Mathematikprobleme mit Lösungen

Mathematikprobleme der Klasse 11 mit Antworten und Lösungen werden präsentiert.

Probleme

1. Ein Flugzeug fliegt gegen den Wind von A nach B in 8 Stunden. Das gleiche Flugzeug kehrt von B nach A, in die gleiche Richtung wie der Wind, in 7 Stunden zurück. Finden Sie das Verhältnis der Geschwindigkeit des Flugzeugs (in ruhiger Luft) zur Windgeschwindigkeit.
   

2. Finden Sie den Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen, definiert durch
   x² + y² -2x + 4y + 1 = 0
   x² + y² -2x + 4y - 11 = 0
   

3. Finden Sie alle Werte des Parameters m (eine reale Zahl), so dass die Gleichung 2x² - m x + m = 0 keine realen Lösungen hat.

4. Die Summe einer ganzen Zahl N und ihres Kehrwerts beträgt 78/15. Was ist der Wert von N?

5. m und n sind ganze Zahlen, so dass 4^m / 125 = 5ⁿ / 64. Finden Sie Werte für m und n.

6. Vereinfachen Sie: 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001}

7. P ist ein Polynom, so dass P(x² + 1) = - 2 x⁴ + 5 x² + 6. Finden Sie P(- x² + 3)

8. Für welche Werte von r wäre die Linie x + y = r tangential zum Kreis x² + y² = 4?

Lösungen zu den obigen Problemen

1. 
   Sei x = Geschwindigkeit des Flugzeugs in ruhiger Luft, y = Windgeschwindigkeit und D die Entfernung zwischen A und B. Finden Sie das Verhältnis x / y
   Gegen den Wind: D = 8(x - y), mit dem Wind: D = 7(x + y)
   8x - 8y = 7x + 7y, daher x / y = 15
2. 
   Schreiben Sie die Gleichungen der Kreise in Normalform um. Daher kann die Gleichung x² + y² -2x + 4y + 1 = 0 als
   (x - 1)² + (y + 2) ² = 4 = 2²
   und die Gleichung x² + y² -2x + 4y - 11 = 0 als
   (x - 1)² + (y + 2) ² = 16 = 4²
   geschrieben werden. Nachdem die Radien bekannt sind, beträgt die Fläche des Rings π (4)² - π (2)² = 12 π
3. 
   Die gegebene Gleichung ist eine quadratische Gleichung und hat keine Lösungen, wenn die Diskriminante D kleiner als null ist.
   D = (-m)² - 4(2)(m) = m² - 8 m
   Wir lösen die Ungleichung m² - 8 m < 0
   Die Lösungsmenge der obigen Ungleichung ist: (0 , 8)
   Jeder Wert von m im Intervall (0 , 8) macht die Diskriminante D negativ und daher hat die Gleichung keine realen Lösungen.
4. 
   Schreiben Sie die Gleichung in N um:
   N + 1/N = 78/15
   Multiplizieren Sie alle Terme mit N, um eine quadratische Gleichung zu erhalten, und lösen Sie sie, um N = 5 zu erhalten.
5. 
   4^m / 125 = 5ⁿ / 64
   
   Kreuzmultiplizieren: 64 4^m = 125 5ⁿ
   Beachten Sie, dass 64 = 4³ und 125 = 5³
   Die obige Gleichung kann geschrieben werden als: 4^{m + 3} = 5^{n + 3}
   Die einzigen Werte der Exponenten, die die beiden exponentiellen Ausdrücke gleich machen, sind: m + 3 = 0 und n + 3 = 0, was m = - 3 und n = - 3 ergibt.
6. 
   3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} = 3(3^{n + 4001}) = 3^{n + 4002}
7. 
   P(x² + 1) = - 2 x⁴ + 5 x² + 6
   Sei t = x² + 1, was auch x² = t - 1 ergibt
   Setzen Sie x² durch t - 1 in P ein, um zu erhalten: P(t) = - 2 (t - 1)² + 5 (t - 1) + 6 = -2 t ² + 9t - 1
   Nun sei t = - x² + 3 und setzen Sie in P(t) oben ein, um zu erhalten
   P(- x² + 3) = -2 (- x² + 3) ² + 9 (- x² + 3) - 1 = -2 x ⁴ + 3 x ² + 8
8. 
   Lösen Sie x + y = r nach y auf: y = r - x
   Setzen Sie dies in die Gleichung des Kreises ein:
   x² + (r - x)² = 4
   Expandieren Sie: 2 x² -2 r x + r ² - 4 = 0
   Wenn wir die obige quadratische Gleichung (in x) lösen, erhalten wir die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Linie und des Kreises. Die 2 Schnittpunkte "werden zu einem", und daher werden die Linie und der Kreis tangential, wenn die Diskriminante D der quadratischen Gleichung null ist. Daher
   D = (-2r)² - 4(2)(r² - 4) = 4(8 - r²) = 0
   Lösen Sie nach r auf, um zu erhalten: r = 2 √2 und r = - 2√2

Weitere Referenzen und Links