Diese Seite bietet detaillierte, schrittweise Lösungen zu Fragen über das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken. Sie finden hier klare Erklärungen, grundlegende Beispiele und fortgeschrittene Übungsaufgaben, die Schülern und Lehrern helfen sollen, dieses Thema der Algebra zu meistern.
Tipp: Sie können unseren Rechner zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke verwenden, um Ihre Ergebnisse zu überprüfen!
Das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen rationaler Ausdrücke erfolgt auf genau dieselbe Weise wie das Addieren und Subtrahieren numerischer Brüche. Es gibt zwei Hauptfälle:
Fall 1: Gleicher Nenner
Wenn die rationalen Ausdrücke bereits denselben Nenner haben, addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler und behalten den Nenner bei.
$$\frac{A}{C} \pm \frac{B}{C} = \frac{A \pm B}{C}$$
Fall 2: Unterschiedliche Nenner
Wenn die Ausdrücke unterschiedliche Nenner haben, müssen Sie zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) finden, um sie auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, bevor Sie die Zähler zusammenfassen können.
Subtrahieren und vereinfachen Sie: $$\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}$$
Die beiden Brüche haben denselben Nenner, also subtrahieren wir die Zähler direkt:
$$\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3}$$
Subtrahieren und vereinfachen Sie: $$\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10}$$
Die beiden Brüche haben unterschiedliche Nenner, also müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 5 und 10 finden.
Wir wandeln die Brüche auf den gemeinsamen Nenner 10 um:
$$\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10}$$
Jetzt vereinfachen wir:
$$= \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2}$$
Subtrahieren und vereinfachen Sie: $$\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}$$
Die beiden rationalen Ausdrücke haben denselben Nenner, also subtrahieren wir die Zähler und behalten denselben Nenner bei:
$$\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2}$$
Vereinfachen Sie den Zähler:
$$= \dfrac{-x-2}{x+2}$$
Klammern Sie eine $-1$ aus dem Zähler aus und kürzen Sie den gemeinsamen Faktor:
$$= \dfrac{-(x+2)}{x+2} = -1 \quad \text{für } x \neq -2$$
Für die folgenden Fragen müssen Sie wissen, wie man das kgV von Ausdrücken findet.
Berechnen Sie: $$\frac{7}{6} + \frac{1}{18} - \frac{5}{24}$$
Finden Sie das kgV der Nenner 6, 18 und 24.
Wandeln Sie alle 3 Nenner auf den gemeinsamen Nenner 72 um:
$$\frac{7 \times \color{red}{12}}{6 \times \color{red}{12}} + \frac{1 \times \color{red}{4}}{18 \times \color{red}{4}} - \frac{5 \times \color{red}{3}}{24 \times \color{red}{3}}$$
$$= \frac{84}{72} + \frac{4}{72} - \frac{15}{72} = \frac{84 + 4 - 15}{72} = \frac{73}{72}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{x+3}{x+5} + \frac{x-3}{x+2}$$
Die beiden Nenner $(x + 5)$ und $(x + 2)$ haben keine gemeinsamen Faktoren, daher ist ihr kgV gegeben durch:
$$\text{kgV} = (x + 5)(x + 2)$$
Schreiben Sie die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner um:
$$\frac{(x+3)\color{red}{(x+2)}}{(x+5)\color{red}{(x+2)}} + \frac{(x-3)\color{red}{(x+5)}}{(x+2)\color{red}{(x+5)}}$$
$$= \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x+5)}{(x+5)(x+2)}$$
Multiplizieren Sie aus, vereinfachen Sie und faktorisieren Sie den Zähler, falls möglich:
$$= \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 + 2x - 15}{(x+5)(x+2)} = \frac{2x^2 + 7x - 9}{(x+5)(x+2)}$$
$$= \frac{(x-1)(2x+9)}{(x+5)(x+2)}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{-3}{x-4} + x + 4$$
Um einen rationalen Ausdruck zu einem Ausdruck ohne Nenner zu addieren, multiplizieren Sie den ganzen Ausdruck mit dem gemeinsamen Nenner über sich selbst:
$$\frac{-3}{x-4} + (x+4) \cdot \frac{\color{red}{x-4}}{\color{red}{x-4}}$$
Die beiden Ausdrücke haben nun denselben Nenner und werden wie folgt addiert:
$$= \frac{-3 + (x+4)(x-4)}{x-4} = \frac{-3 + x^2 - 16}{x-4} = \frac{x^2 - 19}{x-4}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{x-4}{x^2 - 3x + 2} - \frac{x+5}{x^2 + 2x - 3}$$
Faktorisieren Sie die Nenner vollständig, um das kgV zu finden:
$$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$
$$x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$$
$$\text{kgV} = (x - 1)(x - 2)(x + 3)$$
Schreiben Sie die rationalen Ausdrücke mit dem gemeinsamen Nenner um:
$$\frac{x-4}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{\color{red}{x+3}}{\color{red}{x+3}} - \frac{x+5}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{\color{red}{x-2}}{\color{red}{x-2}}$$
$$= \frac{(x-4)(x+3)}{(x-1)(x-2)(x+3)} - \frac{(x+5)(x-2)}{(x-1)(x+3)(x-2)}$$
Subtrahieren Sie die Zähler, multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie:
$$= \frac{(x-4)(x+3) - (x+5)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+3)}$$
$$= \frac{(x^2 - x - 12) - (x^2 + 3x - 10)}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{-4x - 2}{(x-1)(x-2)(x+3)}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{x^2 - x - 6}{x^2 - 2x - 3} - \frac{x^2 + 5x - 6}{x^2 + 9x + 18}$$
Schreiben Sie den gegebenen Ausdruck mit Zählern und Nennern in faktorisierter Form um und kürzen Sie zuerst gemeinsame Faktoren:
$$\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 1)} - \frac{(x + 6)(x - 1)}{(x + 6)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 3}$$
Die beiden neuen Nenner $(x + 1)$ und $(x + 3)$ haben keine gemeinsamen Faktoren, daher ist ihr kgV $(x + 1)(x + 3)$. Schreiben Sie mit dem gemeinsamen Nenner um:
$$= \frac{(x + 2)(x + 3) - (x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 3)}$$
Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie:
$$= \frac{(x^2 + 5x + 6) - (x^2 - 1)}{(x + 1)(x + 3)} = \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 3)}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{2}{2x - 1} + \frac{x + 8}{2x^2 + 9x - 5} - \frac{5}{2x + 10}$$
Faktorisieren Sie die drei Nenner vollständig, um das kgV zu finden:
$$2x - 1 = 2x - 1$$
$$2x^2 + 9x - 5 = (2x - 1)(x + 5)$$
$$2x + 10 = 2(x + 5)$$
$$\text{kgV} = 2(2x - 1)(x + 5)$$
Schreiben Sie die rationalen Ausdrücke mit dem gemeinsamen Nenner um:
$$\frac{2}{2x-1} \cdot \frac{\color{red}{2(x+5)}}{\color{red}{2(x+5)}} + \frac{x+8}{(2x-1)(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} - \frac{5}{2(x+5)} \cdot \frac{\color{red}{(2x-1)}}{\color{red}{(2x-1)}}$$
Fassen Sie die Zähler zusammen und vereinfachen Sie:
$$= \frac{2 \cdot 2(x+5) + 2(x+8) - 5(2x-1)}{2(2x-1)(x+5)}$$
$$= \frac{4x + 20 + 2x + 16 - 10x + 5}{2(2x-1)(x+5)}$$
$$= \frac{-4x + 41}{2(2x-1)(x+5)} = \frac{-(4x-41)}{2(2x-1)(x+5)}$$
Vereinfachen Sie: $$\frac{y-2}{y(xy-y+3x-3)} + \frac{x}{2x-2}$$
Faktorisieren Sie die beiden Nenner vollständig, um das kgV zu finden:
$$y(xy - y + 3x - 3) = y(y(x - 1) + 3(x - 1)) = y(x - 1)(y + 3)$$
$$2x - 2 = 2(x - 1)$$
$$\text{kgV} = 2y(x - 1)(y + 3)$$
Schreiben Sie die rationalen Ausdrücke mit dem gemeinsamen Nenner um:
$$\frac{y-2}{y(x-1)(y+3)} \cdot \frac{\color{red}{2}}{\color{red}{2}} + \frac{x}{2(x-1)} \cdot \frac{\color{red}{y(y+3)}}{\color{red}{y(y+3)}}$$
$$= \frac{2(y-2) + xy(y+3)}{2y(x-1)(y+3)}$$
Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie:
$$= \frac{2y - 4 + xy^2 + 3xy}{2y(x-1)(y+3)} = \frac{xy^2 + 3xy + 2y - 4}{2y(x-1)(y+3)}$$