Lösungen zu Fragen über 3D-Vektoren (R3)

Detaillierte Lösungen zu Fragen über 3D-Vektoren werden präsentiert.

Detaillierte Lösungen zu Fragen über 3D-Vektoren

1)
Bestimmen Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \) und \( \vec{BA}\) wobei A und B durch ihre Koordinaten A(2,6,7) und B(0,-3,1) gegeben sind und zeigen Sie, dass \( \vec{AB} = -1 \vec{BA}\).
Lösung
Die gegebenen Punkte A und B sind definiert durch ihre Koordinaten: \( A (x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) und B \( (x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \) , wir verwenden die Formel
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1 > = \lt 0-2,-3-6,1-7 > = \lt -2,-9,-6>\)
\( \vec{BA} = \lt x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2 > = \lt 2-0,6-(-3),7-1 > = \lt 2,9,6>\)
\( \vec{AB} = \lt -2,-9,-6> = -1 \lt 2,9,6> = -1\vec{BA} \)


2)
Gegebene Vektoren \(\vec{v_1} = \lt 0,-3,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt -3,4,5> \), finden Sie:
a) \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \)
b) \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \)
c) \( -3\vec{v_1} \)
d) \( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} \)
e) \( k \) so, dass \( ||\vec{v_1} + k\vec{v_2}|| = \sqrt{67} \).
Lösung
Gegebene Vektoren \( \vec{v_1} = \lt a_1,b_1,c_1> = \lt 0,-3,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt a_2,b_2,c_2> = \lt -3,4,5>\), die Summe \( \vec{v_1} + \vec{v_2}\) , die Differenz \( \vec{v_1} - \vec{v_2}\) und die skalare Multiplikation \( k \vec{v_1} \), k eine reale Zahl, sind gegeben durch
Summe: \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt a_1+a_2,b_1+b_2,c_1+c_2> \)
Differenz: \( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt a_1 - a_2,b_1 - b_2,c_1 - c_2> \)
Multiplikation mit einem Skalar: \( k \vec{v_1} = \lt k a_1,k b_1,k c_1> \).
a) Verwenden Sie die Summenformel
\( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + \lt -3,4,5> = \lt 0+(-3) , -3+4 , 2 + 5 > = \lt -3 , 1 , 7>\)
b) Verwenden Sie die Differenzformel
\( \vec{v_1} - \vec{v_2} = \lt 0,-3,2> - \lt -3,4,5> = \lt 0 -(-3) , -3 - 4 , 2 - 5 > = \lt 3 , -7 , -3> \)
c) Verwenden Sie die Formel für die skalare Multiplikation
\( -3\vec{v_1} = -3 \lt 0,-3,2> = \lt -3\cdot0 , -3\cdot(-3) , -3\cdot2> = \lt 0,9,-6> \)
d) Verwenden Sie eine Kombination aus Skalar- und Summenformel
\( -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\lt 0,-3,2> + 3\lt-3,4,5> = \lt 0,6,-4> + \lt-9,12,15> = \lt -9,18,11> \)
e) Finden Sie den Vektor \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \).
\( \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \lt 0,-3,2> + k \lt -3,4,5> = \lt -3k ,-3+4k ,2+5k>\)
Finden Sie den Betrag von \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) und setzen Sie ihn gleich \( \sqrt{67} \).
\( \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67}\)
Quadrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung.
\( (-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2 = 67\)
Erweitern und gruppieren Sie.
\( 50k^2-4k+13 = 67 \)
Lösen Sie die obige quadratische Gleichung nach k auf, um zu erhalten.
\( k = -1 \) und \( k = 27/25\).


3)
Gegebener Vektor \(\vec{v} = \lt 0,-3,2>\), finden Sie den Einheitsvektor in gleicher Richtung wie \(\vec{v} \) und überprüfen Sie, dass seine Länge gleich 1 ist.
Lösung
Der Einheitsvektor \( \vec{u} \) in gleicher Richtung wie der Vektor \(\vec{v} \) ist gegeben durch.
\( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} = \dfrac{1}{\sqrt{0^2+(-3)^2+2^2}} \lt 0,-3,2> = \lt 0,-3/\sqrt{13} , 2/\sqrt{13}> \)
Berechnen Sie den Betrag von \( \vec{u} \) und überprüfen Sie, dass er gleich 1 ist.
\( || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + (-3/\sqrt{13})^2 + (2/\sqrt{13})^2 } = \sqrt{ 9/13 + 4/13} = 1\)


4)
Gegebene Punkte A(2,6,7), B(0,-3,1) und C(0,3,4), finden Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{AC}\) und \( \vec{BC}\) und zeigen Sie, dass \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Lösung
Die Komponenten eines Vektors, der durch zwei Punkte definiert ist, sind gegeben durch die Differenz zwischen den Koordinaten des End- und des Anfangspunkts.
\( \vec{AB} = \lt x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1> = \lt 0-2,-3-6,1-7> = \lt -2,-9,-6>\)
\( \vec{BC} = \lt 0-0,3-(-3),4-1> = \lt 0,6,3>\)
\( \vec{AC} = \lt 0-2,3-6,4-7> = \lt -2,-3,-3>\)
\( \vec{AB} + \vec{BC} = \lt -2,-9,-6> + \lt 0,6,3> = \lt -2+0,-9+6,-6+3> = \lt -2,-3,-3> = \vec{AC} \)


5)
Gegebene Punkte A(-1,2,1), B(2,4,2) und C(5,6,3), finden Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{BC}\) und \( \vec{AC}\) und bestimmen Sie, welche dieser Vektoren äquivalent sind und welche parallel sind.
Lösung
Die Komponenten eines Vektors, der durch zwei Punkte definiert ist, sind gegeben durch die Differenz zwischen den Koordinaten des End- und des Anfangspunkts.
\( \vec{AB} = \lt 2-(-1),4-2,2-1> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{BC} = \lt 5-2,6-4,3-2> = \lt 3,2,1>\)
\( \vec{AC} = \lt 5-(-1),6-2,3-1> = \lt 6,4,2>\)
\( \vec{AB} \) und \( \vec{BC} \) haben gleiche Komponenten und sind daher äquivalent.
Beachten Sie, dass
\( \vec{AC} = \lt 6,4,2> = 2 \lt 3,2,1> = 2\vec{BC}\)
Daher sind \( \vec{AC} \) und \( \vec{BC}\) sowie \( \vec{AB} \) parallel zueinander.


6)
Gegebene Vektoren \(\vec{v_1} = \lt -4,0,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt -1,-4,2> \), finden Sie den Vektor \( \vec{v} \) so, dass \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2} \)
Lösung
Sei \( \vec{v} = \lt x,y,z \gt \) und schreiben Sie die Vektorgleichung \(\vec{v_1} - 2 \vec{v} = 3 \vec{v} - 3 \vec{v_2}\) mit den Komponenten um.
\(\lt -4,0,2> - 2 \lt x,y,z \gt = 3 \lt x,y,z \gt - 3 \lt -1,-4,2> \)
Multiplizieren und subtrahieren Sie, und gruppieren Sie jede Seite der Vektorgleichung.
\( \lt -4-2x,0-2y,2-2z> = \lt 3x -3(-1) , 3y - 3(-4) , 3z - 3(2)> \)
\( \lt -4-2x,-2y,2-2z> = \lt 3x + 3 , 3y + 12 , 3z - 6> \)
Zwei Vektoren sind gleich (oder äquivalent), wenn ihre Komponenten gleich sind. Daher die Gleichungen:
\( -4-2x = 3x + 3 \;\; , \;\; \text{Lösung: } x = -7/5 \)
\( -2y = 3y + 12 \;\; , \;\; \text{Lösung: } y = -12/5 \)
\( 2-2z = 3z - 6 \;\; , \;\; \text{Lösung: } z = 8/5 \)
\( \vec{v} = \lt -7/5,-12/5,8/5 \gt \)


7)
Finden Sie einen Vektor \( \vec{u} \) in der gleichen Richtung wie der Vektor \( \vec{v} = \lt -4,2,2> \), aber mit der doppelten Länge von \( \vec{v} \).
Lösung
\( \vec{u} \) ist das Doppelte des Vektors \( \vec{v} \). Daher
\( \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \lt -4,2,2> = \lt -8 , 4 , 4> \)


8)
Finden Sie einen Vektor \( \vec{u} \) in entgegengesetzter Richtung zum Vektor \( \vec{v} = \lt -1,2,2> \), aber mit einer Länge von 5 Einheiten.
Lösung
Der Einheitsvektor in entgegengesetzter Richtung von \( \vec{v} \) ist gegeben durch
\(-\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \)
wobei \( ||\vec{v}|| \) die Größe von \( \vec{v} \) ist und durch
\( ||\vec{u}|| = \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
gegeben ist. \( \vec{u} \) ist dann gegeben durch
\(5(-\dfrac{1}{3} \vec{v}) = (-5/3) \lt -1 , 2 , 2> = \lt 5/3 , -10/3 , -10/3>\)


9)
Gegebener Vektor \( \vec{v} = \lt -1,2,2> \), finde eine reale Zahl \( k \), so dass \( ||k \vec{v} || = 1/5 \).
Lösung
Zuerst bemerken wir, dass
\( ||k \vec{v} || = |k| || \vec{v} || \)
\( || \vec{v} || \) ist gegeben durch
\( || \vec{v} ||= \sqrt{(-1)^2+2^2+2^2} = 3\)
Setzen wir dies in die Gleichung \( ||k \vec{v} || = 1/5 \) ein, erhalten wir
\( 3 |k| = 1/5 \)
was zu
|k| = 1/15
führt.
k = 1/15 und k = - 1/15


10)
Finde \( b \) und \( c \) so, dass die Vektoren \(\vec{v_1} = \lt -4,6,2>\) und \( \vec{v_2} = \lt 2,b,c> \) parallel sind.
Lösung
Die Vektoren \(\vec{v_1} \) und \(\vec{v_2} \) sind parallel, wenn es ein \( k \) gibt, sodass
\(\vec{v_1} = k \vec{v_2} \)
Daher die Vektorgleichung
\( \lt -4,6,2> = k \lt 2,b,c> = \lt 2k , k b , k c > \)
Die obige Vektorgleichung ergibt 3 Komponentengleichungen:
\( -4 = 2 k \) , also \( k = -2 \)
\( 6 = k b = - 2 b\) , also \( b = -3 \)
\( 2 = k c = -2 c \) , also \( c = 1 \)


11)
Sind die drei Punkte A(2,6,7), B(1,4,5) und C(0,2,3) kollinear?
Lösung
Damit die Punkte A, B und C kollinear sind, muss k gefunden werden, sodass
\( \vec{AC} = k \vec{AB} \) , Vektor AC und AB sind kollinear.
Finde die Komponenten der Vektoren \( \vec{AC} \) und \( \vec{AB} \) unter Verwendung der Koordinaten der Punkte A, B und C.
\( \vec{AC} = \lt 0 - 2 , 2-6 , 3 - 7> = \lt -2 , -4 , -4>\)
\( \vec{AB} = \lt 1-2 , 4- 6 , 5 - 7> = \lt -1 , -2 , -2> \)
Beachte, dass
\( \vec{AC} = \lt -2 , -4 , -4> = 2 \lt-1 , -2 , -2> = 2 \vec{AB} \)
Also
\( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \) , k = 2
Daher sind die Vektoren \( \vec{AC} \) und \( \vec{AB} \) kollinear, und daher sind die Punkte A, B und C (auf der gleichen Linie) wie unten im kartesischen Koordinatensystem dargestellt.

kollineare Punkte in 3D (R3)


12) Ein Würfel mit einer Seitenlänge von 2 Einheiten ist unten dargestellt.
a) Finde die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), \( \vec{HG} \), \( \vec{AC} \) und \( \vec{AG} \).
b) Welche der Vektoren in Teil a) sind äquivalent?
c) Beweise algebraisch, dass \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Finde \( || \vec{AG} || \).
e) Finde den Einheitsvektor in dieselbe Richtung wie der Vektor \( \vec{AG} \).

Würfel


Lösung
a) Wir müssen zuerst die Koordinaten der Punkte A, B, C, D, E, F, G und H schreiben.
A(0,0,0,), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).
\( \vec{AB} = \lt 2-0,0-0,0-0> = \lt 2,0,0>\)
\( \vec{EF} = \lt2-0,0-0,2-2> = \lt2,0,0>\)
\( \vec{DC} = \lt2-0, 2-2,0-0> = \lt2,0,0> \)
\( \vec{HG} = \lt2- 0 ,2 -2, 2-2 > =\lt2,0,0> \)
\( \vec{AC} = \lt2 - 0 , 2 - 0, 0 - 0> = \lt2,2,0>\)
\( \vec{AG} = \lt2-0,2-2,2-0> = \lt2,2,2>\)
b) Die Vektoren \( \vec{AB}\), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \) und \( \vec{HG}\) haben gleiche Komponenten und sind daher äquivalent (gleich).
c) Berechne \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) und \( \vec{AC} + \vec{CG} \) und vergleiche sie.
\( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \lt2,0,0> + \lt0,0,2> + \lt0,2,0> = \lt2,2,2> \)
\( \vec{AC} + \vec{CG} = \lt2,2,0> + \lt0,0,2> = \lt2,2,2>\)
Also \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} \) = \( \vec{AC} + \vec{CG} \).
d) Finde \( || \vec{AG} || = \sqrt{2^2+2^2+2^2} = 2\sqrt{3}\).
e) Der Einheitsvektor in dieselbe Richtung wie der Vektor \( \vec{AG} \) ist gegeben durch
\( \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}}\lt2,2,2> = \lt1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} ,1/\sqrt{3} > \)

Weitere Mathematik für Mittelschulen (Klassen 6, 7, 8, 9) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Weitere Mathematik für Oberstufen (Klassen 10, 11 und 12) - Kostenlose Fragen und Probleme mit Antworten
Weitere Grundschulmathematik (Klassen 4 und 5) mit kostenlosen Fragen und Problemen mit Antworten
Homepage