Frage 1
Das Polynom p ist gegeben durch $$p(x) = (x - 1)^2(x - √3) (x + √3) $$Erstellen Sie eine Vorzeichenwechseltabelle für p und skizzieren Sie eine mögliche Grafik für p.
Lösung
Wir finden zuerst die Nullen der Polynomfunktion p.
p(x) = (x - 1)2 (x - √3) (x + √3) = 0
Für p(x) = 0 müssen wir haben
(x - 1)2 = 0 , oder (x - √3) = 0 , oder (x + √3) = 0
Lösen Sie jede der obigen Gleichungen, um die Nullen von p(x) zu erhalten.
x = 1 (Vielfachheit 2) , x = √3 und x = - √3
c) Mit Hilfe der faktorisierten Form von p(x) und den oben gefundenen Nullen machen wir nun eine Vorzeichenwechseltabelle unter Verwendung von:
(x - 1)2 ist positiv für alle x außer bei x = 1
x - √3 > 0 für x > √3
x + √3 > 0 für x > - √3
Wir setzen jeden Faktor in die Tabelle und verwenden die Regeln der Vorzeichenmultiplikation, um das Vorzeichen für p wie unten gezeigt zu vervollständigen.
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Wir verwenden die Nullen von p(x), die graphisch als x-Achsenabschnitte dargestellt sind, die Vorzeichenwechseltabelle und den y-Achsenabschnitt (0 , -3), um die Grafik zu vervollständigen, wie unten gezeigt.
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Frage 2
f(x) ist ein Polynom vom Grad sechs mit einem negativen Leitkoeffizienten. f hat eine Null der Vielfachheit 1 bei x = -1, eine Null der Vielfachheit 3 bei x = 1 und eine Null der Vielfachheit 2 bei x = 3. Erstellen Sie eine Vorzeichenwechseltabelle für das Polynom f.Lösung
Wir schreiben zuerst die Faktoren des Polynoms f mit ihrer Vielfachheit auf.
Null der Vielfachheit 1 bei x = -1 : Faktor: x + 1
Null der Vielfachheit 3 bei x = 1 : Faktor: (x - 1)3
Null der Vielfachheit 2 bei x = 3 : Faktor: (x - 3)2
Sei k (negativ) der Leitkoeffizient von f. Unter Verwendung aller oben genannten Faktoren schreiben wir f(x) als
f(x) = k (x + 1)(x - 1)3(x - 3)2
Wir studieren zuerst das Vorzeichen der verschiedenen Faktoren von f.
x + 1 > 0 für x > - 1
(x - 1)3 > 0 für x > 1
(x - 3)2 > 0 für alle x außer x = 3
Unten ist die Vorzeichenwechseltabelle für jeden Faktor und für das Polynom f(x) in der unteren Zeile dargestellt.
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