Mathematikaufgaben 11. Klasse mit Lösungen

Schritt 1: Definitionsbereich festlegen. Die Nenner dürfen nicht Null werden, daher $x \neq 2$ und $x \neq -4$.

Schritt 2: Über Kreuz multiplizieren. Um die Brüche zu eliminieren, multiplizieren Sie den Zähler einer Seite mit dem Nenner der anderen Seite:
$$(x+2)(x+4) = (3x - 4)(x - 2)$$

Schritt 3: Ausmultiplizieren. Verwenden Sie die Klammer-mal-Klammer-Regel:
$$x^2 + 4x + 2x + 8 = 3x^2 - 6x - 4x + 8$$
$$x^2 + 6x + 8 = 3x^2 - 10x + 8$$

Schritt 4: In quadratische Standardform bringen. Subtrahieren Sie $x^2 + 6x + 8$ von beiden Seiten:
$$0 = 2x^2 - 16x$$

Schritt 5: Faktorisieren und lösen. Klammern Sie den gemeinsamen Term $2x$ aus:
$$2x(x - 8) = 0$$

Das Nullsetzen der Faktoren ergibt $x = 0$ und $x = 8$. Beide sind zulässig, da sie nicht unseren ausgeschlossenen Werten entsprechen.

Lösungen: { 0 , 8 }.

Schritt 1: Anwendung des Satzes über rationale Nullstellen. Die möglichen Nullstellen sind die Teiler des konstanten Glieds (10) geteilt durch die Teiler des Leitkoeffizienten (1).

Mögliche Nullstellen ($\dfrac{p}{q}$): $\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$.

Testen wir $x = 1$:
$P(1) = (1)^3 - 4(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0$.
Da $P(1) = 0$, ist $(x - 1)$ ein Faktor des Polynoms.

Schritt 2: Polynomdivision durchführen. Teilen Sie $P(x)$ durch $(x - 1)$:
$$\dfrac{x^3 - 4x^2 - 7x + 10}{x-1} = x^2 - 3x - 10$$

Schritt 3: Das quadratische Ergebnis faktorisieren. Suchen Sie zwei Zahlen, deren Produkt $-10$ und deren Summe $-3$ ist. Das sind $-5$ und $2$:
$$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)$$

Schritt 4: Alle Faktoren kombinieren.
Faktorisierung: $(x - 1)(x - 5)(x + 2)$.

Schritt 1: Exponentiellen Term isolieren. Teilen Sie beide Seiten durch 6:
$$3^x = \dfrac{162}{6}$$
$$3^x = 27$$

Schritt 2: Gleiche Basis herstellen. 27 ist eine Potenz von 3:
$$3^x = 3^3$$

Schritt 3: Exponenten gleichsetzen. Da die Basen gleich sind, müssen die Exponenten gleich sein.
x = 3.

Schritt 1: Formel für arithmetische Folgen verwenden.
$$a_n = a + (n-1)d$$

Schritt 2: Differenz ($d$) bestimmen. Einsetzen der bekannten Werte für das 15. Glied:
$$-35 = 7 + (15 - 1)d$$
$$-35 = 7 + 14d$$
$$-42 = 14d \Rightarrow d = -3$$

Schritt 3: 30. Glied berechnen. Verwenden Sie die Formel mit $n = 30$ und $d = -3$:
$$a_{30} = 7 + (30 - 1)(-3)$$
$$a_{30} = 7 + 29(-3) = 7 - 87 = \mathbf{-80}$$.

Schritt 1: Übersetzung in eine Gleichung.
$$N + \dfrac{1}{N} = \dfrac{78}{15}$$

Schritt 2: Brüche beseitigen. Multiplizieren Sie mit dem Hauptnenner $15N$:
$$15N^2 + 15 = 78N$$

Schritt 3: Vereinfachen und Nullsetzen. Alle Terme auf eine Seite:
$$15N^2 - 78N + 15 = 0$$
Geteilt durch 3:
$$5N^2 - 26N + 5 = 0$$

Schritt 4: Faktorisieren.
$$(5N - 1)(N - 5) = 0$$

Schritt 5: Lösen. Dies ergibt $N = 1/5$ und $N = 5$. Da eine ganze Zahl gesucht ist, entfällt der Bruch.
Lösung: N = 5.

Schritt 1: Über Kreuz multiplizieren.
$$128 \cdot 4^m = 125 \cdot 5^n$$

Schritt 2: Primfaktorbasen verwenden. $128 = 2^7$, $4 = 2^2$ und $125 = 5^3$.
$$2^7 \cdot (2^2)^m = 5^3 \cdot 5^n \implies 2^{7 + 2m} = 5^{3 + n}$$

Schritt 3: Exponenten lösen. Da 2 und 5 verschiedene Primzahlen sind, müssen beide Exponenten Null sein:
$$7 + 2m = 0 \Rightarrow m = -3,5$$
$$3 + n = 0 \Rightarrow n = -3$$

Schritt 1: Definitionsbereich. $x > 0$ und $x > 2$, also muss $x > 2$ sein.

Schritt 2: Logarithmusgesetze. $\log_2[x(x - 2)] = 3 \implies x^2 - 2x = 2^3 = 8$.

Schritt 3: Quadratische Gleichung lösen. $x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x - 4)(x + 2) = 0$.

Lösungen: $x=4$ oder $x=-2$. Wegen $x > 2$ entfällt $-2$. Lösung: x = 4.

Das sind dreimal der gleiche Term: $3 \cdot 3^{n + 4001} = 3^1 \cdot 3^{n + 4001} = 3^{1 + n + 4001}$.

Vereinfachte Form: $3^{n + 4002}$

Schritt 1: $y = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$.

Schritt 2: Vertauschen: $x = \dfrac{2y - 1}{y + 3}$.

Schritt 3: Nach y auflösen. $x(y+3) = 2y-1 \implies xy+3x = 2y-1 \implies xy-2y = -3x-1$.

Ausklammern: $y(x-2) = -3x-1 \implies y = \dfrac{-3x - 1}{x - 2}$.

Umkehrfunktion: $f^{-1}(x) = \dfrac{-3x - 1}{x - 2}$.

Gleichsetzen: $x^2 - 4x + 3 = 2x - 1 \implies x^2 - 6x + 4 = 0$.

Mit der Mitternachtsformel: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.

Einsetzen in $y = 2x-1$ ergibt $y = 5 \pm 2\sqrt{5}$.

Lösungen: $(3 + \sqrt{5}, 5 + 2\sqrt{5})$ und $(3 - \sqrt{5}, 5 - 2\sqrt{5})$.

Scheitelpunktform $y = a(x-2)^2 - 1$. Einsetzen von $(4, 7)$: $7 = a(4-2)^2 - 1 \implies 8 = 4a \implies a = 2$.

Gleichung: $y = 2(x - 2)^2 - 1$.

Perimeter: $2x + y = 100 \implies y = 100 - 2x$.

Fläche: $A = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$.

Maximaler Wert bei $x = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-100}{-4} = 25$.

Dimensionen: 25m x 50m. Fläche: 1250m².

Faktorisieren: $f(x) = \dfrac{(x-3)(x-1)}{(x-3)(x+3)}$.

Lücke bei $x=3$ (y=1/3). Vertikale Asymptote: $x = -3$. Horizontale Asymptote: $y = 1$.

Steigung der zweiten Gerade: $m_2 = \dfrac{-6 - 3}{4 - (-2)} = -1,5$.

Senkrechte Steigung: $m_1 = \dfrac{-1}{-1,5} = \dfrac{2}{3}$.

Gleichung: $\dfrac{7 - 2}{-5 - k} = \dfrac{2}{3} \implies 15 = 2(-5-k) \implies k = -12,5$.

Einsetzen $x^2 = y+4$ in Kreisgleichung: $(y+4) + y^2 = 25 \implies y^2 + y - 21 = 0$.

Lösungen $y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{85}}{2}$. $x = \pm \sqrt{y+4}$.

Kreis 1: Radius $r_1 = 2$. Kreis 2: Radius $r_2 = 4$.

Fläche: $\pi(4^2 - 2^2) = \mathbf{12\pi}$.

Einsetzen $y=r-x \implies x^2 + (r-x)^2 = 4 \implies 2x^2 - 2rx + r^2 - 4 = 0$.

Tangente bedeutet $\Delta = 0$: $4r^2 - 8(r^2-4) = 0 \implies 4r^2 = 32 \implies r = \pm \sqrt{8}$.

$d_1 = 80 / \tan(28^\circ) \approx 150,44\text{m}$.

$d_2 = 80 / \tan(18^\circ) \approx 246,30\text{m}$.

Differenz: 95,86 m.

Identität: $2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x = 3 \implies 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Faktorisieren: $(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$.

Lösungen: $\sin x = 0,5 \implies 30^\circ, 150^\circ$; $\sin x = 1 \implies 90^\circ$.