Vereinfachen von Exponenten- und Wurzelaufgaben

Überprüfen und verwenden Sie die Regeln für Wurzeln und Exponenten, um Exponenten- und Wurzelausdrücke zu vereinfachen; Fragen mit detaillierten Lösungen (unterer Teil der Seite) und Erklärungen werden präsentiert. Versuchen Sie, keinen Taschenrechner zu verwenden, um numerische Ausdrücke zu vereinfachen, außer um Ihre Antworten zu überprüfen. Weitere Fragen zur Vereinfachung von Wurzelausdrücken sind auf dieser Website enthalten.

Vereinfachen Sie numerische Ausdrücke mit Exponenten

Frage 1

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( 12^0 \)
  5. \( 0^{20} \)
  6. \( 0^{-4} \)
  7. \( (-1)^7 \)
  8. \( (-1)^4 \)
  9. \( (-1)^{-3} \)
  10. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  11. \( \dfrac{(-2)^{-2}}{4^{-2}} \)
  12. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
  13. \( x^4 \) für \( x = -2 \)
  14. \( -x^2 \) für \( x = -3 \)
  15. \( -x^5 \) für \( x = -2 \)
  16. \( x^4 \) für \( x = -\dfrac{2}{3} \)
  17. \( -x^{-2} \) für \( x = -\dfrac{1}{2} \)
  18. \( -x^5 \) für \( x = -\dfrac{1}{3} \)

Vereinfachen Sie numerische Ausdrücke mit Wurzeln und rationalen Exponenten

Frage 2

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \( \sqrt{64} \)
  2. \( \sqrt[3]{-8} \)
  3. \( 4^{3/2} \)
  4. \( 8^{2/3} \)
  5. \( 0.0001^{3/4} \)
  6. \( 16^{-3/4} \)
  7. \( \sqrt{2} \sqrt{8} \)
  8. \( \sqrt[3]{2} \sqrt[3]{32} \)
  9. \( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} \)
  10. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
  11. \( -2 (\sqrt[6]{8})(5\sqrt[6]{8}) \)
  12. \( \dfrac{-4 \sqrt[3]{375}}{2\sqrt[3]{3}} \)

Vereinfachen Sie algebraische Ausdrücke mit Exponenten

Frage 3

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \( x^2 \cdot x^5 \)
  2. \( \dfrac{y^4}{y^2} \)
  3. \( (x^2)^{-2} \)
  4. \( 3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) \)
  5. \( (2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) \)
  6. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  7. \( \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} \)
  8. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  9. \( (3x^2 y^3)(2x^5 y^{-2}) \)
  10. \( (-2x^2 y^3 z^4)(-4x^3 y z^{-8})(5x y^2 z^2) \)
  11. \( (-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 \)
  12. \( \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) \)
  13. \( \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) \)
  14. \( \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) \)
  15. \( (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) \)
  16. \( (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} \)
  17. \( (- 27 x^{3/2})^{1/3} \)
  18. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
  19. \( x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} \)

Vereinfachen Sie algebraische Ausdrücke mit Wurzeln

Frage 4

  1. \( \sqrt{x^2} \)
  2. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  3. \( \sqrt{(2x - 1)^2} \)
  4. \( \sqrt[3]{-27x^3} \)
  5. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  6. \( \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} \)
  7. \( \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} y \)
  8. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
  9. \( (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) \)

Lösungen zu den obigen Fragen

Lösung zu Frage 1

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
  2. \(-3^4 = - (3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81\)
  3. \((-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81\)
  4. \(12^0 = 1\)
  5. \(0^{20} = 0\)
  6. \(0^{-4} = \dfrac{1}{0^4} = \dfrac{1}{0}\) : undefiniert, weil Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist.
  7. \((-1)^7 = -1\)
  8. \((-1)^4 = 1\)
  9. \((-1)^{-3} = \dfrac{1}{(-1)^3} = \dfrac{1}{-1} = -1\)
  10. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = (-1)^2 \left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}\)
  11. \(\dfrac{(-2)^{-2}}{4^{-2}} = \dfrac{4^2}{(-2)^2} = \dfrac{16}{4} = 4\)
  12. \(-3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{3^3} + \dfrac{1}{(-2)^2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{23}{108}\)
  13. \(x^4\) für \(x = -2\) \[ x^4 = (-2)^4 = 16 \]
  14. \(-x^2\) für \(x = -3\) \[ - x^2 = -(-3)^2 = -9 \]
  15. \(-x^5\) für \(x = -2\) \[ - x^5 = -(-2)^5 = 32 \]
  16. \(x^4\) für \(x = -\dfrac{2}{3}\) \[ \left(-\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{(-2)^4}{3^4} = \dfrac{16}{81} \]
  17. \(-x^{-2}\) für \(x = -\dfrac{1}{2}\) \[ - x^{-2} = -\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = -(-1)^{-2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} \] \[ = -1 \cdot \left(\dfrac{2}{1}\right)^2 = -\dfrac{4}{1} = -4 \]
  18. \(-x^5\) für \(x = -\dfrac{1}{3}\) \[ - x^5 = -\left(-\dfrac{1}{3}\right)^5 = -(-1)^5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^5 \] \[ = -(-1) \cdot \dfrac{1}{243} = \dfrac{1}{243} \]

Lösung zu Frage 2

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \(\sqrt{64} = \sqrt{8^2} = 8\)
  2. \(\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2\)
  3. \(4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\)
  4. \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\)
  5. \(0.0001^{3/4} = (\sqrt[4]{0.0001})^3\) \[ = (\sqrt[4]{\dfrac{1}{10000}})^3 = (\sqrt[4]{\dfrac{1}{10^4}})^3 \] \[ = \left(\dfrac{1}{10}\right)^3 = \dfrac{1}{10^3} = 0.001 \]
  6. \(16^{-3/4} = \dfrac{1}{16^{3/4}} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3}\) \[ = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \]
  7. \(\sqrt{2} \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4\)
  8. \(\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2 \times 32} = \sqrt[3]{64} = 4\)
  9. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{2}{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}\)
  10. \(\dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2\)
  11. \(-2 (\sqrt[6]{8})(5\sqrt[6]{8}) = (-2 \times 5)\sqrt[6]{8 \times 8}\) \[ = -10\sqrt[6]{64} = -10\sqrt[6]{2^6}\] \[ = -10(2) = -20 \]
  12. \(\dfrac{-4\sqrt[3]{375}}{2\sqrt[3]{3}} = \left(\dfrac{-4}{2}\right)\sqrt[3]{\dfrac{375}{3}} = -2\sqrt[3]{125}\) \[ = -2 \times 5 = -10 \]

Lösung zu Frage 3

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
  1. \( x^2 \cdot x^5 = x^{2 + 5} = x^7 \)
  2. \( \frac{y^4}{y^2} = y^{4 - 2} = y^2 \)
  3. \( (x^2)^{-2} = x^{2 \times (-2)} = x^{-4} = \frac{1}{x^4} \)
  4. \(3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) \) \[ = (3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} ) x^{4 + 3} = \dfrac{1}{2} x^7 \]
  5. \( (2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) = 2^4 x^4 (\dfrac{1}{4} x^{-3}) \) \[ = (2^4 \times \dfrac{1}{4}) x^{4-3} = 4 x \]
  6. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} = \dfrac{3^2 x^2 (-2)^3 x^3}{2^2 x^2} \) \[ = \dfrac{3^2 (-2)^3}{2^2} \dfrac{x^3}{x^2} = - 18 x \]
  7. \( \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} = \dfrac{4^2 x^2 \times 1}{3^2 x^2} = 16/9 \)
  8. \( (-2x^2 y^{-3})^3 = (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 \) \[ = -8 x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \]
  9. \(3x^2 y^3)(2x^5 y^{-2}) = (3 \times 2)(x^2 x^5)(y^3 y^{-2}) \) \[ = 6x^{2 + 5} y^{3 - 2} = 6x^7 y \]
  10. \( (-2x^2 y^3 z^4)(-4x^3 y z^{-8})(5x y^2 z^2) \) \[ = (-2 \times -4 \times 5)(x^2 x^3 x)(y^3 y y^2)(z^4 z^{-8} z^2) \] \( = 40x^{2 + 3 + 1} y^{3 + 1 + 2} z^{4 - 8 + 2} \) \[ = 40x^6 y^6 z^{-2} = \dfrac{40x^6 y^6}{z^2} \]
  11. \( (-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 \) \[ = (-2)^2 x^2 y^4 \left (\dfrac{x^{18}}{(2x)^6} \right) = \dfrac{4x^2 y^4x^{18}}{2^6 x^6} \] \[ = \dfrac{4}{2^6} \dfrac{x^{2+18}y^4}{x^6} = \dfrac{1}{16} {x^{14} y^4} \]
  12. \( \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) \) \[ = \dfrac{4}{-8} \; \dfrac{x^6 y^3}{x^3y^{-2}} \] \[ = -\dfrac{1}{2} x^{6-3} y^{3-(-2)} = -\dfrac{1}{2} x^3 y^5 \]
  13. \( \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) \) \[ = \dfrac{(- 4 \times 3)}{(3 \times (-6))} \dfrac{(x^3 y^2)(x^2 y^5)}{(x^3 y^3)(x^3y^2)} \] \[ = \dfrac{2}{3} \dfrac{x^5 y^7}{x^6 y^5} = \dfrac{2}{3} x^{5-6} y^{7-5}= \dfrac{2}{3} \dfrac{y^2}{x} \]
  14. \( \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) \) \[ = \dfrac{1 \times 4 \times 3}{6 \times 3 \times (-1)} \dfrac{(x^2 y z^3)(x^2 y^3)(x^2 y^5 z)}{(x^2 y^{-3}z^2)(-x^3 y^2 z^3)} \] \[ = (-\dfrac{2}{3}) \dfrac{x^{2+2+2}y^{1+3+5}z^{3+1}}{x^{2+3} y^{-3+2} z^{2+3} } \] \[ = - \dfrac{2}{3} \dfrac{x^6 y^9 z^4}{x^5 y z^5} = - \dfrac{2}{3} \; \dfrac{x y^{10} }{z} \]
  15. \( (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) = (4 \times (-8))(x^{2/3+1/2}) = - 32 x^{7/6} \)
  16. \( (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} = 4^{3/2} x^{3/2} 9^{1/2} x^{1/2} \) \[ = (\sqrt 4)^3 (\sqrt 9) x^{3/2+1/2} = 8 \times 3 x^2 = 24 x^2 \]
  17. \( (- 27 x^{3/2})^{1/3} = (- 27)^{1/3} (x^{3/2})^{1/3} \) \[ = \sqrt[3]{-27} x^{3/2 \times 1/3} = - 3 x^{1/2} = - 3 \sqrt x \]
  18. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} = \dfrac{(-8x^3)^{2/3}} {(y^{-6})^{2/3}} \) \[ = \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}} {(y^{-6 \times (2/3)}} \] \[ = \dfrac{(\sqrt[3]{-8})^2 (x^{3 \times (2/3)})} {(y^{-4})} = 4 x^2 y^4 \]
  19. \( x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} = x^{5/3+1/6 -11/6} = x^0 = 1 , x \ne 0 \)

Lösung zu Frage 4

  1. \( \sqrt{x^2} = | x | \)
  2. \( \sqrt[4]{16x^4} = \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 4 | x | \)
  3. \( \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1| \)
  4. \( \sqrt[3]{-27x^3} = \sqrt[3]{-27} \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{(-3)^3} \sqrt[3]{x^3} = - 3 x \)
  5. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} = \sqrt[3]{8} \sqrt[3]{ x^6} \sqrt[3]{y^3} = 2 x^{6/3} y = 2 x^2 y \)
  6. \( \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} = \sqrt{x^3 x^2} = \sqrt{x^{3+2}} = \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \times x} = x^2 \sqrt x \)
  7. \( \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} = \dfrac{\sqrt[3]{-8x^6}}{\sqrt[3]{y^{-3}}} \) \[ = \dfrac{\sqrt[3]{-8} \sqrt[3]{x^6}} {\sqrt[3]{y^{-3} }} \] \[ = \dfrac{\sqrt[3]{(-2)^3} \sqrt[3]{(x^2)^3}} {\sqrt[3]{(y^{-1})^3 }} = \dfrac{-2 x^2}{y^{-1}} = -2 x^2 y \]
  8. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} = \sqrt[5] {\dfrac{64x^9 y^7}{2 x^4 y^2}}\) \[ = \sqrt[5] {32 x^{9-4} y^{7-2}} = \sqrt[5] {2^5} \sqrt[5] x^{5} \sqrt[5] y^{5} = 2 x y \]
  9. \( (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) \) \[ = (4 \times 5) \sqrt[8]{b^2 b^3 b^3 } = 20 \sqrt[8]{b^8 } = 20 |b| = 20 b \] Hinweis: In der letzten Frage, da \( \sqrt[8]{b^3}\) reell ist, ist b größer oder gleich Null. Daher gilt |b| = b.

Weitere Referenzen und Links

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