Vorzeichentabelle von Polynomen erstellen
Fragen mit Lösungen

Meistern Sie Mathematik der 12. Klasse mit dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Erstellung von Vorzeichentabellen für Polynomfunktionen. Diese Ressource enthält anspruchsvolle Übungsfragen, detaillierte Lösungen und klare grafische Interpretationen, um Ihnen zu helfen, das Verhalten von Polynomen vollständig zu verstehen.

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Frage 1

Das Polynom p ist gegeben durch \[ p(x) = (x - 1)^2(x - \sqrt 3) (x + \sqrt 3) \] Erstellen Sie eine Vorzeichentabelle von p und skizzieren Sie einen möglichen Graphen für \( p \).

Lösung

Wir finden zuerst die Nullstellen der Polynomfunktion \( p(x) \). \[ p(x) = (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \]

Für \( p(x) = 0 \) muss gelten: \[ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{oder} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{oder} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 \] Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullstellen von \( p(x) \) zu erhalten. \[ x = 1 \;\; \text{(mit Vielfachheit 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{3} \]

c) Mit Hilfe der faktorisierten Form von \( p(x) \) und ihren oben gefundenen Nullstellen erstellen wir nun eine Vorzeichentabelle, wobei wir verwenden:

\( (x - 1)^2 \) ist positiv für alle \( x \) außer bei \( x = 1 \)

\( x - \sqrt{3} > 0 \) für \( x > \sqrt{3} \)

\( x + \sqrt{3} > 0 \) für \( x > -\sqrt{3} \)


Wir setzen jeden Faktor in die Tabelle ein und verwenden die Regeln der Vorzeichenmultiplikation, um das Vorzeichen für p zu vervollständigen, wie unten gezeigt.

Vorzeichentabelle Frage 3

Wir verwenden die Nullstellen von \( p(x) \), die grafisch als x-Achsenabschnitte dargestellt werden, die Vorzeichentabelle und den y-Achsenabschnitt \( (0 , -3) \), um den Graphen wie unten gezeigt zu vervollständigen. Polynom Frage 1

Frage 2

\( f(x) \) ist ein Polynom sechsten Grades mit einem negativen führenden Koeffizienten \( k \). \( f \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 3 bei \( x = 1 \) und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 3 \). Erstellen Sie eine Vorzeichentabelle für das Polynom \( f \).

Lösung

Wir schreiben zuerst die Faktoren des Polynoms \( f \) mit ihrer Vielfachheit auf.

Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \) : Faktor: \( x + 1 \)

Nullstelle der Vielfachheit 3 bei \( x = 1 \) : Faktor: \( (x - 1)^3 \)

Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 3 \) : Faktor: \( (x - 3)^2 \)

Sei \( k \) (negativ) der führende Koeffizient von \( f \). Unter Verwendung aller obigen Faktoren schreiben wir \( f(x) \) als

\[ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 \]

Wir untersuchen zuerst das Vorzeichen der verschiedenen Faktoren von \( f \).

\( x + 1 > 0 \) für \( x > -1 \)

\( (x - 1)^3 > 0 \) für \( x > 1 \)

\( (x - 3)^2 > 0 \) für alle \( x \) außer \( x = 3 \)

Unten ist die Vorzeichentabelle jedes Faktors und des Polynoms f(x) in der untersten Zeile dargestellt. Vorzeichentabelle Frage 2

Weitere Referenzen und Links