Wie verwendet man spezielle Polynom-Formen, um andere Polynome zu faktorisieren? Fragen werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert. Wir werden fünf spezielle Polynomformen studieren.
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
Frage
Faktorisieren Sie das Polynom.
16 x 2 - 9 y 2
Lösung
Beachten Sie, dass 16 x 2 = (4 x) 2 und 9 y 2 = (3 y) 2
Wir können schreiben
16 x 2 - 9 y 2 = (4 x) 2 - (3 y) 2
Nun, da wir das gegebene Polynom als Differenz von zwei Quadraten geschrieben haben, verwenden wir die obige Formel, um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
16 x 2 - 9 y 2 = (4 x) 2 - (3 y) 2 = (4 x - 3 y)(4 x + 3 y)
a) a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2
b) a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2
Frage
Faktorisieren Sie die Polynome.
4 x 2 + 20 x y + 25 y 2
Lösung
Beachten Sie, dass die Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, wie folgt geschrieben werden können:
4 x 2 = (2 x) 2 , 20 x y = 2(2 x)(5 y) und 25 y 2 = (5 y) 2.
Wir schreiben nun das gegebene Polynom wie folgt
4 x 2 + 10 x y + 25 y 2 = (2 x) 2 + 2(2 x)(5 y) + (5 y) 2
Verwenden Sie die Formel a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2, um das gegebene Polynom wie folgt als Quadrat zu schreiben:
4 x 2 + 20 x y + 25 y 2 = (2 x) 2 + 2(2 x)(5 y) + (5 y) 2 = (2 x + 5 y) 2
Frage
Faktorisieren Sie die Polynome.
1 - 6 x + 9 x 2
Lösung
Beachten Sie, dass die Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, wie folgt geschrieben werden können:
1 = 1 2 , - 6 x = - 2(3)x und 9 x 2 = (3 x) 2.
Das gegebene Polynom kann nun wie folgt geschrieben werden
1 - 6 x + 9 x 2 = 1 2 - 2(3) x + (3 x) 2
Verwenden Sie die Formel a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2, um das gegebene Polynom wie folgt als Quadrat zu schreiben:
1 - 6 x + 9 x 2 = 1 2 - 2(3) x + (3 x) 2 = (1 - 3 x) 2
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)
Frage
Faktorisieren Sie das Polynom.
8 - 27 x 3
Lösung
Beachten Sie, dass die Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, wie folgt geschrieben werden können:
8 = (2) 3 und 27 x 3 = (3 x) 3
Das gegebene Polynom kann nun wie folgt geschrieben werden
8 - 27 x 3 = (2) 3 - (3 x) 3
Verwenden Sie die Formel a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
8 - 27 x 3 = (2) 3 - (3 x) 3 = (2 - 3 x)( (2) 2 + (2)(3x) + (3 x) 2) = (2 - 3 x)(9 x 2 + 6x + 4)
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)
Frage
Faktorisieren Sie das Polynom.
8 y 3 + 1
Lösung
Die beiden Monome, aus denen das gegebene Polynom besteht, können wie folgt geschrieben werden:
8 y 3 = (2 y) 3 und 1 = (1) 3
Das zu faktorisierende Polynom kann nun wie folgt geschrieben werden
8 y 3 + 1 = (2 y) 3 + (1) 3
Verwenden Sie die Formel a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2), um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
8 y 3 + 1 = (2 y) 3 + (1) 3 = (2 y + 1)( (2 y) 2 - (2 y)(1) + (1) 2) = (2 y + 1)(4 y 2 - 2 y + 1)
Faktorisieren Sie die folgenden speziellen Polynome
a) - 25 x 2 + 9
b) 16 y 4 - x 4
c) 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
d) (1/2) x 2 + x + (1/2)
e) - y 3 - 64
f) x 6 - 1
a) Wenn wir a = 5 x und b = 3 setzen, kann das gegebene Polynom wie folgt geschrieben werden:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2 = (- a + b)(a + b) = (-5 x + 3)(5 x + 3)
b) Das gegebene Polynom hat die Form der Differenz von zwei Quadraten und kann wie folgt geschrieben werden:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2 = (4y 2 - x 2)(4y 2 + x 2)
Der Ausdruck (4y 2 + x 2) in obigem Beispiel ist die Summe von zwei Quadraten und kann nicht durch reale Zahlen faktorisiert werden. Der Ausdruck (4y 2 - x 2) ist jedoch die Differenz von zwei Quadraten und kann weiter faktorisiert werden. Daher wird das gegebene Polynom wie folgt faktorisiert:
16 y 4 - x 4 = (2 y - x)(2 y + x)(4y 2 + x 2)
c) Das gegebene Polynom kann wie folgt geschrieben werden:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2
Verwenden Sie das spezielle Trinom a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2, um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2 = (6 y - 5 x) 2
d) Faktorisieren Sie (1/2) aus und schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2) x 2 + 2 (1/2) x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1)
Verwenden Sie das spezielle Trinom a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2, um x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2(x)(1) + 1 2 zu faktorisieren und das gegebene Polynom wie folgt:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1) = (1/2)(x + 1) 2
e) Faktorisieren Sie -1 aus und schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)
Verwenden Sie a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2) , um das gegebene Polynom wie folgt zu faktorisieren:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)
= -(y + 4)(y 2 - (y)(4) + 4 2) = -(y + 4)(y 2 - 4 y + 16)
f) Schreiben Sie das gegebene Polynom als Differenz von zwei Quadraten wie folgt:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom für die Differenz von Quadraten a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
In obigem Beispiel handelt es sich um das Produkt der Summe und Differenz von zwei Kuben. Daher
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
= (x - 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 - x + 1)
Polynome faktorisieren
Polynome durch gemeinsamen Faktor faktorisieren
Polynome durch Gruppierung faktorisieren
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