Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke? Die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von rationalen Ausdrücken werden angewendet, um komplexe algebraische Brüche zu vereinfachen. Unten finden Sie Beispiele für die 11. Klasse zusammen mit detaillierten, schrittweisen Lösungen.
Tipp: Sie können unseren Online-Rechner zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke nutzen, um Ihre Endergebnisse zu überprüfen.
Wenn Sie Schwierigkeiten haben, wiederholen Sie die Tutorials zu Addition & Subtraktion und Multiplikation & Division, bevor Sie beginnen.
| Addition & Subtraktion (Erfordert einen gemeinsamen Nenner) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| Multiplikation | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| Division (Multiplikation mit dem Kehrwert) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
Vereinfachen Sie: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Wir vereinfachen zuerst den Zähler \( \dfrac{2}{3} + 5 \). Auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Wandeln Sie 4 in einen Bruch \( \dfrac{4}{1} \) um und vereinfachen Sie durch Division der Brüche (Multiplikation mit dem Kehrwert).
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Multiplizieren Sie die Brüche.
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
Auf einen gemeinsamen Nenner bringen und addieren.
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
Vereinfachen Sie: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
Wir vereinfachen zuerst den Zähler, indem wir auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitern \( (x - 2)(x + 1) \).
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
Wenden Sie die Divisionsregel an, indem Sie mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
Vereinfachen Sie, indem Sie gemeinsame Faktoren kürzen.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
Multiplizieren Sie den Zähler aus und vereinfachen Sie ihn.
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{für} \;\; x \ne -1\]
Vereinfachen Sie: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Bringen Sie die Terme des Zählers auf denselben Nenner.
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Zähler ausmultiplizieren und vereinfachen.
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Mit dem Kehrwert multiplizieren.
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
Klammern Sie Konstanten aus, um gemeinsame Kürzungsfaktoren zu finden.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
Kürzen Sie \( (3x+2) \) und multiplizieren Sie.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
Auf denselben Nenner bringen und zusammenfassen.
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
Vereinfachen Sie: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
Beginnen Sie beim tiefsten Bruch und arbeiten Sie sich nach oben vor. Bringen Sie die Terme in \( x + \dfrac{1}{x+1} \) auf denselben Nenner.
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
Beachten Sie, dass \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) der Kehrwert \( \dfrac{B}{A} \) ist.
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Bringen Sie die verbleibenden Nennerterme auf einen gemeinsamen Nenner.
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Vereinfachen und addieren.
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
Bilden Sie den letzten Kehrwert.
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke. Klicken Sie auf "Lösung anzeigen", um Ihre Antworten zu überprüfen.
Aufgabe: \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
Antwort: \( \dfrac{353}{60} \)
Aufgabe: \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
Antwort: \( 4(x-1) \)
Aufgabe: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
Antwort: \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
Aufgabe: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
Antwort: \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
Aufgabe: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
Antwort: \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
Aufgabe: \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
Antwort: \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
Herausforderung 1: Vereinfachen eines Doppelbruchs, der die Faktorisierung von Polynomen erfordert.
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
Schritt 1: Divisionsregel anwenden (mit dem Kehrwert multiplizieren).
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Schritt 2: Zähler und Nenner faktorisieren. Beachten Sie die dritte binomische Formel (Differenz zweier Quadrate) und das perfekte quadratische Trinom (zweite binomische Formel).
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Schritt 3: Die gemeinsamen Faktoren \( (x+3) \) und \( (x-2) \) kürzen.
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
Antwort: \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
Herausforderung 2: Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke mit quadratischen Nennern.
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
Schritt 1: Alle Nenner faktorisieren, um den Hauptnenner (kleinstes gemeinsames Vielfaches) zu finden. Hier ist \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
Der Hauptnenner ist \( (x-1)(x+1) \).
Schritt 2: Jeden Bruch mit dem Hauptnenner umschreiben.
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Schritt 3: Über einem einzigen Nenner zusammenfassen. Achten Sie darauf, das negative Vorzeichen auszumultiplizieren!
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Schritt 4: Ausmultiplizieren und gleichartige Terme im Zähler zusammenfassen.
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
Schritt 5: Den Zähler faktorisieren, um zu sehen, ob sich noch etwas kürzen lässt.
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Antwort: \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
Herausforderung 3: Einen mehrstufigen Kettenbruch vereinfachen.
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
Schritt 1: Den innersten Nenner vereinfachen \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \).
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
Schritt 2: Dies wieder in die Hauptgleichung einsetzen. Denken Sie daran, dass \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \).
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
Schritt 3: Einen gemeinsamen Nenner finden, um die letzten Terme zusammenzufassen.
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
Schritt 4: Gleichartige Terme zusammenfassen.
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
Antwort: \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)