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Wenn eine Funktion als Wertetabelle dargestellt ist, beinhaltet das Bestimmen ihrer Umkehrfunktion das Vertauschen der Rollen von Eingabe (Input) und Ausgabe (Output).
Wenn $f$ eine Funktion mit einer Umkehrfunktion $f^{-1}$ ist, ist die Beziehung definiert durch:
\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]Einfach ausgedrückt: Wenn die ursprüngliche Tabelle besagt, dass $x$ auf $y$ abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion $y$ wieder auf $x$ ab.
Verwenden Sie die untenstehende Tabelle, um die folgenden Werte zu finden, sofern möglich:
a) $f^{-1}(-4)$ | b) $f^{-1}(6)$ | c) $f^{-1}(9)$ | d) $f^{-1}(10)$ | e) $f^{-1}(-10)$
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| -4 | 9 |
| -2 | 4 |
| 0 | -5 |
| 3 | 5 |
| 6 | -4 |
| 7 | 7 |
| 8 | -10 |
a) $f^{-1}(-4)$: Wir suchen nach $-4$ in der $f(x)$-Spalte. Dies entspricht $x = 6$. Also ist $f^{-1}(-4) = 6$.
b) $f^{-1}(6)$: Wir suchen nach $6$ in der $f(x)$-Spalte. Dieser Wert existiert nicht. Daher ist $f^{-1}(6)$ nicht definiert.
c) $f^{-1}(9)$: $f(x) = 9$ ist der Fall, wenn $x = -4$. Also ist $f^{-1}(9) = -4$.
d) $f^{-1}(10)$: $10$ befindet sich nicht in der $f(x)$-Spalte. Daher ist $f^{-1}(10)$ nicht definiert.
e) $f^{-1}(-10)$: $f(x) = -10$ ist der Fall, wenn $x = 8$. Also ist $f^{-1}(-10) = 8$.
Verwenden Sie die Tabelle für die Funktion $g$, um Folgendes zu finden: $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-5)$, $g^{-1}(-10)$ und $g^{-1}(3)$.
| $x$ | $g(x)$ |
|---|---|
| -5 | 9 |
| -2 | 3 |
| 0 | -5 |
| 3 | 7 |
| 4 | -4 |
| 7 | 10 |
| 11 | 0 |
a) $g^{-1}(0)$: In der Tabelle gilt $g(11) = 0$. Daher ist $g^{-1}(0) = 11$.
b) $g^{-1}(-5)$: In der Tabelle gilt $g(0) = -5$. Daher ist $g^{-1}(-5) = 0$.
c) $g^{-1}(-10)$: Der Wert $-10$ taucht in der $g(x)$-Spalte nicht auf. Daher ist $g^{-1}(-10)$ nicht definiert.
d) $g^{-1}(3)$: In der Tabelle gilt $g(-2) = 3$. Daher ist $g^{-1}(3) = -2$.