Trigonometrische Funktionen anhand ihrer Graphen finden (vertikale Verschiebung)

a) Maximum und Minimum finden:
Wir wissen, dass der Standardwertebereich der Sinusfunktion zwischen -1 und 1 liegt:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]

Multiplizieren Sie alle Teile mit der Amplitude \( a \) (annehmend \( a > 0 \)):
\[ -a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]

Addieren Sie die vertikale Verschiebung \( d \) zu allen Teilen:
\[ -a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]

Dies liefert uns die absoluten Höchst- und Tiefstpunkte der Funktion:
\[ \mathbf{\text{max} = d + a \quad \text{und} \quad \text{min} = d - a} \]

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b) Auflösen nach \( a \) und \( d \):
Betrachten Sie die Gleichungen aus Teil (a) als ein System linearer Gleichungen:
1) \( d + a = \text{max} \)
2) \( d - a = \text{min} \)

Um \( d \) zu finden: Addieren Sie beide Gleichungen:
\( (d + a) + (d - a) = \text{max} + \text{min} \)
\( 2d = \text{max} + \text{min} \implies \mathbf{d = \dfrac{\text{max} + \text{min}}{2}} \)

Um \( a \) zu finden: Subtrahieren Sie Gleichung 2 von Gleichung 1:
\( (d + a) - (d - a) = \text{max} - \text{min} \)
\( 2a = \text{max} - \text{min} \implies \mathbf{a = \dfrac{\text{max} - \text{min}}{2}} \)

1. Amplitude (\(a\)) und vertikale Verschiebung (\(d\)) finden:
Lesen Sie die Extremwerte von der y-Achse ab: \( \text{max} = 0 \) und \( \text{min} = -4 \).
\[ d = \dfrac{0 + (-4)}{2} = \mathbf{-2} \]
\[ a = \dfrac{0 - (-4)}{2} = \mathbf{2} \]

2. Periode (\(b\)) finden:
Betrachtet man den Graphen, so schließt ein voller Zyklus genau bei \( x = \dfrac{4\pi}{3} \) ab.
Periode \( P = \dfrac{4\pi}{3} \).
Verwenden der Formel: \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{3}{2}} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)) algebraisch finden:
Unsere Teilgleichung lautet: \( y = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}x + c \right) - 2 \).
Wir benötigen einen klaren Punkt aus dem Graphen. Am y-Achsenabschnitt berührt der Graph den Hochpunkt: \( (0, 0) \).
Einsetzen von \( x = 0 \) und \( y = 0 \):
\[ 0 = 2 \sin\left( \dfrac{3}{2}(0) + c \right) - 2 \]
\[ 2 = 2 \sin(c) \implies \sin(c) = 1 \]

Die Sinusfunktion ist gleich 1 bei \( \dfrac{\pi}{2} \) (plus ein beliebiges Vielfaches von \( 2\pi \)). Wir wählen den einfachsten positiven Wert: \( \mathbf{c = \dfrac{\pi}{2}} \).

Fazit:
\[ \mathbf{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]

1. Amplitude (\(a\)) und vertikale Verschiebung (\(d\)) finden:
Aus dem Graphen: \( \text{max} = \dfrac{18}{5} \) und \( \text{min} = -\dfrac{6}{5} \).
\[ d = \dfrac{\dfrac{18}{5} + \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{12}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{6}{5}} \]
\[ a = \dfrac{\dfrac{18}{5} - \left(-\dfrac{6}{5}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{24}{5}}{2} = \mathbf{\dfrac{12}{5}} \]

2. Periode (\(b\)) finden:
Die gegebenen Punkte \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) (Hochpunkt) und \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) (Tiefpunkt) repräsentieren genau die Hälfte eines Wellenzyklus.
Halbe Periode = \( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5} \).
Volle Periode \( P = 2 \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{5} \).
Verwenden der Formel: \( \dfrac{8}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8b = 10\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{5\pi}{4}} \).

3. Phasenverschiebung (\(c\)) algebraisch finden:
Unsere Teilgleichung lautet: \( y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}x + c \right) + \dfrac{6}{5} \).
Einsetzen des Hochpunkts \( x = \dfrac{3}{5}, y = \dfrac{18}{5} \):
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi}{4}\left(\dfrac{3}{5}\right) + c \right) + \dfrac{6}{5} \]
Subtrahieren Sie \( \dfrac{6}{5} \) von beiden Seiten:
\[ \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]
Dividieren durch \( \dfrac{12}{5} \):
\[ 1 = \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) \]

Sinus ist gleich 1 bei \( \dfrac{\pi}{2} \). Daher:
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} \implies c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{2\pi}{4} - \dfrac{3\pi}{4} = \mathbf{-\dfrac{\pi}{4}} \]

Fazit:
\[ \mathbf{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]

a) Periode finden:
Der Parameter \( b \) innerhalb des Kosinus ist \( \dfrac{\pi}{12} \).
Periode \( P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 2\pi \times \dfrac{12}{\pi} = \mathbf{24 \text{ Stunden}} \).
(Dies ist logisch für einen täglichen Temperaturzyklus.)

b) Maximaltemperatur finden:
Die Funktion liegt im Format \( a\cos(bt) + d \) vor. Wir wissen, dass \( \text{max} = d + |a| \).
Vertikale Verschiebung \( d = 30 \) und Amplitude \( |a| = |-8| = 8 \).
\( \text{max} = 30 + 8 = \mathbf{38^\circ C} \).

c) Spezifische Zeitpunkte berechnen:
• 0:00 Uhr (\(t = 0\)):
\( T(0) = -8\cos(0) + 30 = -8(1) + 30 = \mathbf{22^\circ C} \)
• 6:00 Uhr (\(t = 6\)):
\( T(6) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)
• 12:00 Uhr (\(t = 12\)):
\( T(12) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos(\pi) + 30 = -8(-1) + 30 = 8 + 30 = \mathbf{38^\circ C} \)
• 18:00 Uhr (\(t = 18\)):
\( T(18) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30 = -8\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) + 30 = -8(0) + 30 = \mathbf{30^\circ C} \)

1. Amplitude (\(a\)) und vertikale Verschiebung (\(d\)) finden:
Max = 120, Min = 40.
\( d = \dfrac{120 + 40}{2} = 80 \)
\( a = \dfrac{120 - 40}{2} = 40 \)

2. Periode (\(b\)) finden:
Bei 5 Schwingungen pro Sekunde beträgt die Frequenz 5 Hz. Die Periode ist die Zeit für eine Schwingung.
Periode \( P = \dfrac{1}{5} = 0.2 \) Sekunden.
\( 0.2 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{2\pi}{0.2} = 10\pi \).

3. Funktion und Phasenverschiebung bestimmen:
Da sie sich zum Zeitpunkt \( t = 0 \) in der maximalen Höhe befindet, verhält sie sich perfekt wie eine positive Kosinuswelle. Es ist keine Phasenverschiebung erforderlich (\( c = 0 \)).

Fazit:
\[ \mathbf{h(t) = 40\cos(10\pi t) + 80} \]

1. Punkt am Ursprung verwenden:
Die Funktion verläuft durch \( (0,0) \).
\( f(0) = A \sin(B \cdot 0) + D \)
\( 0 = A(0) + D \implies \mathbf{D = 0} \).
Da \( D = 0 \), ist der Graph nicht vertikal verschoben.

2. Hochpunkt verwenden:
Der Maximalwert ist 6. Da die Mittelachse bei 0 liegt, entspricht die Amplitude genau dem Abstand von der Mitte bis zum Hochpunkt.
Daher ist \( \mathbf{A = 6} \).

3. Periode finden:
Bei einer unverschobenen Sinuswelle (\( D=0 \), keine Phasenverschiebung) tritt der erste Hochpunkt bei genau einem Viertel ihrer Periode auf.
Der Hochpunkt liegt bei \( x = \dfrac{\pi}{4} \).
Daher gilt: \( \dfrac{1}{4} \times P = \dfrac{\pi}{4} \implies P = \pi \).
Verwenden der Periodenformel: \( \pi = \dfrac{2\pi}{B} \implies \mathbf{B = 2} \).

Fazit:
\( A = 6, \quad B = 2, \quad D = 0 \)
Die Gleichung lautet \( \mathbf{f(x) = 6\sin(2x)} \).

1. Konstante Parameter identifizieren:
Die vertikale Verschiebung \( D \) und der Frequenzmultiplikator \( B \) ändern sich zwischen äquivalenten Sinus- und Kosinusformen nicht.
\( D = 5 \)
\( B = 4 \)

2. Das Vorzeichen der Amplitude behandeln:
Die ursprüngliche Funktion hat eine negative Amplitude (\( -3 \)). Wir benötigen \( A > 0 \), also \( A = 3 \).
Um das negative Vorzeichen zu absorbieren, nutzen wir die Eigenschaft \( -\sin(\theta) = \sin(\theta \pm \pi) \).
Addieren wir \( \pi \) zum inneren Ausdruck:
\( y = 3 \sin\left(4x - \dfrac{\pi}{2} + \pi\right) + 5 \)
\( y = 3 \sin\left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 5 \)

3. Von Sinus zu Kosinus konvertieren:
Verwenden Sie die Kofunktionsidentität: \( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).
Ersetzen Sie den gesamten inneren Ausdruck durch \( \theta \):
\( y = 3 \cos\left( \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) + 5 \)
Das \( \dfrac{\pi}{2} \) und \( -\dfrac{\pi}{2} \) heben sich perfekt auf.

Fazit:
Die vereinfachte äquivalente Funktion lautet: \[ \mathbf{y = 3 \cos(4x) + 5} \]