Trigonometrie Aufgaben Klasse 11 mit Lösungen

a) Sei \( P \) die Position des Fahrgastes (siehe Abbildung unten).

Die Höhe \( h \) des Fahrgastes ist gegeben durch \[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \] Hier hängt \( y \) vom Drehwinkel \( A \) ab. Mit Trigonometrie schreiben wir: \[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{Radius}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \] Der Winkel \( A \) hängt von der Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) wie folgt ab: \[ A = \omega t \] Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) ist gegeben durch: \[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ radian/sekunde} \] Eingesetzt in den Ausdruck für die Höhe erhalten wir: \[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \] wobei \( t \) in Sekunden und die Höhe in Metern angegeben ist.

b) Um die Höhe bei \( t = 45 \) Sekunden zu finden:

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \] \[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = 26 \text{ meter} \]

Anhand der folgenden Abbildung

schreiben wir die folgenden Gleichungen basierend auf den gebildeten rechtwinkligen Dreiecken: \[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{und} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \] wobei \( h \) die Höhe des Baumes ist.

Löst man beide Gleichungen nach \( x \) auf, erhält man: \[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{und} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \] Setzt man die beiden Ausdrücke für \( x \) gleich: \[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \] Auflösen nach \( h \): \[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = 46.7 \text{ meter (3 signifikante stellen)} \]

Anhand der folgenden Abbildung schreiben wir die folgenden Gleichungen basierend auf trigonometrischen Beziehungen:

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{und} \quad \tan((90^\circ - 13^\circ) ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

Eliminieren Sie \( y \) aus den beiden Gleichungen und lösen Sie nach \( x \) auf:

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = 119.9 \text{ meter (gerundet auf 4 signifikante stellen)} \]

Beginnen Sie mit der rechten Seite:

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \] Entwickeln Sie \( \sin(x + 2x) \) \[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \] Entwickeln Sie nun das Produkt auf der linken Seite: \[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \] \[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \] Verwenden Sie die Identitäten \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) und \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), um die ersten beiden Terme umzuformen: \[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \] \[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \] \[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Die linke Seite wurde so umgeformt, dass sie der rechten Seite entspricht.

Die Funktion \( f \) ist in der Form gegeben:

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Dies stellt eine vertikale Verschiebung des Graphen von \( g(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) um 2 Einheiten nach oben dar.

Gegebener Wert: \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)

Setzen Sie \( x = \dfrac{\pi}{2} \) in die Funktion ein:

\[ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \] \[ f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

Mit dem bekannten Wert \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \) erhalten wir:

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \] \[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \] \[ a = -2 \]

Endgültige Gleichung

Die vollständig bestimmte Funktion lautet:

\[ f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Entwickeln und vereinfachen: \[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \sin(x) = -\dfrac{3}{5} \]

Entwickeln und vereinfachen: \[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}} = -\dfrac{3}{4} \]

Die Additionstheoreme für den Tangens können wie folgt verwendet werden:

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \] \[ = \tan(75^\circ) \] \[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \] \[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \] \[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \] \[ = \sqrt{3} + 2 \]

Um die Länge der Seite \( a \) zu finden, wenden wir den Kosinussatz an:

\[ a^2 = 4^2+ 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \] was ergibt \[ a = \sqrt{16 + 64 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ)} \]

Als nächstes verwenden wir den Sinussatz, um den Winkel \( B \) zu finden:

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

Löst man nach Winkel \( B \) auf, erhält man:

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(A)}{a} \right) \approx 29^\circ \]

(Gerundet auf das nächste Grad)

Gegeben \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) und \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \), und ihren jeweiligen Quadranten, finden Sie \( \cos(s) \) und \( \cos(t) \).

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{und} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Wir entwickeln nun:

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \] \[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

Setzen Sie die Werte ein:

\[ = -\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11} \]

Beachten Sie, dass

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \]

Dies bedeutet, dass das betreffende Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck ist.

Sei Winkel \( A \) der Winkel gegenüber der Seite der Länge 9. Dann gilt:

\[ \sin(A) = \dfrac{9}{15} \]

Winkel \( A \) beträgt ungefähr \( 37^\circ \) (gerundet auf das nächste Grad).

Der dritte Winkel ist:

\[ 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ \]

Die Funktion ist gegeben durch:

\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(Bx) + 4, \quad B > 0 \]

Es wird angegeben, dass die Periode ist:

\[ \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

Auflösen nach \( B \):

\[ B = 4 \]

Setzen Sie \( B = 4 \) in die Funktion ein:

\[ y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4 \]

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \] \[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \quad \text{(halbwinkelformel)} \] \[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}} \]

Seien \( R_1 \) und \( R_2 \) die Radien von Zahnrad 1 und Zahnrad 2. Seien \( S_1 \) und \( S_2 \) die Drehbögen von Zahnrad 1 bzw. 2. Da die verbundenen Zahnräder gleiche Tangentialgeschwindigkeiten (gemessen in Zoll pro Sekunde) haben, sind die Bögen \( S_1 \) und \( S_2 \) gleich lang.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

Hier sind \( t_1 \) und \( t_2 \) die Drehwinkel des größeren bzw. kleineren Zahnrads.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \] \[ t_1 = 356^\circ \]

Die Winkelgeschwindigkeit wird wie folgt berechnet:

\[ \text{Winkelgeschwindigkeit} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ sekunden}} = 89^\circ \text{ pro sekunde} \] \[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1 \times 60} = 5340^\circ \text{ pro minute} \]

Die Leiter, die Wand und der Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt

a) \(\sin(t) = \dfrac{x}{20}\) oder \(x = 20 \sin(t)\)

b) \(x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 20 \sin(t)\)

Lösen Sie nach \(t\) auf: \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx 14.48^\circ \]