Die Periode trigonometrischer Funktionen finden - Mathematik 12. Klasse

Schritt 1: Volle Zyklen auf dem Graphen identifizieren.
Suchen Sie Nullstellen, die einen gesamten Zyklus oder eine ganzzahlige Anzahl von Zyklen begrenzen. In diesem Beispiel können wir im Intervall von $x = 0$ bis $x = 1$ genau zwei volle Wellenzyklen zählen.

Schritt 2: Die experimentelle Periode berechnen.
Da zwei Zyklen in einen horizontalen Abstand von $1 - 0 = 1$ passen, ist die Periode $P$ (die Länge eines einzelnen Zyklus): $$P = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$$

Schritt 3: Nach Parameter $b$ auflösen.
Die Formel für die Periode einer Sinuswelle lautet $P = \frac{2\pi}{b}$. Setzen wir dies mit unserer gefundenen Periode gleich: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{1}{2}$$ Über Kreuz multiplizieren und nach $b$ auflösen: $$b = 4\pi$$

Schritt 1: Die Distanz eines vollen Zyklus finden.
Betrachten Sie die Nulldurchgänge. Der Graph beginnt einen Zyklus bei $x = -\frac{\pi}{4}$, durchläuft einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt und beendet genau einen vollen Zyklus am Nulldurchgang $x = \frac{\pi}{4}$.

Schritt 2: Die Periode berechnen.
Die Periode $P$ ist der horizontale Abstand zwischen diesen beiden Punkten: $$P = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Schritt 3: Nach Parameter $b$ auflösen.
Setzen Sie die grafisch ermittelte Periode mit der algebraischen Formel $P = \frac{2\pi}{b}$ gleich: $$\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{b}$$ Multiplizieren Sie beide Seiten mit $2b$: $$\pi \cdot b = 4\pi \implies \mathbf{b = 4}$$

Schritt 1: Wichtige Punkte zur Abstandsberechnung identifizieren.
Der Graph bietet Markierungen auf der x-Achse, jedoch keine direkten Koordinaten für die Hochpunkte. Wir können jedoch die genauen Positionen der Nullstellen (x-Achsenabschnitte) finden, indem wir den Mittelpunkt zwischen den angegebenen Markierungen berechnen.

Nullstelle links (Mittelpunkt zwischen $-\pi/4$ und $-\pi/8$): $$x_1 = \frac{-\pi/4 + (-\pi/8)}{2} = \frac{-3\pi/8}{2} = -\frac{3\pi}{16}$$

Nullstelle rechts (Mittelpunkt zwischen $0$ und $\pi/8$): $$x_2 = \frac{0 + \pi/8}{2} = \frac{\pi}{16}$$

Schritt 2: Die Periode berechnen.
Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen entspricht genau einem *halben* Zyklus (einer halben Periode). $$\text{Halbe Periode} = \frac{\pi}{16} - \left(-\frac{3\pi}{16}\right) = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$$ Folglich ist die volle Periode $P$ das Zweifache dieses Abstands: $$P = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$

Schritt 3: Nach $b$ auflösen.
$$\frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies \mathbf{b = 4}$$

Schritt 1: Die Beziehung zwischen den Extremwerten verstehen.
Der horizontale Abstand entlang der x-Achse zwischen einem aufeinanderfolgenden Hochpunkt (Punkt A bei $x = \frac{3\pi}{6}$) und einem Tiefpunkt (Punkt B bei $x = \frac{7\pi}{6}$) entspricht genau einer halben Periode.

Schritt 2: Die Periode berechnen.
Berechnen Sie zuerst den Abstand zwischen A und B: $$\text{Abstand} = \frac{7\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$$ Die volle Periode $P$ ist das Doppelte dieser Distanz: $$P = 2 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Schritt 3: Nach $b$ auflösen.
Setzen Sie die algebraische Formel mit der numerischen Periode gleich: $$\frac{2\pi}{b} = \frac{4\pi}{3}$$ Über Kreuz multiplizieren: $6\pi = 4\pi b \implies \mathbf{b = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}}$

Schritt 1: Die Periode direkt ermitteln.
Der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Tiefpunkten entspricht genau einem vollen Zyklus. Daher ist die Periode $P$ einfach die Differenz ihrer x-Koordinaten: $$P = 0.1 - (-0.3) = 0.4$$

Schritt 2: Nach $b$ auflösen.
Mithilfe der Periodenformel $P = \frac{2\pi}{b}$: $$\frac{2\pi}{b} = 0.4$$ $$0.4b = 2\pi \implies b = \frac{2\pi}{0.4} = \frac{20\pi}{4} = \mathbf{5\pi}$$

1. Für $y = \sin(x)\cos(x) - 3$:
   Verwenden Sie die Doppelwinkelidentität: $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. Teilt man durch 2, erhält man $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.
   Schreiben Sie die Funktion um: $$y = \frac{1}{2} \sin(2x) - 3$$ Der innere Multiplikator ist $b=2$. Periode: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
2. Für $y = 2 + 5\cos^2(x)$:
   Verwenden Sie die potenzreduzierende Identität: $\cos^2(x) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + 1)$.
   Schreiben Sie die Funktion um: $$y = 2 + 5\left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = 2 + \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\cos(2x) + \frac{9}{2}$$ Der innere Multiplikator ist $b=2$. Periode: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{2} = \pi}$$
3. Für $y = \cos(x) + \sin(x)$:
   Schreiben Sie dies als eine einzige phasenverschobene Sinuswelle um. Multiplizieren und dividieren Sie mit $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$: $$y = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)\right)$$ $$y = \sqrt{2}\left(\sin(\frac{\pi}{4})\cos(x) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(x)\right)$$ Unter Verwendung des Additionstheorems $\sin(A+B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B$: $$y = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ Der innere Multiplikator ist $b=1$. Periode: $$\mathbf{P = \frac{2\pi}{1} = 2\pi}$$

Nach Definition gilt, wenn $p$ die Periode der Funktion $f$ ist: $$f(x+p) = f(x) \quad \text{für alle } x$$

Führen wir eine Substitution durch, bei der $x = kX$ ist: $$f(kX+p) = f(kX)$$

Klammern wir nun die Konstante $k$ aus dem Argument der linken Seite aus: $$f\left(k\left(X+\frac{p}{k}\right)\right) = f(kX)$$

Da wir $h(x) = f(kx)$ definiert haben, können wir $h$ in unsere Gleichung einsetzen: $$h\left(X+\frac{p}{k}\right) = h(X)$$

Diese Aussage definiert eine neue periodische Funktion $h$. Sie zeigt an, dass eine Verschiebung der Eingabe um $\frac{p}{k}$ wieder den ursprünglichen Funktionswert liefert. Daher ist $h(x) = f(kx)$ periodisch mit einer Periode von: $$\mathbf{\frac{p}{k}}$$

Schritt 1: Die Periode jedes einzelnen Terms ermitteln.
Für den ersten Term, $y_1 = 3\sin(4x)$, ist der Parameter $b = 4$. Seine Periode ist: $$P_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ Für den zweiten Term, $y_2 = 2\cos(6x)$, ist der Parameter $b = 6$. Seine Periode ist: $$P_2 = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$$

Schritt 2: Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) finden.
Die Periode einer Summe periodischer Funktionen ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ihrer einzelnen Perioden. Wir müssen das kgV von $\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{3}$ finden.
Um das kgV von Brüchen zu finden, drücken Sie diese mit einem gemeinsamen Nenner aus. Der Hauptnenner für $2$ und $3$ ist $6$: $$P_1 = \frac{3\pi}{6}$$ $$P_2 = \frac{2\pi}{6}$$ Das kgV der Zähler ($3\pi$ und $2\pi$) ist $6\pi$. Teilen Sie dies durch den gemeinsamen Nenner: $$\text{kgV} = \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\pi}$$

Schritt 1: Die Periode der Basisfunktion finden.
Ignorieren Sie zunächst den Betrag. Die Basisfunktion ist $f(x) = \sin(2x)$. Die Periode dieser Sinuswelle ist: $$P_{\text{Basis}} = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Schritt 2: Die Auswirkung des Absolutbetrags analysieren.
Eine standardmäßige Sinuswelle oszilliert oberhalb und unterhalb der x-Achse und durchläuft einen positiven Berg und ein negatives Tal über ihre volle Periode von $\pi$.
Durch die Anwendung des Absolutbetrags (Betragsfunktion) wird das negative Tal nach oben über die x-Achse gespiegelt und wird so zu einem identischen positiven Berg. Da die erste Hälfte des Zyklus und die zweite Hälfte des Zyklus nun vollkommen identisch aussehen, wiederholt sich das Muster doppelt so schnell.
Daher halbiert das Anwenden eines Betrags auf eine Sinus- oder Kosinuswelle ihre Grundperiode.

Schritt 3: Die finale Periode berechnen.
$$P = \frac{P_{\text{Basis}}}{2} = \mathbf{\frac{\pi}{2}}$$

Schritt 1: An die Standardperiode des Tangens erinnern.
Im Gegensatz zu Sinus- und Kosinusfunktionen, deren Grundperiode $2\pi$ beträgt, ist die grundlegende Basisperiode der Tangensfunktion $y = \tan(x)$ genau $\pi$. Daher lautet die Formel für die Periode von $y = a\tan(bx - c)$ entsprechend $P = \frac{\pi}{|b|}$.

Schritt 2: Den Parameter $b$ identifizieren.
Betrachten wir das Argument der Tangensfunktion $\left(\frac{\pi x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$, so ist der Multiplikator für die Variable $x$ gleich $b = \frac{\pi}{3}$. (Hinweis: Das $-\frac{\pi}{4}$ ist eine Phasenverschiebung und beeinflusst die Länge der Periode nicht).

Schritt 3: Die Periode berechnen.
$$P = \frac{\pi}{\frac{\pi}{3}} = \pi \times \frac{3}{\pi} = \mathbf{3}$$

Die Periode ist genau $3$ Einheiten lang.