Periode trigonometrischer Funktionen finden - Mathematik Klasse 12
Erkunden Sie Trigonometrie-Aufgaben der 12. Klasse zum Bestimmen der Periode trigonometrischer Funktionen anhand eines Graphen oder einer Formel. Jede Frage wird von detaillierten, Schritt-für-Schritt-Lösungen und Erklärungen begleitet, um Ihnen zu helfen, die Konzepte klar zu verstehen.
Frage 1 - Periode einer Sinusfunktion
Der untenstehende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form \( y = a \sin(b x) \), mit \( b \gt 0 \). Finden Sie ihre Periode und den Parameter \( b\).
Lokalisieren Sie zwei Nullstellen, die einen ganzen Zyklus oder eine ganze Anzahl von Zyklen begrenzen. In diesem Beispiel können wir sehen, dass es von der Nullstelle bei \( x = 0 \) bis zur Nullstelle bei \( x = 1 \) zwei Zyklen gibt. Daher ist die Periode \( P \) gleich: \[ P = \dfrac{1 - 0}{2} = \dfrac{1}{2} \] Wir verwenden nun die Formel für die Periode in Bezug auf \( b \) und setzen sie mit dem anhand des Graphen ermittelten Wert der Periode gleich. \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{1}{2} \] Lösen nach \( b \): \[ b = 4\pi \]
Frage 2 - Eine weitere Sinusfunktion
Der Graph einer trigonometrischen Funktion der Form \( y = a \sin(b x) \), mit \( b >0 \), ist unten dargestellt. Finden Sie ihre Periode und den Parameter \( b \).
Es gibt einen Zyklus von der Nullstelle bei \( x = -\dfrac{\pi}{4} \) bis zur Nullstelle bei \( x = \dfrac{\pi}{4} \). Daher ist die Periode \( P \) gegeben durch: \[ P = \dfrac{\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{2} \] Wir setzen nun den anhand des Graphen ermittelten Wert der Periode mit der obigen Formel gleich und lösen nach \( b \) auf. \[ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b}, \quad b = 4 \]
Frage 3 - Kosinusfunktion mit Phasenverschiebung
Der untenstehende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form \( y = a \cos(b x + c) \) mit \( b \gt 0 \). Finden Sie die Periode dieser Funktion und den Wert von \( b \).
Es gibt zwei Nullstellen, die einen halben Zyklus begrenzen. Wir finden zuerst diese Nullstellen.
Nullstelle links: \[ \dfrac{-\pi/4 - \pi/8}{2} = -\dfrac{3\pi}{16} \] Nullstelle rechts: \[ \dfrac{0 + \pi/8}{2} = \dfrac{\pi}{16} \] Daher ist eine halbe Periode gleich: \[ \dfrac{\pi}{16} - \left(-\dfrac{3\pi}{16}\right) = \dfrac{\pi}{4} \] Und eine volle Periode \( P \) ist gleich: \[ P = 2 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \] Wir setzen nun den anhand des Graphen ermittelten Wert der Periode mit der obigen Formel gleich und lösen nach \( b \) auf. \[ \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b}, \quad b = 4 \]
Frage 4 - Sinusfunktion mit vertikaler Verschiebung
Der untenstehende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form \( y = a \sin(b x + c) + d \) und die Punkte A und B sind Hoch- und Tiefpunkte. Finden Sie die Periode dieser Funktion und den Wert von \( b \), unter der Annahme \( b \gt 0 \).
Der Abstand entlang der x-Achse zwischen den Punkten A und B ist gleich einer halben Periode und ist gegeben durch: \[ \dfrac{7\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \] Die Periode \( P \) der Funktion ist gegeben durch \[ P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \] \( b \) wird durch Lösen von \[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{4\pi}{3}, \quad b = \dfrac{3}{2} \] gefunden.
Frage 5 - Kosinusfunktion mit gegebenen Minima
Der Graph einer trigonometrischen Funktion der Form \( y = a \cos(b x + c) + d \) ist unten dargestellt, wobei die Punkte A und B Minimalpunkte mit den x-Koordinaten \( -0.3 \) bzw. \( 0.1 \) sind. Finden Sie den Wert von \( b \).
Es gibt einen ganzen Zyklus zwischen den Punkten A und B. Daher ist die Periode \( P \) gegeben durch \[ P = 0.1 - (-0.3) = 0.4 \] \( b \) wird durch Lösen von \[ \dfrac{2\pi}{b} = 0.4, \quad b = 5\pi \] gefunden.
Frage 6 - Periode gegebener Funktionen
Finden Sie die Periode jeder der folgenden Funktionen
- \( y = \sin(x)\cos(x) - 3 \)
- \( y = 2 + 5\cos^2(x) \)
- \( y = \cos(x) + \sin(x) \)
- Verwenden Sie die Identität \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \): \[ y = \sin(x)\cos(x) - 3 = \dfrac{1}{2} \sin(2x) - 3 \] Periode: \[ P = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]
- Verwenden Sie die Identität \( \cos^2(x) = \dfrac{1}{2} (\cos(2x) + 1) \): \[ y = 2 + 5\cos^2(x) = 2 + 5\left(\dfrac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right) = \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{9}{2} \] Periode: \[ P = \dfrac{2\pi}{2} = \pi \]
- Umschreiben: \[ y = \cos(x) + \sin(x) = \dfrac{2}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)\right) \] Verwendung der Identität: \[ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos(x) + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin(x) \] Also: \[ y = \sqrt{2}\,\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \] Periode: \[ P = \dfrac{2\pi}{1} = 2\pi \]
Frage 7 - Allgemeine Regel für die Periode von \( f(kx) \)
Angenommen, \( f(x) \) ist eine periodische Funktion mit der Periode \( p \). Was ist die Periode der Funktion \( h(x) = f(kx) \), wobei \( k \) eine positive Konstante ist?
Wenn \( p \) die Periode der Funktion \( f \) ist, dann gilt \[ f(x+p) = f(x) \quad \text{für alle } x \] Sei \( x = kX \), wobei \( k \) eine Konstante ist: \[ f(kX+p) = f(kX) \] Schreiben Sie um als: \[ f\left(k\left(X+\dfrac{p}{k}\right)\right) = f(kX) \] Sei \( h(x) = f(kx) \). Dann gilt: \[ h\left(X+\dfrac{p}{k}\right) = h(X) \] Dies zeigt, dass \( h(x) = f(kx) \) periodisch ist mit der Periode \[ \dfrac{p}{k} \]