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Lerne, wie du die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung von trigonometrischen Funktionen durch die Analyse ihrer Graphen bestimmst. Diese Anleitung bietet schrittweise Aufgaben mit detaillierten Lösungen und klaren Erklärungen, um dir zu helfen, diese Konzepte zu meistern. Zur zusätzlichen Unterstützung erkunde unsere interaktiven Tutorials zum Verständnis der Phasenverschiebung, der Periode und der vertikalen Verschiebung von trigonometrischen Funktionen.
Bestimme die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung für die unten gezeigten Kurven und schreibe dann die Funktion in der Form \( y = a \sin(bx + c) \).
a
b
c
d
e
Amplitude: \[ |a| = 2 \]
Wir reproduzieren den Graphen von 1.a unten und notieren Folgendes:
\( 4 \) kleine Einheiten = \( \pi \), und daher ist \( 1 \) kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Eine Periode = \( 16 \) kleine Einheiten; Daher: \[ 1 \text{ Periode} = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \]
Phasenverschiebung: Es ist die Verschiebung zwischen den Graphen von \( y = a \sin(bx) \) und \( y = a \sin(bx + c) \) und ist definiert als \( -\dfrac{c}{b} \).
Im Graphen von 1.a ist die Phasenverschiebung gleich \( -\dfrac{\pi}{4} \), wie unten gezeigt (1 kleine Einheit nach links):
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) \) für den Graphen in 1.a zu schreiben:
\( |a| = 2 \), also \( a = \pm 2 \). Wir wählen \( a = 2 \).
\( 1 \) Periode = \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \[ b = \dfrac{2\pi}{4\pi} = \dfrac{1}{2} \]
Phasenverschiebung = \( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{b} \).
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = b \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \]
Gleichung von Graph 1.a \[ y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right) \]b) Graph in 1.b:
Amplitude: \( |a| = 1,5 \)
Eine Periode: \( 4 \)
Phasenverschiebung: \( 1 \) Einheit nach rechts \( = 1 \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) \) für den Graphen in 1.b zu schreiben.
\( |a| = 1,5 \), also \( a = \pm 1,5 \), wir wählen \( a = 1,5 \).
Eine Periode: \( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = \dfrac{\pi}{2} \).
Phasenverschiebung: \( 1 = -\dfrac{c}{b} \).
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = -b = -\dfrac{\pi}{2} \]
Gleichung von Graph 1.b \[ y = 1,5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right) \]c) Graph in 1.c:
Amplitude: \( |a| = 10 \)
1 kleine Einheit \( = \dfrac{\pi}{5} \), 1 Periode \( = 8 \) Einheiten
Daher ist 1 Periode \( = \dfrac{8\pi}{5} \)
Phasenverschiebung \( = 2 \) Einheiten \( = \dfrac{2\pi}{5} \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) \) für den Graphen in 1.c zu schreiben.
\( |a| = 10 \), also \( a = \pm 10 \), wir wählen \( a = 10 \).
1 Periode \( = \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = \dfrac{5}{4} \).
Phasenverschiebung \( = \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \).
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = -\dfrac{2\pi b}{5} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Gleichung von Graph 1.c \[ y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right) \]d) Graph in 1.d:
Amplitude: \( |a| = 3 \)
1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{12} \), 1 Periode = 16 Einheiten
Daher ist 1 Periode = \( 16 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3} \)
Phasenverschiebung = 2 Einheiten nach links = \( -2 \times \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{6} \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) \) für den Graphen in 1.d zu schreiben.
\( |a| = 3 \), also \( a = \pm 3 \), wir wählen \( a = 3 \)
1 Periode = \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = \dfrac{3}{2} \)
Phasenverschiebung = \( -\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \)
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \( c = \dfrac{\pi b}{6} = \dfrac{\pi}{4} \)
Gleichung von Graph 1.d \[ y = 3 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{4} \right) \]e) Graph in 1.e:
Amplitude: \( |a| = 2 \)
1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{12} \), 1 Periode = 8 Einheiten
Daher ist 1 Periode = \( 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \)
Phasenverschiebung = 1 Einheit nach rechts = \( \dfrac{\pi}{12} \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) \) für den Graphen in 1.e zu schreiben.
\( |a| = 2 \), also \( a = \pm 2 \), wir wählen \( a = 2 \)
1 Periode = \( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = 3 \)
Phasenverschiebung = \( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \)
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \( c = -\dfrac{\pi b}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \)
Gleichung von Graph 1.e \[ y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) \]Als Übung zeichne jede der oben gefundenen Funktionen und vergleiche ihren Graphen mit dem gegebenen Graphen.
Bestimme die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung für die Kurven in den Aufgaben 2.a, 2.b und 2.c und schreibe dann die Funktion in der Form \( y = a \cos(bx + c) \).
2.a
2.b
2.c
Amplitude: \(= |a| = 4\)
Wir reproduzieren den Graphen von 2.a unten und notieren Folgendes:
Eine Periode \( = 3\pi/2 \)
Phasenverschiebung: Es ist die Verschiebung von den Graphen von \( y = a \cos(bx) \) zum Graphen von \( y = a \cos(bx + c) \) und ist definiert als \[ -\dfrac{c}{b} \]
Der Graph von \( y = a \cos(bx) \) hat ein Maximum bei \( x = 0 \). Im Graphen von 2.a ist das Maximum um 3 kleine Einheiten nach rechts verschoben.
1 kleine Einheit \( = \dfrac{\pi}{8} \)
Daher ist die Phasenverschiebung = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \cos(bx + c) \) zu schreiben, die den Graphen im obigen Bild modelliert.
\(|a| = 4\), also \( a = \pm 4 \); wir wählen \( a = 4 \)
1 Periode = \( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = \dfrac{4}{3} \)
Phasenverschiebung = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = -b \times \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Endgültige Gleichung der gegebenen Kurve in 2.a:
\[ y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right) \] b) Graph in 2.b:Amplitude: \( = |a| = 3 \)
Eine Periode = 1 (Länge auf der x-Achse einer Schwingung)
Phasenverschiebung = 1 / 2 (eine halbe Einheit nach rechts)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) für den Graphen in 2.b zu schreiben.
\(|a| = 3\), also \(a = \pm 3\), wir wählen \(a = 3\)
1 Periode = 1 = \(\dfrac{2\pi}{b}\) (unter der Annahme \(b > 0\)). Daher \(b = 2\pi\)
Phasenverschiebung = \(\dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b}\)
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = -\dfrac{b}{2} = -\pi \]
Endgültige Gleichung der gegebenen Kurve in 2.b:
\[ y = 3 \cos(2\pi x - \pi) \] c) Graph in 2.c:Amplitude: \( = |a| = 40 \)
1 kleine Einheit = \( \dfrac{\pi}{2} \div 4 = \dfrac{\pi}{8} \)
1 Periode = 8 Einheiten
Daher ist 1 Periode = \( 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \)
Phasenverschiebung = 3 Einheiten (nach rechts) = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form \( y = a \cos(bx + c) \) für den Graphen in 2.c zu schreiben.
\( |a| = 40 \), also \( a = \pm 40 \), wir wählen \( a = 40 \)
1 Periode = \( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (unter der Annahme \( b > 0 \)). Daher \( b = 2 \)
Phasenverschiebung = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)
Setze \( b \) mit seinem Wert ein, um zu finden: \[ c = -\dfrac{3\pi b}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \]
Endgültige Gleichung der gegebenen Kurve in 2.c:
\[ y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right) \]Als Übung zeichne jede der oben gefundenen Funktionen und vergleiche ihren Graphen mit dem gegebenen Graphen.
Der Graph der Funktion \( y = \sin(bx + c) \) hat einen x-Achsenabschnitt bei \( x = \dfrac{6\pi}{5} \) und ein Maximum bei \( x = \dfrac{11\pi}{5} \), wie unten gezeigt.
b) Finde b und c sowie die Gleichung des Graphen.
a) Der absolute Wert der Differenz der \( x \)-Koordinaten der Punkte \(\left( \dfrac{6\pi}{5}, 0 \right)\) und \(\left( \dfrac{11\pi}{5}, 1 \right)\) ergibt das Viertel der Periode. Daher ist die Periode \( P \) gleich: \[ P = 4\left( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} \right) = 4\pi \] b) Die oben gefundene Periode ist auch gegeben durch \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} \] Nimm \( b \) positiv an und löse die Gleichung \( \dfrac{2\pi}{b} = 4\pi \) nach \( b \): \[ b = \dfrac{1}{2} \] Die Phasenverschiebung des oben gegebenen Graphen ist gleich \( \dfrac{6\pi}{5} \) und wird auch durch die Formel \( -\dfrac{c}{b} \) gegeben. Daher die Gleichung: \[ -\dfrac{c}{b} = \dfrac{6\pi}{5} \] Löse nach \( c \) auf: \[ c = -\dfrac{6\pi b}{5} = -\dfrac{3\pi}{5} \] Die Gleichung des Graphen lautet: \[ y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \]