Trigonometrische Funktionen aus ihren Graphen mit vertikaler Verschiebung finden (1)
Finde die Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikale Verschiebung sowie die Gleichung einer trigonometrischen Funktion, die durch ihre Graphen gegeben ist. Die Fragen werden zusammen mit ausführlichen Lösungen präsentiert. Interaktive Tutorials zur vertikalen Verschiebung von trigonometrischen Funktionen können zuerst verwendet werden, um dieses Konzept zu verstehen. Weitere Beispiele, wie man Gleichungen von trigonometrischen Graphen findet, findest du in Teil (2).
Frage 1
Angenommen, eine Sinus- (oder Kosinus-) Kurve wird vertikal verschoben, sodass sie die Form y = a sin(bx + c) + d hat.
a) Finde Gleichungen für das Maximum und Minimum in Bezug auf a und d (annimm a > 0)
b) Finde Gleichungen für a und d in Bezug auf Maximum und Minimum.
Lösung
a) Beginne mit dem Wertebereich der Funktion sin(bx +c), der lautet:
-1 ≤ sin(bx +c) ≤ 1
Multipliziere alle Terme der obigen Ungleichung mit a (a >0), um zu erhalten
- a ≤ a sin(b x + c) ≤ a
Addiere d zu allen Termen der obigen Ungleichung, um zu erhalten
- a + d ≤ a sin(b x + c) + d ≤ a + d
Die obige Ungleichung zeigt, dass y = a sin(b x + c) + d einen maximalen Wert max und einen minimalen Wert min hat, gegeben durch:
max = d + a und min = d - a
b) Wenn wir annehmen, dass die Formeln max = d + a und min = d - a Gleichungen in zwei Variablen d und a sind, können wir sie leicht nach d und a auflösen, um zu erhalten
d = (max + min) / 2 und a = (max - min) / 2
Frage 2
Finde die Konstanten a, b, c und d für die Kurve y = a sin(bx + c) + d, die unten grafisch dargestellt ist.
Lösung
Zuerst sind der maximale Wert max und der minimale Wert min der Funktion im unten gezeigten Graphen gleich:
max = 0 und min = - 4
Unter Verwendung der Formeln aus der letzten Aufgabe erhalten wir:
d = (max + min) / 2 = - 2 und a = (max - min) / 2 = 2
Wir finden als nächstes die Periode p aus dem Graphen der Funktion.
p = 4 π / 3
Wenn b positiv angenommen wird, wird die Periode durch 2π / b gegeben. Daher die Gleichung
2π / b = 4 π / 3
die ergibt
b = 3 / 2
Nun können wir die Funktion als
y = a sin(bx + c) + d = 2 sin( 3 x / 2 + c) - 2
schreiben. Eine Möglichkeit, c zu bestimmen, besteht darin, einen Punkt auf dem gegebenen Graphen zu verwenden. Zum Beispiel für x = 0 ist y = 0 gemäß dem Graphen. Daher
2 sin( 0 + c) - 2 = 0
sin(c) = 1
ergibt: c = π / 2 + 2 k π , wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Verwende c = π / 2, um einen Ausdruck für die Funktion zu schreiben:
y = 2 sin( 3 x / 2 + π / 2) - 2
Frage 3
Finde die Konstanten a, b, c und d für die Kurve y = a sin(bx + c) + d, die unten grafisch dargestellt ist.
Lösung
Zuerst sind der maximale Wert max und der minimale Wert min der Funktion im unten gezeigten Graphen gleich:
max = 18 / 5 und min = - 6 / 5
Unter Verwendung der Formeln aus der letzten Aufgabe erhalten wir:
d = (max + min) / 2 = 6 / 5 und a = (max - min) / 2 = 12 / 5
Wir finden als nächstes die Periode p aus dem Graphen der Funktion. Da die Punkte (3/5 , 18/5) und (7/5 , - 6/5) eine halbe Periode begrenzen, ergibt sich die Periode p aus dem doppelten Unterschied zwischen den x-Koordinaten dieser Punkte. Daher
p = 2(7 / 5 - 3 / 5) = 8 / 5
Wenn b positiv angenommen wird, wird die Periode durch 2π / b gegeben. Daher die Gleichung
2π / b = 8 / 5
die ergibt
b = 5 π / 4
Wir verwenden die oben gefundenen Werte von a, b und d, um die Funktion als
y = (12/5) sin( 5 π x / 4 + c) + 6 / 5
zu schreiben. Verwende den Punkt (3 / 5 , 18 / 5), indem du x = 3/5 und y = 18/5 in der Gleichung setzt und vereinfachst.
18 / 5 = (12 / 5) sin( 5 π (3/5) / 4 + c) + 6 / 5
(12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 18 / 5 - 6 / 5
(12 / 5) sin( 3 π / 4 + c) = 12 / 5
sin( 3 π / 4 + c) = 1
Löse nun die obige trigonometrische Gleichung.
3 π / 4 + c = π / 2 + 2 k π , wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
ergibt: c = π / 2 - 3 π / 4 = - π / 4 , (wir haben die Lösung für k = 0 verwendet)
Schreibe nun einen Ausdruck für die Funktion als:
y = (12 / 5) sin( 5 π x / 4 - π / 4) + 6 / 5
Frage 4
Die Temperatur T, in Grad Celsius, während des Tages wird durch die Funktion $$T(t) = -8\cos(\dfrac{\pi t}{12})+30^{\circ}$$
approximiert, wobei t die Zeit in Stunden ist und t = 0 12:00 Uhr entspricht.
a) Finde die Periode von T.
b) Finde den maximalen Wert von T.
c) Finde T um 12 Uhr nachts, um 6 Uhr morgens, um 12 Uhr mittags, um 6 Uhr abends und zeichne T über eine Periode, die um 12 Uhr nachts beginnt.
Lösung
a) Die Periode P ist gegeben durch:
P = 2π / (π/12) = 24 Stunden.
b) Der maximale Wert von T ergibt sich aus:
max = 30 + 8 = 38°
c) Finde die Werte von T um 12 Uhr nachts, um 6 Uhr morgens, um 12 Uhr mittags, um 6 Uhr abends
12 Uhr nachts entspricht t = 0 , daher $$T(12 \,\, am) = -8\cos(0)+30^{\circ} = 22^{\circ}$$
6 Uhr morgens entspricht t = 6 , daher $$T(6 \,\, am) = -8\cos(\dfrac{6 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$
12 Uhr mittags entspricht t = 12 , daher $$T(12 \,\, pm) = -8\cos(\dfrac{12 \pi}{12})+30^{\circ} = 38^{\circ}$$
6 Uhr abends entspricht t = 18 , daher $$T(6 \,\, pm) = -8\cos(\dfrac{18 \pi}{12})+30^{\circ} = 30^{\circ}$$
Graph unten gezeigt.
