Regeln für Radikale und Exponenten

Wichtige Regeln zum Vereinfachen von Radikalausdrücken und Ausdrücken mit Exponenten werden zusammen mit Beispielen vorgestellt. Fragen mit Antworten finden Sie am Ende der Seite.

Regeln für Exponenten.

Regeln Beispiele
\( 0^ 0\)   ist nicht definiert
\( 0^m = 0 \) , \( m \gt 0 \) \( 0^{10} = 0 \)
\( x^0 = 1 \; , \; x \ne 0 \) \( 21^0 = 1 \)
\( 1^m = 1 \) \( 1^{12} = 1 \)
\( (-1)^m = 1 \) wenn \( m \) eine gerade ganze Zahl ist \( (-1)^6 = 1 \)
\( (-1)^m = - 1 \) wenn \( m \) eine ungerade ganze Zahl ist \( (-1)^9 = - 1 \)
\( x^m x^n = x^{m+n} \) \( 2^3 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7 \)
\( \dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \) \( \dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 \)
\( (x^m)^n = x^{m \times n} \) \( (4^5)^2= 4^{5 \times 2} = 4^{10} \)
\( (x \; y)^m = x^m \; y^m \) \( (3 \; b)^2 = 3^2 \; b^2 = 9 b^2 \)
\( \left ( \dfrac{x}{y} \right )^m = \dfrac{x^m}{y^m} \; , y \ne 0 \) \( \left ( \dfrac{4}{b} \right )^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2} \)
\( (-x)^m = (-1)^m \; x^m \) \( (-3)^4 = (-1)^4 (3^4) = 1 \times 81 = 81 \)
\( \left (\dfrac{x}{y} \right)^{-m} = \left (\dfrac{y}{x} \right)^{m} \; , \; x \ne 0 \; , y \; \ne 0 \) \( \left (\dfrac{4}{3} \right)^{-2} = \left (\dfrac{3}{4} \right)^{2} \)
\( \dfrac{1}{y^{-m}} = y^m \; , \; y \ne 0 \) \( \dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2 \)
\( | x^m| = | x |^m \) \( | (- 5)^4 | = |-5| ^4 = 5^4 = 625 \)

Was sind Radikale?

Wenn \( x = y^n \) , dann ist \( x \) die \( n^{te} \) Wurzel von \( y \).

Die Haupt- \( n^{te} \) Wurzel einer Zahl \( x \) hat das gleiche Vorzeichen wie \( x \).

Beispiele

1) Die Quadratwurzel (zweite Wurzel) von \( 4 \) ist \( 2 \) (Hinweis: - 2 ist ebenfalls eine Wurzel, aber nicht die Hauptwurzel, da sie das entgegengesetzte Vorzeichen zu 4 hat)

2) Die Kubikwurzel (dritte Wurzel) von \( 8 \) ist \( 2 \)

4) Die Kubikwurzel (dritte Wurzel) von \( - 8 \) ist \( - 2 \)

Spezielle Symbole namens Radikale werden verwendet, um die Hauptwurzel einer Zahl anzuzeigen.

\[ \huge \color{red}{ y = \sqrt[n]{x} } \] \( n \) ist der Wurzelexponent (Index), \( x \) ist der Radikand. Bei der Quadratwurzel (n = 2) schreibt man den Index nicht.

Regeln für Radikale

Regeln Beispiele
\( \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \) \(\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 \)
\( x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m} \) \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 \)
\( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x y} \) \(\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \times 2} = \sqrt[5]{32} = 2 \)
\( \dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}} \) \(\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = - 2 \)
\( (\sqrt[m]{x})^m = x \) \((\sqrt[3]{ - 2})^3 = - 2\)
\( \sqrt[m]{x^m} = | x | \;\; \text{falls m gerade ist} \) \(\sqrt[4]{(- 2)^4} = | - 2| = 2 \)
\( \sqrt[m]{x^m} = x \;\; \text{falls m ungerade ist} \) \(\sqrt[5]{ (- 2)^5} = - 2 \)

Fragen

Verwenden Sie die oben aufgeführten Regeln, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen und sie mit positiven Exponenten umzuschreiben. Beachten Sie, dass Sie manchmal mehr als eine Regel anwenden müssen, um einen gegebenen Ausdruck zu vereinfachen.
  1. \( (-1)^{125} \)
  2. \( 2^5 \; 2^{-2} \)
  3. \( 9^3 / 9^5 \)
  4. \( 0^3 \)
  5. \( ( 2 / y)^5 \)
  6. \( (- 3)^4 \)
  7. \( (2 / 5)^{-1} \)
  8. \( | - 2 |^4 \)
  9. \( (-3)^0 \)
  10. \( (- 1)^4 \)
  11. \( (- 1)^{15} \)
  12. \( (3^2)^3 \)
  13. \( (- 4 x)^3 \)
  14. \(\sqrt[4]{16^3} \)
  15. \(27^{5/3} \)
  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} \)
  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} \)
  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 \)
  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 }\)
  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5}\)

Antworten zu den obigen Fragen

  1. \( (-1)^{125} = -1 \)
  2. \( 2^5 \; 2^{-2} = 2^3 = 8 \)
  3. \( 9^3 / 9^5 = 1 / 9^2 = 1/81 \)
  4. \( 0^3 = 0 \)
  5. \( ( 2 / y)^5 = 2^5 / y^5 = 32 / y^5\)
  6. \( (- 3)^4 = 3^4 = 81\)
  7. \( (2 / 5)^{-1} = 5/2\)
  8. \( | - 2 |^4 = 2^4 = 16\)
  9. \( (-3)^0 = 1 \)
  10. \( (- 1)^4 = 1\)
  11. \( (- 1)^{15} = -1\)
  12. \( (3^2)^3 = 3^6 = 729 \)
  13. \( (- 4 x)^3 = (- 4)^3 x^3 = - 4^3 \; x^3 = - 64 x^3 \)
  14. \(\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 \)
  15. \(27^{5/3} = (\sqrt[3]{27})^5 = 3^5 \)
  16. \(\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{64} = 4 \)
  17. \(\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\dfrac{160}{40}} = \sqrt{4} = 2\)
  18. \((\sqrt[6]{ 3})^6 = 3^{(6/6)} = 3^1 = 3 \)
  19. \(\sqrt[4]{ (- 7)^4 } = | - 7 | = 7 \)
  20. \(\sqrt[5]{(- 9)^5} = - 9\)

Weitere Referenzen und Links