Umkehrfunktionen aus Graphen bestimmen

Grafische Erklärungen und Schritt-für-Schritt gelöste Aufgaben

Das Bestimmen der Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen ist ein visueller Prozess. Er basiert auf der grundlegenden Eigenschaft, dass eine ursprüngliche Funktion $x$ auf $y$ abbildet, während die Umkehrfunktion $y$ wieder auf $x$ abbildet.

Die Umkehrbeziehung

Wenn $f$ eine Funktion ist und $f^{-1}$ ihre Umkehrfunktion, so ist ihre Beziehung wie folgt definiert:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Visuelle Strategie: Um $f^{-1}(b)$ zu finden, suchen Sie im Grunde den $x$-Wert, der einen $y$-Wert von $b$ ergibt.

Durchgerechnetes Beispiel: Gekrümmte Relation $f(x)$

Verwenden Sie den Graphen der Funktion $f$ unten, um Folgendes zu finden:

Graph der Funktion f
Lösungen anzeigen

a) $f^{-1}(5)$: Suchen Sie $y = 5$ auf der y-Achse. Bewegen Sie sich horizontal zum Graphen und dann nach unten zur x-Achse. Wir finden $x = 3$. Daher ist $f^{-1}(5) = 3$.

Visuelle Lösung für f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$: Bei $y = 0$ liegt der Graph bei $x = 2$. Also ist $f^{-1}(0) = 2$.

c) $f^{-1}(-3)$: Bei $y = -3$ liegt der Graph bei $x = 1$. Also ist $f^{-1}(-3) = 1$.

d) $f^{-1}(-4)$: Bei $y = -4$ liegt der Graph bei $x = 0$. Also ist $f^{-1}(-4) = 0$.

e) $f^{-1}(-5)$: Der Graph erreicht nicht den Wert $y = -5$. Dieser Wert ist nicht definiert.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Lineare Relation $g(x)$

Bestimmen Sie: $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$ und $g^{-1}(8)$.

Graph der Funktion g
Lösung anzeigen

a) $g^{-1}(6)$: Der $x$-Wert für $y = 6$ ist 2. Also $g^{-1}(6) = 2$.

Lösung für g^-1

b) $g^{-1}(0)$: Der Graph schneidet die x-Achse ($y=0$) bei $x = -1$. Also $g^{-1}(0) = -1$.

c) $g^{-1}(-2)$: Der Graph ist bei $x = -2$, wenn $y = -2$. Also $g^{-1}(-2) = -2$.

d) $g^{-1}(8)$: Die maximale Höhe des Graphen ist $y = 6$. Daher ist $g^{-1}(8)$ nicht definiert.

Aufgabe 2: Trigonometrische Relation $h(x)$

Bestimmen Sie: $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$ und $h^{-1}(-1)$.

Graph der trigonometrischen Funktion h
Lösung anzeigen

a) $h^{-1}(1)$: Der Graph ist auf der Höhe 1 bei $x = 0$. Also $h^{-1}(1) = 0$.

b) $h^{-1}(0)$: Der Graph schneidet $y=0$ bei $x = \pi/2$. Also $h^{-1}(0) = \pi/2$.

c) $h^{-1}(-1)$: Der Graph erreicht $-1$ bei $x = \pi$. Also $h^{-1}(-1) = \pi$.

d) $h^{-1}(2)$: Der maximale $y$-Wert ist 1. Daher ist $h^{-1}(2)$ nicht definiert.

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