Aufgaben zu Umkehrfunktionen mit Lösungen

Unten ist der Graph von $f(x) = 2 x^3 - 1$ dargestellt.
1) Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion von $f$ im selben Koordinatensystem.
2) Finden Sie die Umkehrfunktion von $f$ und überprüfen Sie Ihre Antwort anhand einiger Punkte.

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1) Grafische Lösung: Suchen Sie Punkte, deren Koordinaten $(a , b)$ sich leicht aus dem Graphen von $f$ ablesen lassen:
$$ (1 , 1), \quad (0 , -1), \quad (-1 , -3) $$

Auf dem Graphen der Umkehrfunktion haben diese Punkte vertauschte Koordinaten $(b , a)$:
$$ (1 , 1), \quad (-1 , 0), \quad (-3 , -1) $$

Tragen Sie die Punkte ein und skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion von $f$ so, dass die beiden Graphen Spiegelungen an $y = x$ sind.

2) Analytische Lösung: Schreiben Sie die Funktion als Gleichung mit zwei Variablen:
$$ y = 2x^3 - 1 $$

Lösen Sie nach $x$ auf:
$$ 2x^3 = y + 1 $$
$$ x^3 = \dfrac{y + 1}{2} $$
$$ x = \sqrt[3]{\dfrac{y + 1}{2}} $$

Vertauschen Sie $x$ und $y$, um die Umkehrfunktion zu erhalten:
$$ f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $$

Überprüfung: Überprüfen Sie, ob die Punkte $(-1, 0)$ und $(-3, -1)$ auf $f^{-1}$ liegen:
$$ f^{-1} (-1) = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + 1}{2}} = 0 $$
$$ f^{-1} (-3) = \sqrt[3]{\dfrac{-3 + 1}{2}} = -1 $$
Beide Punkte passen perfekt.

Schritt 1: Bestimmung der Zuordnung von Definitions- und Wertebereich.
Gegeben ist eine quadratische Funktion mit eingeschränktem Definitionsbereich: $x \leq 2$. Schreiben wir die Funktion durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform um:
$$ f(x) = (x - 2)^2 + 1, \quad x \leq 2 $$

Der Scheitelpunkt liegt bei $(2, 1)$ und die Parabel ist nach oben geöffnet. Da der Definitionsbereich uns auf die linke Hälfte ($x \leq 2$) beschränkt, ist der Wertebereich von $f$ gegeben durch $y \geq 1$.
Daher gilt für $f^{-1}$:
Definitionsbereich von $f^{-1}$: $[1, \infty)$
Wertebereich von $f^{-1}$: $(-\infty, 2]$

Schritt 2: Als Gleichung schreiben und nach $x$ auflösen.
$$ y = (x - 2)^2 + 1 $$
$$ (x - 2)^2 = y - 1 $$

Das Ziehen der Quadratwurzel liefert zwei Lösungen:
$$ x - 2 = \pm \sqrt{y - 1} $$
$$ x = 2 + \sqrt{y - 1} \quad \text{oder} \quad x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Schritt 3: Den korrekten Zweig anhand der Wertebereich-Bedingung auswählen.
Da der Wertebereich der Umkehrfunktion $x \leq 2$ sein muss (aus dem ursprünglichen Definitionsbereich), müssen wir den negativen Zweig der Quadratwurzel wählen:
$$ x = 2 - \sqrt{y - 1} $$

Schritt 4: $x$ und $y$ vertauschen.
$$ f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1} $$
Endgültige Antwort: $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ mit Definitionsbereich $[1, \infty)$ und Wertebereich $(-\infty, 2]$.

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1) Grafische Lösung: Suchen Sie einige Punkte auf dem Graphen von $f(x)$. Eine mögliche Liste von Koordinaten $(a, b)$ ist:
$$ (1.5, 0), \quad (2, 1), \quad (6, 3) $$

Tauschen Sie die Koordinaten zu $(b, a)$ für den Graphen der Umkehrfunktion:
$$ (0, 1.5), \quad (1, 2), \quad (3, 6) $$

Zeichnen Sie diese Punkte ein, um $f^{-1}$ als Spiegelung an $y = x$ zu skizzieren.

2) Analytische Lösung:
Setup für Definitions-/Wertebereich: Aus dem Graphen (oder algebraisch $2x-3 \geq 0$) ergibt sich der Definitionsbereich von $f$ als $x \geq 1.5$ und der Wertebereich als $y \geq 0$. Daher ist der Definitionsbereich von $f^{-1}$ gegeben durch $x \geq 0$.

Als Gleichung schreiben:
$$ y = \sqrt{2x - 3} $$

Beide Seiten quadrieren und nach $x$ auflösen:
$$ y^2 = 2x - 3 $$
$$ 2x = y^2 + 3 $$
$$ x = \dfrac{y^2 + 3}{2} $$

Vertauschen Sie $x$ und $y$ und wenden Sie die Definitionsbereich-Bedingung an:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2}, \quad x \geq 0 $$

Skizzieren Sie den Graphen von $f^{-1}$ mithilfe des gegebenen Graphen von $y = f(x)$ und bestimmen Sie die Gleichung analytisch.

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1) Grafische Lösung: Extrahieren Sie die Eckpunkte aus der abschnittsweise definierten Funktion $f(x)$:
$$ (0 , 3) , \quad (2 , -1) , \quad (5 , -3) $$

Tauschen Sie die Koordinaten, um die Eckpunkte für $f^{-1}(x)$ zu finden:
$$ (3 , 0) , \quad (-1 , 2) , \quad (-3 , 5) $$

2) Analytische Bestimmung von $f^{-1}(x)$: Wir müssen die Gleichungen der beiden linearen Abschnitte für den Umkehrgraphen finden.

Abschnitt 1: Zwischen den $x$-Werten $-3$ und $-1$. Verläuft durch $(-3, 5)$ und $(-1, 2)$.
Steigung $m_1$:
$$ m_1 = \dfrac{5 - 2}{-3 - (-1)} = \dfrac{3}{-2} = -\dfrac{3}{2} $$
Gleichung (mithilfe der Punkt-Steigungs-Form mit $(-1,2)$):
$$ y - 2 = -\dfrac{3}{2}(x - (-1)) \Rightarrow y = -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 $$

Abschnitt 2: Zwischen den $x$-Werten $-1$ und $3$. Verläuft durch $(-1, 2)$ und $(3, 0)$.
Steigung $m_2$:
$$ m_2 = \dfrac{0 - 2}{3 - (-1)} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} $$
Gleichung (mithilfe der Punkt-Steigungs-Form mit $(3,0)$):
$$ y - 0 = -\dfrac{1}{2}(x - 3) \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) $$
(Hinweis: Dies ist algebraisch äquivalent zu $-\dfrac{1}{2}(x+1)+2$).

Fazit (Abschnittsweise definierte Umkehrfunktion):
$$ f^{-1}(x) = \begin{cases} -\dfrac{3}{2}(x + 1) + 2 & -3 \leq x \leq -1 \\ -\dfrac{1}{2}(x - 3) & -1 < x \leq 3 \end{cases} $$

Schritt 1: Definitions- und Wertebereich bestimmen.
$f(x)$ ist definiert, wenn der Radikand $\geq 0$ ist und der Nenner $\neq 0$ ist:
$$ \dfrac{2}{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{2 - x}{x} \geq 0 $$
Die Untersuchung der Vorzeichen an den kritischen Werten $x=0$ und $x=2$ ergibt den Definitionsbereich:
Definitionsbereich von $f$: $(0, 2]$

Da die Wurzel eine positive Zahl (oder Null) ergibt und mit einem negativen Vorzeichen multipliziert wird, ist der Wertebereich alle nicht-positiven Zahlen.
Wertebereich von $f$: $(-\infty, 0]$

Daher gilt für die Umkehrfunktion:
Definitionsbereich von $f^{-1}$: $(-\infty, 0]$
Wertebereich von $f^{-1}$: $(0, 2]$

Schritt 2: Skizzieren Sie den Graphen.
Punkte auf $f$: $(2 , 0)$ und $(1 , -1)$.
Punkte auf $f^{-1}$: $(0 , 2)$ und $(-1 , 1)$.

Schritt 3: $f^{-1}(x)$ analytisch finden.
$$ y = -\sqrt{\dfrac{2}{x} - 1} $$

Beide Seiten quadrieren (dies erfordert die Beachtung unseres Definitionsbereichs, um Scheinlösungen zu vermeiden):
$$ y^2 = \dfrac{2}{x} - 1 $$
$$ \dfrac{2}{x} = y^2 + 1 $$
$$ x = \dfrac{2}{y^2 + 1} $$

Vertauschen Sie $x$ und $y$ und geben Sie die erforderliche Definitionsbereichseinschränkung an:
$$ f^{-1}(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}, \quad x \leq 0 $$

Unten sind die Graphen von 6 Funktionen dargestellt. Skizzieren Sie den Graphen der Umkehrfunktion für jede Funktion.

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Lösung: Wählen Sie für jeden Graphen Punkte aus, deren Koordinaten leicht zu bestimmen sind. Verwenden Sie diese Punkte und das Prinzip der Spiegelung an der Gerade $y = x$, um die Umkehrfunktionen zu skizzieren.

Schritt 1: Definitions- und Wertebereich bestimmen.
Damit der Logarithmus definiert ist, muss das Argument positiv sein: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
Logarithmen können alle reellen Zahlen als Ergebnis liefern, also ist der Wertebereich uneingeschränkt.
Definitionsbereich von $f$: $(-2, \infty)$
Wertebereich von $f$: $(-\infty, \infty)$

Daher gilt für die Umkehrfunktion:
Definitionsbereich von $f^{-1}$: $(-\infty, \infty)$
Wertebereich von $f^{-1}$: $(-2, \infty)$

Schritt 2: Algebraisch lösen.
$$ y = \log_4(x + 2) - 5 $$
$$ \log_4(x + 2) = y + 5 $$

In die Exponentialform umwandeln:
$$ x + 2 = 4^{(y + 5)} $$
$$ x = 4^{(y + 5)} - 2 $$

Schritt 3: $x$ und $y$ vertauschen.
$$ f^{-1}(x) = 4^{(x + 5)} - 2 $$

Wenn $f(x) = \ln(x) + 4x - 8$ ist, welchen Wert hat $f^{-1}(-4)$?

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Lösung: Wir müssen nicht die vollständige Gleichung der Umkehrfunktion finden. Sei $a = f^{-1}(-4)$. Unter Verwendung der Verkettungseigenschaft von Umkehrfunktionen, $f(f^{-1}(x)) = x$, wissen wir, dass:
$$ f(a) = f(f^{-1}(-4)) = -4 $$

Wir müssen ein $a$ finden, sodass $f(a) = -4$ gilt:
$$ \ln(a) + 4a - 8 = -4 $$
$$ \ln(a) = 4 - 4a $$

Diese transzendente Gleichung kann nicht rein algebraisch gelöst werden, aber ihre Lösung kann grafisch als $x$-Koordinate des Schnittpunkts von $y = \ln(x)$ und $y = 4 - 4x$ angenähert werden.

Der Schnittpunkt liegt exakt bei $a = 1$. Wir können dies algebraisch überprüfen:
$$ \ln(1) = 4 - 4(1) \Rightarrow 0 = 0 $$

Endgültige Antwort:
$$ f^{-1}(-4) = 1 $$