Trigonometrie-Aufgaben mit Lösungen für die 11. Klasse

a) Sei \( P \) die Position des Passagiers (siehe Abbildung unten).

Die Höhe \( h \) des Passagiers ergibt sich aus:

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

Hier hängt \( y \) vom Rotationswinkel \( A \) ab. Unter Verwendung der Trigonometrie schreiben wir:

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{Radius}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

Der Winkel \( A \) hängt von der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) ab: \( A = \omega t \).

Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) berechnet sich wie folgt:

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ Radian/Sekunde} \]

Eingesetzt in den Ausdruck für die Höhe erhalten wir:

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

wobei \( t \) in Sekunden und die Höhe in Metern angegeben wird.

b) Um die Höhe bei \( t = 45 \) Sekunden zu finden:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ Meter}} \]

Unter Verwendung der Abbildung unten:

Wir stellen die folgenden Gleichungen basierend auf den rechtwinkligen Dreiecken auf:

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{und} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

wobei \( h \) die Höhe des Baumes ist. Lösen wir beide Gleichungen nach \( x \) auf:

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{und} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Setzen wir die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich:

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

Lösen wir nach \( h \) auf:

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46,7 \text{ Meter}} \]

Unter Verwendung der Abbildung unten stellen wir die folgenden Gleichungen basierend auf den trigonometrischen Beziehungen auf:

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{und} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

Eliminieren Sie \( y \) aus den beiden Gleichungen und lösen Sie nach \( x \) auf:

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119,9 \text{ Meter}} \]

Seien \( R_1 \) und \( R_2 \) die Radien der Zahnräder 1 und 2. Seien \( S_1 \) und \( S_2 \) die Rotationsbögen der Zahnräder 1 und 2. Da die verbundenen Zahnräder die gleiche Bahngeschwindigkeit (in Zoll pro Sekunde) haben, sind die Bogenlängen \( S_1 \) und \( S_2 \) gleich.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

Hier sind \( t_1 \) und \( t_2 \) die Rotationswinkel der Zahnräder.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

Die Winkelgeschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

\[ \text{Winkelgeschwindigkeit} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ Sekunden}} = 89^\circ \text{ pro Sekunde} \]

\[ = 89^\circ \times 60 = \mathbf{5340^\circ \text{ pro Minute}} \]

Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt:

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) oder \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

Einsetzen in die Gleichung: \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

Lösen nach \( t \): \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14,48^\circ} \]

Beginnen wir mit der rechten Seite:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

Erweitern Sie \( \sin(x + 2x) \):

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

Erweitern Sie nun das Produkt auf der linken Seite:

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

Verwenden Sie die Identitäten \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) und \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), um den ersten und letzten Term umzuformen:

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Die Terme \( 2\cos(x)\sin^2(x) \) heben sich gegenseitig auf:

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Die linke Seite wurde so transformiert, dass sie der rechten Seite entspricht. Der Beweis ist erbracht.

Erweitern und vereinfachen Sie die erste Gleichung mithilfe von Cofunktion-Identitäten:

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

Erweitern und vereinfachen Sie die zweite Gleichung:

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

Berechnen Sie nun \( \tan(x) \):

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

Die Additionstheoreme für den Tangens können hier rückwärts angewendet werden:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

Erweitern Sie mithilfe spezieller Winkel:

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit 3:

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

Rationalisieren Sie den Nenner:

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

Gegeben \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) und \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \). Verwenden Sie die pythagoreische Identität, um \( \cos(s) \) und \( \cos(t) \) unter Berücksichtigung der Quadranten zu finden.

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{und} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Wir erweitern nun die Formel für die Tangens-Addition unter Verwendung von Sinus und Kosinus:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

Setzen Sie die Werte ein:

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

Multiplizieren Sie mit 8 und vereinfachen Sie \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \):

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

Durch Rationalisierung des Nenners erhalten wir:

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

Reduzieren Sie zuerst den Winkel in einen bekannten Quadranten:

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

Wenden Sie nun die Halbwinkelformel an, da \( \dfrac{\pi}{12} \) die Hälfte von \( \dfrac{\pi}{6} \) ist:

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

Setzen Sie \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \) ein:

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

Die Funktion \( f \) ist in folgender Form gegeben:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Dies stellt eine vertikale Verschiebung des Graphen von \( g(x) \) um 2 Einheiten nach oben dar. Wir haben den Wert \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \ gegeben.

Setzen Sie \( x = \dfrac{\pi}{2} \) in die Funktion ein:

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

Unter Verwendung des bekannten Werts \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \) erhalten wir:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

Endergebnis:

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

Die allgemeine Form der Funktion lautet:

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

Aus der Aufgabe wissen wir: Amplitude \( A = 5/3 \), vertikale Verschiebung \( D = 4 \) und Phasenverschiebung \( C = 0 \).

Die Periode beträgt \( \pi/2 \). Die Beziehung zwischen Periode und \( B \) ist:

\[ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

Lösen nach \( B \):

\[ B = 4 \]

Setzen Sie \( A \), \( B \) und \( D \) in die Funktion ein:

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

Um die Länge der Seite \( a \) zu finden, wenden wir den Kosinussatz an:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5,963 \]

Als Nächstes verwenden wir den Sinussatz, um den Winkel \( B \) zu finden:

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5,963} \]

Lösen nach Winkel \( B \):

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5,963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (gerundet auf die nächste ganze Zahl)} \]

Beachten Sie, dass:

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

Dies bedeutet, dass es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Der größte Winkel beträgt exakt \( \mathbf{90^\circ} \).

Sei Winkel \( A \) der Winkel gegenüber der Seite der Länge 9. Unter Verwendung von Sinus, Kosinus, Tangens:

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{9}{15} \]

Winkel \( A \) beträgt ungefähr \( \mathbf{37^\circ} \) (gerundet auf die nächste ganze Zahl).

Der dritte Winkel ist:

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

Schritt 1: Verwenden Sie die pythagoreische Identität \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), um die Gleichung vollständig in Sinus auszudrücken.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

Schritt 2: Bringen Sie alle Terme auf eine Seite, um eine quadratische Standardgleichung gleich Null zu bilden.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

Schritt 3: Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck. Behandeln Sie \( \sin(x) \) wie eine Variable.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

Schritt 4: Lösen Sie jeden Faktor nach \( x \) im Intervall \( [0, 2\pi) \) auf.

Fall 1: \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

Fall 2: \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

Endergebnis: \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

Schritt 1: Fassen Sie die beiden Brüche durch einen gemeinsamen Nenner zusammen, der \( \sin(x)\cos(x) \) ist.

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Schritt 2: Beachten Sie, dass der Zähler exakt die erweiterte Form der Sinus-Differenz-Identität ist: \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Schritt 3: Wenden Sie die Doppelwinkel-Identität für Sinus im Zähler an: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Schritt 4: Kürzen Sie die gemeinsamen Terme.

Endergebnis: \( \mathbf{2} \)

Schritt 1: Um den Flächeninhalt mit \( \text{Fläche} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \) zu finden, müssen wir zuerst Winkel \( C \) finden. Wir können hierfür den Kosinussatz verwenden.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

Schritt 2: Verwenden Sie nun die pythagoreische Identität, um \( \sin(C) \) zu finden. Da \( C \) ein Winkel in einem Dreieck ist, muss \( \sin(C) \) positiv sein.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

Schritt 3: Berechnen Sie den Flächeninhalt.

\[ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

Die 7er kürzen sich heraus, und \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

\[ \text{Fläche} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]