Regeln für Radikale und Exponenten

Wichtige Regeln zum Vereinfachen von Wurzelausdrücken und Ausdrücken mit Exponenten werden zusammen mit Beispielen präsentiert. Fragen mit Antworten befinden sich am Ende der Seite.

Regeln für Exponenten.

Regeln Beispiele
\( 0^ 0\)   ist undefiniert
\( 0^m = 0 \) , \( m \gt 0 \) \( 0^{10} = 0 \)
\( x^0 = 1 \; , \; x \ne 0 \) \( 21^0 = 1 \)
\( 1^m = 1 \) \( 1^{12} = 1 \)
\( (-1)^m = 1 \) wenn \( m \) eine gerade Zahl ist \( (-1)^6 = 1 \)
\( (-1)^m = - 1 \) wenn \( m \) eine ungerade Zahl ist \( (-1)^9 = - 1 \)
\( x^m x^n = x^{m+n} \) \( 2^3 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 \)
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \) \( \dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 \)
\( (x^m)^n = x^{m \times n} \) \( (4^5)^2= 4^{5 \times 2} = 4^{10} \)
\( (x \; y)^m = x^m \; y^m \) \( (3 \; b)^2 = 3^2 \; b^2 = 9 b^2 \)
\( \left ( \dfrac{x}{y} \right )^m = \dfrac{x^m}{y^m} \; , y \ne 0 \) \( \left ( \dfrac{4}{b} \right )^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2} \)
\( (-x)^m = (-1)^m \; x^m \) \( (-3)^4 = (-1)^4 (3^4) = 1 \times 81 = 81 \)
\( \left (\dfrac{x}{y} \right)^{-m} = \left (\dfrac{y}{x} \right)^{m} \; , \; x \ne 0 \; , y \; \ne 0 \) \( \left (\dfrac{4}{3} \right)^{-2} = \left (\dfrac{3}{4} \right)^{2} \)
\( \dfrac{1}{y^{-m}} = y^m \; , \; y \ne 0 \) \( \dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2 \)
\( | x^m| = | x |^m \) \( | (- 5)^4 | = |-5| ^4 = 5^4 = 625 \)

Was sind Radikale?

Wenn \( x = y^n \) , dann ist \( x \) die \( n^{te} \) Wurzel von \( y \).
Die Haupt \( n^{te} \) Wurzel einer Zahl \( x \) hat dasselbe Vorzeichen wie \( x \).
Beispiele
1) Die Quadrat (zweite) Wurzel von \( 4 \) ist \( 2 \) (Hinweis: - 2 ist auch eine Wurzel, aber sie ist nicht die Hauptwurzel, weil sie das entgegengesetzte Vorzeichen zu 4 hat)
2) Die Kubik (dritte) Wurzel von \( 8 \) ist \( 2 \)
4) Die Kubik (dritte) Wurzel von \( - 8 \) ist \( - 2 \)
Spezielle Symbole, genannt Radikale, werden verwendet, um die Hauptwurzel einer Zahl anzuzeigen.
\( \huge \color{red}{ y = \sqrt[n]{x} } \)
\( n \) ist der Index, \( x \) ist der Radikand. Für die Quadratwurzel (n = 2) schreiben wir den Index nicht.

Regeln für Radikale.

Regeln Beispiele
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \) \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 \)
\( x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m} \) \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 \)
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x y} \) \(\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \times 2} = \sqrt[5]{32} = 2 \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} \) \(\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = - 2 \)
\( (\sqrt[m]{x})^m = x \) \((\sqrt[3]{ - 2})^3 = - 2\)
\( \sqrt[m]{x^m} = | x | \;\; \text{wenn m gerade ist} \) \(\sqrt[4]{(- 2)^4} = | - 2| = 2 \)
\( \sqrt[m]{x^m} = x \;\; \text{wenn m ungerade ist} \) \(\sqrt[5]{ (- 2)^5} = - 2 \)

Fragen

Verwenden Sie die oben aufgeführten Regeln, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen und sie mit positiven Exponenten neu zu schreiben. Beachten Sie, dass Sie manchmal mehr als eine Regel verwenden müssen, um einen gegebenen Ausdruck zu vereinfachen.

  1. \( (-1)^{125} \)

  2. \( 2^5 \; 2^{-2} \)

  3. \( 9^3 / 9^5 \)

  4. \( 0^3 \)

  5. \( ( 2 / y)^5 \)

  6. \( (- 3)^4 \)

  7. \( (2 / 5)^{-1} \)

  8. \( | - 2 |^4 \)

  9. \( (-3)^0 \)

  10. \( (- 1)^4 \)

  11. \( (- 1)^{15} \)

  12. \( (3^2)^3 \)

  13. \( (- 4 x)^3 \)

  14. \(\sqrt[4]{16^3} \)

  15. \(27^{5/3} \)

  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} \)

  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} \)

  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 \)

  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 }\)

  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5}\)

Antworten zu den obigen Fragen


  1. \( (-1)^{125} = -1 \)

  2. \( 2^5 \; 2^{-2} = 2^3 = 8 \)

  3. \( 9^3 / 9^5 = 1 / 9^2 = 1/81 \)

  4. \( 0^3 = 0 \)

  5. \( ( 2 / y)^5 = 2^5 / y^5 = 32 / y^5\)

  6. \( (- 3)^4 = 3^4 = 81\)

  7. \( (2 / 5)^{-1} = 5/2\)

  8. \( | - 2 |^4 = 2^4 = 16\)

  9. \( (-3)^0 = 1 \)

  10. \( (- 1)^4 = 1\)

  11. \( (- 1)^{15} = -1\)

  12. \( (3^2)^3 = 3^6 = 729 \)

  13. \( (- 4 x)^3 = (- 4)^3 x^3 = - 4^3 \; x^3 = - 64 x^3 \)

  14. \(\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 \)

  15. \(27^{5/3} = (\sqrt[3]{27})^5 = 3^5 \)

  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)

  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\dfrac{160}{40}} = \sqrt{4} = 2\)

  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 = 3^{(6/6)} = 3^1 = 3 \)

  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 } = | - 7 | = 7 \)

  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5} = - 9\)

More References and links

Vereinfachen Sie radikale Ausdrücke
Was sind Exponenten in der Mathematik?