Exponenten und Wurzeln vereinfachen

Übungsaufgaben, einschließlich anspruchsvoller Beispiele, mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Um Exponenten und Wurzeln zu vereinfachen, müssen Sie die Potenzgesetze und die Eigenschaften von Wurzeln anwenden. Wiederholen Sie die Regeln für Wurzeln und Exponenten bevor Sie beginnen. Versuchen Sie, diese numerischen Ausdrücke ohne Taschenrechner zu lösen.

Numerische Ausdrücke mit Exponenten vereinfachen

Aufgabe 1: Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:

  1. \( 3^2 \)
  2. \( -3^4 \)
  3. \( (-3)^4 \)
  4. \( \left( -\dfrac{2}{3} \right)^{-2} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} \)
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  1. \( 3^2 = 9 \)
  2. \( -3^4 = -(3 \times 3 \times 3 \times 3) = -81 \)
  3. \( (-3)^4 = -3 \times -3 \times -3 \times -3 = 81 \)
  4. \( \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4} \)
  5. \( -3^{-3} + (-2)^{-2} = -\dfrac{1}{27} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{-4 + 27}{108} = \dfrac{23}{108} \)

Numerische Ausdrücke mit Wurzeln & rationalen Exponenten

Aufgabe 2: Berechnen Sie Folgendes:

  1. \( \sqrt[3]{-8} \)
  2. \( 8^{2/3} \)
  3. \( 16^{-3/4} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} \)
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  1. \( \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \)
  2. \( 8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
  3. \( 16^{-3/4} = \dfrac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} \)
  4. \( \dfrac{\sqrt[3]{-16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{-16}{2}} = \sqrt[3]{-8} = -2 \)

Algebraische Ausdrücke mit Exponenten vereinfachen

Aufgabe 3: Vereinfachen Sie diese Ausdrücke:

  1. \( (x^2)^{-2} \)
  2. \( \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} \)
  3. \( (-2x^2 y^{-3})^3 \)
  4. \( \left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} \)
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  1. \( (x^2)^{-2} = x^{-4} = \dfrac{1}{x^4} \)
  2. \( \dfrac{9x^2 \cdot (-8x^3)}{4x^2} = \dfrac{-72x^5}{4x^2} = -18x^3 \)
  3. \( (-2)^3 (x^2)^3 (y^{-3})^3 = -8x^6 y^{-9} = \dfrac{-8x^6}{y^9} \)
  4. \( \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}}{(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{4x^2}{y^{-4}} = 4x^2 y^4 \)

Algebraische Ausdrücke mit Wurzeln vereinfachen

Aufgabe 4: Vereinfachen Sie Folgendes:

  1. \( \sqrt[4]{16x^4} \)
  2. \( \sqrt[3]{8 x^6 y^3} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} \)
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  1. \( \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 2|x| \)
  2. \( 2x^{6/3}y^{3/3} = 2x^2y \)
  3. \( \sqrt[5]{\dfrac{64x^9 y^7}{2x^4 y^2}} = \sqrt[5]{32x^5 y^5} = 2xy \)

Herausforderungsaufgaben

Aufgabe 5: Vereinfachen Sie die folgenden fortgeschrittenen Ausdrücke. Gehen Sie davon aus, dass alle Variablen positive reelle Zahlen darstellen.

  1. \( \sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}} \)
  2. \( \left( \dfrac{81 x^{-4} y^8}{16 x^8 y^{-4}} \right)^{-3/4} \)
  3. \( \dfrac{ \sqrt[3]{a^2b} \cdot \sqrt{ab^3} }{ \sqrt[6]{a^5b^7} } \)
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  1. Schritt 1: Innere Wurzeln in Bruchexponenten umwandeln.
    \( \sqrt{x \sqrt{x \cdot x^{1/2}}} = \sqrt{x \sqrt{x^{3/2}}} \)

    Schritt 2: Weiter nach außen umwandeln durch Multiplikation der Potenzen.
    \( \sqrt{x \cdot (x^{3/2})^{1/2}} = \sqrt{x \cdot x^{3/4}} = \sqrt{x^{7/4}} \)

    Schritt 3: Letzte Umwandlung.
    \( (x^{7/4})^{1/2} = \mathbf{x^{7/8}} \)

  2. Schritt 1: Den Bruch in den Klammern zuerst vereinfachen. Subtrahieren Sie die Exponenten des Nenners von denen des Zählers.
    \( \dfrac{81}{16} x^{-4-8} y^{8-(-4)} = \dfrac{81}{16} x^{-12} y^{12} \)

    Schritt 2: Das negative Vorzeichen des Bruchexponenten anwenden, was den Bruch umdreht (Kehrwert).
    \( \left( \dfrac{16 x^{12}}{81 y^{12}} \right)^{3/4} \)

    Schritt 3: Die Potenz \( 3/4 \) auf jeden Term anwenden (beachten Sie, dass \( 16 = 2^4 \) und \( 81 = 3^4 \)).
    \( \dfrac{(2^4)^{3/4} (x^{12})^{3/4}}{(3^4)^{3/4} (y^{12})^{3/4}} = \mathbf{\dfrac{8 x^9}{27 y^9}} \)

  3. Schritt 1: Alle Wurzeln in rationale Exponenten umwandeln.
    Zähler: \( (a^2b)^{1/3} \cdot (ab^3)^{1/2} = a^{2/3}b^{1/3} \cdot a^{1/2}b^{3/2} \)
    Nenner: \( (a^5b^7)^{1/6} = a^{5/6}b^{7/6} \)

    Schritt 2: Die Terme im Zähler durch Addition ihrer Exponenten zusammenfassen.
    \( a^{2/3 + 1/2} b^{1/3 + 3/2} = a^{7/6} b^{11/6} \)

    Schritt 3: Dividieren durch Subtraktion der Exponenten des Nenners.
    \( a^{7/6 - 5/6} b^{11/6 - 7/6} = a^{2/6} b^{4/6} \)

    Schritt 4: Die Brüche vereinfachen und als Wurzel umschreiben.
    \( a^{1/3} b^{2/3} = \mathbf{\sqrt[3]{ab^2}} \)

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