3D-Vektoren (R³): Umfassender Leitfaden & Operationen

Was ist ein Vektor?

Ein Vektor ist eine Größe, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung besitzt. Geometrisch wird er durch eine Strecke dargestellt, deren Länge der Betrag ist, und einen Pfeil, der seine Richtung angibt, wie in der Abbildung unten dargestellt. Vektoren werden in der Physik verwendet, um Größen mit Betrag und Richtung zu modellieren, wie z. B. Geschwindigkeiten, Kräfte, Beschleunigungen; in der Technik, Chemie, Computergrafik, Robotik und vielen anderen Bereichen.

In der obigen Abbildung wird der Vektor durch einen Anfangspunkt A und einen Endpunkt B definiert. Daher kann der Vektor als \( \vec{AB} \) bezeichnet werden.

Äquivalente Vektoren

Vektoren mit gleichem Betrag und derselben Richtung sind äquivalente Vektoren, ungeachtet ihrer Position im Raum.

Geometrische Vektoroperationen

Summe zweier Vektoren

Gegeben zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), ist ihre Summe ein Vektor, den man erhält, indem man zuerst den Vektor \( \vec{v_2} \) so positioniert, dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt von \( \vec{v_1} \) zusammenfällt. Die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) ist der Vektor, dessen Anfangspunkt der Anfangspunkt von \( \vec{v_1} \) und dessen Endpunkt der Endpunkt von \( \vec{v_2} \) ist.

Beachten Sie, dass \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \) gilt. Zudem entspricht die Summe zweier Vektoren der Diagonale des von \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \) aufgespannten Parallelogramms.

Differenz zweier Vektoren

Gegeben zwei Vektoren \( \vec{v_1} \) und \( \vec{v_2} \), kann die Differenz \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) als Summe \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) definiert und geometrisch wie unten dargestellt abgebildet werden.

Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Ein Vektor \( \vec{v_1} \), der mit einem Skalar \( k \) multipliziert wird, ist als Vektor \( k\vec{v_1} \) definiert, der parallel zu \( \vec{v_1} \) verläuft. Seine Richtung ist dieselbe wie die von \( \vec{v_1} \), wenn \( k \gt 0 \), und entgegengesetzt, wenn \( k \lt 0 \). Der Betrag (die Länge) von \( k\vec{v_1} \) ist das \( | k | \)-fache des Betrags von \( \vec{v_1} \).

Die Abbildung unten zeigt die Vektoren \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) und \( -3 \vec{v_1} \).

Vektoren in einem rechtwinkligen 3D-Koordinatensystem

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit einem Betrag von 1. Unten ist ein rechtwinkliges 3D-Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) in positiver Richtung der x-, y- bzw. z-Achse dargestellt. Die Vektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) können durch ihre Komponenten wie folgt definiert werden:

• \(\vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle\), eine Einheit entlang der x-Achse.
• \(\vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle\), eine Einheit entlang der y-Achse.
• \(\vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle\), eine Einheit entlang der z-Achse.

Komponenten eines Vektors

Die Komponenten eines beliebigen Vektors \(\vec{v} \) werden definiert, indem man \(\vec{v} \) als Summe von Vielfachen der Einheitsvektoren \(\vec{i} \), \(\vec{j} \) und \(\vec{k} \) ausdrückt:

Oder in Komponentenform unter Verwendung von spitzen Klammern wie folgt:

Die Komponenten eines Vektors \(\vec{v} \), der durch seinen Anfangspunkt \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \) und seinen Endpunkt \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \) definiert ist, ergeben sich aus:

Betrag und Einheitsvektoren berechnen

Für einen gegebenen Vektor \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \) ergibt sich sein Betrag (oder seine Länge) aus:

Der Einheitsvektor \( \vec{u} \), definiert als ein Vektor mit dem Betrag 1 in dieselbe Richtung wie \( \vec{v} \), ergibt sich aus:

Algebraische Summe, Differenz und Skalarmultiplikation

Gegeben die Vektoren \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \) und \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \), ergeben sich die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \), die Differenz \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \) und die Skalarmultiplikation \( k \vec{v_1} \) (wobei k eine reelle Zahl ist) aus: