Übungstest Mathematik 11. Klasse: Fragen
Dieser Übungstest deckt die Kernthemen des Mathematiklehrplans der 11. Klasse ab. Nachfolgend finden Sie 24 Fragen aus den Bereichen Algebra, Funktionen, Trigonometrie und Finanzmathematik. Nutzen Sie diese Aufgaben, um Ihr Verständnis zu überprüfen; für jede Frage sind detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen und Videoerklärungen enthalten.
Frage 1: Wurzeln vereinfachen
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
a) \[ \sqrt{125} + 3\sqrt{2} - \dfrac{16}{\sqrt{32}} - \sqrt{20} \]
b) \[ 5\sqrt{12} \left( -6\sqrt{3} - 2\sqrt{27} \right) \]
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a) Vereinfachen Sie jeden Term einzeln:
$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$
$\dfrac{16}{\sqrt{32}} = \dfrac{16}{4\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Zusammenfassen: $(5\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) = \mathbf{3\sqrt{5} + \sqrt{2}}$.
b) $5\sqrt{12} = 10\sqrt{3}$ und $2\sqrt{27} = 6\sqrt{3}$.
$10\sqrt{3}(-6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}(-12\sqrt{3}) = -120(3) = \mathbf{-360}$.
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Frage 2: Rationalmachen des Nenners mit der Konjugierten
Vereinfachen Sie den Ausdruck: \[ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} + 4\sqrt{20} \]
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Machen Sie den Nenner rational, indem Sie mit der Konjugierten $(2 + \sqrt{5})$ multiplizieren:
\[ \dfrac{(1+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}{4-5} = \dfrac{2 + \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 5}{-1} = \dfrac{7+3\sqrt{5}}{-1} = -7-3\sqrt{5} \]
Vereinfachen Sie $4\sqrt{20} = 8\sqrt{5}$.
Endergebnis: $-7 - 3\sqrt{5} + 8\sqrt{5} = \mathbf{-7 + 5\sqrt{5}}$.
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Frage 3: Ausmultiplizieren von Polynomen
Ausmultiplizieren und vereinfachen: \[ (x - 3)(x^2 - 2x + 2) - (x + 3)^2 \]
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Ersten Teil ausmultiplizieren: $x^3 - 2x^2 + 2x - 3x^2 + 6x - 6 = x^3 - 5x^2 + 8x - 6$.
Zweiten Teil ausmultiplizieren: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
Subtrahieren: $(x^3 - 5x^2 + 8x - 6) - (x^2 + 6x + 9) = \mathbf{x^3 - 6x^2 + 2x - 15}$.
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Frage 4: Variablen unter der Quadratwurzel
Finden Sie $x$, wenn $b$ und $x$ positive reelle Zahlen sind, sodass gilt: \[ \sqrt{9b^2} = 6b\sqrt{x} \]
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Da $b > 0$, ist $\sqrt{9b^2} = 3b$.
Gleichung: $3b = 6b\sqrt{x}$.
Durch $6b$ dividieren: $\dfrac{3b}{6b} = \sqrt{x} \implies \dfrac{1}{2} = \sqrt{x}$.
Beide Seiten quadrieren: $\mathbf{x = 1/4}$.
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Frage 5: Rationale Ausdrücke
Vereinfachen Sie und fassen Sie zu einem einzigen rationalen Ausdruck zusammen:
a) \( \displaystyle \dfrac{2x}{x-1}\:-\:\dfrac{1}{x+2}-\dfrac{6}{2x^2+2x-4} \)
b) \( \displaystyle \dfrac{2x^2+2x-4}{x^2+8x+15} \div \dfrac{2x^2+6x+4}{x^2+10x+21} \)
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a) Der Hauptnenner ist $2(x-1)(x+2)$.
Zähler: $2x(2)(x+2) - 1(2)(x-1) - 6 = 4x^2 + 8x - 2x + 2 - 6 = 4x^2 + 6x - 4 = 2(2x-1)(x+2)$.
Vereinfachen: $\mathbf{\dfrac{2x-1}{x-1}}$.
b) Faktorisieren Sie alle Terme und multiplizieren Sie mit dem Kehrwert:
\[ \dfrac{2(x+2)(x-1)}{(x+3)(x+5)} \cdot \dfrac{(x+7)(x+3)}{2(x+1)(x+2)} = \mathbf{\dfrac{(x-1)(x+7)}{(x+5)(x+1)}} \]
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Frage 6: Rationale Exponenten
Vereinfachen Sie das Ergebnis und verwenden Sie nur positive Exponenten:
\[ \dfrac{(3 \: x^2 y^2)^2}{(- 2 \: x y^2)^4} \:\div \:\dfrac{(3 \: x y)^3}{(6 \: x^{-1} y^2)^2} \]
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Ersten Teil vereinfachen: $\dfrac{9x^4y^4}{16x^4y^8} = \dfrac{9}{16y^4}$.
Zweiten Teil vereinfachen: $\dfrac{27x^3y^3}{36x^{-2}y^4} = \dfrac{3x^5}{4y}$.
Dividieren: $\dfrac{9}{16y^4} \cdot \dfrac{4y}{3x^5} = \mathbf{\dfrac{3}{4x^5y^3}}$.
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Frage 7: Quadratische Ungleichungen
Lösen Sie die quadratische Ungleichung: \[ -x^2-2x \gt - 2 \]
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Umschreiben zu $x^2 + 2x - 2 < 0$.
Lösen Sie die Gleichung $x^2 + 2x - 2 = 0$ mithilfe der Mitternachtsformel, um die kritischen Punkte zu finden: $x = -1 \pm \sqrt{3}$.
Da die Parabel nach oben geöffnet ist ($a > 0$), ist der Ausdruck zwischen den Nullstellen negativ: $\mathbf{(-1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3})}$.
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Frage 8: Analyse quadratischer Funktionen
Sei $f(x) = - x^2 + 2 x + 2$. Finden Sie den Scheitelpunkt, die Achsenabschnitte, den Definitionsbereich und den Wertebereich.
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a) Scheitelpunkt: $x = -b/2a = -2/-2 = 1$. $f(1) = 3$. Der Scheitelpunkt ist $\mathbf{(1, 3)}$.
b) Achsenabschnitte: y-Achsenabschnitt bei $f(0) = 2$. x-Achsenabschnitte bei $\mathbf{1 \pm \sqrt{3}}$.
c) Symmetrieachse: $x = 1$.
d) Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen. Wertebereich: $(-\infty, 3]$.
Frage 9: Parabeln aus Graphen
Finden Sie die Gleichung der quadratischen Funktion $f$ mit dem Scheitelpunkt $(2, 2)$ und dem y-Achsenabschnitt $(0, -2)$ in der Form $f(x) = a x^2 + b x + c$. Finden Sie die exakten x-Achsenabschnitte.
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Scheitelpunktform verwenden: $y = a(x-2)^2 + 2$.
y-Achsenabschnitt $(0, -2)$ einsetzen: $-2 = a(0-2)^2 + 2 \implies -4 = 4a \implies a = -1$.
Ausmultiplizieren: $f(x) = -(x^2 - 4x + 4) + 2 = \mathbf{-x^2 + 4x - 2}$.
Exakte x-Achsenabschnitte ($y=0$): $\mathbf{x = 2 \pm \sqrt{2}}$.
Frage 10: Exponentialfunktionen
Finden Sie die Exponentialfunktion $g(x) = a^{x-b}$, die durch die Punkte $(1, 1)$ und $(2, 3)$ verläuft.
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Mit $(1, 1)$: $1 = a^{1-b}$. Für alle $a > 0$ bedeutet dies $1-b = 0$, also $\mathbf{b = 1}$.
Mit $(2, 3)$: $3 = a^{2-1} \implies a^1 = 3$, also $\mathbf{a = 3}$.
Gleichung: $\mathbf{g(x) = 3^{x-1}}$.
Frage 11: Gleichungen mit rationalen Termen
Lösen Sie: \[ \displaystyle \dfrac{2x+1}{x-2}\:=-1\:-\:\dfrac{1}{x+1} \]
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Mit dem Hauptnenner $(x-2)(x+1)$ multiplizieren:
$(2x+1)(x+1) = -1(x-2)(x+1) - 1(x-2)$
$2x^2 + 3x + 1 = -(x^2 - x - 2) - x + 2$
$2x^2 + 3x + 1 = -x^2 + 4 \implies 3x^2 + 3x - 3 = 0$.
Durch 3 dividieren: $x^2 + x - 1 = 0$. Lösung: $\mathbf{x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}$.
Frage 12: Exakte trigonometrische Werte
Finden Sie exakte Werte mithilfe der speziellen Winkel: a) $\cos(75^{\circ})$ | b) $\sec(15^{\circ})$
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a) $\cos(45+30) = \cos(45)\cos(30) - \sin(45)\sin(30) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$.
b) $\sec(15) = 1/\cos(45-30) = 1/(\cos45\cos30 + \sin45\sin30) = \mathbf{\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$.
Frage 13: Verwandte Winkel
Finden Sie die exakten Werte: a) $\tan(-330^{\circ})$ | b) $\csc(480^{\circ})$
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a) $\tan(-330^{\circ}) = \tan(30^{\circ}) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$.
b) $\csc(480^{\circ}) = \csc(120^{\circ}) = 1/\sin(60^{\circ}) = \mathbf{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}$.
Frage 14: Trigonometrische Identitäten
Beweisen Sie die Identität: $\tan x \cot x + \sec x \sin x = 1+\tan x$
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Linke Seite: $\tan x \cdot \dfrac{1}{\tan x} + \dfrac{1}{\cos x} \cdot \sin x$
$= 1 + \dfrac{\sin x}{\cos x}$
$= 1 + \tan x$. Rechte Seite erreicht.
Frage 15: Lösen trigonometrischer Gleichungen
Finden Sie $\theta \in [0, 360^{\circ})$: a) $\tan(\theta) = 0.2$ | b) $\cos(\theta + 30^{\circ}) = 0.5$
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a) $\theta = \arctan(0.2) \approx 11.3^{\circ}$. Es gibt auch eine Lösung im 3. Quadranten: $11.3 + 180 = \mathbf{191.3^{\circ}}$.
b) $\theta + 30 = 60^{\circ}$ oder $300^{\circ} \implies \theta = \mathbf{30^{\circ}, 270^{\circ}}$.
Frage 16: Angewandte Sinusfunktionen
Die Wassertiefe beträgt $d(t) = 7.2 \cos(30^{\circ}(t - 6.5)) + 5.8$. Finden Sie die maximalen/minimalen Tiefen und die dazugehörigen Zeiten.
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a) Maximale Tiefe: $7.2 + 5.8 = \mathbf{13.0 \text{ m}}$. Tritt auf, wenn $\cos = 1$: $t - 6.5 = 0 \implies \mathbf{t=6.5}$.
b) Minimale Tiefe: $-7.2 + 5.8 = \mathbf{-1.4 \text{ m}}$. Tritt auf, wenn $\cos = -1$: $30(t-6.5) = 180 \implies t = 12.5 $.
Frage 17: Graphen von Exponentialfunktionen
Skizzieren Sie den Graphen von $y = - 2^{x-2} - 3$
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Die Ausgangsfunktion ist $2^x$. Spiegelung an der x-Achse ($-2^x$), Verschiebung um 2 nach rechts, Verschiebung um 3 nach unten. Asymptote bei $y = -3$.
Frage 18: Graphen periodischer Funktionen
Skizzieren Sie den Graphen von $y = -3 \cos (x - 30^{\circ}) + 3$
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Amplitude: 3. Mittellinie: $y=3$. Spiegelung an der Mittellinie. Phasenverschiebung: $30^{\circ}$ nach rechts.
Frage 19: Potenzgesetze
Vereinfachen Sie: \( \left( 2^{\dfrac{1}{5}} x^{\dfrac{1}{2}} \right) \left( 16^{\dfrac{1}{5}} x^{\dfrac{1}{2}} \right) \)
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Koeffizienten multiplizieren: $2^{1/5} \cdot (16)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot (2^4)^{1/5} = 2^{1/5} \cdot 2^{4/5} = 2^1 = 2$.
Variablen multiplizieren: $x^{1/2} \cdot x^{1/2} = x^1 = x$.
Endergebnis: $\mathbf{2x}$.
Frage 20: Exponentialgleichungen
Lösen Sie: \[ \displaystyle \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x}\:= 2^{-7x+\dfrac{1}{2}} \]
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Drücken Sie $8 ^x \; 4^x$ mit der Basis 2 aus: $8 ^x \; 4^x = 2^{3x} \cdot 2^{2x} = 2^{5x} \implies \dfrac{1}{8 ^x \; 4^x} = 2^{-5x} $.
Exponenten gleichsetzen: $-5x = -7x + 0.5 \implies 2x = 0.5 \implies \mathbf{x = 0.25}$.
Frage 21: Die Diskriminante
Finden Sie $m$, sodass $2x^2 - x + m = 1$ zwei reelle Lösungen hat.
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Standardform: $2x^2 - x + (m-1) = 0$.
Zwei reelle Lösungen erfordern $D = b^2 - 4ac > 0$.
$(-1)^2 - 4(2)(m-1) > 0 \implies 1 - 8m + 8 > 0 \implies 9 > 8m \implies \mathbf{m < 9/8}$.
Frage 22: Schnittpunkte von Kreis und Gerade
Finden Sie die Schnittpunkte für $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 5$ und $4x - 2y = 4$.
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Geradengleichung nach $y$ auflösen: $2y = 4x - 4 \implies y = 2x - 2$.
Einsetzen: $(x-2)^2 + (2x-2+1)^2 = 5 \implies $(x-2)^2 + (2x-1)^2 = 5$.
Ausmultiplizieren: $5x^2 - 8x + 5 = 5 \implies 5x^2 - 8x = 0$.
$x(5x-8)=0 \implies x=0, x=1.6$. Punkte: $\mathbf{(0, -2)}$ und $\mathbf{(1.6, 1.2)}$.
Frage 23: Geometrische Folgen
$a_3 = -18$ und $a_4 = 54$. Finden Sie das siebte Glied und die Summe der ersten zehn Glieder.
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Quotient $r = 54/-18 = -3$. Erstes Glied $a = -18/(-3)^2 = -2$.
$a_7 = -2(-3)^6 = \mathbf{-1458}$.
$S_{10} = \dfrac{-2(1 - (-3)^{10})}{1 - (-3)} = \dfrac{-2(-59048)}{4} = \mathbf{29524}$.
Frage 24: Zinseszins
Welcher Betrag muss angelegt werden, um in 10 Jahren bei 6% Zinsen (halbjährlich verzinst) 20.000 $ zu erhalten?
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Formel verwenden $BW = EW(1 + r/n)^{-nt}$.
$BW = 20000(1 + 0.03)^{-20} = \mathbf{11.073,52 \$}$.