Lösungen zur Faktorisierung spezieller Polynome

Die Lösungen zu den Fragen zur Faktorisierung spezieller Polynome in Faktorisierung spezieller Polynome werden hier präsentiert.

Wiederholung der speziellen Polynome

Differenz zweier Quadrate

Die Formel für die Differenz von Quadraten lautet: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Perfektes quadratisches Trinom

Diese Identität kommt in zwei Formen vor:

\[ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \]
\[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 \]

Differenz zweier Kubikzahlen

Die Formel für die Differenz von Kubikzahlen lautet: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Summe zweier Kubikzahlen

Die Formel für die Summe von Kubikzahlen lautet: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Faktorisiere die folgenden speziellen Polynome

a) \( -25x^2 + 9 \)

b) \( 16y^4 - x^4 \)

c) \( 36y^2 - 60xy + 25x^2 \)

d) \( \dfrac{1}{2}x^2 + x + \dfrac{1}{2} \)

e) \( -y^3 - 64 \)

f) \( x^6 - 1 \)

Lösung zu Frage a)

Setze \(a = 5x\) und \(b = 3\). Dann gilt

\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2. \]

Unter Verwendung der Differenz-der-Quadrate-Formel \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) erhalten wir

\[ -25x^2 + 9 = -a^2 + b^2 = (-a + b)(a + b) = (-5x + 3)(5x + 3). \]

Lösung zu Frage b)

Schreibe jeden Term als Quadrat:

\[ 16y^4 - x^4 = (4y^2)^2 - (x^2)^2. \]

Wende die Differenz von Quadraten an:

\[ (4y^2)^2 - (x^2)^2 = (4y^2 - x^2)(4y^2 + x^2). \]

Der Faktor \(4y^2 + x^2\) kann über die reellen Zahlen nicht faktorisiert werden, aber \(4y^2 - x^2\) ist wiederum eine Differenz von Quadraten:

\[ 4y^2 - x^2 = (2y - x)(2y + x). \]

Daher

\[ 16y^4 - x^4 = (2y - x)(2y + x)(4y^2 + x^2). \]

Lösung zu Frage c)

Erkenne ein perfektes quadratisches Trinom:

\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y)^2 - 2\cdot(6y)\cdot(5x) + (5x)^2. \]

Unter Verwendung der Binomischen Formel \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\) erhalten wir

\[ 36y^2 - 60xy + 25x^2 = (6y - 5x)^2. \]

Lösung zu Frage d)

Klammere \(\tfrac12\) aus:

\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12\bigl(x^2 + 2x + 1\bigr). \]

Beachte \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). Daher gilt

\[ \tfrac12 x^2 + x + \tfrac12 = \tfrac12\,(x + 1)^2. \]

Lösung zu Frage e)

Klammere \(-1\) aus und erkenne eine Summe von Kubikzahlen:

\[ -y^3 - 64 = -\bigl(y^3 + 4^3\bigr). \]

Wende die Formel für die Summe von Kubikzahlen \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) an:

\[ -y^3 - 64 = -\bigl(y + 4\bigr)\bigl(y^2 - 4y + 16\bigr). \]

Lösung zu Frage f)

Schreibe dies zunächst als Differenz von Quadraten:

\[ x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1). \]

Faktorisiere dann jeden Term als Differenz oder Summe von Kubikzahlen:

\[ x^3 - 1 = (x - 1)\bigl(x^2 + x + 1\bigr), \quad x^3 + 1 = (x + 1)\bigl(x^2 - x + 1\bigr). \]

Somit

\[ x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1). \]