Umkehrrelation aus dem Graphen bestimmen

Schritt-für-Schritt-Beispiele, Spiegelungen und gelöste Aufgaben

Eine Umkehrrelation findet man, indem man die Koordinaten jedes geordneten Paares in der ursprünglichen Menge vertauscht. Geometrisch führt dies zu einem Graphen, der perfekt symmetrisch zum ursprünglichen Graphen an der Geraden $y = x$ liegt.

Das Spiegelungsprinzip

Wenn ein Punkt $(a, b)$ auf dem Graphen einer Relation existiert, muss der Punkt $(b, a)$ auf dem Graphen ihrer Umkehrrelation existieren. Dieser Koordinatentausch entspricht geometrisch einer Spiegelung an der diagonalen Geraden $y = x$.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Spiegelung eines linearen Segments

Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrrelation für die unten dargestellte Relation:

Ursprüngliche Relation für Beispiel 1
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Schritt 1: Identifizieren Sie Schlüsselpunkte auf dem blauen (ursprünglichen) Graphen:
$(8, 4), (5, 2), (4, 0), (3, -1), (0, -2), (-2, -4), (-3, -5)$

Schritt 2: Vertauschen Sie die $x$- und $y$-Koordinaten, um die Punkte der Umkehrrelation (rot) zu finden:
$(4, 8), (2, 5), (0, 4), (-1, 3), (-2, 0), (-4, -2), (-5, -3)$

Gezeichnete Spiegelungspunkte für Beispiel 1

Schritt 3: Verbinden Sie die gespiegelten Punkte, um den Graphen der Umkehrrelation zu vervollständigen.

Finaler Umkehrgraph für Beispiel 1

Beispiel 2: Spiegelung einer gekrümmten Relation

Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrrelation für die folgende gekrümmte Relation:

Ursprüngliche gekrümmte Relation für Beispiel 2
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Schritt 1: Identifizieren Sie Schlüsselpunkte auf der ursprünglichen Kurve:
$(6, 3), (2, -5), (0, -1), (-2, -5), (-3, -3)$

Schritt 2: Vertauschen Sie die Koordinaten für die Punkte der Umkehrrelation:
$(3, 6), (-5, 2), (-1, 0), (-5, -2), (-3, -3)$

Gezeichnete Spiegelungspunkte für Beispiel 2

Schritt 3: Verbinden Sie die Punkte zur Kurve der Umkehrrelation, welche das Original an der Geraden $y = x$ widerspiegelt.

Finaler Umkehrgraph für Beispiel 2

Übungsaufgaben

Aufgabe A

Übungsaufgabe A
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Koordinaten: $(4, 2), (2, 2), (1, -1), (0, -2), (-1, -1), (-2, -4)$

Punkte der Umkehrrelation: $(2, 4), (2, 2), (-1, 1), (-2, 0), (-1, -1), (-4, -2)$

Lösung für Aufgabe A

Aufgabe B

Übungsaufgabe B
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Koordinaten: $(5, 6), (4, 1), (2, -1), (0, -3), (-1, -8)$

Punkte der Umkehrrelation: $(6, 5), (1, 4), (-1, 2), (-3, 0), (-8, -1)$

Lösung für Aufgabe B

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