + x - 3 = 4x2 + 4x - 3x - 3 = (4x2 + 4x) + (-3x - 3)
= 4x (x + 1) - 3 (x + 1) = (x + 1)(4x - 3)
Lösung zu Frage e)
Beachte, dass x ein gemeinsamer Faktor für alle Terme im gegebenen Polynom ist. Daher beginnen wir mit der Faktorisierung wie folgt:
x2y + 3x + x2y2 + 3xy = x(xy + 3 + xy2 + 3y)
Schreibe durch Gruppierung von Termen um wie folgt:
x2y + 3x + x2y2 + 3xy = x((xy + xy2) + (3 + 3y))
Die Terme in (xy + xy2) haben den Faktor xy, und die Terme in (3 + 3y) haben den gemeinsamen Faktor 3. Daher faktorisieren wir wie folgt:
x2y + 3x + x2y2 + 3xy = x((xy + xy2) + (3 + 3y))
= x(xy(1 + y) + 3(1 + y)) = x(1 + y)(xy + 3)
Lösung zu Frage f)
Beachte, dass es 5 Terme im gegebenen Polynom gibt, die alle einen gemeinsamen Faktor haben. Ersetze das Polynom, indem du -x durch -3x + 2x ersetzt, wie folgt.
3x2 + 3xy - x + 2y - 2 = 3x2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2
Wir werden nun das äquivalente Polynom 3x2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 faktorisieren. Wir können die ersten 3 Terme gruppieren und wie folgt faktorisieren:
3x2 + 3xy - 3x = 3x (x + y - 1)
Wir gruppieren nun die letzten drei Terme und faktorisieren wie folgt:
2x + 2y - 2 = 2 (x + y - 1 )
Die beiden Gruppen haben den gemeinsamen Faktor (x + y - 1 ) , und das gegebene Polynom ist wie folgt faktorisiert:
3x2 + 3xy - x + 2y - 2 = 3x2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2
= (3x2 + 3xy - 3x) + (2x + 2y - 2)
= 3x ( x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2)
