Beispiele zum Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken für die 11. Klasse werden zusammen mit detaillierten Lösungen und weiteren Fragen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert.
Wir beginnen mit dem Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen und gehen dann zu rationalen Ausdrücken über.
Ein Online-Taschenrechner zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke ist enthalten und kann zur Überprüfung der Ergebnisse verwendet werden.
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Das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen rationaler Ausdrücke erfolgt auf die gleiche Weise wie das Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen. Zwei Fälle sind möglich:
Fall 1: Die Brüche oder rationalen Ausdrücke haben denselben Nenner, daher addieren oder subtrahieren wir wie folgt:
Fall 2: Die Brüche oder rationalen Ausdrücke haben nicht denselben Nenner, wir wandeln sie zuerst in einen gemeinsamen Nenner um und addieren oder subtrahieren dann.
In Brüchen sind nur ganze Zahlen enthalten, während in rationalen Ausdrücken algebraische Ausdrücke enthalten sind.
Wenn Sie Schwierigkeiten beim Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von Brüchen und rationalen Ausdrücken haben, wird Ihnen dieses Tutorial helfen, diese Schwierigkeiten zu überwinden, vorausgesetzt, Sie verstehen jeden Schritt, der bei der Lösung dieser Fragen erforderlich ist, und verbringen bei Bedarf auch mehr Zeit mit Üben. Ich werde die Beispiele unten beginnend mit Brüchen und dann mit rationalen Ausdrücken vorstellen, mit anspruchsvolleren Fragen, während Sie durch das Tutorial gehen. Sie müssen jeden Schritt verstehen!
Subtrahieren und vereinfachen:
\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} \]
Die beiden Brüche haben denselben Nenner und daher subtrahieren wir wie folgt:
\[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{2-4}{3} = - \dfrac{2}{3} \]
Subtrahieren und vereinfachen:
\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} \]
Die beiden Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen wir sie auf denselben Nenner bringen.
Wir finden zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner 5 und 10.
5: 5, 10, 15, ... (multipliziere 5 mit 1, 2, 3, ... um eine Liste der Vielfachen von 5 zu erhalten)
10: 10, 20, 30, ... (multipliziere 10 mit 1, 2, 3, ... um eine Liste der Vielfachen von 10 zu erhalten)
Das erste gemeinsame Vielfache (oder das kleinste, in rot in den obigen Listen) wird als gemeinsamer Nenner verwendet, der auch kleinster gemeinsamer Nenner (kgN) genannt wird.
Wir wandeln nun alle Nenner auf den gemeinsamen Nenner 10 um wie folgt:
\[ \dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{1 \times \color{red}{2}}{5 \times \color{red}{2}} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{7}{10} \]
dann vereinfachen
\[ = \dfrac{2-7}{10} = - \dfrac{5}{10} = - \dfrac{1}{2} \]
Vereinfachen:
\[ \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} \]
Die drei Nenner sind unterschiedlich, daher müssen wir einen gemeinsamen Nenner finden.
Wir finden zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der drei Nenner 8, 12 und 16.
8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,...
16: 16, 32, 48, 64, 80, 96...
Der kleinste gemeinsame Nenner ist 48 und wir wandeln nun alle 3 Nenner auf den gemeinsamen Nenner 48 um.
\[ \dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{12} - \dfrac{5}{16} = \dfrac{5 \times \color{red}{6}}{8 \times \color{red}{6}} + \dfrac{1 \times \color{red}{4}}{12 \times \color{red}{4}} - \dfrac{5 \times \color{red}{3}}{16 \times \color{red}{3}} \]
und dann wie folgt vereinfachen:
\[ = \dfrac{30}{48} + \dfrac{4}{48} - \dfrac{15}{48} = \dfrac{30+4-15}{48} = \dfrac{19}{48} \]
Subtrahieren und vereinfachen:
\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} \]
Die beiden rationalen Ausdrücke haben denselben Nenner, daher subtrahieren wir die Zähler und behalten denselben Nenner bei wie folgt:
\( \require{cancel} \)
\[ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+2} = \dfrac{2-x-4}{x+2} \]
dann vereinfachen
\[ \dfrac{-x-2}{x+2} = \dfrac{-\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} = - 1 , \text{für } x \ne -2 \]
Schreiben Sie als rationalen Ausdruck:
\[ \dfrac{1}{x + 5} + x - 3 \]
Um einen rationalen Ausdruck mit einem Ausdruck ohne Nenner zu addieren, wandeln wir den Ausdruck ohne Nenner in einen rationalen Ausdruck um und addieren sie dann.
Die beiden rationalen Ausdrücke haben denselben Nenner und werden wie folgt addiert:
Erweitern Sie das Produkt \( (x - 3)(x + 5) \) und vereinfachen Sie.
HINWEIS: Für die folgenden Beispiele müssen Sie wissen, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von Ausdrücken findet, und auch an Fragen mit detaillierten Lösungen zum kgV üben.
Addieren und vereinfachen: 
.
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir faktorisieren zuerst die beiden Nenner \(3x + 6\) und \(x + 2\) vollständig und finden das kgV.
\[ 3 x + 6 = 3(x + 2) \]
\[ x + 2 = x + 2 \]
\[ \text{kgV} = 3(x + 2) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
Wir addieren und vereinfachen nun.
Addieren und vereinfachen: 
.
Die beiden rationalen Ausdrücke haben unterschiedliche Nenner. Um die obigen rationalen Ausdrücke zu addieren, müssen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir faktorisieren zuerst die beiden Nenner \(x^2 - x - 2\) und \(x^2 + 4 x + 3\) vollständig und finden das kgV.
\[ x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2) \]
\[ x^2 + 4 x + 3 = (x + 1)(x + 3) \]
\[ \text{kgV} = (x + 1)(x - 2)(x + 3) \]
Wir verwenden nun das kgV als gemeinsamen Nenner und schreiben die rationalen Ausdrücke mit demselben Nenner wie folgt um.
Wir addieren nun die Zähler, faktorisieren \(x + 2\) und vereinfachen.
Der Zähler in faktorisierter Form ist in vielen Situationen sehr nützlich: beim Lösen rationaler Ungleichungen, beim Lösen rationaler Gleichungen, beim Zeichnen rationaler Funktionen, ...