Wichtige Regeln zum Vereinfachen von Wurzelausdrücken und Ausdrücken mit Exponenten werden unten zusammen mit Beispielen vorgestellt. Interaktive Übungsaufgaben mit schrittweisen Lösungen finden Sie am Ende der Seite.
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| $0^0$ ist undefiniert | |
| $0^m = 0$, $m > 0$ | $0^{10} = 0$ |
| $x^0 = 1$, $x \neq 0$ | $21^0 = 1$ |
| $1^m = 1$ | $1^{12} = 1$ |
| $(-1)^m = 1$, falls $m$ eine gerade Zahl | $(-1)^6 = 1$ |
| $(-1)^m = -1$, falls $m$ eine ungerade Zahl | $(-1)^9 = -1$ |
| $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ |
| $\dfrac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ | $\dfrac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3$ |
| $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ | $(4^5)^2 = 4^{5 \cdot 2} = 4^{10}$ |
| $(x \cdot y)^m = x^m \cdot y^m$ | $(3 \cdot b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$ |
| $\left( \dfrac{x}{y} \right)^m = \dfrac{x^m}{y^m}$, $y \neq 0$ | $\left( \dfrac{4}{b} \right)^2 = \dfrac{4^2}{b^2} = \dfrac{16}{b^2}$ |
| $(-x)^m = (-1)^m \cdot x^m$ | $(-3)^4 = (-1)^4 \cdot 3^4 = 81$ |
| $\left( \dfrac{x}{y} \right)^{-m} = \left( \dfrac{y}{x} \right)^m$, $x \neq 0, y \neq 0$ | $\left( \dfrac{4}{3} \right)^{-2} = \left( \dfrac{3}{4} \right)^2$ |
| $\dfrac{1}{y^{-m}} = y^m$, $y \neq 0$ | $\dfrac{1}{8^{-2}} = 8^2$ |
| $| x^m | = | x |^m$ | $| (-5)^4 | = |-5|^4 = 5^4 = 625$ |
Wenn $x = y^n$, dann ist $x$ die $n$-te Potenz von $y$ und $y$ die $n$-te Wurzel von $x$.
Die Hauptwurzel (n-te Wurzel) einer Zahl $x$ hat das gleiche Vorzeichen wie $x$.
Spezielle Symbole, sogenannte Wurzelzeichen, werden verwendet, um die Hauptwurzel einer Zahl anzugeben.
$$y = \sqrt[n]{x}$$
$n$ ist der Wurzelexponent, und $x$ ist der Radikand. Für die Quadratwurzel ($n = 2$) schreiben wir den Exponenten nicht.
| Regel | Beispiel |
|---|---|
| $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ | $\sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2$ |
| $x^{m/n} = (\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$ | $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3$ |
| $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$ | $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32} = 2$ |
| $\dfrac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\dfrac{x}{y}}$ | $\dfrac{\sqrt[3]{-40}}{\sqrt[3]{5}} = \sqrt[3]{\dfrac{-40}{5}} = \sqrt[3]{-8} = -2$ |
| $(\sqrt[m]{x})^m = x$ | $(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$ |
| $\sqrt[m]{x^m} = |x|$, falls $m$ gerade | $\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2$ |
| $\sqrt[m]{x^m} = x$, falls $m$ ungerade | $\sqrt[5]{(-2)^5} = -2$ |
Nutzen Sie die oben genannten Regeln, um die folgenden Ausdrücke zu vereinfachen und mit positiven Exponenten umzuschreiben. Oft müssen mehrere Regeln kombiniert werden.
$(-1)^{125} = -1$
$2^5 \cdot 2^{-2} = 2^3 = 8$
$9^3 / 9^5 = 1 / 9^2 = 1/81$
$0^3 = 0$
$( 2 / y)^5 = 2^5 / y^5 = 32 / y^5$
$(- 3)^4 = 3^4 = 81$
$(2 / 5)^{-1} = 5/2$
$| - 2 |^4 = 2^4 = 16$
$(-3)^0 = 1$
$(- 1)^4 = 1$
$(- 1)^{15} = -1$
$(3^2)^3 = 3^6 = 729$
$(- 4 x)^3 = (- 4)^3 x^3 = - 64 x^3$
$\sqrt[4]{16^3} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$
$27^{5/3} = (\sqrt[3]{27})^5 = 3^5 = 243$
$\sqrt[3]{32} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{64} = 4$
$\dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{40}} = \sqrt{\dfrac{160}{40}} = \sqrt{4} = 2$
$(\sqrt[6]{3})^6 = 3^{(6/6)} = 3^1 = 3$
$\sqrt[4]{(- 7)^4} = |-7| = 7$
$\sqrt[5]{(- 9)^5} = -9$