Wie findet man die Umkehrung einer durch ihren Graphen gegebenen Relation? Beispiele werden zusammen mit detaillierten Lösungen sowie Fragen mit Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Ein Punkt (geordnetes Paar) auf dem Graphen der Umkehrung einer Relation wird durch Vertauschen der Koordinaten eines Punktes (geordnetes Paar) im Graphen der Relation erhalten. Geometrisch betrachtet sind ein Punkt \( (a,b) \) auf dem Graphen einer Relation und ein entsprechender Punkt \( (b,a) \) auf der Umkehrung der Relation Spiegelungen voneinander an der Geraden \( y = x \).
Schritt 1: Wählen Sie Punkte auf dem Graphen der gegebenen Relation aus und bestimmen Sie ihre Koordinaten \( (a,b) \). Die ausgewählten Punkte sind auf dem untenstehenden Graphen blau markiert und haben die folgenden Koordinaten:
\( (8, 4),\ (5, 2),\ (4, 0),\ (3, -1),\ (0, -2),\ (-2, -4),\ (-3, -5) \)
Schritt 2: Spiegeln Sie die Punkte an der Geraden \( y = x \), indem Sie die \( x \)- und \( y \)-Koordinaten vertauschen. Die gespiegelten (roten) Punkte \( (b,a) \) sind:
\( (4, 8),\ (2, 5),\ (0, 4),\ (-1, 3),\ (-2, 0),\ (-4, -2),\ (-5, -3) \)
Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrung der gegebenen Relation, indem Sie die gespiegelten, rot dargestellten Punkte verbinden. Der ursprüngliche Graph und seine Umkehrung sind Spiegelbilder voneinander bezüglich der Geraden \( y = x \).
Schritt 1: Wählen Sie Punkte auf dem Graphen der gegebenen Relation aus und definieren Sie sie durch ihre Koordinaten \( (a,b) \), wie im untenstehenden Graphen dargestellt (blaue Punkte auf dem Graphen).
Die ausgewählten Punkte sind: \( (6, 3),\ (2, -5),\ (0, -1),\ (-2, -5),\ (-3, -3) \)
Schritt 2: Spiegeln Sie die Punkte an der Geraden \( y = x \), indem Sie die \( x \)- und \( y \)-Koordinaten vertauschen, dargestellt durch die roten Punkte mit den Koordinaten \( (b,a) \).
Gespiegelte Punkte: \( (3, 6),\ (-5, 2),\ (-1, 0),\ (-5, -2),\ (-3, -3) \)
Der Graph der Umkehrrelation wird durch Verbinden der gespiegelten Punkte erhalten. Der ursprüngliche Graph und seine Umkehrung sind Spiegelbilder voneinander bezüglich der Geraden \( y = x \).
Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrung jeder der Relationen, die durch ihre untenstehenden Graphen gegeben sind:
a)
b)
a)
Schritt 1: Wählen Sie Punkte auf dem Graphen der gegebenen Relation aus und bestimmen Sie ihre Koordinaten: blaue Punkte, die im untenstehenden Graphen gezeigt werden, mit den folgenden Koordinaten:
\( (4, 2),\ (2, 2),\ (1, -1),\ (0, -2),\ (-1, -1),\ (-2, -4) \)
Schritt 2: Spiegeln Sie an der Geraden \( y = x \), indem Sie die \( x \)- und \( y \)-Koordinaten der oben erhaltenen Punkte vertauschen, um die roten Punkte zu erhalten:
\( (2, 4),\ (2, 2),\ (-1, 1),\ (-2, 0),\ (-1, -1),\ (-4, -2) \)
Die Umkehrung der gegebenen Relation wird durch Verbinden der umgekehrten Punkte erhalten, wie durch den roten Graphen unten dargestellt. Der gegebene Graph und die Umkehrung sind Spiegelungen voneinander an der Geraden y = x.
b)
Schritt 1: Wählen Sie Punkte auf dem Graphen der gegebenen Relation aus und bestimmen Sie ihre Koordinaten. Blaue Punkte sind im untenstehenden Graphen mit den folgenden Koordinaten dargestellt:
\[ (5, 6), \quad (4, 1), \quad (2, -1), \quad (0, -3), \quad (-1, -8) \]Schritt 2: Spiegeln Sie die Punkte (durch Vertauschen der \( x \)- und \( y \)-Koordinaten) an der Geraden \( y = x \). Diese sind als rote Punkte dargestellt:
\[ (6, 5), \quad (1, 4), \quad (-1, 2), \quad (-3, 0), \quad (-8, -1) \]
Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrung der gegebenen Relation, indem Sie die umgekehrten Punkte verbinden, wie durch den roten Graphen unten dargestellt, so dass der gegebene Graph und die Umkehrung Spiegelungen voneinander an der Geraden y = x sind.
