Wie kann man den Definitionsbereich von rationalen Funktionen finden? Beispiele werden zusammen mit ausführlichen Lösungen und Erklärungen sowie einer grafischen Interpretation präsentiert.
Wir müssen zunächst verstehen, dass \( \dfrac{1}{x} \) nur reale Werte annimmt, wenn der Nenner ungleich null ist. In diesem Fall \( x \ne 0 \). Dies kann leicht überprüft werden, indem man sich den Graphen von \( y = \dfrac{1}{x} \) unten ansieht: Der Graph "existiert" für alle Werte von \( x \) außer 0.
Der Definitionsbereich in Intervallform lautet: \( (-\infty , 0) \cup (0 , \infty) \)
Beispiel 2
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an und ist daher real, wenn
\( (x - 1)(x + 2) \ne 0 \)
Der Ausdruck (x - 1)(x + 2) ist ungleich null, wenn x ≠ 1 und x ≠ -2.
In Intervallform lautet der Definitionsbereich
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,1 ) \cup (1 , \infty) \)
Unten ist der Graph von \( f \) gezeigt, und wir sehen, dass die gegebene Funktion bei x = -2 und x = 1 nicht definiert ist.
Beispiel 3
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{1}{ {x^2 - 4}} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an und ist daher real, wenn
\( x^2 - 4 \ne 0 \)
Faktorisiere x 2 - 4 und schreibe die Ungleichung um als
\( (x - 2)(x + 2) \ne 0 \)
Der Ausdruck (x - 2)(x + 2) ist ungleich null, wenn x ≠ -2 und x ≠ 2.
In Intervallform lautet der Definitionsbereich
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,2 ) \cup (2 , \infty) \)
Unten ist der Graph von \( f \) gezeigt, und wir sehen, dass die gegebene Funktion bei x = -2 und x = 2 nicht definiert ist.
Beispiel 4
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an und ist daher real, wenn
\( x^2 + x - 2 \ne 0 \)
Faktorisiere x 2 + x - 2 und schreibe die Ungleichung um als
\( (x - 1)(x + 2) \ne 0 \)
Der Ausdruck (x - 1)(x + 2) ist ungleich null, wenn x ≠ 1 und x ≠ - 2.
In Intervallform lautet der Definitionsbereich
\( (-\infty , - 2) \cup (-2 ,1 ) \cup (1 , \infty) \)
Unten ist der Graph von \( f \) gezeigt, und wir sehen, dass die gegebene Funktion bei x = -2 und x = 1 nicht definiert ist.
Beispiel 5
Finde den Definitionsbereich der Funktion \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \).
Lösung
Die gegebene Funktion nimmt reale Werte an und ist daher real, wenn
\( x^2 + x + 5 \ne 0 \)
Der Ausdruck x 2 + x + 5 kann über den reellen Zahlen nicht faktorisiert werden. Daher müssen wir die quadratische Gleichung mithilfe der Diskriminante \( \Delta \) lösen.
\( x^2 + x + 5 = 0 \)
\( \Delta = b^2 - 4 a c = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \)
Die Diskriminante ist negativ und daher gibt es keine reale Zahl für x, die den Ausdruck x 2 + x + 5 gleich null macht. Der Definitionsbereich ist die Menge aller realen Zahlen.
In Intervallform lautet der Definitionsbereich
\( (-\infty , \infty) \)
Unten ist der Graph von \( f \) gezeigt, und wir sehen, dass er für alle Werte von x real definiert ist.
Definitionsbereich und Wertebereich
Rationale Funktionen
Rationale Ausdrücke und ihr Definitionsbereich
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