Trigonometrische Probleme und Fragen mit Lösungen

Klasse 11 Trigonometrie-Probleme und Fragen mit Antworten und Lösungen werden präsentiert.

Probleme und Fragen

  1. Ein Riesenrad mit einem Radius von 25 Metern macht eine Drehung alle 36 Sekunden. Am unteren Ende der Fahrt ist der Fahrgast 1 Meter über dem Boden.
    a) Sei h die Höhe über dem Boden eines Fahrgasts. Bestimmen Sie h als Funktion der Zeit, wenn h = 51 Meter bei t = 0 ist.
    b) Finden Sie die Höhe h nach 45 Sekunden.


  2. Linda misst den Elevationswinkel von einem Punkt auf dem Boden zur Spitze des Baumes und findet ihn als 35°. Dann geht sie 20 Meter auf den Baum zu und findet den Elevationswinkel von diesem neuen Punkt zur Spitze des Baumes als 45°. Finden Sie die Höhe des Baumes. (Runden Sie die Antwort auf drei signifikante Stellen)


  3. Von der Spitze einer 200 Meter hohen Klippe sind die Depressionwinkel von zwei Fischerbooten in der gleichen Sichtlinie auf dem Wasser 13 Grad und 15 Grad. Wie weit sind die Boote voneinander entfernt? (Runden Sie die Antwort auf 4 signifikante Stellen)


  4. Beweisen Sie, dass [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) - sin(3x)


  5. Der Graph der Funktion f ist der Graph der Funktion g(x) = a sin(x - pi/3) vertikal um 2 Einheiten verschoben. Auch f(pi/2) = 1. Finden Sie eine Formel in Bezug auf x für die Funktion f.


  6. Finden Sie sin(x) und tan(x), wenn cos(pi/2 - x) = - 3/5 und sin(x + pi/2) = 4/5?


  7. Finden Sie den genauen Wert von [ tan (25°)+ tan (50° ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50°) ]


  8. Was ist der Winkel B des Dreiecks ABC, wenn A = 46°, b = 4 und c = 8? (Hinweis: Seite a liegt am Winkel A, Seite b liegt am Winkel B und Seite c liegt am Winkel C).


  9. Finden Sie den genauen Wert von tan (s + t), wobei sin s = 1/4 ist, s im Quadranten 2 liegt, und sin t = -1/2 ist, t im Quadranten 4 liegt.


  10. Finden Sie alle Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 9, 12 und 15.


  11. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Sinusfunktion mit einer Amplitude von 5/3, einer Periode von pi/2 und einer vertikalen Verschiebung von 4 Einheiten nach oben.


  12. Finden Sie den genauen Wert von cos (13π/12).


  13. Zwei Zahnräder sind miteinander verbunden. Das kleinere Zahnrad hat einen Radius von 4 Zoll, und das größere Zahnrad hat einen Radius von 10 Zoll. Das kleinere Zahnrad rotiert 890 Grad in 4 Sekunden. Was ist die Winkelgeschwindigkeit, in Grad pro Minute, des größeren Zahnrads?


  14. Eine Leiter von 20 Metern Länge lehnt an der Wand. Die Basis der Leiter ist x Meter von der Basis der Wand entfernt, und der Winkel, den die Wand und die Leiter bilden, ist t.
    a) Finden Sie x in Abhängigkeit von t.
    b) Beginnend bei t = 0 (die Leiter an der Wand) und dann allmählich den Winkel t erhöhen; für welche Größe des Winkels t wird x ein Viertel der Länge der Leiter sein?

Lösungen zu den obigen Problemen


  1. a) Sei P die Position des Passagiers (siehe Abbildung unten)

    Lösung des Riesenradproblems.


    Die Höhe h des Passagiers ist gegeben durch
    h = 1 + 25 + y = y + 26
    y hängt vom Drehwinkel A ab.
    sin(pi/2 - A) = y/25, was y = 25 cos(A) ergibt
    Der Winkel A hängt von der Winkelgeschwindigkeit w ab, wie folgt
    A = w t, wobei t die Zeit ist.
    Die Winkelgeschwindigkeit w ist gegeben durch
    w = 2pi / 36 = Pi / 18 (Bogenmaß/Sekunde)
    Nun setzen wir ein, um h wie folgt zu finden h(t) = 25 cos( (pi/18) t) + 26, wobei t in Sekunden und y in Metern ist.
    b) h(45) = 25 cos( (pi/18) 45) + 26 = 25 cos(3pi/2) + 26 = 26 Meter.

  2. Unter Verwendung der Abbildung unten schreiben wir die folgenden Gleichungen:
    tan(35°) = h / x und tan(45°) = h / (x - 20), wobei h die Höhe des Baumes ist.
    Lösen Sie beide Gleichungen nach x auf, um zu finden
    x = h / tan(35°) und x = h / tan(45°) + 20
    Was h / tan(35°) = h / tan(45°) + 20 ergibt
    Lösen Sie nach h auf; h = [ 20 tan(35°) tan(45°) ] / [ tan(45°) - tan(35°) ] = 46,7 Meter (auf drei signifikante Stellen gerundet)

    Lösung des Baumproblems.


  3. Unter Verwendung der Abbildung unten schreiben wir die folgenden Gleichungen:
    tan(75°) = y / 200 und tan(77°) = (y + x) / 200
    Eliminieren Sie y aus den beiden Gleichungen und lösen Sie nach x auf: x = 200 [ tan(77°) - tan(75°) ] = 119,9 Meter (auf 4 signifikante Stellen gerundet)

    Lösung des Bootsproblems.


  4. Beginnen Sie mit der rechten Seite: cos(x) - sin(3x) = cos(x) - sin( x + 2x)
    = cos(x) - sin(x)cos(2x) - cos(x)sin(2x)
    Expandieren Sie nun die linke Seite: [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ]
    = cos(x) cos(2x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x)
    Verwenden Sie die Identitäten cos(2x) = 1 - 2 sin2 und sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), um die ersten beiden Begriffe (nur) im obigen Ausdruck zu transformieren.
    = cos(x)(1 - 2 sin2) + sin(x) 2 sin(x) cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
    = cos(x) - 2 cos(x) sin2 + 2 cos(x) sin2 - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
    = cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x)
    Die linke Seite wurde transformiert, so dass sie der rechten Seite entspricht.

  5. f hat die folgende Form f(x) = a sin(x - pi/3) + 2 : Verschieben des Graphen von g um 2 Einheiten nach oben.
    f(pi/2) = a sin(pi/2 - pi/3) + 2 = 1
    Lösen Sie nach a auf, um a = -2 zu finden
    f(x) = -2 sin(x - pi/3) + 2

  6. Erweitern und vereinfachen: cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x) = -3/5
    Erweitern und vereinfachen: sin(x + pi/2) = sin(x) cos(pi/2) + cos(x) sin(pi/2) = cos(x) = 4/5
    tan(x) = sin(x) / cos(x) = (-3/5) / (4/5) = -3/4

  7. Die Additionformel für den Tangens kann verwendet werden, um zu schreiben
    [ tan (25°)+ tan (50°) ] / [ 1 - tan( 25°) tan(50°) ] = tan(25° + 50°)
    = tan(75°)
    = tan(45° + 30°)
    = [ tan(45°) + tan(30°) ] / [1 - tan(45°)tan(30°) ]
    = [ 1 + √(3) / 3 ] / [ 1 - 1*√(3) / 3 ]
    = √(3) + 2

  8. Verwenden Sie den Kosinussatz, um die Seite a zu finden
    a = √(16 + 64 - 2*4*8*cos(46°))
    Verwenden Sie dann den Sinussatz, um den Winkel B wie folgt zu finden
    sin(B) / 4 = sin(A) / a
    B = arcsin (4 sin(A) / a) = 29 Grad (auf die nächste Einheit gerundet)

  9. Gegeben sind sin(s) = 1/4 und sin(t) = -1/2 und ihre Quadranten, finde cos(s) und cos(t).
    cos(s) = - √(15) / 4 und cos(t) = √(3) / 2
    Wir erweitern nun:
    tan (s + t) = sin(s + t) / cos(s + t)
    = [ sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t) ] / [ cos(s)cos(t) - sin(s)sin(t) ]
    Einsetzen
    = - [ 4 √(3) + √(15) ] / 11

  10. Beachten Sie, dass 152 = 122 + 92, was bedeutet, dass das betreffende Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.
    Sei A der Winkel, der zur Seite der Länge 9 zeigt; daher sin(A) = 9/15
    A = 37° (auf die nächste Einheit gerundet)
    Der dritte Winkel = 90° - 37° = 53°

  11. y = (5/3) sin(B x) + 4 , B > 0
    2 pi / B = pi/2 , lösen Sie nach B: B = 4
    y = (5/3) sin(4 x) + 4

  12. cos(13 pi/12) = cos(pi/12 + pi) = - cos(pi/12)
    = - cos( (1/2)(pi/6) ) = - √ [ ( (1/2)(1 + cos(pi/6)) ] Halbwinkelformel
    = - √ [ 1/2 + √(3) / 4 ]


  13. Seien R1 und R2 die Radien von Zahnrad 1 und 2. Seien S1 und S2 die Drehbögen von Zahnrad 1 und 2. Die verbundenen Zahnräder haben die gleiche Tangentialgeschwindigkeit (gemessen in Zoll/Sekunde), daher sind die Bögen S1 und S2 gleich lang.
    R1 × t1 = R2 × t2
    t1 und t2 sind die Drehwinkel des größeren bzw. kleineren Zahnrads.
    10 × t1 = 4 × 890°
    t1 = 356°
    Winkelgeschwindigkeit = 356° / 4 Sekunden = 89° / Sekunde
    = 89° × 60 / (1 Sekunde × 60) = 5340° / Minute

    Lösung des Zahnräderproblems.


  14. Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Daher
    a) tan(t) = x / 20 oder x = 20 tan(t)
    b) x = (1/4) 20 = 20 tan(t) Lösen Sie nach t: t = arctan(1/4) = 14° (auf 2 signifikante Stellen gerundet)

Weitere Referenzen und Links

Mathematik in der High School (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mathematik in der Mittelschule (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Mathematik in der Grundschule (Klassen 4 und 5) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
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