Matheaufgaben Klasse 11 mit Lösungen

Wir müssen Werte ausschließen, die die Nenner Null werden lassen, da sie keine Lösungen sein können: \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x \ne 2 \] \[ x + 4 = 0 \Rightarrow x \ne -4 \] Über Kreuz multiplizieren: \[ (x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2) \] Beide Seiten ausmultiplizieren \[ x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8 \] Die Gleichung in Standardform schreiben: \[ 0 = 2x^2 - 16x \] Faktorisieren: \[ 2x(x - 8) = 0 \] Jeden Faktor Null setzen: \[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \] \[ x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8 \] Einschränkungen überprüfen

Keine der gefundenen Lösungen ist gleich den ausgeschlossenen Werten \( 2 \) und \( -4 \), daher ist die Lösungsmenge gegeben durch: \[ \{ 0 , 8 \} \]

Sei \[ y = \dfrac{2x - 1}{x + 3} \] Vertauschen Sie \( x \) und \( y \) in der obigen Gleichung: \[ x = \dfrac{2y - 1}{y + 3} \] Über Kreuz multiplizieren: \[ x(y + 3) = 2y - 1 \Rightarrow xy + 3x = 2y - 1 ] Terme mit \( y \) zusammenbringen: \[ xy - 2y = -3x - 1 \Rightarrow y(x - 2) = -3x - 1 ] Lösen nach \( y \): \[ y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \] Die Umkehrfunktion ist gegeben durch: \[ f^{-1}(x) = y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2} \]

Setzen Sie die beiden Ausdrücke für \( y \) gleich: \[ x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \Rightarrow x^2 - 6x + 4 = 0 ] Verwenden Sie die quadratische Formel: \[ x = \dfrac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \dfrac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \] Setzen Sie nun \(x \) in \( y = 2x - 1 \) ein: \[ \text{Für} \quad x = 3 + \sqrt{5} \; , \; y = 2(3 + \sqrt{5}) - 1 = 5 + 2\sqrt{5} \] \[ \text{Für} \quad x = 3 - \sqrt{5} \; , \; = 2(3 - \sqrt{5}) - 1 = 5 - 2\sqrt{5} \] Die Lösungen des Systems sind: \[ (3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5}) \quad , \quad (3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5}) \]

Faktoren des konstanten Terms 10 sind: \[ \pm 1 , \pm 2 , \pm 5 , \pm 10 \] Faktoren des führenden Koeffizienten 1 sind: \[ \pm 1 \] Nach dem Satz über rationale Nullstellen sind die möglichen rationalen Lösungen, falls vorhanden, die Verhältnisse der Faktoren des konstanten Terms und der Faktoren des führenden Koeffizienten.

Versuchen Sie \( x = 1 \): \[ P(1) = 1^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0 ] Daher ist \( x = 1 \) eine Nullstelle und \( x - 1 \) ein Faktor von \( P(x) \). Verwenden Sie Polynomdivision: \[ \dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10 }{x - 1} = x^2 - 3x - 10 ] Nun faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck: \[ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) ] Die Faktorisierung von \( P(x) \) ist gegeben durch: \[ P(x) = x^3 - 4x^2 - 7x + 10 = (x - 1)(x - 5)(x + 2) \]

Teilen Sie beide Seiten durch 2: \[ \dfrac{6 \cdot 3^x }{2} = \dfrac{162}{2} ] Vereinfachen \[ 3 \cdot 3^x = 81 \] Verwenden Sie die Exponentialregel, um \( 3 \cdot 3^x \) als \( 3^{x+1} \) umzuschreiben und in die obige Gleichung einzusetzen: \[ 3^{x+1} = 81 \] Schreiben Sie 81 als Potenz von 3: \[ 3^{x + 1} = 3^4 ] Daher die algebraische Gleichung: \[ x + 1 = 4 \] Lösen Sie nach \( x \) auf \[ x = 3 \]

Verwenden Sie die Scheitelpunktform: \[ y = a(x - 2)^2 - 1 ] Setzen Sie \( (4, 7) \) in die Gleichung ein: \[ 7 = a(4 - 2)^2 - 1 ] Lösen Sie nach \( a \) auf: \[ 7 = a(4) - 1 \] \[ a = 2 \] Die Gleichung der Parabel ist gegeben durch \[ y = 2(x - 2)^2 - 1 \]

Gegeben sind:

Das erste Glied: \[ a = 7 \] Das 15. Glied: \[ a_{15} = -35 \] Die Formel für das \(n\)-te Glied einer arithmetischen Folge ist: \[ a_n = a + (n - 1)d ] Setzen Sie in die Formel für das 15. Glied ein: \[ a_{15} = a + (15 - 1)d = 7 + 14d ] Wir wissen \( a_{15} = -35 \), also: \[ 7 + 14d = -35 ] Lösen Sie nach \( d \) auf \[ d = -3 ] Finden Sie das 30. Glied: \[ a_{30} = a + (30 - 1)d = 7 + 29(-3) = -80 \]

Verwenden Sie die Formel, um die Steigung der Geraden durch die Punkte \( (-2, 3) \) und \( (4, -6) \) zu finden \[ m_1 = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = \dfrac{-9}{6} = -\dfrac{3}{2} ] Also ist die Steigung dieser Geraden durch die Punkte \( (-2, 3) \) und \( (4, -6) \) \( -\dfrac{3}{2} \).

Die Steigung der Geraden durch \( (k, 2) \) und \( (-5, 7) \) sei \( m_2 \), gegeben durch: \[ m_2 = \dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{5}{-5 - k} ] Das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden ist gleich \( -1 \): \[ m_1 \cdot m_2 = -1 ] Setzen Sie \( m_1 \) und \( m_2 \) ein: \[ \dfrac{5}{-5 - k} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -1 ] Vereinfachen: \[ \dfrac{-15}{2(-5 - k)} = -1 ] Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( 2(-5 - k) \): \[ -15 = -2(-5 - k) ] Lösen Sie nach \( k \) auf: \[ k = -\dfrac{25}{2} \]

Sei:

\( x \) die Breite (die beiden Seiten senkrecht zur Mauer)

\( y \) die Länge (die Seite, die eingezäunt werden muss und parallel zur Mauer verläuft) Die Länge des Zauns beträgt zwei Breiten und eine Länge, daher: \[ 2x + y = 100 ] Lösen Sie nach \( y \) auf: \[ y = 100 - 2x ] Fläche \( A \), die eingezäunt werden soll: \[ A = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2 ] Nun maximieren Sie \( A \). Dies ist eine quadratische Funktion: \[ A(x) = -2x^2 + 100x ] Das Maximum liegt vor bei: \[ x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-100}{2(-2)} = 25 ] Dann: \[ y = 100 - 2(25) = 50 ] Die eingezäunte Fläche \( A \) ist maximal für:

Breite \( x = 25 \) m

Länge \( y = 50 \) m

und die maximale Fläche ist \[ A = 25 \times 50 = 1250 \, \text{m}^2 \]

a) Definitionsmenge: Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer denen, die den Nenner Null werden lassen: \[ x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 ] Also ist die Definitionsmenge: \[ x \in \mathbb{R}, \quad x \ne -3, 3 ] b) Hebbare Lücke (Definitionslücke): Zuerst Zähler und Nenner faktorisieren: \[ f(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} ] Der Faktor \( x - 3 \) kürzt sich weg, und das bedeutet, dass bei \( x = 3 \) eine hebbare Lücke vorliegt. Um die y-Koordinate der Lücke zu finden, kürzen Sie den Term \( x - 3 \): \[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 3}, \quad x \ne 3 ] Setzen Sie \( x = 3 \) ein: \[ f(3) = \dfrac{3 - 1}{3 + 3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} ] Die hebbare Lücke hat die Koordinaten: \[ (3, \dfrac{1}{3}) ] c) Asymptoten: Vertikale Asymptote tritt auf, wo der Nenner Null ist und sich nicht wegkürzt: \[ x = -3 \Rightarrow \text{Vertikale Asymptote} ] Horizontale Asymptote:

Da die Grade von Zähler und Nenner gleich sind (beide Grad 2), nehmen Sie das Verhältnis der führenden Koeffizienten: \[ \text{Horizontale Asymptote: } y = \dfrac{1}{1} = 1 ] d) Merkmale des Graphen:

Hebbare Lücke bei \[ (3, \dfrac{1}{3}) \] Vertikale Asymptote bei \[ x = -3 \] Horizontale Asymptote bei \[ y = 1 \] Schnittpunkt mit der y-Achse: \[ f(0) = \dfrac{0^2 - 4(0) + 3}{0^2 - 9} = \dfrac{3}{-9} = -\dfrac{1}{3} ] x-Achsenabschnitte (Nullstellen) aus dem Zähler (nach dem Kürzen): \[ f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 3} ] \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] Der Graph von : \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 9} ] ist unten dargestellt

Das Minimum liegt am Scheitelpunkt, daher ist der Scheitelpunkt bei \( x = 3 \), wir verwenden die Scheitelpunktform: \[ f(x) = a(x - 3)^2 + k ] Wir müssen \( a \) und \( k \) finden. Verwenden Sie den Punkt \( (1, 2) \): \[ 2 = a(1 - 3)^2 + k ] Vereinfachen \[ 4a + k = 2 \quad \text{(1)} ] Verwenden Sie den Punkt \( (5, 10) \): \[ 10 = a(5 - 3)^2 + k ] Vereinfachen \[ 4a + k = 10 \quad \text{(2)} ] Subtrahieren Sie nun Gleichung (1) von (2): \[ (4a + k) - (4a + k) = 10 - 2 ] Was ergibt \[ 0 = 8 \] Es kann keine quadratische Funktion gefunden werden, die durch die Punkte \( (1,2) \) und \( (5,10) \) verläuft und einen Scheitelpunkt bei \( x = 3 \) hat.

Setzen Sie \( y = x^2 - 4 \) in die Kreisgleichung ein: \[ x^2 + (x^2 - 4)^2 = 25 ] Ausmultiplizieren: \[ x^2 + (x^4 - 8x^2 + 16) = 25 \] Gleichartige Terme zusammenfassen und die Gleichung in Standardform schreiben: \[ x^4 - 7x^2 - 9 = 0 ] Sei \( u = x^2 \), dann: \[ u^2 - 7u - 9 = 0 ] Lösen Sie nach \( u \): \[ u = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 + 36}}{2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} \] Also: \[ x^2 = u = \dfrac{7 \pm \sqrt{85}}{2} ] Es gibt keine reellen Lösungen für \( x \) für \( u = x^2 = \dfrac{7 - \sqrt{85}}{2} \approx -1,10977\dots \), da dies negativ ist. Daher ist der einzige Wert von \( u \), der reelle Lösungen für \( x \) liefert: \[ x^2 = u = \dfrac{7 +\sqrt{85}}{2} ] Lösen Sie nach \( x \), indem Sie die Quadratwurzel ziehen: \[ x = \pm \sqrt{ \dfrac{7 +\sqrt{85}}{2} } ] \[ y = x^2 - 4 = \dfrac{7 + \sqrt{85}}{2} - 4 = \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} ] Es gibt 2 Schnittpunkte: \[ \left( \sqrt{ \dfrac{7 + \sqrt{85}}{2} }, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right), \quad \left( - \sqrt{ \dfrac{7 + \sqrt{85}}{2} }, \dfrac{-1 + \sqrt{85}}{2} \right) \]

Sei \( x \) die Geschwindigkeit des Flugzeugs in stiller Luft und \( y \) die Windgeschwindigkeit, und \( D \) die Entfernung zwischen A und B. Wir müssen das Verhältnis \( \frac{x}{y} \) finden.

Gegen den Wind: \[ D = 8(x - y) ] Mit dem Wind: \[ D = 7(x + y) \] Kombinieren Sie die beiden Gleichungen, um die Gleichung zu schreiben: \[ 8x - 8y = 7x + 7y ] \[ x = 15y \] Daraus ergibt sich das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten: \[ \frac{x}{y} = 15 \]

Schreiben Sie die Kreisgleichungen in Standardform um. Daher kann die Gleichung \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 ] geschrieben werden als \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 = 2^2 ] Und die Gleichung \[ x^2 + y^2 - 2x + 4y - 11 = 0 ] als \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 = 4^2 ] Mit Kenntnis der Radien beträgt die Fläche des Rings \[ \pi(4)^2 - \pi(2)^2 = 12\pi \]

Stellen Sie die Gleichung für \( N \) wie folgt auf \[ N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15} \] Multiplizieren Sie alle Terme mit \( N \), erhalten Sie eine quadratische Gleichung: \[ N^2 + 1 = N \dfrac{78}{15} \] Multiplizieren Sie alle Terme mit \( 15 \), erhalten Sie eine quadratische Gleichung: \[ 15 N^2 + 15 = 78 N \] Lösen Sie nach \( N \), um zwei Lösungen zu erhalten: \( N = 5 \) und \( N = 0,2 \), und da wir nach einer ganzen Zahl suchen, ist die Lösung des Problems: \[ N = 5 \]

Gegeben ist: \[ \frac{4^m}{125} = \frac{5^n}{128} ] Über Kreuz multiplizieren \[ 128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n ] Drücken Sie Zahlen als Potenzen von Primzahlen aus

\( 128 = 2^7 \)

\( 4 = 2^2 \), also \( 4^m = (2^2)^m = 2^{2m} \)

\( 125 = 5^3 \) Setzen Sie in die Gleichung ein: \[ 2^7 \cdot 2^{2m} = 5^3 \cdot 5^n ] Was ergibt: \[ 2^{2m + 7} = 5^{n + 3} \] Diese Gleichung: \[ 2^{2m + 7} = 5^{n + 3} ] kann nur wahr sein, wenn beide Seiten gleich derselben Zahl sind, und diese Zahl ist \( 1 \) (da 2 und 5 verschiedene Primzahlen sind und keine Potenz von 2 gleich einer Potenz von 5 ist, außer wenn beide Exponenten 0 sind), daher \[ 2m + 7 = 0 \quad \text{und} \quad n + 3 = 0 ] Lösen \[ 2m + 7 = 0 \Rightarrow m = -\frac{7}{2} ] \[ n + 3 = 0 \Rightarrow n = -3 ] Die beiden rationalen Zahlen sind: \[ m = -\frac{7}{2} ] und \[ n = -3 \]

Verwenden Sie die Logarithmus-Additionsregel \[ \log_2(x) + \log_2(x - 2) = \log_2(x(x - 2)) = \log_2(x^2 - 2x) ] Die Gleichung wird also: \[ \log_2(x^2 - 2x) = 3 = \log_2(2^3) = \log_2(8) ] Daher die algebraische Gleichung: \[ x^2 - 2x = 2^3 = 8 ] Lösen Sie die quadratische Gleichung \[ x^2 - 2x - 8 = 0 ] Faktorisieren: \[ (x - 4)(x + 2) = 0 ] Also: \[ x = 4 \quad \text{oder} \quad x = -2 ] In den ursprünglichen Logarithmusausdrücken:

\( \log_2(x) \) ist nur definiert, wenn \( x > 0 \)

\( \log_2(x - 2) \) ist nur definiert, wenn \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \) Also ist die Definitionsmenge: \[ x > 2 ] Von den beiden Lösungen ist nur \( x = 4 \) eine gültige Lösung.

Da alle drei Terme gleich sind, vereinfacht sich dies zu: \[ 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} + 3^{n + 4001} = 3 \cdot 3^{n + 4001} \] Verwenden Sie Exponentenregeln \[ = 3^{1 + n + 4001} = 3^{n + 4002} \]

Durch Lösen des Systems aus der Geradengleichung und der Kreisgleichung erhalten wir die Schnittpunkte der Geraden und des Kreises.

Lösen Sie die Gleichung \( x + y = r \) nach \( y \) auf: \[ y = r - x ] Setzen Sie in die Kreisgleichung ein: \[ x^2 + (r - x)^2 = 4 ] Ausmultiplizieren: \[ 2x^2 - 2rx + r^2 - 4 = 0 ] Die Gerade ist genau dann tangential zum Kreis, wenn sie einen einzigen Schnittpunkt haben, den Berührungspunkt. Dies tritt ein, wenn die Diskriminante \( \Delta \) der quadratischen Gleichung Null ist. Daher, \[ \Delta = b^2 - 4 a c = (-2r)^2 - 4(2)(r^2 - 4) = 4(8 - r^2) = 0 ] Lösen Sie nach \( r \) auf, um zu erhalten: \[ r^2 = 8 ] Was die Lösungen liefert \[ r = 2\sqrt{2} \quad \text{und} \quad r = -2\sqrt{2} \]

Sei:

\( h = 80 \) m (Höhe der Klippe)

\( d_1 \) = horizontale Entfernung bei einem Tiefenwinkel von \( 28^\circ \)

\( d_2 \) = horizontale Entfernung bei einem Tiefenwinkel von \( 18^\circ \)

Wir lösen nach \( \Delta d = d_2 - d_1 \) auf Aus jedem Dreieck: \[ \tan(28^\circ) = \frac{80}{d_1} \Rightarrow d_1 = \frac{80}{\tan(28^\circ)} \approx \frac{80}{0,5317} \approx 150,44 \text{ m} ] \[ \tan(18^\circ) = \frac{80}{d_2} \Rightarrow d_2 = \frac{80}{\tan(18^\circ)} \approx \frac{80}{0,3249} \approx 246,30 \text{ m} ] \[ \Delta d = d_2 - d_1 \approx 246,30 - 150,44 = 95,86 \text{ m} ] Das Boot ist \( 95,86 \text{ m} \) zwischen den beiden Positionen gefahren.

Wir wissen, dass \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \). Setzen Sie dies in die Gleichung ein: \[ 2(1 - \sin^2 x) + 3 \sin x = 3 ] Ausmultiplizieren und vereinfachen: \[ 2 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x = 3 ] Subtrahieren Sie nun 3 von beiden Seiten: \[ 2 - 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 3 = 0 ] \[ -2 \sin^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 ] Dies ist eine quadratische Gleichung in \( \sin x \). Sei \( y = \sin x \), so wird die Gleichung: \[ -2y^2 + 3y - 1 = 0 ] Multiplizieren Sie mit -1, um den führenden Koeffizienten positiv zu machen: \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 ] Nun können wir nach \( y \) mit der quadratischen Formel lösen: \[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(1)}}{2(2)} ] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} ] \[ y = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} ] \[ y = \frac{3 \pm 1}{4} ] Die beiden Lösungen für \( y \) sind also: \[ y = \frac{3 + 1}{4} = 1 \quad \text{oder} \quad y = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} ] Lösen Sie nach \( x \) auf

Fall 1: \( \sin x = 1 \) Wenn \( \sin x = 1 \), ist die Lösung \( x = 90^\circ \).

Fall 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \) Wenn \( \sin x = \frac{1}{2} \), sind die Lösungen: \[ x = 30^\circ \quad \text{oder} \quad x = 150^\circ ] Somit sind die Lösungen der Gleichung \( 2 \cos^2 x + 3 \sin x = 3 \) für \( 0^\circ < x < 360^\circ \): \[ x = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ ]