Finden Sie den Definitionsbereich und Wertebereich einer Relation, die durch ihren Graphen gegeben ist. Es werden Beispiele mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen sowie weitere Fragen mit detaillierten Lösungen vorgestellt.
a) Finden Sie den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich der durch den unten gezeigten Graphen gegebenen Relation,
c) geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.
a) Definitionsbereich:
Wir beginnen damit, die beiden Punkte im Graphen mit der kleinsten und der größten \( x \)-Koordinate zu identifizieren. Dies sind Punkt \( A(-2, -4) \) und Punkt \( B(4, -6) \) (siehe Grafik oben).
Der Definitionsbereich ist die Menge aller \( x \)-Werte zwischen der kleinsten und der größten \( x \)-Koordinate, einschließlich. Dies wird geschrieben als:
\[ -2 \leq x \leq 4 \]Die Ungleichungssymbole sind an beiden Enden "kleiner oder gleich" (\( \leq \)), weil die geschlossenen Kreise an den Punkten \( A \) und \( B \) anzeigen, dass die Relation diese \( x \)-Werte einschließt.
b) Wertebereich:
Nun finden wir die Koordinaten der zwei Punkte im Graphen mit dem niedrigsten und dem höchsten \( y \)-Wert. Dies sind Punkt \( B(4, -6) \) und Punkt \( C(2, 2) \).
Der Wertebereich ist die Menge aller \( y \)-Werte zwischen der kleinsten und der größten \( y \)-Koordinate, geschrieben als:
\[ -6 \leq y \leq 2 \]Wiederum ist die Verwendung von \( \leq \) auf die geschlossenen Kreise an den Punkten \( B \) und \( C \) zurückzuführen, was bedeutet, dass die Relation an diesen \( y \)-Werten definiert ist.
c) Ist die Relation eine Funktion?
Ja, die Relation ist eine Funktion, da keine vertikale Linie den Graphen an mehr als einem Punkt schneidet. Dies erfüllt den Vertikaltest für Funktionen.
a) Finden Sie den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich der durch den unten gezeigten Graphen gegebenen Relation,
c) geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.
a) Definitionsbereich:
In diesem Beispiel haben die Punkte \( A(-3, -5) \) und \( B(8, 4) \) die kleinste bzw. die größte x-Koordinate. Daher ist der Definitionsbereich gegeben durch:
\[ -3 \leq x \leq 8 \]Die Verwendung des Symbols \( \leq \) auf beiden Seiten zeigt an, dass die Relation an den Punkten A und B definiert ist (dargestellt als geschlossene Kreise im Graphen).
b) Wertebereich:
Die Punkte A und B haben auch die kleinste bzw. größte y-Koordinate. Der Wertebereich wird durch die Ungleichung angegeben:
\[ -5 \leq y \leq 4 \]Auch hier zeigt die Verwendung des Symbols \( \leq \) auf beiden Seiten, dass die Relation beide Endpunkte einschließt.
c)
Keine vertikale Linie kann den Graphen an mehr als einem Punkt schneiden. Daher ist die durch den Graphen dargestellte Relation eine Funktion.
a) Finden Sie den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich der durch den unten gezeigten Graphen gegebenen Relation,
c) geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.
a)
Definitionsbereich: Punkte A \((-3, -2)\) und B \((1, -2)\) haben die kleinste bzw. die größte x-Koordinate. Daher ist der Definitionsbereich:
Das Ungleichungssymbol \(\leq\) wird auf beiden Seiten verwendet, weil die Relation an den Punkten A und B definiert ist (geschlossene Kreise zeigen die Inklusion an).
b)
Wertebereich: Punkte C \((-1, -5)\) und D \((-1, 1)\) haben die kleinste bzw. die größte y-Koordinate. Somit ist der Wertebereich:
Auch hier wird das Symbol \(\leq\) verwendet, weil die Relation die Punkte C und D einschließt (beide sind mit geschlossenen Kreisen markiert).
c)
Es gibt mindestens eine vertikale Linie, die den Graphen an mehr als einem Punkt schneidet (siehe Abbildung unten). Daher ist die durch den Graphen dargestellte Relation keine Funktion.
a) Finden Sie den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich der durch den unten gezeigten Graphen gegebenen Relation,
c) geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.
a) Definitionsbereich:
Punkt A \((-3, 0)\) hat die kleinste x-Koordinate. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass der Graph sich nach rechts fortsetzt, wenn \( x \) zunimmt. Daher gibt es keine Grenze für die größte x-Koordinate von Punkten auf dem Graphen.
Der Definitionsbereich ist gegeben durch alle Werte, die größer oder gleich dem kleinsten Wert \( x = -3 \) sind, und wird geschrieben als:
\[ x \geq -3 \]Das Symbol \( \geq \) wird verwendet, weil die Relation am Punkt A definiert ist (geschlossener Kreis an Punkt A).
b) Wertebereich:
Die Punkte B und C haben den gleichen und kleinsten y-Wert von \( -2 \). Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass die y-Koordinate zunimmt, wenn \( x \) zunimmt. Daher gibt es keine Obergrenze für die y-Koordinate.
Der Wertebereich ist gegeben durch alle Werte, die größer oder gleich dem kleinsten Wert \( y = -2 \) sind, und wird geschrieben als:
\[ y \geq -2 \]Das Symbol \( \geq \) wird verwendet, weil die Relation bei \( y = -2 \) definiert ist (geschlossene Kreise an B und C).
c)
Es gibt keine vertikale Linie, die den gegebenen Graphen an mehr als einem Punkt schneidet (siehe Grafik unten). Daher ist der oben dargestellte Graph eine Funktion.
a) Finden Sie den Definitionsbereich,
b) den Wertebereich der durch den unten gezeigten Graphen gegebenen Relation,
c) geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist oder nicht.
a)
Definitionsbereich: Punkt \( A(-2, -3) \) hat die kleinste x-Koordinate. Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass der Graph sich nach rechts fortsetzt, wenn \( x \) zunimmt. Daher gibt es keine Grenze für die größte x-Koordinate von Punkten auf dem Graphen.
Der Definitionsbereich ist gegeben durch alle Werte, die größer als der kleinste Wert \( x = -2 \) sind, und wird geschrieben als:
\[ x > -2 \]Wir verwenden das Ungleichungssymbol \( > \) (ohne Gleichheitszeichen), weil die Relation am Punkt \( A \) nicht definiert ist (offener Kreis an Punkt \( A \)).
b)
Wertebereich: Punkt \( A(-2, -3) \) hat den kleinsten y-Wert, gleich \( -3 \). Der Pfeil oben rechts im Graphen zeigt an, dass die \( y \)-Koordinate zunimmt, wenn \( x \) zunimmt. Daher gibt es keine Obergrenze für die \( y \)-Koordinate.
Der Wertebereich ist gegeben durch alle Werte, die größer als der kleinste Wert \( y = -3 \) sind, und wird geschrieben als:
\[ y > -3 \]Das Ungleichungssymbol \( > \) wird verwendet, weil die Relation bei \( y = -3 \) nicht definiert ist (offener Kreis an Punkt \( A \)).
c)
Der Graph stellt eine Funktion dar, da es keine vertikale Linie gibt, die den Graphen an mehr als einem Punkt schneidet. Dies erfüllt den Vertikaltest.
Finden Sie für jede der folgenden Relationen den Definitionsbereich und den Wertebereich und geben Sie an, ob die Relation eine Funktion ist.
