Erkunden Sie detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen und Erklärungen, wie man rationale Ausdrücke multipliziert, dividiert, faktorisiert und vereinfacht. Jede Frage enthält eine vollständige, durchgerechnete Lösung, einschließlich Faktorisierungstechniken, Kürzung gemeinsamer Faktoren und Domänenbeschränkungen. Diese Beispiele sollen Schülern, Eltern und Lehrern helfen, rationale Ausdrücke besser zu verstehen und sich auf Algebra-Übungen vorzubereiten.
Wir multiplizieren zwei rationale Ausdrücke, indem wir ihre Zähler und Nenner wie folgt multiplizieren: \[ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} \] Wir dividieren zwei rationale Ausdrücke, indem wir den ersten mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren, wie folgt: \[ \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} \]
Der Graph zeigt eine einfache rationale Kurve. Dividieren und vereinfachen Sie:
\[ \frac{-3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3} \]Die Division zweier rationaler Ausdrücke erfolgt durch Multiplikation des ersten mit dem Kehrwert des zweiten (siehe Divisionsregel oben). Daher
\[ -\frac{3}{2} \div \frac{6x - 9}{2x - 3} = \frac{-3}{2} \cdot \frac{2x - 3}{6x - 9} \]Multiplizieren Sie Zähler und Nenner (Multiplikationsregel).
\[ = \frac{-3(2x - 3)}{2(6x - 9)} \]Faktorisieren Sie den Term 6x-9 im Nenner wie folgt:
\[ 6x - 9 = 3(2x - 3) \]und verwenden Sie die faktorisierte Form im rationalen Ausdruck
\[ = \frac{-3(2x - 3)}{2 \cdot 3(2x - 3)} \]vereinfachen
\[ = \frac{\cancel{-3}\cancel{(2x - 3)}}{2 \cdot \cancel{3}\cancel{(2x - 3)}} = -\frac{1}{2} \text{ für } x \neq \frac{3}{2} \]Der Graph zeigt eine rationale Kurve mit vertikalen Asymptoten. Faktorisieren und vereinfachen Sie:
\[ \frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10} \]Wenden Sie die Multiplikationsregel an (siehe oben)
\[ \frac{2x - 5}{2x + 2} \cdot \frac{10x + 10}{4x - 10} = \frac{(2x - 5)(10x + 10)}{(2x + 2)(4x - 10)} \]Faktorisieren Sie die Terme im Zähler und im Nenner:
\[ 10 x + 10 = 10(x + 1) \qquad 2 x + 2 = 2(x + 1) \qquad 4 x - 10 = 2(2x - 5) \]und verwenden Sie sie in faktorisierter Form
\[ = \frac{(2x-5) \cdot 10(x+1)}{2(x+1) \cdot 2(2x-5)} \]Vereinfachen Sie wenn möglich
\[ = \frac{\cancel{(2x-5)} \cdot 10 \cancel{(x+1)}}{2 \cancel{(x+1)} \cdot 2 \cancel{(2x-5)}} = \frac{10}{4} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{2} \text{ für } x \neq -1 \text{ und } x \neq \frac{5}{2} \]Der Graph zeigt sich schneidende rationale Funktionen.
\[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} \]Die Division zweier rationaler Ausdrücke erfolgt durch Multiplikation des ersten rationalen Ausdrucks mit dem Kehrwert des zweiten rationalen Ausdrucks (siehe Divisionsregel oben). Daher
\[ \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \div \frac{x^2 + x - 30}{x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 7x - 15}{x^2 + 3x - 4} \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 30} \]Multiplizieren Sie Zähler und Nenner (Multiplikationsregel), aber erweitern Sie nicht, da wir möglicherweise vereinfachen können.
\[ = \frac{(2x^2 - 7x - 15)(x^2 - 1)}{(x^2 + 3x - 4)(x^2 + x - 30)} \]Faktorisieren Sie die Terme im Zähler und Nenner, wenn möglich.
\[ 2 x^2 - 7 x - 15 = (2x + 3)(x - 5) ; x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] \[ x^2 + 3 x - 4 = (x + 4)(x - 1) ; x^2 + x - 30 = (x + 6)(x - 5) \]und verwenden Sie sie im rationalen Ausdruck
\[ = \frac{(2x+3)(x-5)(x-1)(x+1)}{(x+4)(x-1)(x+6)(x-5)} \]und vereinfachen.
\[ = \frac{\cancel{(2x+3)}\cancel{(x-5)}\cancel{(x-1)}(x+1)}{(x+4)\cancel{(x-1)}(x+6)\cancel{(x-5)}} = \frac{(2x+3)(x+1)}{(x+4)(x+6)} \text{ für } x\neq -6,-4,-1,1,5 \]Der Graph zeigt eine rationale Kurve mit mehreren Asymptoten. Dividieren, faktorisieren und vereinfachen Sie:
\[ \left( \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) \div \frac{x-2}{x+5} \]Wir haben die Multiplikation zweier rationaler Ausdrücke innerhalb der Klammern und wenden dann die Multiplikationsregel an. Wir haben auch eine Division durch einen rationalen Ausdruck, die durch Multiplikation mit dem Kehrwert erfolgt. Daher
\[ \left( \frac{x-1}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2-1} \right) \div \frac{x-2}{x+5} = \frac{(x-1)(x^2-4)}{(x+2)(x^2-1)} \cdot \frac{x+5}{x-2} \]Multiplizieren Sie Zähler und Nenner (Multiplikationsregel), aber erweitern Sie nicht, da wir möglicherweise vereinfachen können.
\[ = \frac{(x-1)(x^2-4)(x+5)}{(x+2)(x^2-1)(x-2)} \]Faktorisieren Sie die Terme in Zähler und Nenner, wenn möglich, und verwenden Sie sie im rationalen Ausdruck
\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \text{ und } x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\]Vereinfachen
\[ = \frac{\cancel{(x-1)}\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}(x+5)}{\cancel{(x+2)}\cancel{(x-1)}(x+1)\cancel{(x-2)}} = \frac{x+5}{x+1} \text{ für } x\neq -2,-1,1,-5,2 \]Der Graph zeigt eine rationale Funktion mit einem kubischen Zähler. Dividieren, faktorisieren und vereinfachen Sie:
\[ \frac{x^3 - 27}{x+3} \div \frac{x-3}{(x+3)^2} \]Die Division zweier rationaler Ausdrücke erfolgt durch Multiplikation des ersten rationalen Ausdrucks mit dem Kehrwert des zweiten rationalen Ausdrucks (siehe Divisionsregel oben). Daher
\[ \frac{x^3 - 27}{x + 3} \div \frac{x - 3}{(x + 3)^2} = \frac{x^3 - 27}{x + 3} \cdot \frac{(x + 3)^2}{x - 3} \]Multiplizieren Sie Zähler und Nenner (Multiplikationsregel), aber erweitern Sie nicht.
\[ = \frac{(x^3 - 27)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} \]Faktorisieren Sie den Term \(x^3 - 27\) im Zähler und verwenden Sie ihn.
\[ x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3 x + 9) \]und verwenden Sie ihn im rationalen Ausdruck
\[ = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} \]und vereinfachen.
\[ = \frac{\cancel{(x - 3)}(x^2 + 3x + 9)(x + 3)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x + 3)}\cancel{(x - 3)}} = (x + 3)(x^2 + 3x + 9) \] \[ \text{für } x \neq -3 \text{ und } x \neq 3 \]Der Graph zeigt eine rationale Funktion mit mehreren Asymptoten. Multiplizieren, faktorisieren und vereinfachen Sie:
\[ \frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x} \]Wenden Sie die Multiplikationsregel an (siehe oben)
\[ \frac{2y - x}{4x^2 - 9y^2} \cdot \frac{4x + 6y}{y - \frac{1}{2}x} = \frac{(2y - x)(4x + 6y)}{(4x^2 - 9y^2)(y - \frac{1}{2}x)} \]Faktorisieren Sie die Terme im Zähler und im Nenner:
\[ 2 y - x = 2 (y - (1/2) x) ; 4 x + 6 y = 2(2x + 3y) ; 4 x^2 - 9 y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) \]und verwenden Sie sie in faktorisierter Form
\[ = \frac{2\left(y - \frac{1}{2}x\right) \cdot 2(2x + 3y)}{(2x - 3y)(2x + 3y)\left(y - \frac{1}{2}x\right)} \]Vereinfachen Sie wenn möglich
\[ = \frac{\cancel{2}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)} \cdot 2\cancel{(2x + 3y)}}{(2x - 3y)\cancel{(2x + 3y)}\cancel{\left(y - \frac{1}{2}x\right)}} = \frac{4}{2x - 3y} \text{ für } x \neq 2y , -\frac{3y}{2} , \frac{3y}{2} \]