Vereinfachen von rationalen Ausdrücken

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke? Beispiele für Klasse 11 werden zusammen mit detaillierten Lösungen und vollständigen Erklärungen präsentiert. Mehr Fragen mit Antworten am Ende der Seite sind ebenfalls enthalten.
Ein Online-Rechner zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke ist enthalten und kann zur Überprüfung der Ergebnisse verwendet werden.

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke?

\( \) \( \) \( \)\( \)\( \) \( \require{cancel} \) \( \newcommand\ccancel[2][black]{\color{#1}{\xcancel{\color{red}{#2}}}}\)

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke? Die Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von rationalen Ausdrücken werden verwendet, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen.
Rationale Ausdrücke mit dem gleichen Nenner werden addiert oder subtrahiert wie folgt:

\( \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \)

Rationale Ausdrücke werden multipliziert wie folgt:
\( \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \)

Wir teilen zwei rationale Ausdrücke, indem wir den ersten rationalen Ausdruck mit dem Kehrwert des zweiten rationalen Ausdrucks multiplizieren, wie folgt:
\( \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \;\; \text{oder} \;\; \dfrac{ \dfrac{A}{B} }{ \dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \)

Wenn Sie Schwierigkeiten beim Vereinfachen von rationalen Ausdrücken haben, überprüfen Sie die Tutorials zu Addieren, Subtrahieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken und Multiplizieren, Dividieren und Vereinfachen von rationalen Ausdrücken und beginnen Sie dann mit dem aktuellen Tutorial. Die Beispiele mit detaillierten Lösungen und Erklärungen in diesen Tutorials werden Ihnen helfen, eventuelle Schwierigkeiten beim Vereinfachen von rationalen Ausdrücken zu überwinden, vorausgesetzt, Sie verstehen jeden Schritt, der bei der Lösung dieser Fragen involviert ist, und üben bei Bedarf mehr. Ich werde die Beispiele unten präsentieren, zuerst mit Brüchen und dann mit rationalen Ausdrücken, mit anspruchsvolleren Fragen, wenn Sie durch das Tutorial gehen. Sie müssen jeden Schritt verstehen!
Sie können auch die Fragen zur Reduzierung rationaler Ausdrücke und ihre Lösungen überprüfen


Beispiel 1: Vereinfachen Sie: \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \).

Lösung:
Wir vereinfachen zunächst den Zähler \( \dfrac{2}{3} + 5 \) des Bruchs \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} \). Umrechnung in den gemeinsamen Nenner.

\( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \)

Ändern Sie 4 zu einem Bruch 4 / 1 und vereinfachen Sie \( \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} \) durch Division der Brüche, was einer Multiplikation mit dem Kehrwert entspricht.

\( = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \)

Multiplizieren Sie die Brüche \( \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \).

\( = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \)

Konvertieren Sie zum gemeinsamen Nenner und addieren Sie.

\( = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \dfrac{23}{12} \)



Beispiel 2: Vereinfachen Sie: \( \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \).

Lösung:

Wir vereinfachen zunächst den Zähler \( \dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1} \) durch Umrechnung in den gleichen Nenner und Anwendung der Regel für die Summe von zwei rationalen Ausdrücken, deren kleinstes gemeinsames Vielfaches (x - 2)(x + 1) ist.

\( \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\)

Jetzt wenden wir die Regel der Division von rationalen Ausdrücken an, indem wir mit dem Kehrwert von \( \dfrac{x+1}{1} \) multiplizieren.

\( = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \)

Vereinfachen Sie durch Kürzen gemeinsamer Faktoren.

\( = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x-2)}\)

Erweitern und vereinfachen.

\( = \dfrac{2x^2+1}{x-2} \;\; \text{für} \;\; x \ne -1\)



Beispiel 3: Vereinfachen Sie: Vereinfachen Sie: \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \).

Lösung:

Wir vereinfachen \( \dfrac{x-1}{3x+2}+3 \) zunächst, indem wir in den gleichen Nenner umrechnen

\( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

und dann die Regel für die Summe von zwei rationalen Ausdrücken anwenden.

\( = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3 \cdot (3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

Expandieren und vereinfachen Sie \( x - 1 +3 \cdot (3x+2) \) .

\( = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \)

Wir verwenden die Regel für die Division von rationalen Ausdrücken, die auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert hinausläuft, auf: \( \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} \).

\( = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \)

Factor

\( = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 = \)

und simplify .

\( = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \)

Convert to the same denominator, apply the rule of addition of rational expressions and simplify.

\( \dfrac{10(2x+1)}{x+1}-2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{10(2x+1) - 2(x+1)}{x+1} = \dfrac{2(9x+4)}{x+1} \;\; \text{for} \;\; x \ne -2/3 \)



Beispiel 4: Simplify: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \)

Lösung:

Anwenden der Regel der Subtraktion von rationalen Ausdrücken auf \( \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2} \) und \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \)

\( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{2-x -4}{x+2}}{\dfrac{1-4}{x+3}} \)

und dann vereinfachen.

\( = \dfrac{ \dfrac{-x - 2}{x+2}}{\dfrac{-3}{x+3}} \)

Anwenden der Regel der Division von rationalen Ausdrücken und Faktorisieren

\( = \dfrac{-x - 2}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{-(x + 2)}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \)

und vereinfachen

\( = \dfrac{-{\cancel{(x+2)}}}{{\cancel{x+2}}} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{x+3}{3} \;\; \text{für} \;\; x \ne -2 \)



Beispiel 5: Simplify: \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \)

Lösung:

Anwenden der Regel der Multiplikation auf \( \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3} \) und der Regel der Subtraktion auf \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \).

\( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)}}{\dfrac{1 - 4}{x+3}} \)

Anwenden der Regel der Division:

\( = \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \)

Vereinfachen.

\( = \dfrac{4(2-x)}{(x+2){\cancel{(x+3)}}} \cdot \dfrac{{\cancel{(x+3)}}}{-3} = -\dfrac{4(2-x)}{3(x+2)} \;\; \text{für} \;\; x \ne -3 \)



Beispiel 6: Simplify: \( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \).

Lösung:

Zuerst konvertieren wir die Terme in \( x + \dfrac{1}{x+1} \) zu demselben Nenner.

\( \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} \)

Wir addieren jetzt \( x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1} \) und vereinfachen.

\( = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \)

Beachten Sie, dass \( \dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}} \) ein Reziprok ist und gleich \( \dfrac{x+1}{x^2+x+1}\) ist. Daher

\(= \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \)

Konvertieren der Terme in \( 1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \) zu demselben Nenner.

\( = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \)

Vereinfachen und Anwenden der Regel der Addition auf \( \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \).

\( = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\)

Der letzte Ausdruck ist das Reziprok eines rationalen Ausdrucks, der als geschrieben werden kann.

\( = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2} \)



Weitere Fragen: Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke - Antworten unten auf der Seite.

a) \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)

b) \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)

c) \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)

d) \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)

e) \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)

f) \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)

Answers to the above questions

a) \( \dfrac{353}{60} \)

b) \( 4(x-1) \)

c) \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)}\)

d)\( \dfrac{ (x+2 ) (x-5)}{3(x+1)} \)

e) \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)

f)\( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)

Weitere Referenzen und Links

Ein Online-Rechner zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke.
Fragen zur Reduzierung rationaler Ausdrücke und ihre Lösungen
High School Math (Klassen 10, 11 und 12) – Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mittelschulmathematik (Klassen 6, 7, 8, 9) – Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Homepage