Identitäten, durchgerechnete Beispiele und Schritt-für-Schritt-Lösungen
Spezielle Polynomformen – wie die Differenz von zwei Quadraten, quadratische Binome (binomische Formeln) sowie die Summe oder Differenz von zwei Kubikzahlen – bieten Abkürzungen beim Faktorisieren komplexer algebraischer Ausdrücke. Das Erkennen dieser Muster ist für effizientes Problemlösen unerlässlich.
Faktorisieren Sie das Polynom: \[ 16x^2 - 9y^2 \]
Schreiben Sie die Terme als Quadrate: \( 16x^2 = (4x)^2 \) und \( 9y^2 = (3y)^2 \).
\[ 16x^2 - 9y^2 = (4x)^2 - (3y)^2 \]Wenden Sie \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) an:
\[ = (4x - 3y)(4x + 3y) \]Faktorisieren Sie: \[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 \]
Identifizieren Sie die Quadrate und den mittleren Term: \( (2x)^2 \), \( (5y)^2 \) und \( 2(2x)(5y) = 20xy \).
\[ 4x^2 + 20xy + 25y^2 = (2x)^2 + 2(2x)(5y) + (5y)^2 \]Wenden Sie \( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \) an:
\[ = (2x + 5y)^2 \]Faktorisieren Sie: \[ 8 - 27x^3 \]
Schreiben Sie als Kubikzahlen: \( 8 = 2^3 \) und \( 27x^3 = (3x)^3 \).
\[ 8 - 27x^3 = 2^3 - (3x)^3 \]Wenden Sie \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) an:
\[ = (2 - 3x)(2^2 + (2)(3x) + (3x)^2) \] \[ = (2 - 3x)(4 + 6x + 9x^2) \]Faktorisieren Sie die folgenden speziellen Polynome vollständig.
Übung A: \( -25x^2 + 9 \)
Stellen Sie es als Differenz von Quadraten um: \( 9 - 25x^2 \).
\[ 3^2 - (5x)^2 = (3 - 5x)(3 + 5x) \]Übung B: \( 16y^4 - x^4 \)
Faktorisieren Sie zweimal als Differenz von Quadraten:
\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2) \]Faktorisieren Sie die verbleibende Differenz von Quadraten:
\[ = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2) \]Übung C: \( \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \)
Klammern Sie \( 1/2 \) aus:
\[ \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1) \]Erkennen Sie das quadratische Binom:
\[ = \frac{1}{2}(x + 1)^2 \]Übung D: \( x^6 - 1 \)
Betrachten Sie es als Differenz von Quadraten: \( (x^3)^2 - 1^2 \).
\[ = (x^3 - 1)(x^3 + 1) \]Wenden Sie die Formeln für die Differenz und Summe von Kubikzahlen an:
\[ = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) \]