Rationale Ausdrücke addieren, subtrahieren und vereinfachen Beispiele mit Lösungen
Beispiele zum Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken für die 11. Klasse werden zusammen mit ausführlichen Lösungen und weiteren Fragen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Wir beginnen zunächst mit dem Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen und gehen dann zu rationalen Ausdrücken über.
Ein Online-Rechner zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke ist enthalten und kann zur Überprüfung der Ergebnisse verwendet werden.
Das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken erfolgt genauso wie das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen. Zwei Fälle sind möglich:
Fall 1: Die Brüche oder rationalen Ausdrücke haben den gleichen Nenner, daher addieren oder subtrahieren wir wie folgt:
Fall 2: Die Brüche oder rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner, wir konvertieren sie zuerst zu einem gemeinsamen Nenner und addieren oder subtrahieren dann.
In Brüchen sind nur ganze Zahlen enthalten, während in rationalen Ausdrücken algebraische Ausdrücke enthalten sind.
Wenn Sie Schwierigkeiten beim Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen und rationalen Ausdrücken haben, hilft Ihnen dieses Tutorial, diese Schwierigkeiten zu überwinden, unter der Bedingung, dass Sie jeden Schritt verstehen und bei Bedarf mehr Zeit zum Üben investieren. Ich werde die Beispiele unten zuerst mit Brüchen und dann mit rationalen Ausdrücken präsentieren, wobei die Fragen im Verlauf des Tutorials anspruchsvoller werden. Sie müssen jeden Schritt verstehen!
Beispiel 1
Subtrahiere und vereinfache:
\[
\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3}
\]
Lösung:
Die beiden Brüche haben den gleichen Nenner und daher subtrahieren wir wie folgt
\[
\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3}
\]
Beispiel 2
Subtrahiere und vereinfache:
\[
\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10}
\]
Lösung:
Die beiden Brüche haben unterschiedliche Nenner und wir müssen sie daher auf den gleichen Nenner bringen.
Wir finden zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner 5 und 10.
5: 5, 10, 15, ... (multipliziere 5 mit 1, 2, 3, ... um eine Liste der Vielfachen von 5 zu erhalten)
10: 10, 20, 30, ... (multipliziere 10 mit 1, 2, 3, ... um eine Liste der Vielfachen von 10 zu erhalten)
Das erste gemeinsame Vielfache (oder das kleinste, in rot in den obigen Listen) wird als gemeinsamer Nenner verwendet, der auch als kleinster gemeinsamer Nenner (kgN) bezeichnet wird.
Wir konvertieren nun alle Nenner in den gemeinsamen Nenner 10 wie folgt:
\(
\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10}
\)
dann vereinfachen
\(
= \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2}
\)
Beispiel 3
Vereinfache:
\[
\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16}
\]
Lösung:
Die drei Nenner sind unterschiedlich, daher müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden.
Wir finden zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der drei Nenner 8, 12 und 16.
8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...
16: 16, 32, 48, 64, 80, 96...
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 48 und wir konvertieren nun alle 3 Nenner in den gemeinsamen Nenner 48.
\(
\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} = \dfrac{5 \times \color{red}{6}}{8 \times \color{red}{6}} + \dfrac{1 \times \color{red}{4}}{12 \times \color{red}{4}} - \dfrac{5 \times \color{red}{3}}{16 \times \color{red}{3}}
\)
und dann vereinfachen wie folgt:
\(
= \dfrac{30}{48} + \dfrac{4}{48} - \dfrac{15}{48} = \dfrac{30+4-15}{48} = \dfrac{19}{48}
\)
Rationale Ausdrücke addieren, subtrahieren und vereinfachen
Beispiel 4
Subtrahiere und vereinfache:
\[
\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2}
\]
Lösung:
Die beiden rationalen Ausdrücke haben den gleichen Nenner, daher subtrahieren wir die Zähler und behalten den gleichen Nenner wie folgt
\( \require{cancel} \)
\(
\dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2}
\)
dann vereinfachen
\(
\dfrac{-x-2}{x+2} = \dfrac{-\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} = - 1 , \text {für } x \ne -2
\)
Beispiel 5
Schreibe als rationalen Ausdruck:
\[ \dfrac{1}{x + 5} + x - 3 \]
Lösung:
Um einen rationalen Ausdruck mit einem Ausdruck ohne Nenner zu addieren, konvertieren wir den ohne Nenner zuerst in einen rationalen Ausdruck und addieren sie dann.
Die beiden rationalen Ausdrücke haben den gleichen Nenner und werden wie folgt addiert:
Expandiere das Produkt (x - 3)(x + 5) und vereinfache.
HINWEIS: Für die folgenden Beispiele müssen Sie wissen, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von Ausdrücken findet und auch Übungen zu Fragen mit ausführlichen Lösungen zum kgV durchführen.
Beispiel 6
Addiere und vereinfache: .
Lösung:
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die oben gezeigten rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie zu einem gemeinsamen Nenner konvertieren. Wir faktorisieren zunächst die beiden Nenner 3x + 6 und x + 2 vollständig und finden das kgV.
3 x + 6 = 3(x + 2)
x + 2 = x + 2
kgV = 3(x + 2)
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit dem gleichen Nenner wie folgt.
Wir addieren und vereinfachen nun.
Beispiel 7
Addiere und vereinfache: .
Lösung:
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die oben gezeigten rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie zu einem gemeinsamen Nenner konvertieren. Wir faktorisieren zunächst die beiden Nenner x 2 - x - 2 und x 2 + 4 x + 3 vollständig und finden das kgV.
x 2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)
x 2 + 4 x + 3 = (x + 1)(x + 3)
kgV = (x + 1)(x - 2)(x + 3)
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit dem gleichen Nenner wie folgt.
Wir addieren nun die Zähler, faktorisieren x + 2 und vereinfachen.
Die Zähler in faktorisierter Form sind in vielen Situationen nützlich: Lösung von rationalen Ungleichungen, Lösung von rationalen Gleichungen, Graphen von rationalen Funktionen, ....
Fall 2: Die Brüche oder rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner, wir konvertieren sie zuerst zu einem gemeinsamen Nenner und addieren oder subtrahieren dann.
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