Nullstellen von Polynomen finden

Da $p(x)$ eine Nullstelle bei $x = 2$ hat, bedeutet dies, dass $(x - 2)$ ein Faktor von $p(x)$ ist. Wir teilen $p(x)$ durch $(x - 2)$ mittels Polynomdivision oder Hornerschema:

$$ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5x^2 - 2x - 24}{x - 2} = x^2 + 7x + 12 $$

Unter Verwendung des Ergebnisses der Division kann $p(x)$ nun in einer teilweise faktorisierten Form geschrieben werden:

$$ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7x + 12) $$

Als Nächstes faktorisieren wir den quadratischen Ausdruck $x^2 + 7x + 12$. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt 12 und deren Summe 7 ergibt. Diese Zahlen sind 3 und 4:

$$ x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) $$

Setzen Sie dies zurück in $p(x)$ ein, um die vollständig faktorisierte Form zu erhalten:

$$ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) $$

Die Nullstellen werden gefunden, indem die Gleichung auf Null gesetzt wird: $p(x) = 0$. Das bedeutet:

$$ x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x + 3 = 0 \quad \text{oder} \quad x + 4 = 0 $$

Die Nullstellen sind:
$$ x = 2, \quad x = -3, \quad x = -4 $$

Die Nullstellen bei $x = \pm \sqrt{5}$ entsprechen den Linearfaktoren:

$$ (x - \sqrt{5}) \quad \text{und} \quad (x + \sqrt{5}) $$

Multiplizieren Sie diese Faktoren miteinander, um einen quadratischen Divisor zu erstellen. Beachten Sie, dass dies eine 3. binomische Formel ist:

$$ (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - 5 $$

Daher kann das Polynom $p(x)$ geschrieben werden als:

$$ p(x) = (x^2 - 5)Q(x) $$

Finden Sie $Q(x)$ mithilfe der Polynomdivision:

$$ Q(x) = \dfrac{3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 25x + 10}{x^2 - 5} = 3x^2 + 5x - 2 $$

Faktorisieren Sie nun den quadratischen Ausdruck $Q(x) = 3x^2 + 5x - 2$:

$$ 3x^2 + 5x - 2 = (3x - 1)(x + 2) $$

Wir können nun $p(x)$ vollständig faktorisiert schreiben:

$$ p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(3x - 1)(x + 2) $$

Die Nullstellen sind: Setzen Sie jeden Faktor gleich Null:
$$ x = \pm \sqrt{5}, \quad x = \dfrac{1}{3}, \quad x = -2 $$

a) Nachweis der Vielfachheit 2:
Wenn $x = 1$ eine Nullstelle der Vielfachheit 2 ist, muss $(x - 1)^2$ ein Faktor von $p(x)$ sein. Die Ausmultiplikation von $(x-1)^2$ ergibt $x^2 - 2x + 1$. Eine Polynomdivision von $p(x)$ durch $x^2 - 2x + 1$ muss einen Rest von 0 ergeben:

$$ \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{x^2 - 2x + 1} = x^2 - 3 $$

Da der Rest $0$ ist, ist $x = 1$ tatsächlich eine Nullstelle der Vielfachheit $2$.

b) Alle Nullstellen finden:
Unter Verwendung der obigen Division kann $p(x)$ nun in faktorisierter Form geschrieben werden:

$$ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) $$

Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck $x^2 - 3$ als Differenz von Quadraten:

$$ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) $$

Die Nullstellen sind:
$$ x = 1 \text{ (Vielfachheit 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} $$

c) Skizzieren des Graphen:
Mit der faktorisierten Form und den Nullstellen erstellen wir eine Vorzeichentabelle. Beachten Sie, dass der Graph bei $x=1$ (gerade Vielfachheit) die Achse berührt und umkehrt, während er bei $x=\pm\sqrt{3}$ (ungerade Vielfachheit) die Achse schneidet.

Wir verwenden die x-Achsenabschnitte, die Vorzeichentabelle, den y-Achsenabschnitt $(0 , -3)$ und das Endverhalten (beide Enden verlaufen nach oben, da es sich um einen geraden Grad mit einem positiven Leitkoeffizienten handelt), um den Graphen zu vervollständigen:

Satz über rationale Nullstellen: Wenn $p(x)$ ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist, muss jede rationale Nullstelle in der Form $\dfrac{m}{n}$ (in gekürzter Form) vorliegen, wobei $m$ ein Teiler des konstanten Glieds und $n$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

Konstantes Glied = $2$. Teiler von 2 sind: $\pm 1, \pm 2$.
Leitkoeffizient = $6$. Teiler von 6 sind: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Mögliche rationale Nullstellen ($\dfrac{\text{Teiler von } 2}{\text{Teiler von } 6}$):

$$ \pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{1}{3}, \pm \dfrac{1}{6}, \pm 2, \pm \dfrac{2}{3} $$

Aufgrund der langen Liste möglicher Nullstellen zeichnen wir das Polynom und raten die Nullstellen anhand der Lage der x-Achsenabschnitte. Aus dem Graphen oben scheinen die Nullstellen in der Nähe von $-\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{2}$ und $2$ zu liegen.

Wir berechnen $p\left(-\dfrac{1}{3}\right)$, $p\left(\dfrac{1}{2}\right)$ und $p(2)$ zur Überprüfung:

$$ p\left(-\dfrac{1}{3}\right) = 6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 - 13\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{3}\right) + 2 = 0 $$ $$ p\left(\dfrac{1}{2}\right) = 6\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 - 13\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right) + 2 = 0 $$ $$ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 $$

Die Nullstellen sind: Alle drei Vermutungen sind korrekt. Die Nullstellen sind exakt:
$$ x = -\dfrac{1}{3}, \quad x = \dfrac{1}{2}, \quad x = 2 $$

1. Substitution zur Vereinfachung:
Beachten Sie, dass dies ein Polynom in "quadratischer Form" ist. Sei $u = x^2$. Die Gleichung wird zu:

$$ u^2 - 5u - 36 = 0 $$

2. Faktorisieren Sie die quadratische Gleichung:
Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt $-36$ und deren Summe $-5$ ergibt. Dies sind $-9$ und $4$.

$$ (u - 9)(u + 4) = 0 $$

3. Zurücksubstituieren zu $x$:
Ersetzen Sie $u$ durch $x^2$, um die Wurzeln für $x$ zu finden:

$$ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3 $$ $$ x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4 \implies x = \pm 2i $$

Die Nullstellen sind:
Das Polynom hat zwei reelle und zwei komplexe Nullstellen: $\mathbf{x = 3, -3, 2i, -2i}$.

1. Satz über konjugiert komplexe Nullstellen:
Da das Polynom reelle Koeffizienten hat, müssen komplexe Nullstellen in konjugierten Paaren auftreten. Wenn $x = 1 - i$ eine Nullstelle ist, muss auch $x = 1 + i$ eine Nullstelle sein.

2. Faktorisierte Form aufbauen:
Die drei Nullstellen sind $2, 1-i, 1+i$. Die Faktoren sind $(x - 2)$, $(x - (1-i))$ und $(x - (1+i))$. Die allgemeine Gleichung lautet:

$$ P(x) = a(x - 2)(x - (1-i))(x - (1+i)) $$

3. Komplexe Faktoren ausmultiplizieren:
Gruppieren Sie die komplexen Teile, um die binomische Formel zu nutzen:

$$ ((x - 1) + i)((x - 1) - i) = (x - 1)^2 - i^2 $$ $$ = (x^2 - 2x + 1) - (-1) = x^2 - 2x + 2 $$

Also ist das Polynom $P(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)$.

4. Lösen Sie nach 'a' mithilfe des y-Achsenabschnitts auf:
Gegeben ist $P(0) = -4$. Setzen Sie $x=0$ ein:

$$ -4 = a(0 - 2)(0^2 - 2(0) + 2) $$ $$ -4 = a(-2)(2) \implies -4 = -4a \implies a = 1 $$

5. Ausmultiplizieren in die Standardform:
$$ P(x) = 1(x - 2)(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x(x^2 - 2x + 2) - 2(x^2 - 2x + 2) $$ $$ = x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4 $$ $$ \mathbf{P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 4} $$

1. Identifizieren Sie mögliche rationale Nullstellen:
Teiler der Konstante (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Teiler des Leitkoeffizienten (2): $\pm 1, \pm 2$.
Mögliche Nullstellen: $\pm 1, \pm \dfrac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \dfrac{3}{2}, \pm 6$.

2. Testen Sie Nullstellen mit dem Faktorsatz:
Sei $p(x) = 2x^3 - x^2 - 7x + 6$. Testen Sie $x=1$:

$$ p(1) = 2(1)^3 - (1)^2 - 7(1) + 6 = 2 - 1 - 7 + 6 = 0 $$

Da $p(1) = 0$, ist $x = 1$ eine Nullstelle und $(x - 1)$ ein Faktor.

3. Verwenden Sie die synthetische Division (Hornerschema), um durch $(x - 1)$ zu teilen:

  1 |   2   -1   -7    6
    |        2    1   -6
    ---------------------
        2    1   -6    0
                        

Der Quotient ist das Quadrat $2x^2 + x - 6$.

4. Faktorisieren Sie den verbleibenden quadratischen Term:
Wir müssen $2x^2 + x - 6 = 0$ faktorisieren. Wir suchen zwei Zahlen, die multipliziert $(2)(-6) = -12$ und addiert $1$ ergeben. Diese Zahlen sind $4$ und $-3$.

$$ 2x^2 + 4x - 3x - 6 = 0 $$ $$ 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0 $$ $$ (2x - 3)(x + 2) = 0 $$

Dies ergibt die Nullstellen $x = \dfrac{3}{2}$ und $x = -2$.

Die Nullstellen sind:
$$ \mathbf{x = 1, \quad x = \dfrac{3}{2}, \quad x = -2} $$