Erkunden Sie Schlüsselkonzepte von Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen mit klaren, schrittweisen Lösungen. Lernen Sie, Gleichungen mit Logarithmen und Exponenten zu lösen, die Basiswechselformel anzuwenden, logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen und Achsenabschnitte von logarithmischen Graphen zu finden. Diese Beispiele decken wesentliche Fähigkeiten für Algebra, Analysis und reale wissenschaftliche und technische Probleme ab.
Schreiben Sie die Gleichung um als: \[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 \] Führt zu \[ 2x + 1 = 0 \] Lösen Sie nach \( x \): \[ x = -\dfrac{1}{2} \]
Lösen Sie \[ x y^m = y x^3 \] nach \( m \).
Teilen Sie alle Terme in der gegebenen Gleichung durch \( x y \): \[ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} \] und vereinfachen Sie: \[ y^{m - 1} = x^2 \]
Ziehen Sie den \(\ln\) von beiden Seiten: \[ \ln(y^{m - 1}) = \ln (x^2) \] und vereinfachen Sie: \[ (m - 1) \ln y = 2 \ln x \]
Lösen Sie nach \( m \): \[ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} \]
Gegeben: \[ \log_8(5) = b \] . Drücken Sie \( \log_4(10) \) durch \( b \) aus.
Verwenden Sie die Logarithmusregel für Produkte, um zu schreiben: \[ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) \] Vereinfachen Sie: \[ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} \] Verwenden Sie die Basiswechselformel, um zu schreiben: \[ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} = \dfrac{b}{2/3}, \quad \text{da } \log_8(4) = \dfrac{2}{3} \] Vereinfachen Sie, um zu erhalten: \[ \log_4(10) = \log_4(2) + \log_4(5) = \dfrac{1 + 3b}{2} \]
Vereinfachen Sie ohne Taschenrechner: \[ \log_{6}(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)} \]
\[ \log_6(216) + \dfrac{\log(42) - \log(6)}{\log(49)} \]
\[ = \log_6(6^3) + \dfrac{\log(42/6)}{\log(7^2)} \]
\[ = 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} \]
Vereinfachen Sie ohne Taschenrechner: \[ \left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3} \]
Berechnen Sie den Ausdruck:
\[ \left( \dfrac{3^{-1} - 9^{-1}}{6} \right)^{1/3} \]
\[ = \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{\dfrac{6}{27}}{6} \right)^{1/3} \]
\[ = \left( {\dfrac{1}{27}} \right)^{1/3} = \left( {\dfrac{1}{3^3}} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} \]
Drücken Sie \((\log_{x} a)(\log_{a} b)\) als einen einzigen Logarithmus aus.
Verwenden Sie die Basiswechselformel: \((\log_x a)(\log_a b)\) um zu schreiben: \[ (\log_x a)(\log_a b) = \log_x a \left(\dfrac{\log_x b}{\log_x a}\right) = \log_x b \]
Finden Sie \( a \) so, dass der Graph von \( y = \log_{a} x \) durch den Punkt \( (e, 2) \) verläuft.
Punkt \( (e, 2) \) liegt auf dem Graphen von \( y \), daher gilt: \[ 2 = \log_a e \] Schreiben Sie in Exponentialform um: \[ a^{2} = e \]
Ziehen Sie den \( \ln \) von beiden Seiten: \[ \ln(a^{2}) = \ln e \] Vereinfachen Sie mit den Formeln: \( \ln(a^{2}) = 2 \ln a \) und \( \ln e = 1 \): \[ 2 \ln a = 1 \] \[ \ln a = \dfrac{1}{2} \] Schreiben Sie in Exponentialform um: \[ a = e^\left({\dfrac{1}{2}} \right) = \sqrt{e} \]
Finden Sie die Konstante \( A \), so dass \[ \log_{3} x = A \log_{5} x \] für alle \( x > 0 \) gilt.
Verwenden Sie die Basiswechselformel mit natürlichen Logarithmen, um die gegebene Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ \dfrac{\ln(x)}{\ln(3)} = A \dfrac{\ln(x)}{\ln(5)} \]
Lösen Sie nach \( A \): \[ A = \dfrac{\ln(5)}{\ln(3)} \]
Lösen Sie die Gleichung nach \( x \): \[ \log \left( \log \left( 2 + \log_2 (x + 1) \right) \right) = 0 \]
Schreiben Sie die gegebene Gleichung um als: \[ \log \bigl( \log (2 + \log_{2}(x + 1)) \bigr) = \log(1), \] da \(\log(1) = 0\).
\[ \log (2 + \log_{2}(x + 1)) = 1 \]
Schreiben Sie in Exponentialform um: \[ 2 + \log_{2}(x + 1) = 10 \]
Schreiben Sie den Term mit dem \( \log \) auf eine Seite: \[ \log_{2}(x + 1) = 8 \]
Schreiben Sie in Exponentialform: \[ x + 1 = 2^{8} \]
Lösen Sie nach \( x \): \[ x = 2^{8} - 1 = 255 \]
Lösen Sie die Gleichung nach \( x \): \[ 2 x \cdot b^{4 \log_b x} = 486 \]
Beachten Sie: \[ b^{4 \log_b x} = (b^{\log_b x})^4 = x^4 \]
Daher kann die gegebene Gleichung geschrieben werden als: \[ 2x \cdot x^4 = 486 \]
was vereinfacht wird zu: \[ x^5 = 243 \]
und dann: \[ x = 243^{\dfrac{1}{5}} = 3 \]
Lösen Sie die Gleichung nach \( x \): \[ \ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = 2 \ln(x + 1) \]
Verwenden Sie die Potenzformel, um die rechte Seite der gegebenen Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ 2 \ln(x + 1) = \ln((x + 1)^2) \]
Verwenden Sie die Produktregel, um die linke Seite zu schreiben als: \[ \ln(x - 1) + \ln(2x - 1) = \ln ((x - 1)(2x - 1)) \]
Schreiben Sie die gegebene Gleichung um als: \[ \ln ((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) \] was zur algebraischen Gleichung führt: \[ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 \]
Expandieren, vereinfachen und die Gleichung in Standardform schreiben: \[ x^2 - 5 x = 0 \] Lösen Sie nach \( x \), um zwei Lösungen zu erhalten: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 5 \]
Überprüfung der Lösungen: \(x = 0 \) liegt NICHT im Definitionsbereich der linken Seite der Gleichung und ist daher keine Lösung der gegebenen Gleichung.
\( x = 5 \) ist eine Lösung der gegebenen Gleichung. (Überprüfen Sie dies als Übung.)
Finden Sie den \( x \)-Achsenabschnitt des Graphen von \[ y = 2 \log\left(\sqrt{x - 1} - 2\right) \]
Der \( x \)-Achsenabschnitt wird gefunden, indem die Gleichung gelöst wird: \[ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) \]
Teilen Sie beide Seiten durch 2: \[ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 \]
Schreiben Sie in Exponentialform um: \[ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 \]
Schreiben Sie die obige Gleichung um als: \[ \sqrt{x - 1} = 3 \]
Erheben Sie beide Seiten in die Potenz 2: \[ (x - 1) = 3^2 \] Lösen Sie nach \( x \): \[ x = 10 \]
Hinweis: Überprüfen Sie, dass \( x = 10 \) im Definitionsbereich der Funktion liegt.
Lösen Sie die Gleichung nach \( x \): \[ 9^x - 3^x - 8 = 0 \]
Gegeben: \[ 9^x - 3^x - 8 = 0 \] Beachten Sie, dass: \[ 9^x = (3^x)^2 \]
Die Gleichung kann geschrieben werden als: \[ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 \]
Setzen Sie \( y = 3^x \) und schreiben Sie die Gleichung in Bezug auf \( y\) um als: \[ y^2 - y - 8 = 0 \]
Lösen Sie nach \( y \), um zwei Lösungen zu erhalten: \[ \quad y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{und} \quad y = \dfrac{1 - \sqrt{33}}{2} \]
Da \( y = 3^x \) (positiv), ist die einzig akzeptable Lösung: \[ y = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]
Ersetzen Sie \( y \) durch \( 3^x \), um die Gleichung zu erhalten: \[ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \]
Ziehen Sie den \( \ln \) von beiden Seiten: \[ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) \]
Vereinfachen und lösen: \[ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } \]
Lösen Sie die Gleichung nach \( x \): \[ 4^{x - 2} = 3^{x + 4} \]
Gegeben: \[ \quad 4^{x - 2} = 3^{x + 4} \] Ziehen Sie \(\ln\) von beiden Seiten: \[ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) \] Vereinfachen Sie: \[ (x - 2)\ln 4 = (x + 4)\ln 3 \] Expandieren: \[ x \ln 4 - 2 \ln 4 = x \ln 3 + 4 \ln 3 \] Gruppieren Sie gleiche Terme: \[ x \ln 4 - x \ln 3 = 4 \ln 3 + 2 \ln 4 \] Lösen Sie nach \(x\): \[ x = \dfrac{4 \ln 3 + 2 \ln 4}{\ln 4 - \ln 3} = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 4^2\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \]
\[ = \dfrac{\ln\left(3^4 \cdot 2^4\right)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} = \dfrac{4 \ln 6}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} \]
Wenn \(\log_{x}\left(\dfrac{1}{8}\right) = -\dfrac{3}{4}\) ist, was ist dann \(x\)?
Schreiben Sie die gegebene Gleichung in Exponentialform um: \[ x^{-\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{8} \]
Erheben Sie beide Seiten der obigen Gleichung in die Potenz \(-\dfrac{4}{3}\): \[\left(x^{-\dfrac{3}{4}}\right)^{-\dfrac{4}{3}} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\dfrac{4}{3}}\]
Vereinfachen und lösen Sie nach \( x \): \[ x = 8^{\left(\dfrac{4}{3}\right)} = 2^{4} = 16 \]