Potenzen und Radikale vereinfachen

Überprüfen und verwenden Sie die Regeln für Radikale und Potenzen , um Potenzen und Radikalexpressionen zu vereinfachen; Fragen mit detaillierten Lösungen (unten auf der Seite) und Erklärungen werden präsentiert. Versuchen Sie, den Taschenrechner nicht zu verwenden, um numerische Ausdrücke zu vereinfachen, außer um Ihre Antworten zu überprüfen. Weitere Fragen zum Vereinfachen von Radikalexpressionen sind auf dieser Website enthalten.

Numerische Ausdrücke mit Potenzen vereinfachen

Frage 1

1. \( 3^2 \)
2.   - 3 ⁴
3.   (- 3) ⁴
4.   12 ⁰
5.   0 ²⁰
6.   0 ^{- 4}
7.   (-1) ⁷
8.   (-1) ⁴
9.   (-1) ^{- 3}
10.   (- 2 / 3) ^-2
11.   (- 2) ^-2 / 4 ^-2
12.   - 3 ^-3 + (- 2) ^-2
13.   x ⁴ für x = - 2
14.   - x ² für x = - 3
15.   - x ⁵ für x = - 2
16.   x ⁴ für x = - 2 / 3
17.   - x ^-2 für x = - 1 / 2
18.   - x ⁵ für x = - 1 / 3

Numerische Ausdrücke mit Radikalen und rationalen Exponenten vereinfachen

Frage 2

1.   √(64)
2.   ∛(-8)
3.   4 ^3/2
4.   8 ^2/3
5.   0.0001 ^3/4
6.   16 ^{- 3/4}
7.   √2 √8
8.   ∛2 ∛(32)
9.   √2 / √8
10.   ∛(-16) / ∛2
11.   - 2 (⁶√8) (5⁶√8)
12.   - 4 ∛(375) / (2∛3)

Algebraische Ausdrücke mit Exponenten vereinfachen

Frage 3

1.   x ² x ⁵
2.   y ⁴ / y ²
3.   (x ²) ^-2
4. 
   \( \large {3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) } \)
5. 
   \( \large {(2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) } \)
6. 
   \( \large { \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} } \)
7. 
   \( \large { \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} } \)
8.   (- 2 x² y ^-3)³
9.   (3 x² y³) (2 x⁵ y ^{- 2})
10.   (- 2 x² y³ z⁴) ( - 4 x³ y z ^{- 8}) ( 5 x y² z²)
11. 
    \( \large { (-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 } \)
12. 
    \( \large { \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) } \)
13. 
    \( \large { \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) } \)
14. 
    \( \large { \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) } \)
15. 
    \( \large { (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) } \)
16. 
    \( \large { (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} } \)
17. 
    \( \large { (- 27 x^{3/2})^{1/3} } \)
18. 
    \( \large {\left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} } \)
19. 
    \( \large { x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} } \)

Algebraische Ausdrücke mit Radikalen vereinfachen

Frage 4

1. 
   \( \large { \sqrt{x^2} } \)
2. 
   \( \large { \sqrt[4]{16x^4} } \)
3. 
   \( \large { \sqrt{(2x - 1)^2} } \)
4. 
   \( \large { \sqrt[3]{-27x^3} } \)
5. 
   \( \large { \sqrt[3]{8 x^6 y^3} } \)
6. 
   \( \large { \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} } \)
7. 
   \( \large { \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} y} \)
8. 
   \( \large { \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} } \)
9. 
   \( \large { (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) } \)

Lösungen für die oben genannten Fragen

Frage 1

1.   3 ² = 3 × 3 = 9
2.   - 3 ⁴ = - (3 × 3 × 3 × 3 ) = - 81
3.   (- 3) ⁴ = - 3 × - 3 × - 3 × - 3 = 81
4.   12 ⁰ = 1
5.   0 ²⁰ = 0
6.   0 ^{- 4} = 1 / 0 ⁴ = 1 / 0 : undefined because division by zero is not allowed in maths.
7.   (-1) ⁷ = - 1
8.   (-1) ⁴ = 1
9.   (-1) ^{- 3} = 1 / (-1) ³ = 1 / (- 1) = - 1
10.   (- 2 / 3) ^-2 = (- 3 / 2) ² = (-1) ² ( 3 / 2) ² = 9 / 4
11.   (- 2) ^-2 / 4 ^-2 = 4 ² / (- 2) ² = 16 / 4 = 4
12.   - 3 ^-3 + (- 2) ^-2 = - 1 / 3 ³ + 1 / (- 2) ² = - 1 / 27 + 1 / 4 = 23 / 108
13.   x ⁴ for x = - 2
    x ⁴ = (-2) ⁴ = 16
14.   - x ² for x = - 3
    - x ² = - (-3) ² = - 9
15.   - x ⁵ for x = - 2
    - x ⁵ = -( - 2) ⁵ = 32
16.   x⁴ for x = - 2 / 3
    (- 2 / 3) ⁴ = (-2) ⁴ / (3) ⁴ = 16 / 81
17.   - x ^-2 for x = - 1 / 2
    - x ^-2 = - (- 1 / 2) ^-2 = - ( - 1) ^-2 ( 1 / 2) ^-2
    = - (1) (2 / 1) ² = - 4 / 1 = - 4
18.   - x ⁵ for x = - 1 / 3
    - x ⁵ = - ( - 1 / 3) ⁵ - ( - 1) ⁵( 1 / 3)⁵
    = - (-1) (1 / 243) = 1 / 243

Frage 2

1.   √(64) = √(8 ²) = 8
2.   ∛(-8) = ∛((-2)³) = - 2
3.   4 ^3/2 = (√4) ³ = 2 ³ = 8
4.   8 ^2/3 = (∛(8)) ² = 2 ² = 4
5.   0.0001 ^3/4 = ( ⁴√(0.0001) ) ³
   = ( ⁴√(1/10000) ) ³ = ( ⁴√(1/10⁴) )³
   = ( 1 / 10 ) ³ = 1 / 10 ³ = 0.001
6.   16 ^{- 3/4} = 1 / 16 ^3/4 = 1 / ( ⁴√(16)) ³
   = 1 / 2 ³ = 1 / 8
7.   √2 √8 = √(2 × 8) = √(16) = 4
8.   ∛2 ∛(32) = ∛(2 × 32) = ∛(64) = 4
9.   √2 / √8 = √(2 / 8) = √(1 / 4) = 1 / 2
10.   ∛(-16) / ∛2 = ∛(-16/2) = ∛(- 8) = - 2
11.   - 2 ( ⁶√8) (5 ⁶√8) = (- 2 × 5) ⁶√(8 × 8)
    = - 10 ⁶√(64) = - 10 ⁶√(2⁶) = -10(2) = - 20
12.   - 4 ∛(375) / (2∛3) = (- 4 / 2) ∛ (375 / 3) = - 2 ∛ (375 / 3)
    = - 2 ∛ (125) = - 2 × 5 = - 10

Frage 3

1.   x ² x ⁵ = x ^{2 + 5} = x⁷
2.   y ⁴ / y ² = y ^{4 - 2} = y ²
3.   (x ²) ^-2 = (x ^{2 × (-2)}) = x ^{- 4} = 1 / x ⁴
4. 
   \( \large {3(\dfrac{1}{2} x^4)(\dfrac{1}{3} x^3) = (3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} ) x^{4 + 3} = \dfrac{1}{2} x^7} \)
5. 
   \( \large {(2 x)^4(\dfrac{1}{4} x^{-3}) = 2^4 x^4 (\dfrac{1}{4} x^{-3}) \\\\ = (2^4 \times \dfrac{1}{4}) x^{4-3} = 4 x} \)
6. 
   \( \large { \dfrac{(3x)^2(-2x)^3}{(2x)^2} = \dfrac{3^2 x^2 (-2)^3 x^3}{2^2 x^2} \\\\ = \dfrac{3^2 (-2)^3}{2^2} \dfrac{x^3}{x^2} = - 18 x } \)
7. 
   \( \large { \dfrac{(4x)^2(100 x)^0}{(3x)^2} = \dfrac{4^2 x^2 \times 1}{3^2 x^2} = 16/9 } \)
8.   (- 2 x ² y ^-3) ³ = (- 2) ³ (x ²) ³ (y ^-3) ³ = - 8 x ⁶ y ^-9 = - 8 x ⁶ / y ⁹
9.   (3 x² y ³) (2 x ⁵ y ^{- 2}) = (3 × 2)(x ² x ⁵)(y ³ y ^{- 2}) = 6 x ^{2 + 5} y ^{3 - 2} = 6 x ⁷ y
10.   (- 2 x ² y ³ z ⁴) ( - 4 x ³ y z ^{- 8}) ( 5 x y ² z ²) = (-2 × (-4) × 5)(x ² x ³ x)(y ³ y y ²)(z ⁴ z ^-8 z ²)
    = 40 x ^{2 + 3 + 1} y ^{3 + 1 + 2} z ^{4 - 8 + 2} = 40 x ⁶ y ⁶ z ^{- 2} = 40 x ⁶ y ⁶ / z ²
11. 
    \( \large { (-2xy^2)^2 \left (\dfrac{x^6}{(2x)^2} \right)^3 = (-2)^2 x^2 y^4 \left (\dfrac{x^{18}}{(2x)^6} \right) = \dfrac{4x^2 y^4x^{18}}{2^6 x^6}} \\\\ \large { = \dfrac{4}{2^6} \dfrac{x^{2+18}y^4}{x^6} = \dfrac{1}{16} {x^{14} y^4} } \)
12. 
    \( \large { \left (\dfrac{4 x^6 y^3}{-8x^3y^{-2}} \right) = \dfrac{4}{-8} \; \dfrac{x^6 y^3}{x^3y^{-2}} = -\dfrac{1}{2} x^{6-3} y^{3-(-2)} = -\dfrac{1}{2} x^3 y^5 } \)
13. 
    \( \large { \left (\dfrac{- 4 x^3 y^2}{3 x^3 y^3} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5}{-6x^3y^2} \right) = \dfrac{(- 4 \times 3)}{(3 \times (-6))} \dfrac{(x^3 y^2)(x^2 y^5)}{(x^3 y^3)(x^3y^2)} }\\\\\\ \large { = \dfrac{2}{3} \dfrac{x^5 y^7}{x^6 y^5} = \dfrac{2}{3} x^{5-6} y^{7-5}= \dfrac{2}{3} \dfrac{y^2}{x} } \)
14. 
    \( \large { \dfrac{1}{6}(x^2 y z^3)\left (\dfrac{4 x^2 y^3}{3 x^2 y^{-3}z^2} \right) \left (\dfrac{3 x^2 y^5 z}{-x^3 y^2 z^3} \right) = \dfrac{1 \times 4 \times 3}{6 \times 3 \times (-1)} \dfrac{(x^2 y z^3)(x^2 y^3)(x^2 y^5 z)}{(x^2 y^{-3}z^2)(-x^3 y^2 z^3)} } \\\\\\ \large { = (-\dfrac{2}{3}) \dfrac{x^{2+2+2}y^{1+3+5}z^{3+1}}{x^{2+3} y^{-3+2} z^{2+3} } = - \dfrac{2}{3} \dfrac{x^6 y^9 z^4}{x^5 y z^5} = - \dfrac{2}{3} \; \dfrac{x y^{10} }{z} } \)
15. 
    \( \large { (4 x^{2/3})(-8x^{1/2}) = (4 \times; (-8))(x^{2/3+1/2}) = - 32 x^{7/6} } \)
16. 
    \( \large { (4 x)^{3/2}(9x)^{1/2} = 4^{3/2} x^{3/2} 9^{1/2} x^{1/2} = (\sqrt 4)^3 (\sqrt 9) x^{3/2+1/2} = 8 \times 3 x^2 = 24 x^2} \)
17. 
    \( \large { (- 27 x^{3/2})^{1/3} = (- 27)^{1/3} (x^{3/2})^{1/3} = \sqrt[3]{-27} x^{3/2 \times 1/3} = - 3 x^{1/2} = - 3 \sqrt x } \)
18. 
    \( \large {\left (\dfrac{-8x^3}{y^{-6}} \right)^{2/3} = \dfrac{(-8x^3)^{2/3}} {(y^{-6})^{2/3}} = \dfrac{(-8)^{2/3} (x^3)^{2/3}} {(y^{-6 \times (2/3)}}} \\\\\\ \large { = \dfrac{(\sqrt[3]{-8})^2 (x^{3 \times (2/3)})} {(y^{-4})} = 4 x^2 y^4 } \)
19. 
    \( \large { x^{5/3} x^{1/6} x ^{-11/6} = x^{5/3+1/6 -11/6} = x^0 = 1 , x \ne 0 } \)

Frage 4

1. 
   \( \large { \sqrt{x^2} = | x |} \)
2. 
   \( \large { \sqrt[4]{16x^4} = \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{x^4} = 4 | x | } \)
3. 
   \( \large { \sqrt{(2x - 1)^2} = |2x - 1| } \)
4. 
   \( \large { \sqrt[3]{-27x^3} = \sqrt[3]{-27} \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{(-3)^3} \sqrt[3]{x^3} = - 3 x } \)
5. 
   \( \large { \sqrt[3]{8 x^6 y^3} = \sqrt[3]{8} \sqrt[3]{ x^6} \sqrt[3]{y^3} = 2 x^{6/3} y = 2 x^2 y} \)
6. 
   \( \large { \sqrt{x^3} \sqrt{x^2} = \sqrt{x^3 x^2} = \sqrt{x^{3+2}} = \sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \times x} = x^2 \sqrt x } \)
7. 
   \( \large { \sqrt[3]{\left (\dfrac{-8x^6}{y^{-3}} \right)} = \dfrac{\sqrt[3]{-8x^6}}{\sqrt[3]{y^{-3}}} = \dfrac{\sqrt[3]{-8} \sqrt[3]{x^6}} {\sqrt[3]{y^{-3} }} }\\\\\\ \large { = \dfrac{\sqrt[3]{(-2)^3} \sqrt[3]{(x^2)^3}} {\sqrt[3]{(y^{-1})^3 }} = \dfrac{-2 x^2}{y^{-1}} = -2 x^2 y} \)
8. 
   \( \large { \dfrac{ \sqrt[5]{64x^9 y^7}}{ \sqrt[5]{2 x^4 y^2}} = \sqrt[5] {\dfrac{64x^9 y^7}{2 x^4 y^2}}} \\\\\\ \large { = \sqrt[5] {32 x^{9-4} y^{7-2}} = \sqrt[5] {2^5} \sqrt[5] x^{5} \sqrt[5] y^{5} = 2 x y } \)
9. 
   \( \large { (4\sqrt[8]{b^2})( 5\sqrt[8]{b^3})( \sqrt[8]{b^3}) = (4 \times 5) \sqrt[8]{b^2 b^3 b^3 } = 20 \sqrt[8]{b^8 } = 20 |b| = 20 b } \)
   Hinweis: In der letzten Frage; Da ⁸√(b³) reell ist, ist b größer oder gleich Null. Daher |b| = b.

Weitere Referenzen und Links