1) Differenz zweier Quadrate: a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
2)Trinom als perfektes Quadrat
a) a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2
b) a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2
Differenz zweier Kuben: a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + a b + b 2)
Summe zweier Kuben: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2)
Faktorisieren Sie die folgenden speziellen Polynome
a) - 25 x 2 + 9
b) 16 y 4 - x 4
c) 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
d) (1/2) x 2 + x + (1/2)
e) - y 3 - 64
f) x 6 - 1
Frage a)
Faktorisieren Sie - 25 x 2 + 9
Lösung
a) Wenn wir a = 5 x und b = 3 setzen, kann das gegebene Polynom wie folgt geschrieben werden:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
- 25 x 2 + 9 = - a 2 + b 2 = (- a + b)(a + b) = (-5 x + 3)(5 x + 3)
Frage b)
Faktorisieren Sie 16 y 4 - x 4
Lösung
b) Das gegebene Polynom hat die Form der Differenz zweier Quadrate und kann wie folgt geschrieben werden:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
16 y 4 - x 4 = (4 y 2) 2 - (x 2) 2 = (4y 2 - x 2)(4y 2 + x 2)
Der Term (4y 2 + x 2) in obigem Ausdruck ist die Summe zweier Quadrate und kann nicht mit reellen Zahlen faktorisiert werden. Der Term (4y 2 - x 2) hingegen ist die Differenz zweier Quadrate und kann weiter faktorisiert werden. Daher wird das gegebene Polynom wie folgt faktorisiert:
16 y 4 - x 4 = (2 y - x)(2 y + x)(4y 2 + x 2)
Frage c)
Faktorisieren Sie 36 y 2 - 60 x y + 25 x 2
Lösung
c) Das gegebene Polynom kann wie folgt geschrieben werden:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2
Verwenden Sie das spezielle Trinom a 2 - 2 a b + b 2 = (a - b) 2 und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
36 y 2 - 60 x y + 25 x 2 = (6 y) 2 - 2(6 y)(5 x) + (5 x) 2 = (6 y - 5 x) 2
Frage d)
Faktorisieren Sie (1/2) x 2 + x + (1/2)
Lösung
d) Faktorisieren Sie (1/2) aus und schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt um:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2) x 2 + 2 (1/2) x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1)
Verwenden Sie das spezielle Trinom a 2 + 2 a b + b 2 = (a + b) 2 und faktorisieren Sie x 2 + 2 x + 1 = x 2 + 2(x)(1) + 1 2 und das gegebene Polynom wie folgt:
(1/2) x 2 + x + (1/2) = (1/2)( x 2 + 2 x + 1) = (1/2)(x + 1) 2
Frage e)
Faktorisieren Sie - y 3 - 64
Lösung
d) Faktorisieren Sie -1 aus und schreiben Sie das gegebene Polynom wie folgt um:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3)
Verwenden Sie a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - a b + b 2) zum Faktorisieren des gegebenen Polynoms wie folgt:
- y 3 - 64 = - (y 3 + 64) = - ( y 3 + 4 3) = -(y + 4)(y 2 - (y)(4) + 4 2) = -(y + 4)(y 2 - 4 y + 16)
Frage f)
Faktorisieren Sie x 6 - 1
Lösung
f) Schreiben Sie das gegebene Polynom als Differenz zweier Quadrate:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2
Verwenden Sie das spezielle Polynom der Differenz zweier Quadrate a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) und faktorisieren Sie das gegebene Polynom wie folgt:
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1)
Im obigen haben wir das Produkt der Summe und Differenz zweier Kuben. Daher
x 6 - 1 = (x 3) 2 - (1) 2 = (x 3 - 1)(x 3 + 1) = (x - 1)(x 2 + x + 1)(x + 1)(x 2 - x + 1)
