Mathematik-Übungstest 12. Klasse: 17 Aufgaben mit Lösungen

1. Bringen Sie alle Terme auf eine Seite:

\[ \dfrac{x+1}{x+2} - 1 - \dfrac{1}{x-1} \geq 0 \]

2. Finden Sie einen gemeinsamen Nenner, der $(x+2)(x-1)$ ist:

\[ \dfrac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{(x^2-1) - (x^2+x-2) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - x - 2}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{-2x - 1}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \]

3. Bestimmen Sie kritische Punkte: $x = -0,5$ (Zähler Null), $x = -2$ und $x = 1$ (Nenner nicht definiert).

4. Testen Sie die Intervalle:

• $(-\infty, -2)$: Test $x = -3 \implies \dfrac{5}{(-1)(-4)} > 0$ (Wahr)
• $(-2, -0,5]$: Test $x = -1 \implies \dfrac{1}{(1)(-2)} < 0$ (Falsch)
• $[-0,5, 1)$: Test $x = 0 \implies \dfrac{-1}{(2)(-1)} > 0$ (Wahr)
• $(1, \infty)$: Test $x = 2 \implies \dfrac{-5}{(4)(1)} < 0$ (Falsch)

Lösungsmenge:

Ungleichung: $x < -2$ oder $-0,5 \leq x < 1$

Intervall: $(-\infty, -2) \cup [-0,5, 1)$

1. Schreiben Sie $1/\sec x$ als $\cos x$ um:

\[ \cos(2x) - 2\cos x = 2 \]

2. Verwenden Sie die Doppelwinkelidentität $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

\[ 2\cos^2 x - 1 - 2\cos x = 2 \] \[ 2\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0 \]

3. Wenden Sie die Mitternachtsformel (quadratische Formel) für $\cos x$ an:

\[ \cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

4. Werten Sie die Ergebnisse aus:

• $\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1,82$ (Unmöglich, da $|\cos x| \leq 1$)
• $\dfrac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0,823$ (Gültig)

5. Finden Sie $x$: $x = \arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$. Dies tritt in Quadrant II und III auf.

$x \approx 2,54 \text{ rad}$ und $x \approx 3,74 \text{ rad}$.

1. Kombinieren Sie die Logarithmen mithilfe der Quotientenregel:

\[ \ln\left(\dfrac{x^2 + 2}{x - 1}\right) = 2 \]

2. Wandeln Sie in die Exponentialform um:

\[ \dfrac{x^2 + 2}{x - 1} = e^2 \]

3. Formen Sie in eine quadratische Gleichung um:

\[ x^2 + 2 = e^2(x - 1) \implies x^2 - e^2x + (e^2 + 2) = 0 \]

4. Lösen Sie mit der quadratischen Formel:

\[ x = \dfrac{e^2 \pm \sqrt{(-e^2)^2 - 4(1)(e^2 + 2)}}{2} \]

Hinweis: $x$ muss größer als 1 sein, damit der ursprüngliche $\ln(x-1)$ definiert ist. Verwenden Sie einen Taschenrechner für Dezimalwerte und überprüfen Sie den Definitionsbereich.

1. Setzen Sie $u = 2^x$. Dann ist $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2$.

2. Setzen Sie in die Gleichung ein:

\[ 3u^2 + u - 30 = 0 \]

3. Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:

\[ (3u + 10)(u - 3) = 0 \]

4. Lösen Sie nach $u$ auf:

• $u = -10/3$ (Abgelehnt, da $2^x$ positiv sein muss)
• $u = 3$ (Gültig)

5. Lösen Sie nach $x$ auf:

\[ 2^x = 3 \implies x = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1,58 \]

1. Arbeiten Sie mit der linken Seite (LHS). Verwenden Sie $\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]

2. Verwenden Sie die Doppelwinkelidentität $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

3. Arbeiten Sie mit der rechten Seite (RHS). Erinnern Sie sich an die Doppelwinkelidentität $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$:

\[ \text{RHS} = \dfrac{\cos x}{1 - 2 \sin^2 x} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

4. Fazit: LHS = RHS. Die Identität ist verifiziert.

1. Vereinfachen Sie den Winkel: $\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}$. Da $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$:

\[ \tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

2. Verwenden Sie die Differenzidentität $\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ mit $A = \dfrac{\pi}{4}$ und $B = \dfrac{\pi}{6}$:

\[ \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + (1)(1/\sqrt{3})} \]

3. Rationalisieren und vereinfachen:

\[ = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

1. Aus dem Faktorsatz: Da $x - 1$ ein Faktor ist, gilt $P(1) = 0$.

2. Aus dem Restwertsatz: $P(-1) = 4$ und $P(2) = 4$.

3. Sei $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$, da der Grad 3 ist und der Leitkoeffizient 1.

4. Verwenden Sie $P(-1) = 4$:

\[ (-1 - 1)((-1)^2 - b + c) = 4 \implies -2(1 - b + c) = 4 \implies 1 - b + c = -2 \implies c - b = -3 \]

5. Verwenden Sie $P(2) = 4$:

\[ (2 - 1)((2)^2 + 2b + c) = 4 \implies 1(4 + 2b + c) = 4 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b \]

6. Lösen Sie nach $b, c$ auf: Setzen Sie $c = -2b$ in $c - b = -3$ ein:

\[ -2b - b = -3 \implies -3b = -3 \implies b = 1, \quad c = -2 \]

7. Endgültiges Polynom: $P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. Klammern Sie $-x$ aus: $f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$.

2. Testen Sie auf Nullstellen des kubischen Terms. $P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Also ist $(x - 1)$ ein Faktor.

3. Verwenden Sie Polynomdivision, um den quadratischen Faktor zu finden: $x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)$.

4. Faktorisieren Sie den quadratischen Term: $(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$.

Vollständig faktorisierte Form: $f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2$.

5. Nullstellen: $x = 0$ (Vielfachheit 1), $x = 1$ (Vielfachheit 1), $x = -3$ (Vielfachheit 2).

1. Identifizieren Sie Nullstellen und Vielfachheiten aus dem Graphen:

• Bei $x = -2$: Graph schneidet (Vielfachheit 1).
• Bei $x = -1$: Graph berührt (Vielfachheit 2).
• Bei $x = 2$: Graph schneidet (Vielfachheit 1).

2. Allgemeine Form schreiben: $g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)$.

3. Verwenden Sie den y-Achsenabschnitt $(0, 2)$, um $a$ zu bestimmen:

\[ 2 = a(0 + 2)(0 + 1)^2(0 - 2) \] \[ 2 = a(2)(1)(-2) \] \[ 2 = -4a \implies a = -0,5 \]

Endgültige Gleichung:

\[ g(x) = -0,5(x + 2)(x + 1)^2(x - 2) \]

1. Identifizieren Sie die Schlüsselparameter:

• Amplitude: 0,5 (gespiegelt an der Mittellinie)
• Periode: $2\pi/4 = \pi/2$
• Phasenverschiebung: $-\pi/16$ (links)
• Vertikale Verschiebung (Mittellinie): $y = 2,5$

2. Wichtige Punkte (starten bei der Phasenverschiebung, Inkrement um Periode/4 = $\pi/8$):

• $x = -\pi/16 \implies y = 2,5$
• $x = \pi/16 \implies y = 2,0$ (Min. aufgrund des negativen Sinus)
• $x = 3\pi/16 \implies y = 2,5$
• $x = 5\pi/16 \implies y = 3,0$ (Max.)
• $x = 7\pi/16 \implies y = 2,5$

3. Graph von $y = - 0,5 \sin \left( 4(x+\dfrac{\pi}{16}) \right) + 2,5$:

1. Amplitude ($A$) finden: Max = 1, Min = 0.

\[ A = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \dfrac{1 - 0}{2} = 0,5 \]

2. Vertikale Verschiebung ($d$) finden:

\[ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \dfrac{1 + 0}{2} = 0,5 \]

3. Periode ($P$) finden: Gegeben als 3 Sekunden.

4. $b$ berechnen:

\[ b = \dfrac{2\pi}{P} = \dfrac{2\pi}{3} \]

5. Phasenverschiebung ($c$) finden: Für eine Kosinusfunktion entspricht die Verschiebung der horizontalen Position des Maximums. Die Aufgabe gibt das Maximum bei $t = 2,25$ an.

\[ c = 2,25 \]

Endgültige Gleichung:

\[ V(t) = 0,5 \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(t - 2,25)\right) + 0,5 \]

a) Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer dort, wo der Nenner Null ist. $x \neq -2$.

b) Schnittpunkte:

• x-Achsenabschnitt (setze $y=0$): $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
• y-Achsenabschnitt (setze $x=0$): $y = -4/2 = -2$.

c) Asymptoten:

• Vertikal: $x = -2$.
• Horizontal (Grenzwert für $x \to \infty$): $y = 2/1 = 2$.

Graph von $y = \dfrac{2 x - 4}{x+2}$:

a) Definitionsbereich: $x \in \mathbb{R}, x \neq -2$.

b) Schnittpunkte: x-Achsenabschnitte bei $x = \pm 3$; y-Achsenabschnitt bei $y = -4,5$.

c) Asymptoten:

• Vertikal: $x = -2$.
• Horizontal: Keine (Grad des Zählers > Nenner).
• Schräge Asymptote: Polynomdivision $(x^2-9) \div (x+2) = (x-2)$ mit Rest $-5$. Asymptote ist $y = x - 2$.

Tabelle der Vorzeichen:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline (x+3) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-3) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x+2) & - & - & - & \text{nicht def.} & + & + & + \\ \hline y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x+2} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} & \text{nicht def.} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} \\ \hline Position & \text{Unterhalb} & \text{Nullstelle} & \text{Oberhalb} & \text{VA} & \text{Unterhalb} & \text{Nullstelle} & \text{Oberhalb} \\ \hline \end{array} \]

1. Identifizieren Sie das Loch: Das Loch liegt bei $x = 2$. Dies bedeutet, dass $(x - 2)$ ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner sein muss.

2. Identifizieren Sie die vertikale Asymptote: VA bei $x = 1$. Dies bedeutet, dass $(x - 1)$ ein Faktor im Nenner ist.

3. Identifizieren Sie die horizontale Asymptote (HA): Die HA liegt bei $y = 0$. Dies bestätigt, dass der Grad des Nenners (Grad 2) größer ist als der Grad des Zählers (der Grad 1 sein muss).

4. Konstruieren Sie die Funktion:

\[ h(x) = a \cdot \dfrac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = a \cdot \dfrac{1}{(x - 1)} \]

5. Bestimmen Sie die Konstante \( a \) mithilfe des Lochs bei $(2, 2)$ :

\[ 2 = a \cdot \dfrac{1}{(2 - 1)} \implies a = 2 \]

6. Endgültige Gleichung:

\[ h(x) = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \]

Hinweis: Die vereinfachte Form zum Skizzieren (ohne das Loch) ist \( y = \dfrac{2}{x - 1} \).

a) Definitionsbereich: Das Argument muss positiv sein. $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ oder $x < -1$. Wertebereich: Alle reellen Zahlen.

b) Schnittpunkte: Kein y-Achsenabschnitt ($0$ ist nicht im Definitionsbereich). Für den x-Achsenabschnitt setzen Sie $y=0$:

\[ -0,5 \log_2(x^2 - 1) = 1 \implies \log_2(x^2 - 1) = -2 \implies x^2 - 1 = 2^{-2} = 0,25 \] \[ x^2 = 1,25 \implies x \approx \pm 1,12 \]

c) Asymptoten: Vertikale Asymptoten, wo das Argument gegen Null geht: $x = 1$ und $x = -1$.

d) Beachten Sie, dass $f(-x) = f(x)$ gilt, daher ist der Graph symmetrisch zur y-Achse.

Graph von $ y = -0,5 \log_2(x^2 - 1)-1 $:

a) Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen $(-\infty, \infty)$.

b) Schnittpunkte: y-Achsenabschnitt bei $x = 0 \implies y = 2 + e^{-2} \approx 2,135$. Kein x-Achsenabschnitt, da $e^{(x-2)} + 2$ immer größer als 2 ist.

c) Asymptoten: Horizontale Asymptote für $x \to -\infty$ ist $y = 2$.

Graph von $ y = 2 + e^{(x-2)} $:

a) Definitionsbereich: $2x - 1 > 0 \implies x > 0,5$. Wertebereich: Alle reellen Zahlen.

b) Finden der Umkehrfunktion:

\[ x = \ln(2y - 1) + 2 \] \[ x - 2 = \ln(2y - 1) \] \[ e^{x-2} = 2y - 1 \] \[ y = \dfrac{e^{x-2} + 1}{2} \]

Umkehrfunktion: $h^{-1}(x) = 0,5(e^{x-2} + 1)$.

Definitionsbereich der Umkehrfunktion: Alle reellen Zahlen. Wertebereich: $y > 0,5$.