Algebra-Aufgaben und Fragen mit Lösungen - Klasse 12

Wir verwenden die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion, da wir die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt einsetzen können:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Setzen Sie den gegebenen Scheitelpunkt \( (h, k) = (-2,1) \) in die Gleichung ein:

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

Verwenden Sie nun den gegebenen Punkt \( (0, -3) \), um den unbekannten Koeffizienten \( a \) zu bestimmen. Setzen Sie \( x = 0 \) und \( f(0) = -3 \):

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

Vereinfachen Sie den quadrierten Ausdruck:

\[ -3 = 4a + 1 \]

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten und lösen Sie nach \( a \) auf:

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

Setzen Sie \( a = -1 \) zurück in die Scheitelpunktform ein, um die vollständige Gleichung zu erhalten:

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

Um die Werte für \( a \), \( b \) und \( c \) zu finden, müssen wir die Gleichung in die Standardform \( ax^2 + bx + c \) umwandeln:

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

Multiplizieren Sie das Minuszeichen hinein:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

Fassen Sie die konstanten Terme zusammen:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

Durch Vergleich mit der Standardform \( f(x) = ax^2 + bx + c \) erhalten wir:

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

Methode 1: Algebraische Substitution

Die Standardform einer quadratischen Funktion lautet:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Da \( f(1) = 3 \), setzen wir \( x = 1 \) ein, um unsere erste Gleichung zu erhalten:

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{(Gleichung B)} \]

Da \( f(5) = 3 \), setzen wir \( x = 5 \) ein, um unsere zweite Gleichung zu erhalten:

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{(Gleichung C)} \]

Durch Subtraktion von Gleichung B von Gleichung C eliminieren wir die Variable \( c \):

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

Durch Division durch 4 vereinfachen wir zu: \( 6a + b = 0 \), was bedeutet \( b = -6a \).

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts jeder quadratischen Funktion ist durch die Formel \( \dfrac{-b}{2a} \) gegeben. Wenn wir \( -6a \) für \( b \) einsetzen:

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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Hinweis: Diese Aufgabe kann mithilfe von Geometrie wesentlich schneller gelöst werden:

Da \( f(x) \) eine quadratische Funktion ist, für die \( f(1) = 3 \) und \( f(5) = 3 \) gelten, liegen die Punkte \( (1, 3) \) und \( (5, 3) \) auf der Parabel. Da sie exakt denselben y-Wert (3) haben, sind dies horizontal symmetrische Punkte auf dem Graphen.

Bei einer quadratischen Funktion liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts exakt in der Mitte zwischen zwei beliebigen symmetrischen Punkten. Daher entspricht sie der x-Koordinate des Mittelpunkts dieser beiden Punkte.

Berechnung der x-Koordinate des Mittelpunkts:

\[ x_{\text{Scheitel}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts des Graphen von \( f(x) \) ist 3.

Die schiefe Asymptote einer rationalen Funktion ist der Quotient, der sich aus der Polynomdivision des Zählers durch den Nenner ergibt.

Führen wir die Polynomdivision von \( a x^4 + b x^3 + 3 \) durch \( x^3 - 2 \) durch:

1. Dividieren Sie den führenden Term \( ax^4 \) durch \( x^3 \), was \( ax \) ergibt. Dies ist das erste Glied des Quotienten.

2. Multiplizieren Sie \( ax \) mit dem gesamten Nenner \( (x^3 - 2) \), was \( ax^4 - 2ax \) ergibt.

3. Subtrahieren Sie dies vom Zähler: \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. Dividieren Sie nun den neuen führenden Term \( bx^3 \) durch \( x^3 \), was \( b \) ergibt. Dies ist das zweite Glied des Quotienten.

Durch die Division erhalten wir den vollständigen Ausdruck:

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

Der Quotient \( ax + b \) ist die schiefe Asymptote. Wir wissen, dass diese Asymptote gleich der Geraden \( y = 2x - 3 \) sein muss.

Daher setzen wir diese gleich:

\[ ax + b = 2x - 3 \]

Da zwei Polynome genau dann gleich sind, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, vergleichen wir die Terme und erhalten:

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

Gegeben ist die Gleichung:

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

Vereinfachen Sie zuerst die rechte Seite der Gleichung. Da 8 als \( 2^3 \) geschrieben werden kann, vereinfacht sich der Logarithmus leicht:

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung neu, indem Sie den Wert einsetzen:

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

Um nach \( x \) aufzulösen, können wir die Zahl 3 als Logarithmus zur Basis 9 schreiben, sodass beide Seiten übereinstimmen (unter Verwendung der Regel \( c = \log_b(b^c) \)):

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

Da die Logarithmusbasen auf beiden Seiten identisch sind, können wir die Logarithmen weglassen und die algebraische Gleichung für die Argumente aufstellen:

\[ x^3 = 9^3 \]

Ziehen Sie die Kubikwurzel auf beiden Seiten, um nach \( x \) aufzulösen:

\[ \mathbf{x = 9} \]

Gegeben ist die logarithmische Gleichung:

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

Um eine algebraische Beziehung zwischen \( x \) und \( y \) herzustellen, schreiben wir die Gleichung von der logarithmischen Form in die Exponentialform um (\( \text{Basis}^{\text{Ergebnis}} = \text{Argument} \)):

\[ x^2 = y^3 \]

Der Zielausdruck, den wir berechnen wollen, ist \( \log_y(x^4) \), der ein \( x^4 \) enthält. Wir müssen unsere Exponentialgleichung so manipulieren, dass ein \( x^4 \) entsteht. Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung:

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

Vereinfachen Sie dies unter Verwendung der Potenzgesetze:

\[ x^4 = y^6 \]

Setzen Sie nun diesen Wert für \( x^4 \) in den Zielausdruck ein. Nehmen Sie den Logarithmus zur Basis \( y \) auf beiden Seiten:

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

Unter Verwendung der Eigenschaft \( \log_b(b^k) = k \) ergibt sich:

\[ \mathbf{6} \]

Gegeben ist die logarithmische Gleichung:

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

Um nach der Basis \( x \) aufzulösen, schreiben wir die Gleichung in die Exponentialform um:

\[ x^3 = 8e^3 \]

Um \( x \) zu isolieren, ziehen wir die Kubikwurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

Wir können den Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen. Da \( 8 \) eine perfekte Kubikzahl ist (\( 8 = 2^3 \)), ersetzen wir diese und gruppieren die Terme:

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

Die Kubikwurzel und das Hoch-3 heben sich gegenseitig auf, was als Endergebnis bleibt:

\[ \mathbf{x = 2e} \]

Gegeben ist die Exponentialgleichung:

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

Verwenden Sie zunächst die Potenzgesetze, um die Terme zu trennen und auf die gemeinsame Basis 4 umzuschreiben. Wir wissen, dass \( 16 = 4^2 \):

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

Für den zweiten Term verwenden wir die Regel \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \):

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

Setzen Sie diese vereinfachten Terme zurück in die gegebene Gleichung ein:

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

Klammern Sie \( 4^{2x} \) aus, um es zu isolieren: \( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \), was zu \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \) führt. Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( \dfrac{16}{17} \), um \( 4^{2x} \) zu isolieren:

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

Um die Basis von 4 auf 2 zu reduzieren, ziehen wir die positive Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

Da \( 4^x \) mathematisch identisch mit \( 2^{2x} \) ist (weil \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \)), haben wir unser Ergebnis:

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

Gegeben ist die erste Gleichung:

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

Da wir die Summe von Termen zur vierten Potenz finden wollen, müssen wir beide Seiten der Gleichung quadrieren:

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

Expandieren Sie die linke Seite mithilfe der binomischen Formel \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \):

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

Durch Umstellen der Terme erhalten wir einen Ausdruck, der unser Ziel \( a^4 + b^4 \) enthält:

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{(I)} \]

Nun nutzen wir die zweite gegebene Information:

\[ ab = 2 \]

Quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung:

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

Setzen Sie diesen Wert \( 4 \) für \( a^2b^2 \) in Gleichung (I) ein:

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

Vereinfachen Sie:

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

Addieren Sie 8 auf beiden Seiten:

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

Um die Minimum- und Maximumwerte der komplexen trigonometrischen Funktion zu finden, bauen wir sie Schritt für Schritt auf. Wir wissen, dass der Wertebereich einer grundlegenden Sinusfunktion immer zwischen -1 und 1 liegt:

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

Multiplizieren Sie alle Terme der Ungleichung mit der Amplitude 2:

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

Addieren Sie die vertikale Verschiebung von -5 zu allen Termen:

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

Vereinfachen Sie die Grenzen:

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

Wenden Sie nun den Betrag an. Da der gesamte Ausdruck innerhalb der Betragsstriche im negativen Bereich liegt (von -7 bis -3), kehrt die Betragsbildung die Vorzeichen um und tauscht die Grenzen:

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

Addieren Sie schließlich die Konstante 3 außerhalb der Betragsstriche:

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

Vereinfachen Sie die Grenzen, um den endgültigen Bereich zu erhalten:

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

Daher ist der Maximalwert von \( f(x) \) gleich 10 und der Minimalwert gleich 6.

Bei der Vereinfachung von verschachtelten Beträgen arbeiten wir von innen nach außen. Wir verwenden die gegebene Bedingung, um das Vorzeichen des Ausdrucks innerhalb der Betragsstriche zu bestimmen. Ist der Ausdruck negativ, multiplizieren wir ihn mit -1, um den Betrag aufzulösen.

Wir haben die Bedingung: Wenn \( x < -7 \), dann wissen wir durch Addition von 4 auf beiden Seiten, dass:

\[ x < -3 \]

Addieren Sie 3 zur obigen Ungleichung und vereinfachen Sie, um das Vorzeichen des inneren Ausdrucks \( (3 + x) \) zu bestimmen:

\[ x + 3 < 0 \]

Da \( (3+x) \) definitiv kleiner als null ist, müssen wir ihn gemäß der Definition des Betrags mit -1 multiplizieren, um die Striche zu entfernen:

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

Setzen Sie dies zurück ein. Der gegebene Ausdruck vereinfacht sich zu:

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

Nun bewerten wir den äußeren Betrag \( |x + 7| \). Wir kehren zu unserer ursprünglichen Bedingung \( x < -7 \) zurück. Die Addition von 7 auf beiden Seiten zeigt:

\[ x + 7 < 0 \]

Da der neue Ausdruck ebenfalls definitiv negativ ist, multiplizieren wir erneut mit -1, um den Betrag aufzulösen:

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

Daraus ergibt sich der vollständig vereinfachte Ausdruck:

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird nicht berechnet, indem man einfach zwei Geschwindigkeiten mittelt; sie muss mit der Formel: Gesamtdistanz geteilt durch Gesamtzeit berechnet werden. Wir müssen Ausdrücke für Distanz und Zeit aufstellen.

Sei \( d \) die Distanz zwischen \( A \) und \( B \). Die Zeit für den ersten Abschnitt von A nach B berechnet sich durch Distanz geteilt durch Geschwindigkeit:

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

Sei \( v \) die unbekannte Durchschnittsgeschwindigkeit für den Rückweg (von \( B \) nach \( A \)). Die Zeit für den Rückweg beträgt:

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

Die Gesamtzeit für den gesamten Rundweg ist die Summe beider Zeiten:

\[ t_{\text{ges}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

Die zurückgelegte Gesamtdistanz (Hin- und Rückweg) ist einfach die doppelte Distanz:

\[ d + d = 2d \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke ergibt sich aus Gesamtdistanz durch Gesamtzeit. Setzen Sie diese Formel gleich unserer Ziel-Durchschnittsgeschwindigkeit von 60 km/h:

\[ \text{Durchschnittsgeschwindigkeit} = \dfrac{\text{Gesamtdistanz}}{\text{Gesamtzeit}} = \dfrac{2d}{t_{\text{ges}}} = 60 \]

Setzen Sie die aufgestellten Ausdrücke in die Formel ein:

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

Beachten Sie, dass die Distanz \( d \) in jedem Term vorhanden ist. Kürzen Sie \( d \) im Zähler und Nenner:

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

Um den Bruch zu berechnen, multiplizieren Sie beide Seiten mit dem Nenner-Ausdruck \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \):

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

Multiplizieren Sie die 60 in die Klammer hinein:

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1{,}2 + \dfrac{60}{v} \]

Subtrahieren Sie 1,2 von beiden Seiten:

\[ 0{,}8 = \dfrac{60}{v} \]

Lösen Sie nach \( v \) auf, indem Sie mit \( v \) multiplizieren und durch 0,8 teilen:

\[ v = \dfrac{60}{0{,}8} = 75 \]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für den Rückweg von \( B \) nach \( A \) muss also 75 km/h betragen.

Bei der nichtlinearen Gleichung können wir die algebraische Identität für die Differenz von Quadraten verwenden, um sie in einfachere Binome zu faktorisieren:

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

Wir haben die zweite Gleichung: \( x + y = 6 \). Ersetzen Sie den Ausdruck \( (x + y) \) in unserer faktorisierten Gleichung durch 6:

\[ (x - y)(6) = -12 \]

Teilen Sie beide Seiten durch 6, um nach \( x - y \) aufzulösen:

\[ (x - y) = -2 \]

Wir haben nun ein einfaches lineares Gleichungssystem, das wir durch das Additions- oder Einsetzungsverfahren lösen können:

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

Addieren Sie beide Gleichungen, um die Variable \( y \) zu eliminieren: \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \), was \( 2x = 4 \) ergibt, also \( x = 2 \).

Setzen Sie \( x = 2 \) in die zweite Gleichung ein: \( 2 + y = 6 \), was \( y = 4 \) ergibt.

Die Lösung des Systems lautet:

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

Gegeben ist die Funktionsgleichung:

\[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

Um einen spezifischen Wert wie \( f(2) \) zu berechnen, setzen wir strategische Werte für \( x \) ein, um ein lösbares Gleichungssystem zu erhalten. Setzen Sie zuerst \( x = 2 \) in die gegebene Gleichung ein:

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

Dies erzeugt eine Gleichung mit einer neuen Unbekannten, \( f(6) \). Um diese zu eliminieren, setzen wir \( x = 6 \) in die ursprüngliche Gleichung ein:

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

Wir haben nun ein System aus zwei Gleichungen. Wir lösen Gleichung (B) nach \( f(6) \) auf:

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

Setzen Sie diesen Ausdruck für \( f(6) \) zurück in Gleichung (A) ein:

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

Expandieren Sie den Ausdruck, indem Sie die 3 verteilen, und fassen Sie die Terme zusammen:

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

Subtrahieren Sie 18 von beiden Seiten und lösen Sie nach \( f(2) \) auf:

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

Gegeben ist die rekursive Funktionsgleichung:

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

Wir verwenden den bekannten Wert \( f(0) = 2 \), um uns schrittweise an \( f(3) \) heranzutasten. Wir müssen bestimmen, welche Werte für \( x \) wir einsetzen müssen, um die benötigten Funktionswerte zu erhalten.

Um den nächsten Schritt von \( x=0 \) aus zu finden, setzen wir \( x = 0 \) in Gleichung A ein:

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

Setzen Sie den bekannten Wert \( f(0) = 2 \) ein:

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Nun wissen wir \( f(1) = 5 \). Wir möchten \( f(3) \) finden. Wir benötigen das Argument \( (2x+1) \) gleich 3. Dies ist der Fall, wenn \( x = 1 \). Setzen Sie \( x = 1 \) in Gleichung A ein:

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

Setzen Sie unseren neu berechneten Wert \( f(1) = 5 \) in Gleichung B ein, um das Endergebnis zu erhalten:

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

Wir suchen die Schnittpunkte des Kreises und der Geraden, indem wir das System der beiden Gleichungen lösen. Eine Gerade, die eine Tangente an einen Kreis ist, schneidet diesen in genau einem Punkt, was bedeutet, dass das resultierende System genau eine Lösung haben sollte.

Setzen Sie den Ausdruck für \( y \), also \( 2 x + b \), in die Kreisgleichung ein:

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

Expandieren Sie das Quadrat und vereinfachen Sie die Gleichung durch Zusammenfassen der Terme:

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht der Anzahl der Lösungen der obigen quadratischen Gleichung. Die Gerade ist genau dann eine Tangente, wenn die Gleichung nur eine Lösung hat. Eine quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn ihre Diskriminante (\( \Delta = B^2 - 4AC \)) gleich null ist.

Berechnen Sie die Diskriminante \( \Delta \) als Funktion von \( b \), mit \( A=5 \), \( B=4b \) und \( C=(b^2 - 4) \):

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

Setzen Sie die Diskriminante gleich null und lösen Sie nach \( b \) auf:

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

Ziehen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten. Lösen Sie nach \( b \) auf, um zwei Lösungen zu erhalten:

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

Sei das Zählerpolynom \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \) und das Nennerpolynom \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \).

Die Division der beiden Polynome lässt sich algebraisch so schreiben:

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

wobei \( Q(x) \) der Quotient und \( r(x) \) der Rest ist. Nach Definition der Polynomdivision hat der Rest einen Grad, der um eins niedriger ist als der des Divisors \( D(x) \). Da der Divisor Grad 2 hat, können wir den Rest als lineare Gleichung \( r(x) = ax + b \) ausdrücken.

Nun müssen wir die Werte für \( a \) und \( b \) bestimmen.

Beachten Sie, dass \( D(x) \) in Binome faktorisiert werden kann:

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

Daher setzen wir den faktorisierten Divisor und den linearen Rest in unsere Divisionsgleichung ein:

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

Unter Verwendung der Nullstellen von \( D(x) \) (1 und 2) können wir \( P(x) \) auswerten. Da das Einsetzen einer Nullstelle des Divisors den gesamten Quotienten-Term zu Null macht, isolieren wir unseren Rest. Zuerst schreiben wir die Gleichung für \( x=1 \):

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ a + b = P(1) \]

Ebenso schreiben wir die Gleichung für \( x=2 \):

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

Dies vereinfacht sich zu:

\[ 2a + b = P(2) \]

Nun müssen wir \( P(1) \) und \( P(2) \) mithilfe der ursprünglichen Polynomgleichung auswerten.

Setzen Sie \( x=1 \) in \( P(x) \) ein:

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

Als nächstes faktorisieren wir \( P(x) \) leicht, um die Auswertung größerer Zahlen zu erleichtern:

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

Daher berechnen wir \( P(2) \) durch Einsetzen von \( x=2 \):

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

Wir haben nun ein lineares Gleichungssystem, um \( a \) und \( b \) zu bestimmen:

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

Aus der ersten Gleichung wissen wir \( b = -a \). Setzen Sie dies in die zweite Gleichung ein: \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

Durch Lösen des Systems erhalten wir:

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{und} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

Indem wir \( a \) und \( b \) in \( r(x) = ax+b \) einsetzen, ergibt sich der Rest:

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

Wir können diesen verschachtelten Wurzelterm lösen, indem wir den gesamten unendlichen Ausdruck einer Variablen gleichsetzen.

Sei \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung, um die äußerste Quadratwurzel zu eliminieren:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

Da die Reihe von Quadratwurzeln unendlich ist, ist der Ausdruck unter der ersten Wurzel identisch mit unserer ursprünglichen Definition der Variablen \( y \). Daher können wir \( y \) auf der rechten Seite der Gleichung einsetzen. Wir können schreiben:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

Dies ist eine Standard-Quadratgleichung. Formen Sie sie so um, dass sie gleich null ist. Multiplizieren Sie mit 3, um die Brüche zu entfernen: \( 3y^2 = 1 + 3y \), was zu folgendem wird:

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

Verwenden Sie die quadratische Lösungsformel (\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)), um die obige Gleichung zu lösen:

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{oder} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

Da der ursprüngliche Ausdruck eine positive Quadratwurzel ist, muss \( y \) eine positive Zahl sein. Die zweite Option liefert ein negatives Ergebnis, da \( \sqrt{21} > 3 \). Da \( y \) positiv sein muss, ist die Lösung die positive Wurzel:

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

Wir können die Lösbarkeit eines Systems bestimmen, indem wir dessen Matrizen extrahieren und deren Determinanten auswerten. Die Koeffizientenmatrix \(A\), bestehend aus den Multiplikatoren der Variablen, lautet:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

Die Konstantenmatrix \(b\), bestehend aus den Werten auf der rechten Seite der Gleichung, lautet:

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

Die Cramersche Regel liefert die Lösung für jede Variable als Determinantenverhältnis. Wenn die Determinante von \(A\) null ist, aber eine modifizierte Determinante nicht, hat das System keine Lösung.

Um \(x\) zu finden, ersetzen wir die erste Spalte von \(A\) durch den Konstantenvektor \(b\):

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

Die Lösung für \(x\) wäre: \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \). Wenn \(\text{det}(A) = 0\), ist dies nicht möglich.

Berechnen wir die Determinante von \(A\):

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Wir verwenden die Kofaktor-Entwicklung entlang der ersten Zeile:

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

Berechnung der 2x2-Determinanten:

\[ \text{det}(A) = 2(3 + 8) - 1(-5 - 6) - 3(20 - 9) = 2(11) + 11 - 33 = 22 + 11 - 33 = 0 \]

Wir haben festgestellt, dass \(\text{det}(A) = 0\). Das bedeutet, das System hat keine eindeutige Lösung. Wir prüfen nun die Determinante der modifizierten Matrix \(A_x\):

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} = 5(11) - 1(7 - 16) - 3(-28 - 24) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

Da \(\text{det}(A) = 0\) und \(\text{det}(A_x) = 220 \neq 0\), ist das Gleichungssystem inkonsistent und hat keine Lösung.

Um Logarithmen zu addieren, müssen sie die exakt gleiche Basis haben. Wir nutzen die Basiswechselformel \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \), um alle Logarithmen auf Basis 2 umzurechnen.

Konvertierung des Terms mit Basis 4. Wir wissen \( \log_2(4) = 2 \):

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

Konvertierung des Terms mit Basis 16. Wir wissen \( \log_2(16) = 4 \):

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung:

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

Ausklammern von \( \log_2(x) \):

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

Hauptnenner finden:

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4+2+1}{4}\right) = 7 \implies \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

Multiplikation mit dem Kehrwert:

\[ \log_2(x) = 4 \implies x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

Wir verwenden die Identität für die Summe zweier Kubikzahlen: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 35 \).

Da \( x + y = 5 \), folgt: \( 5(x^2 - xy + y^2) = 35 \), also \( x^2 - xy + y^2 = 7 \).

Quadrieren von \( x + y = 5 \) ergibt \( x^2 + 2xy + y^2 = 25 \).

Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt \( 3xy = 18 \), also \( xy = 6 \).

Wir suchen Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6. Dies sind die Nullstellen von \( t^2 - 5t + 6 = 0 \).

Die Lösungen für \( t \) sind 2 und 3.

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{und} \quad (3, 2)} \]

Faktorisierung: \( \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \).

Kritische Punkte: \( -3, -2, 2, 3 \).

Wir testen die Intervalle:

• \( (-\infty, -3) \): Positiv
• \( [-3, -2) \): Negativ
• \( (-2, 2) \): Positiv
• \( (2, 3] \): Negativ
• \( (3, \infty) \): Positiv

Wir suchen den Bereich kleiner oder gleich 0:

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3]} \]