Trigonometrische Funktionen anhand ihrer Graphen finden (Phasenverschiebung)

1. Amplitude (\(a\)):
Der maximale y-Wert ist 2. Daher ist \( |a| = 2 \). Wir wählen \( a = 2 \).

2. Periode (\(b\)):
Basierend auf der Skalierung entsprechen 4 kleine horizontale Einheiten \( \pi \), also ist 1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Ein voller Wellenzyklus umfasst genau 16 kleine Einheiten.
Periode \( P = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \).
Mit \( P = \dfrac{2\pi}{b} \) lösen wir: \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{1}{2} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Eine Standardsinuswelle durchläuft den Ursprung \( (0,0) \) in Richtung nach oben. Unser Graph schneidet die x-Achse in Richtung nach oben 1 kleine Einheit links von der y-Achse.
Phasenverschiebung = \( -\dfrac{\pi}{4} \) (Verschiebung nach links).
Die Formel für die Phasenverschiebung ist \( -\dfrac{c}{b} \). Wir setzen die Werte ein:
\( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{1/2} \implies c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der Maximalwert liegt genau in der Mitte zwischen 1 und 2. Daher ist \( |a| = 1.5 \). Wir wählen \( a = 1.5 \).

2. Periode (\(b\)):
Ein voller Zyklus umfasst genau 4 Einheiten auf der x-Achse.
Periode \( P = 4 \).
\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4b = 2\pi \implies b = \dfrac{\pi}{2} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Der Graph schneidet die x-Achse bei \( x = 1 \) in Richtung nach oben. Dies ist eine Verschiebung um 1 Einheit nach rechts.
Phasenverschiebung = \( 1 \).
\( 1 = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b \).
Einsetzen von \( b \): \( c = -\dfrac{\pi}{2} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 1.5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der maximale y-Wert ist 10. \( |a| = 10 \). Wir wählen \( a = 10 \).

2. Periode (\(b\)):
5 kleine Einheiten entsprechen \( \pi \), also ist 1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{5} \).
Eine volle Periode umfasst 8 kleine Einheiten.
Periode \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{8\pi}{5} \).
\( \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8\pi b = 10\pi \implies b = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Der Graph schneidet die Mittelachse in Richtung nach oben 2 Einheiten rechts von der y-Achse.
Phasenverschiebung = \( 2 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \) (Verschiebung nach rechts).
\( \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \).
Einsetzen von \( b \): \( c = -\left(\dfrac{5}{4}\right)\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der Maximalwert ist 2. \( |a| = 2 \). Wir wählen \( a = 2 \).

2. Periode (\(b\)):
12 kleine Einheiten entsprechen \( \pi \), also ist 1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{12} \).
Eine volle Periode umfasst 8 Einheiten.
Periode \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \).
\( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies \mathbf{b = 3} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Der Graph beginnt seinen Aufwärts-Schnitt 1 Einheit nach rechts.
Phasenverschiebung = \( \dfrac{\pi}{12} \).
\( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -3\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der maximale y-Wert ist 4. \( |a| = 4 \). Wir wählen \( a = 4 \).

2. Periode (\(b\)):
4 kleine Einheiten entsprechen \( \dfrac{\pi}{2} \), also ist 1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Ein voller Zyklus umfasst 12 kleine Einheiten.
Periode \( P = 12 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{2} \).
\( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 3\pi b = 4\pi \implies b = \dfrac{4}{3} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Eine Standardkosinusfunktion beginnt an einem Maximum, wenn \( x = 0 \). Das Maximum unseres Graphen ist um 3 kleine Einheiten nach rechts verschoben.

Phasenverschiebung = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Einsetzen von \( b \): \( c = -\left(\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der Maximalwert ist 3. \( |a| = 3 \). Wir wählen \( a = 3 \).

2. Periode (\(b\)):
Die Länge eines vollen Zyklus auf der x-Achse beträgt genau 1 Einheit.
Periode \( P = 1 \).
\( 1 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = 2\pi \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Das Maximum ist um 0.5 Einheiten nach rechts verschoben.
Phasenverschiebung = \( \dfrac{1}{2} \).
\( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -\dfrac{b}{2} \).
Einsetzen von \( b \): \( c = -\dfrac{2\pi}{2} = -\pi \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 3 \cos(2\pi x - \pi)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Der maximale y-Wert ist 40. \( |a| = 40 \). Wir wählen \( a = 40 \).

2. Periode (\(b\)):
4 kleine Einheiten entsprechen \( \dfrac{\pi}{2} \), also ist 1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Eine volle Periode umfasst 8 Einheiten.
Periode \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \).
\( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies \pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = 2} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Das Maximum ist um 3 Einheiten nach rechts verschoben.
Phasenverschiebung = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Einsetzen von \( b = 2 \): \( c = -2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{6\pi}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right)} \]

a) Periode bestimmen:
Bei einer Standardsinuswelle entspricht der horizontale Abstand zwischen einem x-Achsenabschnitt (wo der Graph nach oben schneidet) und dem unmittelbar folgenden Hochpunkt genau einem Viertel der vollen Periode.
Viertelperiode = \( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
Daher ist die volle Periode \( P = 4 \times \pi = \mathbf{4\pi} \).

b) Bestimmung von \(b\), \(c\) und der Gleichung:
Verwenden Sie die Periodenformel, um \(b\) zu finden:
\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \implies 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{1}{2}} \).

Bestimmung der Phasenverschiebung \(c\):
Der nach oben gerichtete x-Achsenabschnitt markiert den "Start" des Sinuszyklus. Dies geschieht bei \( x = \dfrac{6\pi}{5} \), was einer Verschiebung nach rechts entspricht.
Phasenverschiebung = \( \dfrac{6\pi}{5} \).
\( \dfrac{6\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) \).
Einsetzen von \(b\): \( c = -\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \mathbf{-\dfrac{3\pi}{5}} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right)} \]

1. Amplitude (\(a\)):
Die Amplitude ist \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). Da die Aufgabe \( a < 0 \) verlangt, müssen wir eine gespiegelte Kosinuswelle verwenden. Daher ist \( a = -5 \).

2. Periode (\(b\)):
Der horizontale Abstand zwischen einem Minimum und dem nächsten Maximum entspricht genau einer halben Periode.
Halbe Periode = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
Volle Periode \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)):
Eine gespiegelte Kosinuswelle \( (- \cos) \) beginnt natürlicherweise an ihrem Minimum. Da das Minimum unseres Graphen bei \( x = \dfrac{\pi}{6} \) liegt, ist der Graph um \( \dfrac{\pi}{6} \) nach rechts verschoben.
Phasenverschiebung = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Einsetzen von \( b = \dfrac{3}{2} \): \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = -5\cos\left(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right)} \]

1. Kofunktionsidentität verstehen:
Die Sinusfunktion ist lediglich eine horizontal verschobene Kosinusfunktion. Wir kennen die Identität:
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. Das Argument substituieren:
Betrachten Sie den gesamten inneren Ausdruck \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) als \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. Phasenverschiebung vereinfachen:
Finden Sie einen gemeinsamen Nenner für die Konstanten (dieser ist 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

Fazit:
Die äquivalente Kosinusfunktion lautet:
\[ \mathbf{y = 3\cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right)} \]

1. Hochpunkt mit der Kosinusfunktion in Beziehung setzen:
Die Funktion \( y = 8\cos(\theta) \) erreicht ihr Maximum, wenn das innere Argument \( \theta \) gleich \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \) etc. ist.
Daher können wir am Hochpunkt das innere Argument gleich \( 2k\pi \) setzen:
\[ 4x + c = 2k\pi \]

2. Den bekannten x-Wert einsetzen:
Wir wissen, dass ein Hochpunkt bei \( x = \dfrac{\pi}{12} \) auftritt:
\[ 4\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + c = 2k\pi \] \[ \dfrac{\pi}{3} + c = 2k\pi \] \[ c = 2k\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

3. Positive Werte für \( c \) finden:
Wir können ganzzahlige Werte für \( k \) testen, um positive Ergebnisse für \( c \) zu finden.
Falls \( k = 0 \): \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (Negativ, verwerfen).
Falls \( k = 1 \): \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
Falls \( k = 2 \): \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

Fazit:
Zwei mögliche positive Werte für \( c \) sind \( \dfrac{5\pi}{3} \) und \( \dfrac{11\pi}{3} \). Beide erzeugen eine gültige Gleichung, die exakt denselben Graphen beschreibt.