Rationale Ausdrücke vereinfachen

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke? Beispiele der Klasse 11 werden zusammen mit detaillierten Lösungen und vollständigen Erklärungen vorgestellt. Weitere Fragen mit Antworten am Ende der Seite sind ebenfalls enthalten.
Ein Online-Rechner zum Vereinfachen rationaler Ausdrücke ist enthalten und kann verwendet werden, um Ergebnisse zu überprüfen.

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke?

Wie vereinfacht man rationale Ausdrücke? Die Regeln der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division rationaler Ausdrücke werden verwendet, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen.

Rationale Ausdrücke mit demselben Nenner werden wie folgt addiert oder subtrahiert: \[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \]

Rationale Ausdrücke werden wie folgt multipliziert: \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \]

Wir dividieren zwei rationale Ausdrücke, indem wir den ersten rationalen Ausdruck mit dem Kehrwert des zweiten rationalen Ausdrucks multiplizieren, wie folgt: \[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \;\; \text{oder} \;\; \dfrac{ \dfrac{A}{B} }{ \dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \]

Wenn Sie Schwierigkeiten beim Vereinfachen rationaler Ausdrücke haben, lesen Sie die Tutorials in Wie man rationale Ausdrücke addiert, subtrahiert und vereinfacht und Wie man rationale Ausdrücke multipliziert, dividiert und vereinfacht und beginnen Sie dann mit dem aktuellen Tutorial. Die Beispiele mit detaillierten Lösungen und Erklärungen in diesem Tutorial helfen Ihnen, alle Schwierigkeiten beim Vereinfachen rationaler Ausdrücke zu überwinden, vorausgesetzt, Sie verstehen jeden Schritt, der bei der Lösung dieser Fragen erforderlich ist, und verbringen bei Bedarf auch mehr Zeit mit Üben. Ich werde die Beispiele unten präsentieren, beginnend mit Brüchen und dann mit rationalen Ausdrücken, mit anspruchsvolleren Fragen, während Sie das Tutorial durcharbeiten. Sie müssen jeden Schritt verstehen!
Sie möchten möglicherweise auch die Fragen zum Kürzen rationaler Ausdrücke und deren Lösungen durchsehen.

Beispiel 1

Vereinfachen: \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]

Lösung zu Beispiel 1


Wir vereinfachen zunächst den Zähler \( \dfrac{2}{3} + 5 \) des Bruchs \( \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} \). Auf einen gemeinsamen Nenner bringen. \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \] 4 in einen Bruch 4 / 1 umwandeln und \( \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} \) vereinfachen, indem die Brüche dividiert werden, was zu einer Multiplikation mit dem Kehrwert führt. \[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \] Die Brüche \( \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} \) multiplizieren. \[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \] Auf einen gemeinsamen Nenner bringen und addieren. \[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \dfrac{23}{12} \]

Beispiel 2

Vereinfachen: \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]

Lösung zu Beispiel 2

Wir vereinfachen zunächst den Zähler \( \dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1} \), indem wir auf denselben Nenner bringen und die Regel für die Summe zweier rationaler Ausdrücke anwenden, deren kleinster gemeinsamer Nenner \( (x - 2)(x + 1) \) ist. \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \] \[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \] \[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}} \] Wir wenden nun die Regel der Division rationaler Ausdrücke an, indem wir mit dem Kehrwert von \( \dfrac{x+1}{1} \) multiplizieren. \[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \] Durch Kürzen gemeinsamer Faktoren vereinfachen. \[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x-2)} \] Ausmultiplizieren und vereinfachen. \[ = \dfrac{2x^2+1}{x-2} \;\; \text{für} \;\; x \ne -1 \]

Beispiel 3

Vereinfachen: \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]

Lösung zu Beispiel 3

Wir vereinfachen \( \dfrac{x-1}{3x+2}+3 \), indem wir zunächst auf denselben Nenner bringen. \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] dann die Regel für die Summe zweier rationaler Ausdrücke anwenden. \[ = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3 \cdot (3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] \( x - 1 +3 \cdot (3x+2) \) ausmultiplizieren und vereinfachen. \[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \] Wir verwenden die Regel der Division rationaler Ausdrücke, die auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert hinausläuft: \( \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} \). \[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \] Faktorisieren. \[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 = \] und vereinfachen. \[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \] Auf denselben Nenner bringen, die Additionsregel für rationale Ausdrücke anwenden und vereinfachen. \[ \dfrac{10(2x+1)}{x+1}-2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{10(2x+1) - 2(x+1)}{x+1} = \dfrac{2(9x+4)}{x+1} \;\; \text{für} \;\; x \ne -2/3 \]

Beispiel 4

Vereinfachen: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \]

Lösung zu Beispiel 4

Wende die Subtraktionsregel für rationale Ausdrücke auf \( \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2} \) und \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \) an. \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2}-\dfrac{4}{x+2}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{2-x -4}{x+2}}{\dfrac{1-4}{x+3}} \] dann vereinfachen. \[ = \dfrac{ \dfrac{-x - 2}{x+2}}{\dfrac{-3}{x+3}} \] Wende die Divisionsregel für rationale Ausdrücke an und faktorisiere. \[ = \dfrac{-x - 2}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{-(x + 2)}{x+2} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \] und vereinfachen. \[ = \dfrac{-{\cancel{(x+2)}}}{{\cancel{x+2}}} \cdot \dfrac{x+3}{-3} = \dfrac{x+3}{3} \;\; \text{für} \;\; x \ne -2 \]

Beispiel 5

Vereinfachen: \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} \]

Lösung zu Beispiel 5

Wende die Multiplikationsregel auf \( \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3} \) und die Subtraktionsregel auf \( \dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3} \) an. \[ \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} \cdot \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}} = \dfrac{ \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)}}{\dfrac{1 - 4}{x+3}} \] Wende die Divisionsregel an: \[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2)(x+3)} \cdot \dfrac{x+3}{-3} \] Vereinfachen. \[ = \dfrac{4(2-x)}{(x+2){\cancel{(x+3)}}} \cdot \dfrac{{\cancel{(x+3)}}}{-3} = -\dfrac{4(2-x)}{3(x+2)} \;\; \text{für} \;\; x \ne -3 \]

Beispiel 6

Vereinfachen: \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]

Lösung zu Beispiel 6

Wir bringen zunächst die Terme in \( x + \dfrac{1}{x+1} \) auf denselben Nenner. \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} \] Wir addieren nun \( x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1} \) und vereinfachen. \[ = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \] Beachte, dass \( \dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}} \) ein Kehrwert ist, der gleich \( \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \) ist. Daher \[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \] Bringe die Terme in \( 1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \) auf denselben Nenner. \[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \] Vereinfache und wende die Additionsregel auf \( \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1} \) an. \[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}} \] Der letzte Ausdruck ist der Kehrwert eines rationalen Ausdrucks, der wie folgt geschrieben werden kann. \[ = \dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2} \]

Weitere Fragen

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke - Antworten am Ende der Seite.
  1. \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
  2. \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
  3. \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
  4. \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
  5. \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
  6. \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)

Antworten zu den obigen Fragen

  1. \( \dfrac{353}{60} \)
  2. \( 4(x-1) \)
  3. \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)}\)
  4. \( \dfrac{ (x+2 ) (x-5)}{3(x+1)} \)
  5. \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
  6. \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)

Weitere Referenzen und Links

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