Algebra Probleme und Fragen mit Lösungen - Klasse 12

Wir schreiben die gegebenen Ausdrücke auf die gleiche Potenz um und vergleichen sie: \[ 25^{100} \] \[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \] \[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \] \[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \] \[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \] Nun ordnen wir sie vom Größten zum Kleinsten: \[ 3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300} \]

Nach dem Rationalen Nullstellensatz sind die möglichen rationalen Nullstellen eines Polynoms \[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \] gegeben durch: \[ \dfrac{\text{Teiler des konstanten Terms } a_0}{\text{Teiler des führenden Koeffizienten } a_n}. \]

Der führende Koeffizient ist \( 1 \), und seine Teiler sind:

\[ \pm 1 \]

Der konstante Term ist \( 6 \), und seine Teiler sind:

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \] Die möglichen rationalen Nullstellen sind: \[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

Testen auf rationale Nullstellen durch direktes Einsetzen und Berechnen:

\[ P(1) = 0, \quad P(2) = 0, \quad P(-3) = 0 \]

Da diese Werte \( P(x) = 0 \) erfüllen, sind sie die Nullstellen von \( P(x) \).

Das Polynom \( P(x) \) hat die folgenden rationalen Nullstellen: \[ x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3 \]

Somit kann das Polynom unter Verwendung dieser Nullstellen weiter faktorisiert werden.

\[ P(x) = (x-1)(x-2)(x+3) \]

Aus dem Graphen ist \(x = -3 \) eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\), \(x = 0\) ist eine Nullstelle der Vielfachheit 1 und \(x = 2\) ist eine Nullstelle der Vielfachheit 2.

Das Polynom hat den Grad 5 und sein Graph fällt auf der rechten Seite und steigt auf der linken Seite, daher ist der führende Koeffizient negativ und gleich \(-1\), folglich ist \( P(x) \) gegeben durch

\[ P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2 \]

Da die Koeffizienten von \( P(x) \) reell sind, müssen die komplexen Nullstellen in konjugierten Paaren auftreten. Somit ist \( 2 + i \) ebenfalls eine Nullstelle von \( P(x) \). Als nächstes finden wir den quadratischen Faktor, der diesen beiden Nullstellen entspricht: \[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \] Erweitern mit der dritten binomischen Formel: \[ (x - 2 + i)(x - 2 - i) = (x - 2)^2 - i^2 = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \] \[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5. \] Da \( P(x) \) durch \( x^2 - 4x + 5 \) teilbar ist, führen wir eine Polynomdivision durch: \[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5). \] Durch Division erhalten wir den Quotienten \( x^2 - 2 \), der sich weiter faktorisieren lässt als: \[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}). \] Somit ist die vollständige Menge der Nullstellen von \( P(x) \): \[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}.} \]

Wir verwenden die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion: \[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \] wobei der Scheitelpunkt als \( (-2,1) \) gegeben ist.

Verwenden des gegebenen Punktes \( (0, -3) \): Einsetzen von \( x = 0 \) und \( f(0) = -3 \): \[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \] \[ -3 = 4a + 1 \] Auflösen nach \( a \): \[ 4a = -4 \] \[ a = -1. \] Einsetzen von \( a = -1 \) in die Scheitelpunktform: \[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \] Ausmultiplizieren: \[ f(x) = -x^2 - 4x - 3. \] Im Vergleich mit der Standardform \( f(x) = ax^2 + bx + c \) ergibt sich: \[ a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3. \]

Da \( f(x) \) eine quadratische Funktion mit \( f(1) = 3 \) und \( f(5) = 3 \) ist, liegen die beiden Punkte \( (1, 3) \) und \( (5, 3) \) auf der Parabel, und da die Funktion quadratisch ist, ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts gleich der x-Koordinate des Mittelpunkts dieser beiden Punkte, da sie den gleichen y-Wert \( 3 \) haben.

Die \( x \)-Koordinate des Mittelpunkts ist: \[ x_{\text{Scheitelpunkt}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = 3. \] Die \( x \)-Koordinate des Scheitelpunkts des Graphen von \( f(x) \) ist \( \boxed{3} \).

Die schräge Asymptote ist der Quotient, der sich aus der Polynomdivision von \( a x^4 + b x^3 + 3 \) durch \( x^3 - 2 \) ergibt.

Durch Polynomdivision erhalten wir

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \] Der Quotient \( ax + b \) ist die schräge Asymptote und muss gleich \( 2x - 3 \) sein. \[ ax + b = 2x - 3 \] Da zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, vergleichen wir und erhalten: \[ a = 2, \quad b = -3 \]

Gegeben \[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \] Vereinfachen der rechten Seite der gegebenen Gleichung \[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \] Umformung der obigen Gleichung \[ \log_9 (x^3) = 3 \] Umschreiben von 3 mit einem Logarithmus zur Basis 9 \[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \] Aufstellen der algebraischen Gleichung aus der vorherigen Gleichung \[ x^3 = 9^3 \] Lösen nach \(x\) \[ x = 9 \quad \]

Gegeben \[ \log_x(y^3) = 2 \] Umschreiben in Exponentialform \[ x^2 = y^3 \] Quadrieren beider Seiten \[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \] Vereinfachen \[ x^4 = y^6 \] Logarithmieren beider Seiten zur Basis \(y \) und vereinfachen \[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) = 6 \]

Gegeben \[ \log_x (8e^3) = 3 \] Um nach \( x \) aufzulösen, schreiben Sie die Gleichung in Exponentialform um: \[ x^3 = 8e^3 \] Ziehen der dritten Wurzel auf beiden Seiten: \[ x = \sqrt[3]{8e^3} \] Da \( 8 = 2^3 \), vereinfachen wir: \[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} = 2e \]

Gegeben \[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \] Verwenden der Exponentialregeln \[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \quad \text{und } 16^{x - 1} = 16^x 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \] und einsetzen in die gegebene Gleichung \[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \] Lösen nach \( 4^{2x}: \) \[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \] Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten der obigen Gleichung \[ \sqrt{4^{2x}} = \sqrt{(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \] Daher \[ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

Gegeben \[ a^2 - b^2 = 8 \] Quadrieren beider Seiten und ausmultiplizieren \[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 8^2 \quad (I) \] Gegeben \[ a b = 2 \] Quadrieren beider Seiten des Obigen \[ (a b)^2 = a^2 b^2 = 2^2 = 4 \] Einsetzen in (I) \[ a^4 + b^4 - 2(4) = 8^2 \] Daher \[ a^4 + b^4 = 72 \]

Der Wertebereich einer Sinusfunktion ist

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

Multiplizieren aller Terme der doppelten Ungleichung mit 2

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

Addieren von -5 zu allen Termen der Ungleichung \[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

Vereinfachen \[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

Ändern der obigen Ungleichung mit Hilfe des Betrags \[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

Addieren von 3 zu allen Termen der doppelten Ungleichung \[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

Vereinfachen \[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \] Der Maximalwert von \( f(x) \) ist gleich \( 10 \) und der Minimalwert von \( f(x) \) ist gleich \( 6 \).

Wenn \( x \lt -7 \) dann gilt \[ x \lt -3 \]

Addieren von \( 3 \) zur obigen Ungleichung und vereinfachen \[ x + 3 \lt 0 \]

Gemäß der Definition des Betrags \[ |3 + x| = -(3 + x) \]

Der gegebene Ausdruck vereinfacht sich zu \[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |x + 7| \]

Da \( x + 7 \lt 0 \) \[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

und daher \[ |4 - |3 + x|| = -x - 7 \]

Sei \( d \) die Entfernung zwischen \( A \) und \( B \). Die benötigte Zeit für die Fahrt von A nach B ist gegeben durch: \[ t_1 = \dfrac{d}{50} \] wobei \( 50 \) km/h die Durchschnittsgeschwindigkeit von \( A \) nach \( B \) ist.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Rückfahrt (von \( B \) nach \( A \)) sei \( v \). Die benötigte Zeit für die Rückfahrt ist: \[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

Die Gesamtzeit für die gesamte Fahrt ist: \[ t_{\text{gesamt}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

Die Gesamtstrecke (Hin- und Rückfahrt) ist: \[ d + d = 2d \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt ist gegeben durch: \[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \dfrac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}} = \dfrac{2d}{t_{\text{gesamt}}} \] Wir wissen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt 60 km/h betragen soll, also: \[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

Kürzen von \( d \) aus Zähler und Nenner: \[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

Multiplizieren beider Seiten mit \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \): \[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

Vereinfachen: \[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \] \[ 2 = 1,2 + \dfrac{60}{v} \]

Subtrahieren von 1,2 von beiden Seiten: \[ 0,8 = \dfrac{60}{v} \]

Auflösen nach \( v \): \[ v = \dfrac{60}{0,8} = 75 \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Rückfahrt von \( B \) nach \( A \) muss also \( 75 \) km/h betragen, um einen Durchschnitt von \( 60 \) km/h für die gesamte Fahrt zu erreichen.

Gegeben \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

Ersetzen von \( x + y \) durch 6 in der obigen Gleichung \[ 6(x - y) = -12 \]

Lösen nach \( x - y \) \[ (x - y) = -2 \] Wir haben nun ein Gleichungssystem zu lösen \[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

Lösen des obigen Systems \[ x = 2, \quad y = 4 \]

Gegeben \[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

Einsetzen von \( x = 2\) in die gegebene Gleichung \[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

Einsetzen von \( x = 6\) in die gegebene Gleichung \[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B}\]

Lösen von Gleichung (B) nach \( f(6) \): \[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

Einsetzen in Gleichung (A): \[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

Ausmultiplizieren und zusammenfassen \[ -8 f(2) + 18 = 2 \]

Lösen nach \( f(2) \): \[ f(2) = 2 \]

Gegeben \[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \quad \tag{A} \] Setze \( x = 1 \) in \( A \) ein \[ f(3) = 2 f(1) + 1 \quad \tag{B} \] Setze \( x = 0 \) in \( A \) ein \[ f(1) = 2 f(0) + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5 \] Ersetzen von \( f(1) = 5 \) in \( B \), um zu erhalten \[ f(3) = 11 \]

Finden wir die Schnittpunkte des Kreises und der Geraden, indem wir das System der beiden gegebenen Gleichungen lösen. Ersetzen von \( y \) durch \( 2 x + b \) in der Kreisgleichung \[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \] Ausmultiplizieren und vereinfachen \[ 5 x^2 + 4 b x + b^2 - 4 = 0 \] Die Anzahl der Schnittpunkte wird durch die Anzahl der Lösungen der obigen Gleichung bestimmt. Die Gerade und der Kreis berühren sich, wenn die obige quadratische Gleichung nur eine Lösung hat, was bedeutet, dass die Diskriminante gleich Null ist. Finden Sie die Diskriminante \( \Delta \) in Abhängigkeit von \( b \) \[ \Delta = (4 b)^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \] Lösen. \[ (4 b)^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \] \[ -4b^2+80 = 0 \] Lösen nach \( b \), um zwei Lösungen zu erhalten \[ b = \pm 2 \sqrt{5} \]

Sei \[ P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \quad \text{und} \quad D(x) = x^2 - 3x + 2 \] . Die Division der beiden Polynome kann wie folgt geschrieben werden: \[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \] wobei \( Q(x) \) der Quotient und \( r(x) \) der Rest ist, der einen Grad gleich eins oder niedriger haben wird, da der Divisor \( D(x) \) den Grad 2 hat. Daher drücken wir den Rest als \( r(x) = ax + b \) aus.

Wir müssen nun die Werte von \( a \) und \( b \) finden, die den Rest definieren.

Beachten Sie, dass \( D(x) \) wie folgt faktorisiert werden kann: \[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \] Daher haben wir: \[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \] Unter Verwendung der Nullstellen von \( D(x) \) schreiben wir: \[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \] Dies vereinfacht sich zu: \[ a + b = P(1) \] Ebenso schreiben wir: \[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 2a + b = P(2) \] Jetzt müssen wir \( P(1) \) und \( P(2) \) berechnen. \[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 0 \] Als nächstes schreiben wir \( P(x) \) um als: \[ P(x) = x^{99}(x - 1) - x + 1 \] Daher berechnen wir \( P(2) \): \[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - 2 + 1 = 2^{99} - 1 \] Wir haben nun ein Gleichungssystem, um \( a \) und \( b \) zu lösen: \[ a + b = 0 \] \[ 2a + b = 2^{99} - 1 \] Lösen des Systems ergibt: \[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{und} \quad b = 1 - 2^{99} \] Somit ist der Rest: \[ r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99} \]

Sei \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

Quadrieren beider Seiten ergibt: \[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \] Wir können schreiben: \[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \] Lösen der obigen quadratischen Gleichung ergibt: \[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{oder} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \] Da \( y \) positiv ist, lautet die Lösung: \[ \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \]

Die Koeffizientenmatrix \(A\) ist: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \] Die Konstantenmatrix \(b\) ist: \[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

Die Cramersche Regel gibt die Lösung für jede Variable in Form der Determinanten von Matrizen an, die aus der Koeffizientenmatrix \(A\) abgeleitet und durch Ersetzen von Spalten mit den Konstanten der rechten Seite modifiziert werden.

Um \(x\) zu finden, ersetzen Sie die erste Spalte von \(A\) durch den Konstantenvektor \(b\): \[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \] Dann ist die Lösung für \(x\): \[ x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \] Um \(y\) zu finden, ersetzen Sie die zweite Spalte von \(A\) durch den Konstantenvektor \(b\): \[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \] Dann ist die Lösung für \(y\): \[ y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \] Um \(z\) zu finden, ersetzen Sie die dritte Spalte von \(A\) durch den Konstantenvektor \(b\): \[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \] Dann ist die Lösung für \(z\): \[ z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

Jetzt müssen wir die Determinanten der Matrizen \(A\), \(A_x\), \(A_y\) und \(A_z\) berechnen. \[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \] Unter Verwendung der Laplace-Entwicklung entlang der ersten Zeile: \[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \] Berechnung der 2x2-Determinanten: \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \] \[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \] \[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \] Einsetzen dieser Werte in die Determinantenformel: \[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

Also ist \(\text{det}(A) = 0\).

Determinante von \(A_x\): \[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \] Wir können dies mit der Laplace-Entwicklung entlang der ersten Zeile berechnen: \[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \] Berechnung der 2x2-Determinanten: \[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -52 \] Einsetzen dieser Werte in die Formel: \[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

Keine Notwendigkeit fortzufahren: Wenn eine der Determinanten von \(A_x\), \(A_y\) oder \(A_z\) ungleich Null ist, während \(\text{det}(A) = 0\) ist, dann hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung. In diesem Fall, da \(\text{det}(A) = 0\) und \(\text{det}(A_x) \neq 0\), hat das System keine Lösung.