Unten ist der Graph von f(x) = 2 x 3 - 1 dargestellt.
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1) Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f im gleichen Koordinatensystem.
2) Finden Sie die Umkehrfunktion und überprüfen Sie Ihre Antwort anhand einiger Punkte.
Lösung
1) Lokalisieren Sie einige Punkte auf dem Graphen von f. Hier ist eine Liste von Punkten, deren Koordinaten (a , b) leicht aus dem Graphen abgeleitet werden können:
(1 , 1) , (0 , -1) , (-1 , -3)
Auf dem Graphen der Umkehrfunktion haben die oben genannten Punkte Koordinaten (b , a) wie folgt:
(1 , 1) , (-1 , 0) , (-3 , -1)
Plotten Sie die obigen Punkte und zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f, so dass die beiden Graphen Spiegelungen voneinander auf der Linie y = x sind, wie unten gezeigt.
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2) Schreiben Sie die gegebene Funktion f(x) = 2 x 3 - 1 als Gleichung in zwei Unbekannten.
y = 2 x 3 - 1
Lösen Sie dies nach x auf.
2 x 3 = y + 1
x 3 = (y + 1) / 2
Vertauschen Sie x und y und schreiben Sie die Gleichung der Umkehrfunktion f -1:
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Wir überprüfen nun, dass die Punkte (1 , 1) , (-1 , 0) und (-3 , -1), die oben verwendet wurden, um den Graphen der Umkehrfunktion zu zeichnen, auf dem Graphen von f -1 liegen.
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Sei f(x) = x 2 - 4 x + 5, x ≤ 2.
1) Finden Sie die Umkehrfunktion von f.
2) Finden Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich von f -1.
Lösung
1) Uns wird eine quadratische Funktion mit einem eingeschränkten Definitionsbereich gegeben. Wir schreiben die gegebene Funktion zuerst in Scheitelpunktform (kann durch Vervollständigung der quadratischen Formel durchgeführt werden):
f(x) = x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 + 1 , x ≤ 2
Der Graph der Funktion f ist der der linken Hälfte einer Parabel mit dem Scheitelpunkt bei (2 , 1), wie unten gezeigt.
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Wir schreiben die gegebene Funktion nun als Gleichung.
y =(x - 2) 2 + 1
Lösen Sie dies nach x auf.
y =(x - 2) 2 + 1
(x - 2) 2 = y - 1
Zwei Lösungen für x - 2: x - 2 = +√(y - 1) oder x - 2 = - √(y - 1)
x = √(y - 1) + 2 oder x = - √(y - 1) + 2
Da x ≤ 2 (Definitionsbereich von f), wählen wir die Lösung
x = - √(y - 1) + 2
Vertauschen Sie x und y, um die Umkehrung der Funktion f wie folgt zu schreiben.
y = f -1(x) = - √(x - 1) + 2
Der Definitionsbereich und der Wertebereich von f -1 sind der Wertebereich und der Definitionsbereich von f.
Definitionsbereich von f -1 ist der Wertebereich von f: [1 , +∞) (aus dem Graphen)
Wertebereich von f -1 ist der Definitionsbereich von f: (-∞ , 2] (gegeben)
Unten ist der Graph von f(x) = √(2 x - 3) dargestellt.
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1) Zeichnen Sie die Umkehrung von f im gleichen Graphen.
2) Finden Sie die Umkehrung und überprüfen Sie Ihre Antwort anhand einiger Punkte.
Lösung
1) Lokalisieren Sie einige Punkte auf dem Graphen von f. Eine mögliche Liste von Punkten, deren Koordinaten (a , b) wie folgt ist:
(1.5 , 0) , (2 , 1) , (6 , 3)
Auf dem Graphen der Umkehrfunktion haben die oben genannten Punkte Koordinaten (b , a) wie folgt:
(0 , 1.5) , (1 , 2) , (3 , 6)
Plotten Sie die obigen Punkte und zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von f, so dass die beiden Graphen Spiegelungen voneinander auf der Linie y = x sind, wie unten gezeigt.
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2) Schreiben Sie die gegebene Funktion f(x) = √(2 x - 3) als Gleichung in zwei Unbekannten.
y = √(2 x - 3)
Lösen Sie dies nach x auf. Quadrieren Sie zuerst beide Seiten
2 x - 3 = y 2
2 x = y 2 + 3
x = (y 2 + 3) / 2
Vertauschen Sie x und y und schreiben Sie die Gleichung der Umkehrfunktion f -1; und schreiben Sie den Definitionsbereich der Umkehrfunktion.
y = (x 2 + 3) / 2
f -1 (x) = (x 2 + 3) / 2 , x ≥ 0 (Definitionsbereich, der der Wertebereich von f aus seinem obigen Graphen ist)
Wir überprüfen nun, dass die Punkte (0 , 1.5) , (1 , 2) und (3 , 6), die oben verwendet wurden, um den Graphen der Umkehrfunktion zu zeichnen, auf dem Graphen von f -1 liegen.
f -1(0) = (0 2 + 3) / 2 = 1.5
f -1(1) = (1 2 + 3) / 2 = 2
f -1(3) = (3 2 + 3) / 2 = 6
Skizzieren Sie den Graphen von f -1 anhand des unten gezeigten Graphen von y = f(x) und finden Sie f -1(x).
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Lösung
1) Verwenden Sie den Graphen, um Punkte auf dem Graphen von f zu finden. Eine mögliche Liste von Punkten mit den Koordinaten (a, b) lautet wie folgt:
(0, 3), (2, -1), (5, -3)
Auf dem Graphen der Umkehrfunktion haben die obigen Punkte die Koordinaten (b, a) wie folgt:
(3, 0), (-1, 2), (-3, 5)
Plotten Sie die obigen Punkte und skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion, sodass die beiden Graphen ein Spiegelbild voneinander an der Linie y = x sind, wie unten gezeigt.
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2) Bestimmen Sie nun f -1(x). Für -3 ≤ x ≤ -1 hat f -1(x) einen linearen Ausdruck mit der Steigung m1 durch die Punkte (-1, 2) und (-3, 5) gegeben durch
m1 = (5 - 2) / (-3 - (-1)) = -3 / 2
Für -3 ≤ x ≤ -1 lautet f -1(x):
f -1(x) = - (3 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (3 / 2)(x + 1) + 2
Für -1 < x ≤ 3 hat f -1(x) einen linearen Ausdruck mit der Steigung durch die Punkte (-1, 2) und (3, 0) gegeben durch
m2 = (0 - 2) / (3 - (-1)) = -1 / 2
Für -1 < x ≤ 3 lautet f -1(x):
f -1(x) = - (1 / 2)(x - (-1)) + 2 = - (1 / 2)(x + 1) + 2
Die injektive Funktion
1) Was ist der Definitionsbereich und der Wertebereich von f?
2) Skizzieren Sie den Graphen von f -1.
3) Finden Sie f -1(x) (inklusive Definitionsbereich).
Lösung
1) f(x) ist definiert als eine reale Zahl, wenn der Radikand 2 / x - 1 größer oder gleich 0 ist. Daher müssen wir die Ungleichung lösen:
2 / x - 1 ≥ 0
(2 - x) / x ≥ 0
Der Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung ändert das Vorzeichen an den Nullstellen des Zählers und des Nenners, die x = 2 und x = 0 sind. Siehe Tabelle unten.
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Definitionsbereich: (0 , 2]
Wertebereich: (-∞ , 0]
2) Punkte auf dem Graphen von f
(2 , 0), (1 , -1)
Die oben genannten Punkte auf dem Graphen der Umkehrfunktion haben die Koordinaten (b, a) wie folgt:
(0 , 2), (-1 , 1)
Plotten Sie die obigen Punkte und skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion, sodass die beiden Graphen ein Spiegelbild voneinander an der Linie y = x sind, wie unten gezeigt.
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3) Schreiben Sie f(x) als Gleichung in y und x.
\( y = -\sqrt{\dfrac{2}{x}-1} \)
Lösen Sie die obige Gleichung nach x. Quadrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung
\( y^2 = \dfrac{2}{x}-1 \)
\( \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 \)
\( x = \dfrac{2}{y^2 + 1} \)
Vertauschen Sie x und y und schreiben Sie die Umkehrfunktion
\( y = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
\( f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1} \)
Definitionsbereich und Wertebereich von f-1 sind der Wertebereich und Definitionsbereich von f . Daher
Definitionsbereich von f -1: (-∞ , 0]
Wertebereich von f -1: (0 , 2]
Unten sind die Graphen von 6 Funktionen gezeigt. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion jeder Funktion.
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Lösung
Für jeden Graphen wählen Sie Punkte mit leicht zu bestimmenden Koordinaten. Verwenden Sie diese Punkte und auch die Spiegelung des Graphen der Funktion f und ihrer Umkehrfunktion an der Linie y = x, um die Umkehrfunktionen zu skizzieren, wie unten gezeigt
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Finden Sie die Umkehrfunktion von f(x) = Log4(x + 2) - 5, deren Definitionsbereich und Wertebereich.
Lösung
Schreiben Sie die gegebene Funktion als Gleichung in x und y wie folgt:
y = Log4(x + 2) - 5
Lösen Sie die obige Gleichung nach x.
Log4(x + 2) = y + 5
x + 2 = 4 (y + 5)
x = 4 (y + 5) - 2
Vertauschen Sie x und y.
y = 4 (x + 5) - 2
Schreiben Sie die Umkehrfunktion mit deren Definitionsbereich und Wertebereich.
f-1(x) = 4 (x + 5) - 2 , Definitionsbereich: (-∞ , +∞) , Wertebereich: (-2 , +∞)
Wenn f(x) = ln(x) + 4 x - 8, was ist der Wert von f -1(- 4)?
Lösung
Sei a = f -1(- 4). Dann
f(a) = f(f -1(- 4)) = - 4 (Unter Verwendung der Eigenschaft f(f -1(x)) = x der Umkehrfunktion).
Wir müssen jetzt a finden, sodass f(a) = - 4, daher die zu lösende Gleichung.
ln(a) + 4 a - 8 = - 4
ln(a) = 4 - 4 a
Die obige Gleichung kann nicht analytisch gelöst werden, aber ihre Lösung kann grafisch als x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen von y = ln(x) und y = 4 - 4x angenähert werden, wie unten gezeigt.
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Der Schnittpunkt der beiden Graphen liegt nahe bei x = 1, wodurch leicht überprüft werden kann, dass es sich um die exakte Lösung der Gleichung ln(x) = 4 - 4 x handelt. Somit
f-1( - 4) = 1
