Lösungen für die oben genannten Probleme

1. 
   25¹⁰⁰
   2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰
   3⁴⁰⁰ = (3⁴)¹⁰⁰ = 81¹⁰⁰
   4²⁰⁰ = (4²)¹⁰⁰ = 16¹⁰⁰
   2⁶⁰⁰ = (2⁶)¹⁰⁰ = 64¹⁰⁰ vom größten zum niedrigsten: 3⁴⁰⁰ , 2⁶⁰⁰, 25¹⁰⁰ , 4²⁰⁰ , 2³⁰⁰
   
2. 
   P(x) = x³ - 7x + 6 : gegeben
   Leitkoeffizient 1 und seine Faktoren sind: +1,-1
   Der konstante Term ist 6 und seine Faktoren sind: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6,-6
   Mögliche rationale Nullstellen: +1,-1,+2,-2,+3,-3,+6,-6
   Test: P(1) = 0, P(2) = 0 und P(-3) = 0
   x = 1, x = 2 und x = -3 sind die Nullstellen von P(x).
   
3. 
   Aus dem Diagramm geht hervor, dass x = -3 eine Nullstelle der Multiplizität 2, x = 0 eine Nullstelle der Multiplizität 1 und x = 2 eine Nullstelle der Multiplizität 2 ist.
   P(x) = -x(x + 3)²(x - 2)² : Polynom mit reellen Nullstellen, also niedrigstem Grad.
   
4. )
   Wenn 2 - i eine Null ist und die Koeffizienten des Polynoms reell sind, dann ist 2 + i (das Konjugierte) auch eine Lösung.
   P(x) = (x - (2 - i))(x - (2 + i))×q(x) = ((x - 2)² + 1) ×q(x)
   q(x) = P(x)/((x - 2)² + 1) = (x² - 2)
   x = 2 - i , x = 2 + i , x = √2 und x = - √2 sind die 4 Nullstellen von P(x).
   
5. 
   f(x) = a(x + 2)² + 1 : Parabelgleichung in Scheitelpunktform
   f(0) = -3 = 4a + 1
   a = -1 : nach a auflösen
   f(x) = -(x + 2)² + 1 = -x² - 4x - 3
   a = -1 , b = -4 und c = -3 : Koeffizienten identifizieren
   
6. 
   f(x) = a x² + b x + c
   f(1) = 3, was 3 = a + b + c ergibt
   f(5) = 3, was 3 = 25a + 5b + c ergibt
   24a + 4b = 0: Gleichung B von Gleichung C subtrahieren
   x-Koordinate des Scheitelpunkts = -b/2a = 3: aus obiger Gleichung
   
7. 
   Die schräge Asymptote ist der Quotient, der sich aus der langen Division von a x⁴ + bx³ + 3 durch x³ - 2 ergibt
   Der erhaltene Quotient ist ax + b
   a x t + b = 2 x - 3
   a = 2 und b = -3: Damit zwei Polynome gleich sind, müssen die entsprechenden Koeffizienten gleich sein.
   
8. 
   log₉ (x³) = log₂(8) : gegeben
   log₂ (2³) = 3 : Vereinfachen Sie die rechte Seite der gegebenen Gleichung.
   log₉ (x³) = 3 : Schreiben Sie die obige Gleichung neu
   log₉ (x³) = log₉(9³) : 3 als Protokoll umschreiben Basis 9.
   x³ = 9³ : algebraische Gleichung aus Gleichung D erhalten.
   x = 9: oben nach x auflösen.
   
9. 
   log_x (y³) = 2 : gegeben
   x² = y³ : in Exponentialform umschreiben
   x⁴ = y⁶ : beide Seiten quadrieren
   x⁴ = y⁶ : Schreiben Sie das Obige unter Verwendung der Logbasis y neu
   log_y(x⁴) = log_y(y⁶) = 6
   
10. 
    log_x (8 e³) = 3 : gegeben
    x³ = 8 e³ = (2e)³
    x = 2e
    
11. 
    16^x + 16^{x - 1} = 10 : gegeben
    4^2x + 4^2x / 16 = 10
    4^2x = 160/17: Auflösen nach 4^2x
    4^x = 4 √(10) / √(17) : Extrahiere die Quadratwurzel
    2^2x = 4^x = 4 √(10) / √(17)
    
12. 
    a² - b² = 8 : gegeben
    a⁴ + b⁴ - 2a²b² = 8² : Beide Seiten quadrieren und erweitern.
    a×b = 2 : gegeben
    a²b² = 2² : beide Seiten quadrieren.
    a⁴ + b⁴ - 2(4) = 8² : Ersatz
    a⁴ + b⁴ = 72
    
13. 
    -1 ≤ sin(2x - π/3) ≤ 1: Bereich einer Sinusfunktion
    -2 ≤ 2sin(2x - π/3) ≤ 2: Multiplizieren Sie alle Terme der doppelten Ungleichung mit 2
    -2 - 5 ≤ 2sin(2x - π/3) - 5 ≤ 2 - 5: Addiere -5 zu allen Gliedern der Ungleichung.
    -7 ≤ 2sin(2x - π/3) - 5 ≤ -3
    3 ≤ |2sin(2x - π/3) - 5| ≤ 7: Ändern Sie das Obige mit dem Absolutwert.
    3 + 3 ≤ |2sin(2x - π/3) - 5| + 3 ≤ 7 + 3: Addiere 3 zu allen Termen der doppelten Ungleichung.
    Der Maximalwert von f(x) ist gleich 10 und der Minimalwert von f(x) ist gleich 6.
    
14. 
    Wenn x < -7 dann x < - 3 und x + 3 < 0 und |3 + x| = -(3 + x)
    |4 - |3 + x|| = |4 + 3 + x| = |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 : da x + 7 < 0
    
15. 
    Sei d der Abstand zwischen A und B
    T1 = d / 50 : Fahrzeit von A nach B
    Sei S die Geschwindigkeit von B nach A
    T2 = d/S : Reisezeit von B nach A
    60 = 2d/(T1 + T2): Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Fahrt
    60 = 2d/(d/50 + d/S): Ersetzen Sie T1 und T2
    S = 75 km/Stunde: Lösen Sie die obige Gleichung nach S.
    
16. 
    x² - y² = (x - y)(x + y) = -12 : gegeben
    6(x - y) = -12 : Ersetze x + y durch 6
    (x - y) = -2 : nach x - y auflösen
    (x - y) = -2 und x + y = 6 : 2 mal 2 System.
    x = 2 , y = 4 : obiges System lösen.
    
17. 
    f(x) + 3f(8 - x) = x : gegeben
    f(2) + 3f(6) = 2 : x = 2 oben
    f(6) + 3f(2) = 6 : x = 6 oben
    f(6) = 6 - 3f(2) : Gleichung C nach f(6) lösen
    f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 : Ersatz
    f(2) = 2 : obige Gleichung lösen.
    
18. 
    f(2x + 1) = 2f(x) + 1 : gegeben
    f(3) = 2f(1) + 1 : x = 1 in A
    f(1) = 2f(0) + 1 : x = 0 in A
    f(3) = 11 : Ersatz
    
19. 
    x² + y² = 4 : gegeben
    x² + (2x + b)² = 4 : Ersetze y durch 2x + b
    5x² + 4bx + b² - 4 = 0
    Die Anzahl der Schnittpunkte ergibt sich aus der Anzahl der Lösungen der obigen Gleichung. Gerade und Kreis sind Tangente, wenn die obige quadratische Gleichung nur eine Lösung hat, was bedeutet, dass die Diskriminante gleich Null ist. Finden Sie die Diskriminante als Funktion von b und lösen Sie sie.
    b = √2 und b = -√2 : 2 Lösungen.
    
20. 
    (x¹⁰⁰ - x⁹⁹ - x + 1) / (x² - 3x + 2)
    Sei P(x) = x¹⁰⁰ - x⁹⁹ - x + 1 , D(x) = x² - 3x + 2
    Die Division der beiden Polynome kann geschrieben werden als
    P(x) = D(x) Q(x) + r(x) , wobei Q(x) der Quotient und r(x) der Rest ist, dessen Grad gleich eins oder kleiner ist. r(x) = a x + b
    Wir müssen nun a und b finden, die den Rest definieren.
    Beachten Sie, dass D(x) wie folgt faktorisiert werden kann: D(x) = x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
    Daher: P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + a x + b
    Mit den Nullstellen von D(x) schreiben:
    P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a (1) + b ergibt a + b = P(1)
    P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a (2) + b ergibt 2 a + b = P(2)
    Wir müssen jetzt P(1) und P(2) auswerten.
    P(1) = 1¹⁰⁰ - 1⁹⁹ - (1) + 1 = 0
    Schreiben Sie zunächst P(x) = x⁹⁹(x - 1) - x + 1 um; Daher ist P(2) = 2⁹⁹(2 - 1) - 2 + 1 = 2⁹⁹ - 1
    Wir haben jetzt ein Gleichungssystem, um a und b zu lösen und zu finden.
    a + b = 0 und 2 a + b = 2⁹⁹ - 1
    a = 2⁹⁹ - 1 und b = 1 - 2⁹⁹
    Rest: r(x) = (2⁹⁹ - 1) x + 1 - 2⁹⁹
    
21. 
    Sei y = √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))).
    quadriere beide Seiten, um zu erhalten: y ² = 1/3 + √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...)))
    Wir können schreiben: y ² = 1/3 + y
    Lösen Sie die obige quadratische Gleichung und erhalten Sie: y = (3 + √(21)) / 6 und y = (3 - √21) / 6
    y ist positiv, daher die Lösung: √(1/3 + √(1/3 + √(1/3 + ...))) = y = (3 + √(21)) / 6

Weitere Referenzen und Links