Wie man eine Vorzeichentabelle für Polynome erstellt

1. Nullstellen finden:
Wir finden zuerst die Nullstellen der Polynomfunktion $p(x)$, indem wir sie gleich Null setzen:

$$ (x - 1)^2 (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Für $p(x) = 0$ muss gelten:

$$ (x - 1)^2 = 0 \quad \text{oder} \quad (x - \sqrt{3}) = 0 \quad \text{oder} \quad (x + \sqrt{3}) = 0 $$

Lösen Sie jede Gleichung, um die Nullstellen von $p(x)$ zu erhalten:

$$ x = 1 \text{ (mit Vielfachheit 2)}, \quad x = \sqrt{3}, \quad \text{und} \quad x = -\sqrt{3} $$

2. Faktoren analysieren:
Mithilfe der faktorisierten Form und der Nullstellen untersuchen wir das Vorzeichen jedes Faktors:

• $(x - 1)^2$ ist für alle $x$ positiv, außer bei $x = 1$.
• $x - \sqrt{3} > 0$ für $x > \sqrt{3}$.
• $x + \sqrt{3} > 0$ für $x > -\sqrt{3}$.

3. Vorzeichentabelle konstruieren:
Wir tragen jeden Faktor in die Tabelle ein und verwenden die Regeln für die Vorzeichenmultiplikation, um das Vorzeichen für $p(x)$ zu bestimmen.

4. Graphen skizzieren:
Wir verwenden die Nullstellen von $p(x)$ (die als $x$-Achsenabschnitte fungieren), die Vorzeichentabelle und den $y$-Achsenabschnitt $(0, -3)$, um den Graphen zu vervollständigen.

1. Faktoren aufschreiben:
Wir schreiben zuerst die Faktoren des Polynoms $f$ zusammen mit ihren jeweiligen Vielfachheiten auf:

• Nullstelle der Vielfachheit 1 bei $x = -1 \implies \text{Faktor: } (x + 1)$
• Nullstelle der Vielfachheit 3 bei $x = 1 \implies \text{Faktor: } (x - 1)^3$
• Nullstelle der Vielfachheit 2 bei $x = 3 \implies \text{Faktor: } (x - 3)^2$

2. Gleichung aufstellen:
Sei $k$ (negativ) der Leitkoeffizient von $f$. Unter Verwendung aller obigen Faktoren schreiben wir $f(x)$ als:

$$ f(x) = k(x + 1)(x - 1)^3(x - 3)^2 $$

3. Vorzeichen der Faktoren untersuchen:

• $x + 1 > 0$ für $x > -1$
• $(x - 1)^3 > 0$ für $x > 1$
• $(x - 3)^2 > 0$ für alle $x$ außer bei $x = 3$
• $k < 0$ bedeutet, dass sich die Vorzeichen des gesamten Produkts umkehren.

4. Vorzeichentabelle konstruieren:
Unten sehen Sie die Vorzeichentabelle für jeden Faktor und das finale Polynom $f(x)$ in der untersten Zeile.

1. Polynom faktorisieren:
Faktorisieren Sie zuerst den größten gemeinsamen Faktor, welcher $-2x^3$ ist:

$$ g(x) = -2x^3(x^2 - 4) $$

Faktorisieren Sie nun die Differenz von Quadraten:

$$ g(x) = -2x^3(x - 2)(x + 2) $$

2. Nullstellen finden:
$g(x) = 0$ ergibt Nullstellen bei $x = 0$ (Vielfachheit 3), $x = 2$ (Vielfachheit 1) und $x = -2$ (Vielfachheit 1). Diese teilen den Zahlenstrahl in vier Intervalle: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$ und $(2, \infty)$.

3. Vorzeichentabelle konstruieren:
Verwenden Sie eine LaTeX-Tabelle, um das Vorzeichen des Polynoms über die kritischen Intervalle zu bestimmen.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, \infty) \\ \hline -2x^3 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline g(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline \end{array} $$

Fazit:
Durch Betrachten der unteren Zeile der Tabelle ist das Polynom $g(x)$ in den Intervallen $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (0, 2)}$ positiv.

1. Faktorisieren durch Gruppieren:
Gruppieren Sie die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme:

$$ h(x) = x^2(x - 3) - 4(x - 3) $$

Klammern Sie den gemeinsamen binomischen Faktor $(x - 3)$ aus:

$$ h(x) = (x^2 - 4)(x - 3) $$

Faktorisieren Sie die Differenz von Quadraten:

$$ h(x) = (x - 2)(x + 2)(x - 3) $$

2. Nullstellen und Intervalle finden:
Die Wurzeln sind $x = -2, 2 \text{ und } 3$. Da alle eine ungerade Vielfachheit von 1 haben, ändert sich das Vorzeichen an jeder Wurzel.

3. Vorzeichentabelle konstruieren:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline x-3 & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline h(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Fazit:
Basierend auf der Tabelle ist $h(x) < 0$ in den Intervallen $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (2, 3)}$.

1. Analysieren Sie jeden Faktor:

• $x^2 + 1$: Dies ist ein irreduzibles Quadrat. Es ist für alle reellen Zahlen $x$ strikt positiv ($>0$).
• $x^4$: Dies ist eine gerade Potenz. Sie ist positiv für alle $x$, außer bei $x = 0$, wo sie gleich 0 ist.
• $(x - 5)^3$: Dies ist eine ungerade Potenz. Sie ist negativ, wenn $x < 5$, Null bei $x = 5$ und positiv, wenn $x > 5$.

2. Vorzeichentabelle konstruieren:
Wir fügen die kritischen Punkte $x=0$ und $x=5$ in unsere Intervalle ein.

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 5) & 5 & (5, \infty) \\ \hline x^4 & + & 0 & + & + & + \\ \hline x^2+1 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-5)^3 & - & - & - & 0 & + \\ \hline P(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array} $$

Fazit:

• $P(x) < 0$ für $\mathbf{x \in (-\infty, 0) \cup (0, 5)}$
• $P(x) = 0$ bei $\mathbf{x = 0}$ und $\mathbf{x = 5}$
• $P(x) > 0$ für $\mathbf{x \in (5, \infty)}$