Lernen Sie, wie man die Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikale Verschiebung und die Gleichung trigonometrischer Funktionen aus ihren Graphen ermittelt. Diese wichtigen Eigenschaften helfen bei der Analyse und dem Verständnis des Verhaltens von Sinus- und Kosinusfunktionen.
Jede Frage enthält einen Graphen einer trigonometrischen Funktion sowie Schritt-für-Schritt-Lösungen zum besseren Verständnis.
Um ein solides Fundament aufzubauen, beginnen Sie mit diesen interaktiven Tutorials zur vertikalen Verschiebung trigonometrischer Funktionen.
Für eine vertiefte Wiederholung der Eigenschaften trigonometrischer Funktionen besuchen Sie diese Seite: Eigenschaften trigonometrischer Funktionen.
Angenommen, eine Sinus- (oder Kosinus-) Kurve wird vertikal verschoben, sodass sie eine Gleichung der Form \( y = a \sin(bx + c) + d \) hat.
a) Finden Sie Gleichungen für Max und Min in Bezug auf \( a \) und \( d \) (nehmen Sie \( a \gt 0 \) an )
b) Finden Sie Gleichungen für \( a \) und \( d \) in Bezug auf Max und Min.
a) Beginnen Sie mit dem Wertebereich der Funktion \( \sin(bx + c) \), der ist:
\[ -1 \leq \sin(bx + c) \leq 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme der obigen Ungleichung mit \( a \) (wobei \( a > 0 \)) und Sie erhalten:
\[ - a \leq a \sin(bx + c) \leq a \]Addieren Sie \( d \) zu allen Termen der obigen Ungleichung und Sie erhalten:
\[ - a + d \leq a \sin(bx + c) + d \leq a + d \]Die obige Ungleichung zeigt, dass \( y = a \sin(bx + c) + d \) einen Maximalwert und einen Minimalwert hat, die gegeben sind durch:
\[ \color{red}{ \text{Max} = d + a \quad \text{und} \quad \text{Min} = d - a } \]b) Wenn wir annehmen, dass die Formeln \( \text{Max} = d + a \) und \( \text{Min} = d - a \) Gleichungen in zwei Variablen \( d \) und \( a \) sind, können wir sie leicht nach \( d \) und \( a \) auflösen und erhalten:
\[ \color{red}{ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} \quad \text{und} \quad a = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} } \]Finden Sie die Konstanten \( a, b, c \) und \( d \) für die unten dargestellte Kurve \( y = a \sin(bx + c) + d \).
Zuerst sind das Maximum Max und das Minimum Min der im folgenden Graphen gezeigten Funktion gleich: \[ \text{Max} = 0 \quad \text{und} \quad \text{Min} = -4 \]
Unter Verwendung der im letzten Problem erhaltenen Formeln haben wir: \[ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = -2 \quad \text{und} \quad a = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = 2 \]
Als nächstes finden wir die Periode \( p \) aus dem Graphen der Funktion.
\[ p = \dfrac{4\pi}{3} \]Unter der Annahme, dass \( b \) positiv ist, ist die Periode gegeben durch \( \dfrac{2\pi}{b} \. Daher die Gleichung
\[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{4\pi}{3} \]was ergibt
\[ b = \dfrac{3}{2} \]Wir können die Funktion nun schreiben als
\[ y = a \sin(bx + c) + d = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + c \right) - 2 \]Eine Möglichkeit, \( c \) zu bestimmen, ist die Verwendung eines Punktes auf dem gegebenen Graphen. Zum Beispiel für \( x = 0 \), \( y = 0 \) gemäß dem Graphen. Daher
\[ 2 \sin(0 + c) - 2 = 0 \] \[ \sin(c) = 1 \]ergibt: \( c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \), wobei \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \)
Verwenden Sie \( c = \dfrac{\pi}{2} \), um einen Ausdruck für die Funktion zu schreiben als:
\[ \color{red}{y = 2 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - 2} \]
Finden Sie die Konstanten \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \) für die unten dargestellte Kurve \[ y = a \sin(bx + c) + d \]
Zuerst sind das Maximum Max und das Minimum Min der im folgenden Graphen gezeigten Funktion gleich: \[ \text{Max} = \dfrac{18}{5} \quad \text{und} \quad \text{Min} = -\dfrac{6}{5} \]
Unter Verwendung der im letzten Problem erhaltenen Formeln haben wir: \[ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \dfrac{6}{5} \quad \text{und} \quad a = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \dfrac{12}{5} \]
Wir finden als nächstes die Periode \( p \) aus dem Graphen der Funktion. Da die Punkte \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \) und \( \left( \dfrac{7}{5}, -\dfrac{6}{5} \right) \) einen halben Zyklus begrenzen, ist die Periode \( p \) gegeben durch das Doppelte der Differenz der x-Koordinaten dieser Punkte. Daher
\[ p = 2 \left( \dfrac{7}{5} - \dfrac{3}{5} \right) = \dfrac{8}{5} \]Unter der Annahme, dass \( b \) positiv ist, ist die Periode durch die Formel \( \dfrac{2\pi}{b} \) gegeben. Daher die Gleichung
\[ \dfrac{2\pi}{b} = \dfrac{8}{5} \]was ergibt
\[ b = \dfrac{5\pi}{4} \]Wir verwenden die oben gefundenen Werte von \( a \), \( b \) und \( d \), um die Funktion zu schreiben als
\[ y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \]Verwenden Sie den Punkt \( \left( \dfrac{3}{5}, \dfrac{18}{5} \right) \), indem Sie \( x = \dfrac{3}{5} \) und \( y = \dfrac{18}{5} \) in die Gleichung einsetzen und vereinfachen.
\[ \dfrac{18}{5} = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi \cdot \dfrac{3}{5}}{4} + c \right) + \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{18}{5} - \dfrac{6}{5} \] \[ \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = \dfrac{12}{5} \] \[ \sin\left( \dfrac{3\pi}{4} + c \right) = 1 \]Wir lösen nun die obige trigonometrische Gleichung.
\[ \dfrac{3\pi}{4} + c = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]ergibt: \( c = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} \), (wir haben die Lösung für \( k = 0 \) verwendet)
Wir schreiben nun den endgültigen Ausdruck für die Funktion als:
\[ \color{red}{y = \dfrac{12}{5} \sin\left( \dfrac{5\pi x}{4} - \dfrac{\pi}{4} \right) + \dfrac{6}{5}} \]Die Temperatur \( T \) in Grad Celsius während des Tages wird durch die Funktion approximiert \[ T(t) = -8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12}\right) + 30^{\circ} \] wobei \( t \) die Zeit in Stunden ist und \( t = 0 \) 0:00 Uhr entspricht.
a) Finden Sie die Periode von \( T \).
b) Finden Sie den Maximalwert von \( T \).
c) Finden Sie \( T \) um 0:00 Uhr, 6:00 Uhr, 12:00 Uhr, 18:00 Uhr und zeichnen Sie \( T \) über eine Periode, beginnend um 0:00 Uhr.
a) Die Periode \( P \) ist gegeben durch: \[ P = \dfrac{2\pi}{\pi/12} = 24 \text{ Stunden} \]
b) Der Maximalwert von \( T \) ist gegeben durch:
\[ \text{Max} = 30 + 8 = 38^\circ \]c) Finden Sie die Werte von \( T \) um 0:00 Uhr, 6:00 Uhr, 12:00 Uhr, 18:00 Uhr:
0:00 Uhr entspricht \( t = 0 \), daher
\[ T(0{:}00\,\text{Uhr}) = -8\cos(0) + 30^\circ = 22^\circ \]6:00 Uhr entspricht \( t = 6 \), daher
\[ T(6{:}00\,\text{Uhr}) = -8\cos\left(\dfrac{6\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]12:00 Uhr entspricht \( t = 12 \), daher
\[ T(12{:}00\,\text{Uhr}) = -8\cos\left(\dfrac{12\pi}{12}\right) + 30^\circ = 38^\circ \]18:00 Uhr entspricht \( t = 18 \), daher
\[ T(18{:}00\,\text{Uhr}) = -8\cos\left(\dfrac{18\pi}{12}\right) + 30^\circ = 30^\circ \]Der Graph ist unten dargestellt.
