Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr algebraischen Ausdrücken; Beispiele werden zusammen mit ihren detaillierten Lösungen vorgestellt, und es gibt auch Fragen mit Lösungen und ausführlichen Erklärungen.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Ausdrücken ist der kleinste (oder einfachste) Ausdruck, der durch jeden dieser Ausdrücke teilbar ist. Es wird gefunden, indem man zunächst jeden der gegebenen Ausdrücke vollständig faktorisiert und dann diese Faktoren verwendet, um das kgV zu bilden. Detaillierte Beispiele sind unten aufgeführt.
\( \) \( \)\( \)\( \) Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Ausdrücke: \(x^2 - 1\) und \(x - 1\).
Wir faktorisieren zunächst die gegebenen Ausdrücke
\[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\]
\[x - 1 = x - 1\]
Wir bilden nun das kgV, indem wir alle Faktoren multiplizieren, die in der Faktorisierung der gegebenen algebraischen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x - 1\) ist ein Faktor in beiden Ausdrücken und wird daher einmal verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. Somit
\[ \text{kgV von} \; ( x^2 - 1 \quad , \quad x - 1 ) = \color{red} {(x - 1)(x+1)} \]
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Ausdrücke: \(2 x^2\) , \( x^2 + x \) und \(x^3 + 2 x \).
Wir faktorisieren zunächst die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ 2 x^2 = 2 x \cdot x \]
\[ x^2 + x = x(x + 1) \]
\[ x^3 + 2 x = x( x^2 + 2) \]
Das kgV wird gebildet, indem alle Faktoren multipliziert werden, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist nur im ersten Term ein Faktor und wird daher verwendet. \(x\) ist ein Faktor in allen drei Ausdrücken, und der mit der höchsten Potenz, nämlich \(x^2\) im ersten Term, wird verwendet. \(x + 1\) ist nur im zweiten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. \(x^2 + 1\) ist nur im dritten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. Somit
\[ \text{kgV von} \; ( 2 x^2 \quad , \quad x^2 + x \quad , \quad x^3 + 2 x ) = \color{red} {2x^2 (x + 1) (x^2 + 2)} \]
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der drei Ausdrücke: \(x^2 + 3 x - 4\) , \((x - 1)^2\) und \(x^2 + 9 x + 20\).
Wir faktorisieren zunächst die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ x^2 + 3 x - 4 = (x - 1)(x + 4) \]
\[ (x - 1)^2 = (x - 1)^2 \]
\[ x^2 + 9 x + 20 = (x + 4)(x + 5) \]
Das kgV wird gebildet, indem alle Faktoren multipliziert werden, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x - 1\) ist ein Faktor im ersten und zweiten Ausdruck, daher wird der mit der höchsten Potenz \((x - 1)^2\) im zweiten Ausdruck verwendet. \(x + 4\) ist ein Faktor im ersten und dritten Ausdruck und wird nur einmal verwendet. \(x + 5\) ist nur im dritten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. Somit
\[ \text{kgV von} \; ( x^2 + 3 x - 4 \quad , \quad (x - 1)^2 \quad , \quad x^2 + 9 x + 20 ) = \color{red} {(x - 1)^2 (x + 4)(x + 5)} \]
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der unten angegebenen algebraischen Ausdrücke.
Wir faktorisieren zunächst die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ 2 (x + 1) = 2 (x + 1) \]
\[ 3 (x + 1) = 3 (x + 1) \]
Das kgV wird gebildet, indem alle Faktoren multipliziert werden, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im ersten und zweiten Ausdruck und wird nur einmal verwendet. \(3\) ist nur im zweiten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. Somit
\[ \text{kgV von} \; ( 2 (x + 1) \quad , \quad 3 (x + 1) ) = \color{red} { 2 \cdot 3 (x + 1) = 6 (x+1) } \]
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ 2 (x - 1)^2 = 2 (x - 1)^2 \]
\[ 5 (x - 1) = 5 (x - 1) \]
Wir bilden nun das kgV, indem wir alle Faktoren multiplizieren, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(2\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor im ersten und zweiten Ausdruck, und der Faktor mit der höchsten Potenz, nämlich \((x - 1)^2\) im ersten Ausdruck, wird verwendet. \(5\) ist nur im zweiten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. Somit
\[ \text{kgV von} \; ( 2 (x - 1)^2 \quad , \quad 5 (x - 1) ) = \color{red} { 2 \cdot 5 (x - 1)^2 = 10 (x - 1)^2 } \]
\( x^2 + 5 x + 6 \) und \( 2 x^2 + 2 x - 4 \).
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ x^2 + 5 x + 6 = (x + 3)(x + 2) \]
\[ 2 x^2 + 2 x - 4 = 2(x - 1)(x + 2) \]
Das kgV wird gebildet, indem alle Faktoren multipliziert werden, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x + 3\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 2\) ist ein Faktor im ersten und zweiten Ausdruck und wird daher einmal verwendet. \(2\) ist nur im zweiten Ausdruck ein Faktor und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. Somit
\( 3 x^3 - 2 x ^2 - x \) und \( x - 1 \).
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ 3 x^3 - 2 x ^2 - x = x (3 x + 1)(x - 1) \]
\[ x - 1 = x - 1 \]
Das kgV wird durch Multiplikation aller Faktoren gebildet, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(3 x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor im ersten und zweiten Ausdruck und wird daher nur einmal verwendet. Somit
\( 3 x^3 - 2 x ^2 - x \) , \( 2 x ^2 - 2 \) und \( (x - 1)^2 \).
Faktorisieren Sie die gegebenen Ausdrücke vollständig:
\[ 3 x^3 - 2 x ^2 - x = x (3 x + 1)(x - 1) \]
\[ 2 x ^2 - 2 = 2(x - 1)(x + 1) \]
\[ (x - 1)^2 = (x - 1)^2 \]
Wir bilden nun das kgV, indem wir alle Faktoren multiplizieren, die in der Faktorisierung der gegebenen Ausdrücke enthalten sind. Gemeinsame Faktoren werden nur einmal verwendet, und der mit der höchsten Potenz wird verwendet.
\(x\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(3 x + 1\) ist ein Faktor im ersten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x - 1\) ist ein Faktor in allen drei Ausdrücken, und der mit der höchsten Potenz, nämlich \((x - 1)^2\) im dritten Ausdruck, wird verwendet. \(2\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. \(x + 1\) ist ein Faktor im zweiten Ausdruck und wird daher verwendet. Somit