Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) algebraischer Ausdrücke

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr algebraischen Ausdrücken; Beispiele werden zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert, und es gibt auch Fragen mit Lösungen und ausführlichen Erklärungen.

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 2 oder mehr algebraischen Ausdrücken?

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Ausdrücken ist der kleinste (oder einfachste) Ausdruck, der durch jeden dieser Ausdrücke teilbar ist. Es wird gefunden, indem man zuerst jeden der gegebenen Ausdrücke komplett faktorisiert und dann diese Faktoren verwendet, um das kgV zu schreiben. Detaillierte Beispiele werden unten gezeigt.

Beispiel 1

\( \) \( \)\( \)\( \) Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Ausdrücke: \(x^2 - 1\) und \(x - 1\).
Lösung
Wir faktorisieren zuerst die gegebenen Ausdrücke
\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)
\(x - 1 = x - 1\)
Wir erstellen nun das kgV, indem wir alle Faktoren, die beim Faktorisieren der gegebenen algebraischen Ausdrücke enthalten sind, multiplizieren. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x - 1\) ist ein Faktor beider Ausdrücke und wird daher einmal verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. Daher

kgV \( ( x^2 - 1 , x - 1 ) = (x - 1)(x+1) \)

Beispiel 2

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Ausdrücke: \(2 x^2\) , \( x^2 + x \) und \(x^3 + 2 x \).
Lösung
Wir faktorisieren zuerst die gegebenen Ausdrücke komplett:
\(2 x^2 = 2 x \cdot x \)
\(x^2 + x = x(x + 1)\)
\(x^3 + 2 x = x( x^2 + 2)\)
Das kgV wird erstellt, indem alle Faktoren multipliziert werden, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist nur ein Faktor im ersten Term und wird daher verwendet. \(x\) ist ein Faktor in allen drei Ausdrücken, und derjenige mit der höchsten Potenz, nämlich \(x^2\) im ersten Term, wird verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x^2 + 1\) ist ein Faktor im dritten Ausdruck und wird daher verwendet. Daher

kgV ( \(2x^2\), \(x^2 + x \) , \(x^3 + 2 x ) = 2x^2 (x + 1) (x^2 + 2)\)


Beispiel 3

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Ausdrücke: \(x^2 + 3 x - 4\) ,   \((x - 1)^2\) und \(x^2 + 9 x + 20\).
Lösung
Wir faktorisieren zuerst die gegebenen Ausdrücke komplett:
\(x^2 + 3 x - 4 = (x - 1)(x + 4)\)
\((x - 1)^2 = (x - 1)^2\)
\(x^2 + 9 x + 20 = (x + 4)(x + 5)\)
Das kgV wird erstellt, indem alle Faktoren multipliziert werden, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x - 1\) ist ein Faktor in den ersten beiden Ausdrücken und ist daher derjenige mit der höchsten Potenz \((x - 1)^2\) im zweiten Ausdruck wird verwendet. \(x + 4\) ist ein Faktor in den ersten und dritten Ausdrücken und wird einmal verwendet. \(x + 5\) ist ein Faktor im dritten Ausdruck und wird daher verwendet . Daher

kgV ( \(x^2 + 3 x - 4\) , \((x - 1)^2\) , \(x^2 + 9 x + 20 ) = (x - 1)^2 (x + 4)(x + 5)\)

Weitere Fragen mit detaillierter Lösung

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der unten angegebenen algebraischen Ausdrücke.

  1. ) \( 2 (x + 1) \) und \( 3 (x + 1) \).
  2. ) \( 2 (x - 1)^2 \) und \( 5 (x - 1) \).
  3. ) \( x^2 + 5 x + 6 \) und \( 2 x^2 + 2 x - 4 \).
  4. ) \( 3 x^3 - 2 x ^2 - x \) und \( x - 1 \).
  5. ) \( 3 x^3 - 2 x ^2 - x \) , \( 2 x ^2 - 2 \) und \( (x - 1)^2 \).

Lösungen zu den obigen Fragen

Lösung zu Frage 1
Wir faktorisieren zuerst die gegebenen Ausdrücke komplett:
\( 2 (x + 1) = 2 (x + 1) \)
\(3 (x + 1) = 3 (x + 1)\)
Das kgV wird erstellt, indem alle Faktoren multipliziert werden, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor in den ersten beiden Ausdrücken und wird einmal verwendet. \(3\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet . Daher

kgV ( \( 2 (x + 1) \) , \( 3 (x + 1) ) = 2 · 3 (x + 1) \)


Lösung zu Frage 2
Faktorisiere die gegebenen Ausdrücke komplett:
\( 2 (x - 1)^2 = 2 (x - 1)^2 \)
\( 5 (x - 1) = 5 (x - 1)\)
Wir erstellen nun das kgV, indem wir alle Faktoren multiplizieren, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor in den ersten beiden Ausdrücken, und der Faktor mit der höchsten Potenz, nämlich \((x - 1)^2\) im ersten Ausdruck, wird verwendet. \(5\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. Daher

kgV ( \( 2 (x - 1)^2 \) , \( 5 (x - 1) ) = 2 · 5 (x - 1)^2 \)


Lösung zu Frage 3
\( x^2 + 5 x + 6 \) und \( 2 x^2 + 2 x - 4 \).
Lösung
Faktorisiere die gegebenen Ausdrücke komplett:
\( x^2 + 5 x + 6 = (x + 3)(x + 2)\)
\( 2 x^2 + 2 x - 4 = 2(x - 1)(x + 2)\)
Das kgV wird erstellt, indem alle Faktoren multipliziert werden, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x + 3\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 2\) ist ein Faktor in den ersten beiden Ausdrücken und wird daher einmal verwendet. \(2\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. Daher

kgV ( \( x^2 + 5 x + 6 \) , \( 2 x^2 + 2 x - 4 ) = 2 · (x + 3)(x + 2)(x - 1) \)


Lösung zu Frage 4
\(3 x^3 - 2 x ^2 - x\) und \(x - 1\).
Lösung
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke komplett:
\(3 x^3 - 2 x ^2 - x = x (3 x + 1)(x - 1)\)
\(x - 1 = x - 1\)
Das kgV wird erstellt, indem alle Faktoren multipliziert werden, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(3 x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor in den ersten beiden Ausdrücken und wird daher nur einmal verwendet. Daher

kgV ( \(3 x^3 - 2 x ^2 - x\) , \(x - 1\) ) = x (3x + 1)(x - 1)


Lösung zu Frage 5
\(3 x^3 - 2 x ^2 - x\), \(2 x ^2 - 2\) und \((x - 1)^2\).
Lösung
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke komplett:
\(3 x^3 - 2 x ^2 - x = x (3 x + 1)(x - 1)\)
\(2 x ^2 - 2 = 2(x - 1)(x + 1)\)
\((x - 1)^2 = (x - 1)^2\)
Wir erstellen nun das kgV, indem wir alle Faktoren multiplizieren, die beim Faktorisieren der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und derjenige mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(3 x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor in allen drei Ausdrücken, und derjenige mit der höchsten Potenz, nämlich \((x - 1)^2\) im dritten Ausdruck, wird verwendet. \(2\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. Daher

kgV ( \(3 x^3 - 2 x ^2 - x\), \(2 x ^2 - 2\), \((x - 1)^2\) ) = 2 x (3x + 1)(x - 1)^2(x + 1)


Weitere Referenzen und Links

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) in Mathematik
Mathematik der Oberstufe (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mathematik der Mittelstufe (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
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