Wie man die Nullstellen von Polynomen mithilfe von Faktorisierung, Polynomdivision und dem rationalen Wurzelsatz findet. . Fragen der 12. Klasse Mathematik werden zusammen mit detaillierten Lösungen und grafischen Interpretationen präsentiert.
Fragen mit Lösungen
Frage 1
Polynom \( p \) ist definiert durch \( p(x) = x^3+5x^2-2x-24 \; \) und hat eine Null bei \( \; x = 2 \). Faktorisieren Sie \( p \) vollständig und finden Sie seine Nullstellen.
Lösung
\( p(x) \) hat eine Null bei \( x = 2 \) und daher ist \( \; x - 2 \) ein Faktor von \( p(x) \). Teilen Sie \( p(x) \) durch \( x - 2 \)
Unter Verwendung der obigen Division kann \( p(x) \) jetzt in faktorisierter Form wie folgt geschrieben werden:
\( p(x) = (x - 2)(x^2 + 7 x + 12) \)
Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck \( x^2 + 7 x + 12 \).
\( p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) \)
Die Nullen werden durch Lösung der Gleichung gefunden.
\( p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0 \)
Damit \( p(x) \) gleich null ist, benötigen wir
\( x - 2 = 0 \), oder \( x + 3 = 0 \) , oder \( x + 4 = 0 \)
Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullen von \( p(x) \) zu erhalten.
\( x = 2 \), \( x = - 3 \) und \(x = - 4 \).
Frage 2
Das Polynom \( p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10 \) hat irrationale Nullen bei \( x = \pm \sqrt5 \). Finden Sie die anderen Nullen.
Lösung
Nullen bei \( x = \pm \sqrt5 \) entsprechen den Faktoren.
\( x - \sqrt 5 \) und \( x + \sqrt 5 \)
Daher kann das Polynom \( p(x) \) geschrieben werden als
\( p(x) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) Q(x) = (x^2 - 5)Q(x) \)
Finden Sie \( Q(x) \) mithilfe der Polynomdivision
\( Q(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 - 5} \)
\( \quad = 3 x^2 + 5 x - 2 \)
Faktorisieren Sie \( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 \)
\( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2) \)
Faktorisieren Sie \( p(x) \) vollständig
\( p(x) = (x - \sqrt 5)(x + \sqrt 5)(3x - 1)(x + 2) \)
Setzen Sie jeden der Faktoren von \( p(x) \) gleich null, um die Nullen zu finden.
\( x = \pm \sqrt 5 , x = \dfrac{1}{3} , x = - 2 \)
Frage 3
Das Polynom \( p \) ist gegeben durch \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3 \)
a) Zeigen Sie, dass \( x = 1 \) eine Null mit Vielfachheit \( 2 \) ist.
b) Finden Sie alle Nullen von \( p \).
c) Skizzieren Sie eine mögliche Grafik für \( p \).
Lösung
a) Wenn \( x = 1 \) eine Null mit Vielfachheit \( 2 \) ist, dann ist \( (x - 1)^2 \) ein Faktor von \( p(x) \) und eine Division von \( p(x) \) durch \( (x - 1)^2 \) muss einen Rest von \( 0 \) ergeben. Eine lange Division ergibt
Der Rest in der Division von \( p(x) \) durch \( (x - 1)^2 \) ist gleich \( 0 \) und daher ist \( x = 1 \) eine Null mit Vielfachheit \( 2 \).
b) Unter Verwendung der obigen Division kann \( p(x) \) jetzt in faktorisierter Form geschrieben werden
\( p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) \)
Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck \( x^2 - 3).
\( p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) \)
Die Nullen werden durch Lösung der Gleichung gefunden.
\( p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) = 0 \)
Damit \( p(x) \) gleich null ist, benötigen wir
\( (x - 1)^2 = 0 \) , oder \( x - \sqrt 3 = 0 \) , oder \( x + \sqrt 3 = 0 \)
Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullen von p(x) zu erhalten.
\( x = 1 \) (Vielfachheit \( 2 \) ) , \( x = \sqrt 3 \) und \( x = - \sqrt 3 \)
c) Mit Hilfe der faktorisierten Form von \( p(x) \) und den oben gefundenen Nullen machen wir nun eine Vorzeichenwechseltabelle.
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Wir verwenden die Nullen von \( p(x) \), die graphisch als \( x \)-Achsenabschnitte dargestellt sind, die Vorzeichenwechseltabelle und den \( y \)-Achsenabschnitt (0 , -3), um die Grafik zu vervollständigen, wie unten gezeigt.
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Frage 4
Verwenden Sie den Rationalen Nullen Satz, um alle rationalen Nullen des Polynoms \( p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 \) zu bestimmen.
Lösung
Rationaler Nullen Satz: Wenn \( p(x) \) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist und wenn \( \dfrac{m}{n} \) (in einfacher Form) eine Null von \( p(x) \) ist, dann ist \( m \) ein Teiler des Konstanten Terms \( 2 \) von \( p(x) \) und \( n \) ist ein Teiler des führenden Koeffizienten \( 6 \) von \( p(x) \).
Finden Sie Teiler von \( 2 \) und \( 6 \).
Teiler von \( 2 \) sind : \( \quad \pm 1 \) , \( \pm 2 \)
Teiler von \( 6 \) sind: \( \quad \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 6 \)
Mögliche Nullen: teilen Sie Teiler von \( 2 \) durch Teiler von \( 6 \): \( \quad \pm 1 , \pm \dfrac{1}{2} , \pm \dfrac{1}{3} , \pm \dfrac{1}{6} , \pm 2 , \pm \dfrac{2}{3} \)
Aufgrund der großen Liste möglicher Nullen stellen wir das Polynom grafisch dar und erraten die Nullen aus der Position der \( x \)-Achsenabschnitte. Unten ist die Grafik des gegebenen Polynoms \( p(x) \), und wir können leicht erkennen, dass die Nullen nahe bei \( - \dfrac{1}{3} \), \( \dfrac{1}{2} \) und \( 2 \) liegen.
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Wir berechnen nun \( p(-\dfrac{1}{3}), p(\dfrac{1}{2}) \) und \( p(2) \), um schließlich zu überprüfen, ob dies die exakten Nullen von \( p(x) \) sind.
\( p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 \)
Wir haben den rationalen Nullen Satz und die Grafik des gegebenen Polynoms verwendet, um die \( 3 \) Nullen des gegebenen Polynoms \( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \) und \( 2 \) zu bestimmen.
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