Schritt-für-Schritt-Aufgaben, Lösungen und grafische Interpretationen
Eine rationale Funktion ist definiert als das Verhältnis zweier Polynome. Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen außer jenen, die den Nenner zu null machen.
Die Funktion $y = \frac{1}{x}$ ist nur definiert, wenn $x \neq 0$ gilt. In Intervallschreibweise lautet der Definitionsbereich $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Wie im untenstehenden Graphen zu sehen ist, ist die Funktion an der vertikalen Linie $x = 0$ nicht definiert.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
Die Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner null ist:
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer $x = 2$.
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
Der Nenner ist null, wenn einer der Faktoren null ist:
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{oder} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]Definitionsbereich: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion: \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
Setzen Sie den Nenner gleich null und faktorisieren Sie:
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]Definitionsbereich: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von: \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
Faktorisieren Sie den Nenner:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]Der Nenner ist null bei $x = -2$ und $x = 1$.
Definitionsbereich: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Bestimmen Sie den Definitionsbereich von: \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
Prüfen Sie, ob $x^2 + x + 5 = 0$ reelle Nullstellen hat, mittels der Diskriminante ($\Delta$):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]Da $\Delta < 0$ ist, gibt es keine reellen Werte, die den Nenner zu null machen.
Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen, $(-\infty, \infty)$.
