Die Umkehrfunktion aus Tabellen finden
Fragen mit Lösungen

Finden Sie die Werte der Umkehrfunktion einer Funktion, die durch eine Tabelle gegeben ist? Es werden Fragen zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.


Beziehung zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrung

Wenn \( f \) eine Funktion ist, deren Umkehrung \( f^{-1} \) ist, dann wird die Beziehung zwischen \( f \) und \( f^{-1} \) wie folgt geschrieben:

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Beispiele

Verwenden Sie die folgende Tabelle, um die folgenden Werte zu finden, falls möglich:

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline -4 & 9 \\ \hline -2 & 4 \\ \hline 0 & -5 \\ \hline 3 & 5 \\ \hline 6 & -4 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline 8 & -10 \\ \hline \end{array} \]

Lösung

a)

Nach der Definition der Umkehrfunktion:

\[ a = f^{-1}(-4) \iff f(a) = -4 \]

Dies bedeutet, dass \( a \) der Wert von \( x \) ist, für den \( f(x) = -4 \) gilt. Aus der gegebenen Tabelle gilt für \( x = 6 \), \( f(x) = -4 \). Daher:

\[ a = 6 \quad \text{und folglich} \quad f^{-1}(-4) = 6 \]

b)

\[ a = f^{-1}(6) \iff f(a) = 6 \]

Es gibt keinen Wert für \( x \), für den \( f(x) = 6 \) gilt, und daher ist \( f^{-1}(6) \) nicht definiert.

c)

\[ a = f^{-1}(9) \iff f(a) = 9 \]

Der Wert von \( x \), für den \( f(x) = 9 \) gilt, ist \( x = -4 \). Daher:

\[ f^{-1}(9) = -4 \]

d)

\[ a = f^{-1}(10) \iff f(a) = 10 \]

Es gibt keinen Wert für \( x \), für den \( f(x) = 10 \) gilt, und daher ist \( f^{-1}(10) \) nicht definiert.

e)

\[ a = f^{-1}(-10) \iff f(a) = -10 \]

Der Wert von \( x \), für den \( f(x) = -10 \) gilt, ist \( x = 8 \), und daher:

\[ f^{-1}(-10) = 8 \]

Weitere Fragen mit Lösungen

Verwenden Sie die folgende Tabelle, um die folgenden Werte zu finden, falls möglich:

  1. \( g^{-1}(0) \)
  2. \( g^{-1}(-10) \)
  3. \( g^{-1}(-5) \)
  4. \( g^{-1}(-7) \)
  5. \( g^{-1}(3) \)
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & f(x) \\ \hline -5 & 9 \\ \hline -2 & 3 \\ \hline 0 & -5 \\ \hline 3 & 7 \\ \hline 4 & -4 \\ \hline 7 & 10 \\ \hline 11 & 0 \\ \hline \end{array} \]

Lösung

a)

Nach der Definition der Umkehrfunktion:
\[ a = g^{-1}(0) \iff g(a) = 0 \] Dies bedeutet, dass \( a \) der Wert von \( x \) ist, für den \( g(x) = 0 \) gilt.
Unter Verwendung der obigen Tabelle gilt für \( x = 11 \), \( g(x) = 0 \).
Daher ist \( a = 11 \), und folglich \[ g^{-1}(0) = 11 \]

b)

\( a = g^{-1}(-5) \) genau dann, wenn \( g(a) = -5 \).
Der Wert von \( x \), für den \( g(x) = -5 \) gilt, ist \( 0 \).
Daher gilt \[ g^{-1}(-5) = 0 \]

c)

\( a = g^{-1}(-10) \) genau dann, wenn \( g(a) = -10 \).
Es gibt keinen Wert von \( x \), für den \( g(x) = -10 \) gilt.
Daher ist \[ g^{-1}(-10) \; \text{nicht definiert} \]

d)

\( a = g^{-1}(-7) \iff g(a) = -7 \).
Es gibt keinen Wert von \( x \), für den \( g(x) = -7 \) gilt.
Daher ist \[ g^{-1}(-7) \; \text{nicht definiert} \]

e)

\( a = g^{-1}(3) \) genau dann, wenn \( g(a) = 3 \).
Der Wert von \( x \), für den \( g(x) = 3 \) gilt, ist \( -2 \).
Daher gilt \[ g^{-1}(3) = -2 \]

Weitere Referenzen und Links