Trigonometrieaufgaben der 12. Klasse und Fragen zur Ermittlung der
Periode von trigonometrischen Funktionen, gegeben durch ihren Graphen oder ihre Formel, werden zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert.
In den folgenden Problemen verwenden wir die Formel für die Periode P von trigonometrischen Funktionen der Form y = a sin(bx + c) + d oder y = a cos(bx + c) + d, die gegeben ist durch
P = 2π / | b |
und zu
P = 2π / b
wird, wenn b > 0 ist.
Interaktive Tutorials zu Periode von trigonometrischen Funktionen können zunächst verwendet werden, um dieses Konzept zu verstehen.
Frage 1
Der folgende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form y = a sin(b x) mit b > 0. Finden Sie ihre Periode und den Parameter b.
Lösung
Finden Sie zwei Nullen, die einen ganzen Zyklus oder eine ganze Zahl von Zyklen begrenzen. In diesem Beispiel sehen wir, dass es zwischen der Null bei x = 0 und der Null bei x = 1 zwei Zyklen gibt. Daher ist die Periode P gleich:
P = (1 - 0) / 2 = 1 / 2
Berechnen Sie nun b, indem Sie den Wert der über den Graphen gefundenen Periode mit der obigen Formel gleichsetzen und nach b auflösen.
1 / 2 = 2π / b
b = 4 π
Frage 2
Der Graph einer trigonometrischen Funktion der Form y = a sin(b x) mit b >0 ist unten dargestellt. Finden Sie ihre Periode und den Parameter b.
Lösung
Es gibt einen Zyklus von der Null bei x = -π/4 bis zur Null bei x = π/4. Daher ist die Periode P gleich:
P = π/4 - (-π/4) = π/2
Gleichen Sie nun den über den Graphen gefundenen Wert der Periode mit der obigen Formel aus und lösen Sie nach b auf.
π/2 = 2π / b
b = 4
Frage 3
Der folgende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form y = a cos(b x + c) mit b > 0. Finden Sie die Periode dieser Funktion und den Wert von b.
Lösung
Es gibt zwei Nullen, die eine halbe Periode begrenzen. Wir finden zuerst diese Nullen.
Null links: (-π / 4 - π / 8 ) / 2 = - 3π / 16 (unter der Annahme, dass sie in der Mitte von x = -π / 4 und -π / 8 liegt)
Null rechts: (0 + π / 8 ) / 2 = π / 16 (unter der Annahme, dass sie in der Mitte von x = 0 und π / 8 liegt)
Daher ist die halbe Periode gleich:
(π / 16 - (- 3π / 16)) = π / 4
und die Periode P ist gleich:
P = 2 × π / 4 = π / 2
Gleichen Sie nun den über den Graphen gefundenen Wert der Periode mit der obigen Formel aus und lösen Sie nach b auf.
π/2 = 2π / b
b = 4
Frage 4
Der folgende Graph zeigt eine trigonometrische Funktion der Form y = a sin(b x + c) + d, und die Punkte A und B sind Maximum- und Minimum-Punkte. Finden Sie die Periode dieser Funktion und den Wert von b, unter der Annahme, dass b > 0.
Lösung
Der Abstand entlang der x-Achse zwischen den Punkten A und B entspricht einer halben Periode und ist gegeben durch
7π / 6 - 3π / 6 = 2 π / 3
Die Periode P der Funktion ist gegeben durch
P = 2× 2 π / 3 = 4 π / 3
b wird gefunden, indem man
2 π / b = 4 π / 3
b = 3 / 2
Frage 5
Der Graph einer trigonometrischen Funktion der Form y = a cos(b x + c) + d ist unten dargestellt, wobei die Punkte A und B Minimumpunkte mit den x-Koordinaten -0,3 und 0,1 sind. Finden Sie den Wert von b.
Lösung
Es gibt einen ganzen Zyklus zwischen den Punkten A und B. Daher ist die Periode P gegeben durch
P = 0,1 - (-0,3) = 0,4
b wird gefunden, indem man
2 π / b = 0,4
b = 5π
Frage 6
Finden Sie die Periode jeder der folgenden Funktionen
1) y = sin(x)cos(x) - 3
2) y = 2 + 5 cos2(x)
3) y = cos(x) + sin(x)
Lösung
1) Verwenden Sie die Identität sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) zur Umformung der gegebenen Funktion wie folgt:
y = (1 / 2) sin(2x) - 3
Verwenden Sie die Formel P = 2π / b, um die Periode zu finden als
P = 2π / 2 = π
2) Verwenden Sie die Identität cos2(x) = (1 / 2)(cos(2x) + 1), um die gegebene Funktion wie folgt umzuschreiben:
y = 2 + 5 cos2(x) = 2 + 5((1 / 2)(cos(2x) + 1)) = (5 / 2) cos(2 x) + 9 / 2
Verwenden Sie die Formel P = 2π / b, um die Periode zu finden als
P = 2π / 2 = π
3) Schreiben Sie die gegebene Funktion wie folgt um:
y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2)(√2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x))
Verwenden Sie die Identität:
sin(π / 4 + x) = sin(π / 4) cos(x) + cos(π / 4) sin(x) = √2 / 2 cos(x) + √2 / 2 sin(x)
um die gegebene Funktion wie folgt umzuschreiben:
y = cos(x) + sin(x) = (2 / √2) sin(x + π / 4)
Verwenden Sie die Formel P = 2π / b, um die Periode zu finden als
P = 2π / 1 = 2 π
Frage 7
Angenommen, f(x) ist eine periodische Funktion mit der Periode p. Was ist die Periode der Funktion h(x) = f(k x), wobei k eine positive Konstante ist?
Lösung
Wenn p die Periode der Funktion f ist, dann gilt
f(x + p) = f(x) für alle x im Definitionsbereich von f.
Setzen Sie x = k X , wobei k eine Konstante ist.
f(k X + p) = f(k X)
Schreiben Sie das obenstehende als
f(k(X + p / k)) = f (k X)
Setzen Sie h(x) = f(k x). Das obenstehende kann geschrieben werden als
h(X + p / k) = h(X)
Was darauf hindeutet, dass h(x) = f(k x) periodisch ist und eine Periode von p / k hat.
