Trigonometrische Funktionen finden, gegeben ihre Graphen mit Phasenverschiebung (2)
Finde die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion, gegeben durch ihre Graphen. Finde dann ihre Gleichung. Fragen werden zusammen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen präsentiert. Interaktive Tutorials zu Phasenverschiebung und Periode trigonometrischer Funktionen können zuerst verwendet werden, um diese Konzepte zu verstehen. Beispiele, wie man Gleichungen von trigonometrischen Graphen mit vertikalen Verschiebungen findet, findest du in Teil (1).
Fragen
Frage 1
Finde die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung für die Kurven in 1.a bis 1.e und schreibe dann die Funktion in der Form y = a sin(bx + c).
a
b
c
d
e
Lösung
Graph in 1.a Für eine Funktion der Form y = a sin(bx + c) wird die Amplitude durch den maximalen Wert der Funktion gegeben. Im Graphen 1.a haben wir:
Amplitude: = |a| = 2
Wir reproduzieren den Graphen von 1.a unten und beachten Folgendes:
4 kleine Teilungen = π und daher 1 kleine Teilung = π/4
Eine Periode = 16 kleine Teilungen; Daher: 1 Periode = 16 × π/4 = 4 π
Phasenverschiebung: Sie ist die Verschiebung zwischen den Graphen von y = a sin(bx) und y = a sin(bx + c)
und wird durch - c / b definiert.
Im Graphen von 1.a ist die Phasenverschiebung gleich -π/4, wie unten gezeigt. (1 kleine Teilung nach links)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a sin(bx + c) zum Graphen von 1.a zu schreiben
|a| = 2, also a = ± 2. setzen wir a = 2.
1 Periode = 4π = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 2π / 4π = 1 / 2
Phasenverschiebung = -π/4 = - c / b
Daher c = b × π/4 = (1 / 2)(π / 4) = π / 8
y = 2 sin (x / 2 + π / 8)
Graph in 1.b
Amplitude: = |a| = 1,5
Eine Periode = 4
Phasenverschiebung = 1 Einheit nach rechts = 1
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a sin(bx + c) zum Graphen von 1.b zu schreiben
|a| = 1,5, also a = ± 1,5 setzen wir a = 1,5
1 Periode = 4 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = π / 2
Phasenverschiebung = 1 = - c / b
Daher c = - b = - π / 2
y = 1,5 sin ( πx / 2 - π / 2)
Graph in 1.c
Amplitude: = |a| = 10
1 kleine Teilung = π / 5 , 1 Periode = 8 Teilungen
Daher 1 Periode = 8 π / 5
Phasenverschiebung = 2 Teilungen = 2π / 5
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a sin(bx + c) zum Graphen von 1.c zu schreiben
|a| = 10, also a = ± 10 setzen wir a = 10
1 Periode = 8 π / 5 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 5 / 4
Phasenverschiebung = 2π / 5 = - c / b
Daher c = - 2π b / 5 = - π / 2
y = 10 sin (5 x / 4 - π / 2)
Graph in 1.d
Amplitude: = |a| = 3
1 kleine Teilung = π / 12 , 1 Periode = 16 Teilungen
Daher 1 Periode = 16 × π / 12 = 4 π / 3
Phasenverschiebung = 2 Teilungen nach links = - 2 π / 12 = - π / 6
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a sin(bx + c) zum Graphen von 1.d zu schreiben
|a| = 3, daher a = ± 3 setzen wir a = 3
1 Periode = 4 π / 3 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 3 / 2
Phasenverschiebung = - π / 6 = - c / b
Daher c = π b / 6 = π / 4
y = 3 sin (3 x / 2 + π / 4)
Graph in 1.e
Amplitude: = |a| = 2
1 kleine Teilung = π / 12 , 1 Periode = 8 Teilungen
Daher 1 Periode = 8 × π / 12 = 2 π / 3
Phasenverschiebung = 1 Teilung nach rechts = π / 12
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a sin(bx + c) zum Graphen von 1.e zu schreiben
|a| = 2, daher a = ± 2 setzen wir a = 2
1 Periode = 2 π / 3 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 3
Phasenverschiebung = π / 12 = - c / b
Daher c = - π b / 12 = - π / 4
y = 2 sin (3 x - π / 4)
Als Übung graphiere jede der oben gefundenen Funktionen und vergleiche die erhaltenen Graphen mit den oben gegebenen.
Frage 2
Finde die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung für die Kurven in den Aufgaben 2.a bis 2.c und schreibe dann die Funktion in der Form y = a cos(bx + c).
2.a
2.b
2.c
Lösung
Graph in 2.a Für eine Funktion der Form y = a cos(bx + c) wird die Amplitude durch den maximalen Wert der Funktion gegeben. Im Graphen 2.a haben wir:
Amplitude: = |a| = 4
Wir reproduzieren den Graphen von 1.a unten und beachten Folgendes:
Eine Periode = 3 π/ 2
Phasenverschiebung: Sie ist die Verschiebung zwischen den Graphen von y = a cos(bx) und y = a cos(bx + c)
und wird durch - c / b definiert.
Im Graphen von 2.a ist die Phasenverschiebung gleich 3 kleine Teilungen nach rechts.
1 kleine Teilung = π / 8
Phasenverschiebung = 3 × π / 3 = 3 π / 8
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) zum Graphen von 2.a zu schreiben
|a| = 4, daher a = ± 4; setzen wir a = 4
Eine Periode = 3 π/ 2 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 4 / 3
Phasenverschiebung = 3 π / 8 = - c / b
Daher c = - b × 3 π / 8 = - π / 2
y = 4 cos (4 x / 3 - π / 2)
Graph in 2.b
Amplitude: = |a| = 3
Eine Periode = 1 (Länge der x-Achse einer Schwingung)
Phasenverschiebung = 1 / 2 (halbe Einheit nach rechts)
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) zum Graphen von 2.b zu schreiben
|a| = 3, daher a = ± 3 setzen wir a = 3
Eine Periode = 1 = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 2 π
Phasenverschiebung = 1 / 2 = - c / b
Daher c = - b / 2 = - π
y = 3 cos ( 2 π x - π)
Graph in 2.c
Amplitude: = |a| = 40
1 kleine Teilung = (π / 2) / 4 = π / 8
1 Periode = 8 Teilungen
Daher 1 Periode = 8 × π / 8 = π
Phasenverschiebung = 3 Teilungen (nach rechts) = 3 × π / 8 = 3π / 8
Wir verwenden nun die oben gefundenen Ergebnisse, um eine Gleichung der Form y = a cos(bx + c) zum Graphen von 2.c zu schreiben
|a| = 40, daher a = ± 40 setzen wir a = 40
Eine Periode = π = 2π / b (unter der Annahme, dass b > 0). Daher b = 2
Phasenverschiebung = 3π / 8 = - c / b
Daher c = - 3π b / 8 = - 3π / 4
y = 40 cos (2 x - 3π / 4)
Als Übung graphiere jede der oben gefundenen Funktionen und vergleiche die erhaltenen Graphen mit den oben gegebenen.
Frage 3
Der Graph der Funktion y = sin(bx + c) hat bei x = 6π/5 eine Nullstelle und bei x = 11π/5 ein Maximum, wie unten dargestellt.
a) Was ist die Periode der Funktion?
b) Finde b und c sowie die Gleichung des Graphen.
Lösung
a) Der Betrag der Differenz der x-Koordinaten der Punkte (6π/5 , 0) und (11π/5 , 1) gibt das Viertel der Periode an. Daher ist die Periode P gleich:
P = 4(11π/5 - 6π/5) = 4π
b) Die oben gefundene Periode wird auch durch
P = 2π / | b |
gegeben. Setze b positiv und löse die Gleichung 2π / b = 4π für b
b = 1 / 2
Die Phasenverschiebung des oben gegebenen Graphen beträgt 6π / 5 und wird auch durch die Formel - c / b gegeben. Daher die Gleichung:
- c / b = 6π / 5
Löse nach c.
c = - 6π b / 5 = - 3π / 5
y = sin((1/2) x - 3π / 5)
b
c
e
2.b
2.c
