Fragen zur Verwendung spezieller Polynom-Formen wie der Differenz von zwei Quadraten, dem perfekten Quadrat-Trinom und der Summe und Differenz von zwei Würfeln zur Faktorisierung anderer Polynome werden vorgestellt. Die Fragen werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert. Wir stellen mehrere spezielle Polynomformen vor.
Wir können schreiben:
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Nachdem wir das gegebene Polynom als Differenz von zwei Quadraten geschrieben haben, wenden wir die Identität an:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Unter Verwendung dieser Identität faktorisieren wir das Polynom:
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x - 3y)(4x + 3y) \]a) \[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \] b) \[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]
Beachten Sie, dass die Monome im gegebenen Polynom wie folgt geschrieben werden können:
\[ 4x^2 = (2x)^2 \quad , \quad 20xy = 2(2x)(5y) \quad \text{und} \quad 25y^2 = (5y)^2 \]Wir schreiben nun das gegebene Polynom wie folgt:
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Verwenden Sie die Identität \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \), um das Polynom als Quadrat zu schreiben:
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 = (2x + 5y)^2 \]Beachten Sie, dass die Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, wie folgt umgeschrieben werden können:
\[ 1 = 1^2 \] \[ -6x = -2 \cdot 3 \cdot x \] \[ 9x^2 = (3x)^2 \]Das gegebene Polynom kann daher geschrieben werden als:
\[ 1 - 6x + 9x^2 = 1^2 - 2 \cdot 3x + (3x)^2 \]Unter Verwendung der Identität:
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]erkennen wir das Muster und schreiben das gegebene Polynom als perfektes Quadrat:
\[ 1 - 6x + 9x^2 = (1 - 3x)^2 \]Beachten Sie, dass die Monome im gegebenen Polynom wie folgt umgeschrieben werden können:
\[ 8 = (2)^3 \quad \text{und} \quad 27x^3 = (3x)^3 \]Das gegebene Polynom kann nun unter Verwendung von Kubikpotenzen geschrieben werden:
\[ 8 - 27x^3 = (2)^3 - (3x)^3 \]Wir wenden die Identität für die Differenz von Würfeln an:
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]Unter Verwendung dieser Identität faktorisieren wir das Polynom wie folgt:
\[ 8 - 27x^3 = (2)^3 - (3x)^3 = (2 - 3x)\left((2)^2 + (2)(3x) + (3x)^2\right) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Somit ist die faktorisierte Form des Polynoms \( 8 - 27x^3 \):
\[ (2 - 3x)(9x^2 + 6x + 4) \]Die beiden Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, können geschrieben werden als:
\[ 8y^3 = (2y)^3 \quad \text{und} \quad 1 = (1)^3 \]Das zu faktorisierende Polynom kann nun geschrieben werden als:
\[ 8y^3 + 1 = (2y)^3 + (1)^3 \]Verwenden Sie die Identität für die Summe von Würfeln:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]Wenden Sie diese Formel an, um das gegebene Polynom zu faktorisieren:
\[ 8y^3 + 1 = (2y)^3 + (1)^3 = (2y + 1)\left((2y)^2 - (2y)(1) + (1)^2\right) \]Vereinfachen Sie den Ausdruck:
\[ (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1) \]Endgültige faktorisierte Form:
\[ 8y^3 + 1 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1) \]a) \[ -25x^2 + 9 \] b) \[ 16y^4 - x^4 \] c) \[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 \] d) \[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \] e) \[ -y^3 - 64 \] f) \[ x^6 - 1 \]
Wenn wir \( a = 5x \) und \( b = 3 \) setzen, kann das gegebene Polynom geschrieben werden als:
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 \]Verwenden Sie die spezielle Polynomidentität \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), um den gegebenen Ausdruck wie folgt zu faktorisieren:
\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 = (-a + b)(a + b) \]Setzen Sie nun \( a = 5x \) und \( b = 3 \) wieder ein:
\[ (-5x + 3)(5x + 3) \] b)Das gegebene Polynom hat die Form der Differenz von zwei Quadraten und kann geschrieben werden als:
\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2 \]Unter Verwendung der speziellen Identität für die Differenz von Quadraten:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]Wir faktorisieren das gegebene Polynom wie folgt:
\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]Der Ausdruck \( 4y^2 + x^2 \) ist eine Summe von Quadraten und kann mit reellen Zahlen nicht faktorisiert werden. Der Term \( 4y^2 - x^2 \) ist jedoch ebenfalls eine Differenz von Quadraten und kann weiter faktorisiert werden. Daher ist die vollständige Faktorisierung des Polynoms:
\[ 16y^4 - x^4 = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \] c)Das gegebene Polynom kann geschrieben werden als:
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2(6y)(5x) + (5x)^2 \]Verwenden Sie das spezielle Trinom \( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2(6y)(5x) + (5x)^2 = (6y - 5x)^2 \] d)Faktorisieren Sie \( \frac{1}{2} \) aus und schreiben Sie das gegebene Polynom um als:
\[ \frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x^2 + 2x + 1 \right) \]Verwenden Sie die spezielle Trinom-Identität \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \), um \( x^2 + 2x + 1 = x^2 + 2(x)(1) + 1^2 \) zu faktorisieren, und das gegebene Polynom wie folgt:
\[ \frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left( x^2 + 2x + 1 \right) = \frac{1}{2} (x + 1)^2 \] e)Faktorisieren Sie \( -1 \) aus und schreiben Sie das gegebene Polynom um als:
\[ - y^3 - 64 = - (y^3 + 64) = - (y^3 + 4^3) \]Verwenden Sie die Identität \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
\[ - y^3 - 64 = - (y^3 + 64) = - (y^3 + 4^3) \] \[ = -(y + 4)(y^2 - y(4) + 4^2) = -(y + 4)(y^2 - 4y + 16) \] f)Schreiben wir das gegebene Polynom als Differenz von zwei Quadraten wie folgt:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 \]Verwenden Sie das spezielle Polynom der Differenz von Quadraten \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]Oben haben wir das Produkt der Summe und Differenz von zwei Würfeln. Daher:
\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - (1)^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \] \[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]