Wie faktorisiert man ein Polynom durch Gruppieren? Es werden Fragen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen vorgestellt.
Faktorisieren Sie das Polynom vollständig: \[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 \]
Beachten Sie, dass alle vier Terme des gegebenen Polynoms keinen gemeinsamen Faktor haben. Durch Gruppieren der ersten beiden Terme können wir jedoch \( \color{red} {4x} \) wie folgt ausklammern:
\[ 4x^2 + 4x = 4x(x + 1) \]Wir gruppieren nun die letzten beiden Terme und klammern \( \color{red} 3 \) wie folgt aus:
\[ 3x + 3 = 3(x + 1) \]Schreiben Sie das gegebene Polynom mit den gruppierten Termen in faktorisierter Form um:
\[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 = 4x\, {(x + 1)} + 3\, {(x + 1)} \]Beachten Sie, dass \( \color{red} {(x + 1)} \) ein gemeinsamer Faktor ist, der wie folgt ausgeklammert werden kann:
\[ 4x^2 + 4x + 3x + 3 = 4x\, {(x + 1)} + 3\, {(x + 1)} = (x + 1)(4x + 3) \]Faktorisieren Sie das Polynom: \[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y \]
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor für alle vier Terme des gegebenen Polynoms.
Gruppieren Sie die ersten beiden Terme und klammern Sie \( 2x \) aus:
\[ 2x^2 - 4x = 2x(x - 2) \]Gruppieren Sie die letzten beiden Terme und klammern Sie \( 3y \) aus:
\[ 3xy - 6y = 3y(x - 2) \]Schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt um:
\[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y = 2x\, {(x - 2)} + 3y\,{(x - 2)} \]Klammern Sie \( x - 2 \) aus und schreiben Sie das gegebene Polynom in faktorisierter Form wie folgt:
\[ 2x^2 - 4x + 3xy - 6y = (x - 2)(2x + 3y) \]
Faktorisieren Sie das Polynom: \[ x y - x - 2 y + 2 \]
Die Terme des gegebenen Polynoms haben keinen gemeinsamen Faktor.
Die ersten beiden Terme können gruppiert und wie folgt faktorisiert werden, indem \( x \) ausgeklammert wird:
\[ xy - x = x(y - 1) \]Die letzten beiden Terme können faktorisiert werden, indem \( 2 \) ausgeklammert wird:
\[ -2y + 2 = 2(-y + 1) = -2(y - 1) \]Schreiben Sie das gegebene Polynom in faktorisierter Form wie folgt um:
\[ xy - x - 2y + 2 = x\,\color{red}{(y - 1)} - 2\,\color{red}{(y - 1)} \]Klammern Sie den gemeinsamen Faktor \( \color{red}{(y - 1)} \) aus, um vollständig zu faktorisieren:
\[ xy - x - 2y + 2 = (y - 1)(x - 2) \]
Faktorisieren Sie das Polynom vollständig: \[ 3x^2 + 4x + 1 \]
Es gibt keinen gemeinsamen Faktor für die Terme des gegebenen Polynoms. Ein Weg ist, das Polynom mit vier Termen umzuschreiben, die möglicherweise durch Gruppieren faktorisiert werden können.
Wir verwenden die Identität \( 4x = 3x + x \), um das gegebene Polynom wie folgt umzuschreiben:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = 3x^2 + 3x + x + 1 \]Wir gruppieren die ersten beiden Terme und klammern \( 3x \) wie folgt aus:
\[ 3x^2 + 3x = 3x(x + 1) \]Schreiben Sie das gegebene Polynom mit den gruppierten Termen in faktorisierter Form um:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = 3x(x + 1) + 1(x + 1) \]Beachten Sie, dass \( \color{red}{(x + 1)} \) ein gemeinsamer Faktor ist, der wie folgt ausgeklammert werden kann:
\[ 3x^2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) \]Verwenden Sie die Gruppierung, um die folgenden Polynome vollständig zu faktorisieren:
Wir suchen zunächst einen gemeinsamen Faktor in \( 2x^2 - 4x \) und faktorisieren ihn wie folgt:
\[ 2x^2 - 4x = 2x(x - 2) \]Als nächstes suchen wir einen gemeinsamen Faktor in \( xy - 2y \) und faktorisieren ihn wie folgt:
\[ xy - 2y = y(x - 2) \]Verwenden Sie nun den gemeinsamen Faktor \( (x - 2) \) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
\[ 2x^2 - 4x + xy - 2y = (2x^2 - 4x) + (xy - 2y) \] \[ = 2x(x - 2) + y(x - 2) \] \[ = (x - 2)(2x + y) \]Finden Sie einen gemeinsamen Faktor in \( x^2 + 3x \) und faktorisieren Sie ihn wie folgt:
\[ x^2 + 3x = x(x + 3) \]Finden Sie als nächstes einen gemeinsamen Faktor in \( -2x - 6 \) und faktorisieren Sie ihn:
\[ -2x - 6 = -2(x + 3) \]Verwenden Sie den gemeinsamen Faktor \( (x + 3) \), um das gegebene Polynom zu faktorisieren:
\[ x^2 + 3x - 2x - 6 = (x^2 + 3x) + (-2x - 6) \] \[ = x(x + 3) - 2(x + 3) \] \[ = (x + 3)(x - 2) \]Der Graph des Polynoms aus Teil (b),
\[ y = x^2 + 3x - 2x - 6 \]ist unten dargestellt. Die Werte \( x = -3 \) und \( x = 2 \) lassen die Faktoren \( (x + 3) \) bzw. \( (x - 2) \) gleich Null werden. Daher sind \( x = -3 \) und \( x = 2 \) die x-Achsenabschnitte des Graphen des Polynoms.
Schlussfolgerung: Eine Möglichkeit, unsere Faktorisierung zu überprüfen, besteht darin, das gegebene Polynom grafisch darzustellen und zu prüfen, ob die x-Achsenabschnitte den Nullstellen der in der Faktorisierung enthaltenen Faktoren entsprechen.
Finden Sie einen gemeinsamen Faktor in \( 15x^2 - 3x \) und faktorisieren Sie ihn wie folgt:
\[ 15x^2 - 3x = 3x(5x - 1) \]Finden Sie als nächstes einen gemeinsamen Faktor in \( 10x - 2 \) und faktorisieren Sie ihn:
\[ 10x - 2 = 2(5x - 1) \]Verwenden Sie den gemeinsamen Faktor \( (5x - 1) \), um das gegebene Polynom vollständig zu faktorisieren:
\[ 15x^2 - 3x + 10x - 2 = (15x^2 - 3x) + (10x - 2) \] \[ = 3x(5x - 1) + 2(5x - 1) \] \[ = (5x - 1)(3x + 2) \]Das gegebene Polynom hat drei Terme ohne gemeinsamen Faktor. Eine Möglichkeit zur Faktorisierung besteht darin, es umzuschreiben, indem \( x \) durch \( 4x - 3x \) ersetzt wird:
\[ 4x^2 + x - 3 = 4x^2 + 4x - 3x - 3 \]Wir können nun \( 4x^2 + 4x \) wie folgt faktorisieren:
\[ 4x^2 + 4x = 4x(x + 1) \]Als nächstes faktorisieren Sie \( -3x - 3 \) wie folgt:
\[ -3x - 3 = -3(x + 1) \]Verwenden Sie den gemeinsamen Faktor \( (x + 1) \), um das gegebene Polynom vollständig zu faktorisieren:
\[ 4x^2 + x - 3 = 4x^2 + 4x - 3x - 3 = (4x^2 + 4x) + (-3x - 3) \] \[ = 4x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(4x - 3) \]Beachten Sie, dass \( x \) ein gemeinsamer Faktor aller Terme im gegebenen Polynom ist. Daher beginnen wir mit der Faktorisierung wie folgt:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x(xy + 3 + xy^2 + 3y) \]Schreiben Sie es um, indem Sie die Terme wie folgt gruppieren:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x((xy + xy^2) + (3 + 3y)) \]Die Terme in \( (xy + xy^2) \) haben den Faktor \( xy \), und die Terme in \( (3 + 3y) \) haben den gemeinsamen Faktor \( 3 \). Daher faktorisieren wir wie folgt:
\[ x^2y + 3x + x^2y^2 + 3xy = x((xy + xy^2) + (3 + 3y)) \] \[ = x(xy(1 + y) + 3(1 + y)) = x(1 + y)(xy + 3) \]Beachten Sie, dass es 5 Terme im gegebenen Polynom gibt, ohne einen gemeinsamen Faktor für alle. Schreiben Sie das Polynom um, indem Sie \( -x \) durch \( -3x + 2x \) ersetzen:
\[ 3x^2 + 3xy - x + 2y - 2 = 3x^2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 \]Wir werden nun das äquivalente Polynom \( 3x^2 + 3xy - 3x + 2x + 2y - 2 \) faktorisieren. Wir können die ersten 3 Terme gruppieren und wie folgt faktorisieren:
\[ 3x^2 + 3xy - 3x = 3x(x + y - 1) \]Wir gruppieren nun die letzten drei Terme und faktorisieren wie folgt:
\[ 2x + 2y - 2 = 2(x + y - 1) \]Die beiden Gruppen haben den gemeinsamen Faktor \( (x + y - 1) \), und das gegebene Polynom wird wie folgt faktorisiert:
\[ = (3x^2 + 3xy - 3x) + (2x + 2y - 2) \] \[ = 3x(x + y - 1) + 2(x + y - 1) = (x + y - 1)(3x + 2) \]