Ermitteln Sie die Werte der Umkehrfunktion aus ihrem Graphen; Beispiele und Fragen werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Wenn \( f \) eine Funktion ist, deren Umkehrfunktion \( f^{-1} \) ist, dann ist die Beziehung zwischen \( f \) und ihrer Umkehrfunktion \( f^{-1} \) gegeben durch:
\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]
Verwenden Sie den unten gezeigten Graphen der Funktion \( f \), um die folgenden Werte der Umkehrfunktion zu ermitteln, falls möglich:
Nach der Definition der Umkehrfunktion:
\[ a = f^{-1}(5) \quad \Leftrightarrow \quad 5 = f(a) \]Das bedeutet, dass \( a \) der Wert von \( x \) ist, für den \( f(x) = 5 \) gilt.
Verwenden Sie den Graphen unten: Beginnen Sie bei \( y = 5 \) auf der y-Achse und zeichnen Sie eine horizontale Linie, um den Graphen von \( f \) zu schneiden. Gehen Sie dann senkrecht nach unten zur x-Achse, um \( x = 3 \) zu finden.
Daher ist \( f(3) = 5 \). Folglich ist \( a = 3 \), und
\[ f^{-1}(5) = 3 \]
\[ a = f^{-1}(0) \iff f(a) = 0 \]
Laut dem gezeigten Graphen gilt \( f(2) = 0 \), und daher ist \( f^{-1}(0) = 2 \).
c)
\[ a = f^{-1}(-3) \iff f(a) = -3 \]
Der Wert von \( x \), für den \( f(x) = -3 \) gilt, ist \( 1 \), und daher ist \( f^{-1}(-3) = 1 \).
d)\[ a = f^{-1}(-4) \iff f(a) = -4 \]
Der Wert von \( x \), für den \( f(x) = -4 \) gilt, ist 0, und daher ist \( f^{-1}(-4) = 0 \).
e)\[ a = f^{-1}(-5) \iff f(a) = -5 \]
Laut dem Graphen von \( f \) gibt es keinen Wert von \( x \), für den \( f(x) = -5 \) gilt, und daher ist \( f^{-1}(-5) \) nicht definiert.
Verwenden Sie den unten gezeigten Graphen der Funktion \( g \), um die folgenden Werte zu ermitteln, falls möglich:
Verwenden Sie den unten gezeigten Graphen der Funktion \( h \), um die folgenden Werte zu ermitteln, falls möglich:
Nach der Definition der Umkehrfunktion:
\[ a = g^{-1}(6) \iff g(a) = 6 \]Das bedeutet, dass \( a \) der Wert von \( x \) ist, für den \( g(x) = 6 \) gilt.
Verwendet man den Graphen unten, so ist \( g(x) = 6 \), wenn \( x = 2 \). Daher ist \( a = 2 \) und folglich
\[ g^{-1}(6) = 2 \]
\[ a = g^{-1}(0) \iff g(a) = 0 \]
Laut dem Graphen gilt \( g(-1) = 0 \) und daher
\[ g^{-1}(0) = -1 \] c)\[ a = g^{-1}(-2) \iff g(a) = -2 \]
Der Wert von \( x \), für den \( g(x) = -2 \) gilt, ist \( -2 \). Daher gilt
\[ g^{-1}(-2) = -2 \] d)\[ a = g^{-1}(4) \iff g(a) = 4 \]
Der Wert von \( x \), für den \( g(x) = 4 \) gilt, ist \( 1 \). Daher gilt
\[ g^{-1}(4) = 1 \] e)\[ a = g^{-1}(8) \iff g(a) = 8 \]
Laut dem Graphen von \( g \) gibt es keinen Wert von \( x \), für den \( g(x) = 8 \) gilt. Daher gilt
\[ g^{-1}(8) \text{ ist nicht definiert} \]Nach der Definition der Umkehrfunktion:
\[ a = h^{-1}(1) \iff h(a) = 1 \]Das bedeutet, dass \( a \) der Wert von \( x \) ist, für den \( h(x) = 1 \) gilt.
Laut dem gezeigten Graphen gilt \( h(0) = 1 \), und daher ist \( h^{-1}(1) = 0 \).
b)\( a = h^{-1}(0) \iff h(a) = 0 \)
Laut dem gezeigten Graphen gilt \( h\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \), und daher ist \( h^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} \).
c)\( a = h^{-1}(-1) \iff h(a) = -1 \)
Laut dem gezeigten Graphen gilt \( h(\pi) = -1 \), und daher ist \( h^{-1}(-1) = \pi \).
d)\( a = h^{-1}(2) \iff h(a) = 2 \)
Laut dem gezeigten Graphen gibt es keinen Wert von \( x \), für den \( h(x) = 2 \) gilt. Daher ist \( h^{-1}(2) \) nicht definiert.