Wie man die Nullstellen von Polynomen mithilfe von Faktorisierung, Division von Polynomen und der Rationalen Nullstellensuche findet.
Es werden Fragen der 12. Klasse zusammen mit detaillierten Lösungen und grafischen Interpretationen präsentiert.
Polynom \( p \) ist definiert durch \( p(x) = x^3+5x^2-2x-24 \; \) und hat eine Nullstelle bei \( \; x = 2 \). Faktorisieren Sie \( p \) vollständig und finden Sie seine Nullstellen.
\( p(x) \) hat eine Nullstelle bei \( x = 2 \) und daher ist \( \; x - 2 \) ein Faktor von \( p(x) \). Teilen Sie \( p(x) \) durch \( x - 2 \). \[ \dfrac{p(x)}{x - 2} = \dfrac {x^3 + 5 x^2 - 2 x - 24}{x-2} = x^2 + 7 x + 12 \]
Unter Verwendung der obigen Division kann \( p(x) \) nun wie folgt in faktorisierter Form geschrieben werden: \[ p(x) = (x - 2)(x^2 + 7 x + 12) \]
Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck \( x^2 + 7 x + 12 \). \[ x^2 + 7 x + 12 = (x + 3)(x + 4) \] und setzen Sie in \(P(x) \) ein. \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) \]
Die Nullstellen werden durch Lösen der Gleichung gefunden. \[ p(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 4) = 0 \]
Damit p(x) gleich Null ist, müssen wir haben: \[ x - 2 = 0 \quad \text{oder} \quad x + 3 = 0 \quad \text{oder} \quad x + 4 = 0 \]
Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullstellen von \( p(x) \) zu erhalten. \[ x = 2, \quad x = - 3, \quad x = - 4 \]
Das Polynom \( p(x)=3x^4+5x^3-17x^2-25x+10 \) hat irrationale Nullstellen bei \( x = \pm \sqrt5 \). Finden Sie die anderen Nullstellen.
Nullstellen bei \( x = \pm \sqrt5 \) entsprechen den Faktoren. \[ x - \sqrt 5 \quad \text{und} \quad x + \sqrt 5 \]
Daher kann das Polynom \( p(x) \) geschrieben werden als: \[ p(x) = (x - \sqrt {5})(x + \sqrt {5}) Q(x) = (x^2 - 5)Q(x) \]
Finden Sie \( Q(x) \) mittels Polynomdivision. \[ Q(x) = \dfrac{p(x)}{x^2 - 5} \] \[ \quad = \dfrac{3 x^4 + 5 x^3 - 17 x^2 - 25 x + 10}{x^2 - 5} \] \[ \quad = 3 x^2 + 5 x - 2 \]
Faktorisieren Sie \( Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 \). \[ Q(x) = 3 x^2 + 5 x - 2 = (3x - 1)(x + 2) \]
Faktorisieren Sie \( p(x) \) vollständig. \[ p(x) = (x - \sqrt 5)(x + \sqrt 5)(3x - 1)(x + 2) \]
Setzen Sie jeden der Faktoren von \( p(x) \) gleich Null, um alle Nullstellen zu finden. \[ x = \pm \sqrt 5 , x = \dfrac{1}{3} , x = - 2 \]
Polynom \( p \) ist gegeben durch \( p(x) = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3 \).
a) Zeigen Sie, dass \( x = 1 \) eine Nullstelle der Vielfachheit \( 2 \) ist.
b) Finden Sie alle Nullstellen von \( p \).
c) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen für \( p \).
a) Wenn \( x = 1 \) eine Nullstelle der Vielfachheit \( 2 \) ist, dann ist \( (x - 1)^2 \) ein Faktor von \( p(x) \) und eine Division von \( p(x) \) durch \( (x - 1)^2 \) muss einen Rest von \( 0 \) ergeben. Eine Polynomdivision ergibt: \[ \dfrac{p(x)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 6x - 3}{(x - 1)^2} = x^2 - 3 \]
Der Rest bei der Division von \( p(x) \) durch \( (x - 1)^2 \) ist gleich \( 0 \) und daher ist \( x = 1 \) eine Nullstelle der Vielfachheit \( 2 \).
b) Unter Verwendung der obigen Division kann \( p(x) \) nun wie folgt in faktorisierter Form geschrieben werden:
\[ p(x) = (x - 1)^2(x^2 - 3) \]
Faktorisieren Sie den quadratischen Ausdruck \( x^2 - 3 \). \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) \]
Die Nullstellen werden durch Lösen der Gleichung gefunden. \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \]
Damit \( p(x) \) gleich Null ist, müssen wir haben: \[ (x - 1)^2 = 0, \quad x - \sqrt{3} = 0, \quad \text{oder} \quad x + \sqrt{3} = 0 \]
Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullstellen von \( p(x) \) zu erhalten.
\[ x = 1 \text{ (Vielfachheit } 2), \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \]
c) Mit Hilfe der faktorisierten Form von \( p(x) \) und seinen oben gefundenen Nullstellen erstellen wir nun eine Vorzeichentabelle.
Wir verwenden die Nullstellen von \( p(x) \), die graphisch als x-Achsenabschnitte dargestellt sind, die Vorzeichentabelle und den y-Achsenabschnitt \( (0 , -3) \), um den Graphen wie unten gezeigt zu vervollständigen.
Verwenden Sie die Rationale Nullstellensuche, um alle rationalen Nullstellen des Polynoms \( p(x) = 6x^3-13x^2+x+2 \) zu bestimmen.
Rationale Nullstellensuche: Wenn \( p(x) \) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist und wenn \( \dfrac{m}{n} \) (in gekürzter Form) eine Nullstelle von \( p(x) \) ist, dann ist \( m \) ein Teiler des konstanten Terms \( 2 \) von \( p(x) \) und \( n \) ist ein Teiler des führenden Koeffizienten \( 6 \) von \( p(x) \).
Finden Sie die Teiler von \( 2 \) und \( 6 \).
Teiler von \( 2 \) sind: \( \quad \pm 1 \) , \( \pm 2 \)
Teiler von \( 6 \) sind: \( \quad \pm 1 , \pm 2 , \pm 3 , \pm 6 \)
Mögliche Nullstellen: Teilen Sie die Teiler von \( 2 \) durch die Teiler von \( 6 \): \( \quad \pm 1 , \pm \dfrac{1}{2} , \pm \dfrac{1}{3} , \pm \dfrac{1}{6} , \pm 2 , \pm \dfrac{2}{3} \)
Wegen der großen Liste möglicher Nullstellen zeichnen wir das Polynom und schätzen die Nullstellen anhand der Lage der x-Achsenabschnitte. Unten ist der Graph des gegebenen Polynoms \( p(x) \) und wir können leicht erkennen, dass die Nullstellen nahe \( - \dfrac{1}{3} \), \( \dfrac{1}{2} \) und \( 2 \) liegen.
Wir berechnen nun \( p(-\dfrac{1}{3}), p(\dfrac{1}{2}) \) und \( p(2) \), um endgültig zu überprüfen, ob dies die exakten Nullstellen von \( p(x) \) sind. \[ p \left(-\dfrac{1}{3} \right) = 6\left(-\dfrac{1}{3} \right)^3 - 13 \left (-\dfrac{1}{3} \right)^2 + \left (-\dfrac{1}{3} \right) + 2 = 0 \] \[ p \left(\dfrac{1}{2} \right) = 6 \left (\dfrac{1}{2} \right)^3 - 13 \left (\dfrac{1}{2} \right)^2 + \left (\dfrac{1}{2} \right) + 2 = 0 \] \[ p(2) = 6(2)^3 - 13(2)^2 + (2) + 2 = 0 \]
Wir haben die Rationale Nullstellensuche und den Graphen des gegebenen Polynoms verwendet, um die \( 3 \) Nullstellen des gegebenen Polynoms zu bestimmen, welche \( -\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2} \) und \( 2 \) sind.