Logarithmus- und Exponentialgleichungen mit Antworten und Lösungen - 12. Klasse

Schritt 1: Schreiben Sie die Gleichung so um, dass beide Seiten die gleiche Basis haben. Wir wissen, dass jede Zahl (außer null) hoch $0$ gleich $1$ ist:
$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 $$

Schritt 2: Setzen Sie die Exponenten gleich:
$$ 2x + 1 = 0 $$

Schritt 3: Lösen Sie nach $x$ auf:
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$

Endgültige Antwort: $x = -\dfrac{1}{2}$

Schritt 1: Teilen Sie alle Terme in der gegebenen Gleichung durch $x y$ (unter der Annahme $x \neq 0$ und $y \neq 0$):
$$ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} $$

Schritt 2: Vereinfachen Sie die Exponenten mithilfe der Quotientenregel:
$$ y^{m - 1} = x^2 $$

Schritt 3: Wenden Sie den natürlichen Logarithmus ($\ln$) auf beide Seiten an, um den Exponenten, der $m$ enthält, zu isolieren:
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$

Schritt 4: Wenden Sie die Potenzregel für Logarithmen an ($ \ln(A^n) = n \ln A $):
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$

Schritt 5: Lösen Sie nach $m$ auf (unter der Annahme $\ln y \neq 0$, was bedeutet $y \neq 1$):
$$ m - 1 = \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$

Schritt 1: Verwenden Sie die Produktregel für Logarithmen, um $\log_4(10)$ zu zerlegen:
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$

Schritt 2: Vereinfachen Sie den ersten Term:
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} $$

Schritt 3: Verwenden Sie die Basiswechsel-Formel für den zweiten Term, um ihn mit der gegebenen Basis 8 zu verbinden:
$$ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$

Schritt 4: Setzen Sie den bekannten Wert $b$ ein und vereinfachen Sie $\log_8(4)$:
Wir wissen, dass $\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$ ist (weil $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$).
$$ \log_4(5) = \dfrac{b}{2/3} = \dfrac{3b}{2} $$

Schritt 5: Kombinieren Sie die Teile:
$$ \log_4(10) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3b}{2} = \dfrac{1 + 3b}{2} $$

Schritt 1: Vereinfachen Sie den ersten Term, indem Sie erkennen, dass $216 = 6^3$ ist:
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$

Schritt 2: Verwenden Sie die Quotientenregel für Logarithmen, um den Zähler des Bruchs zu vereinfachen:
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\dfrac{42}{6}\right) = \log(7) $$

Schritt 3: Schreiben Sie den Nenner mithilfe von Exponenten um:
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$

Schritt 4: Kombinieren Sie alles im ursprünglichen Ausdruck:
$$ 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} $$

Schritt 5: Kürzen Sie $\log(7)$ und berechnen Sie das Endergebnis:
$$ 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5 $$

Schritt 1: Wandeln Sie die negativen Exponenten innerhalb der Klammer in Brüche um:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$

Schritt 2: Suchen Sie einen Hauptnenner, um die Brüche im Zähler zu subtrahieren:
$$ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} $$

Schritt 3: Setzen Sie dies wieder ein und vereinfachen Sie den Doppelbruch:
$$ \left( \dfrac{\dfrac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{54} \right)^{1/3} $$

Schritt 4: Kürzen Sie den Bruch und wenden Sie die dritte Wurzel an (Potenz $1/3$):
$$ \left( \dfrac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} $$

Schritt 1: Verwenden Sie die Basiswechsel-Formel für den zweiten Term, um ihn mit der Basis $x$ zu schreiben:
$$ \log_a b = \dfrac{\log_x b}{\log_x a} $$

Schritt 2: Setzen Sie dies wieder in den ursprünglichen Ausdruck ein:
$$ (\log_x a) \left( \dfrac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$

Schritt 3: Kürzen Sie den gemeinsamen Term $\log_x a$ (unter der Annahme $a \neq 1, x \neq 1$):
$$ \log_x b $$

Schritt 1: Setzen Sie die Koordinaten $(x=e, y=2)$ in die Gleichung ein:
$$ 2 = \log_a e $$

Schritt 2: Schreiben Sie die Logarithmusgleichung in ihre Exponentialform um:
$$ a^2 = e $$

Schritt 3: Isolieren Sie $a$. Ziehen Sie die Quadratwurzel (da Logarithmusbasen positiv sein müssen, behalten wir nur die positive Wurzel):
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

Schritt 1: Verwenden Sie die Basiswechsel-Formel (Umwandlung beider in natürliche Logarithmen), um die Gleichung umzuschreiben:
$$ \dfrac{\ln x}{\ln 3} = A \dfrac{\ln x}{\ln 5} $$

Schritt 2: Da $x > 0$ ist und wir $x \neq 1$ annehmen, um eine allgemeine Identität zu lösen, gilt $\ln x \neq 0$. Teilen Sie beide Seiten durch $\ln x$:
$$ \dfrac{1}{\ln 3} = \dfrac{A}{\ln 5} $$

Schritt 3: Multiplizieren Sie beide Seiten mit $\ln 5$, um nach $A$ aufzulösen:
$$ A = \dfrac{\ln 5}{\ln 3} $$

Schritt 1: Beginnen Sie mit dem äußersten Logarithmus (Basis 10) und schreiben Sie ihn in die Exponentialform um:
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$

Schritt 2: Tun Sie dasselbe für den nächsten Logarithmus (Basis 10):
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$

Schritt 3: Isolieren Sie den verbleibenden Logarithmusterm:
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$

Schritt 4: Schreiben Sie ihn in die Exponentialform (Basis 2) um:
$$ x + 1 = 2^8 $$

Schritt 5: Lösen Sie nach $x$ auf:
$$ x = 256 - 1 = 255 $$

Probe: Setzt man 255 wieder ein, ergeben sich für alle Logarithmen positive Argumente, also ist die Lösung gültig.

Schritt 1: Konzentrieren Sie sich darauf, den Exponentialterm zu vereinfachen. Wenden Sie die Potenz einer Potenzregel rückwärts an: $a^{bc} = (a^b)^c$.
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$

Schritt 2: Verwenden Sie die Umkehreigenschaft $b^{\log_b x} = x$ zum Vereinfachen:
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$

Schritt 3: Setzen Sie dies wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$

Schritt 4: Vereinfachen Sie und lösen Sie nach $x$ auf:
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
Alle Argumente von Logarithmen müssen streng positiv sein:
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0.5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
Die Schnittmenge dieser Bedingungen ist $x > 1$. Daher ist der Definitionsbereich $(1, \infty)$.

Schritt 2: Verwenden Sie die Potenz- und Produktregeln für Logarithmen, um beide Seiten zusammenzufassen:
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$

Schritt 3: Da der natürliche Logarithmus injektiv ist, können wir die Logarithmen weglassen und die Argumente gleichsetzen:
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$

Schritt 4: Multiplizieren Sie beide Seiten aus:
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$

Schritt 5: Fassen Sie die Terme zusammen und lösen Sie die quadratische Gleichung:
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
Lösungen: $x = 0$ und $x = 5$.

Schritt 6: Mit dem Definitionsbereich abgleichen.
$x = 0$ ist nicht größer als 1, es erzeugt also negative Argumente (Scheinlösung). Nur $x = 5$ fällt in den Definitionsbereich.
Endgültige Antwort: $x = 5$

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen.
Unter der Quadratwurzel: $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
Innerhalb des Logarithmus: $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
Der Definitionsbereich ist $x > 5$.

Schritt 2: Der $x$-Achsenabschnitt tritt auf, wenn $y = 0$ ist:
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$

Schritt 3: Teilen Sie durch 2 und schreiben Sie in die Exponentialform (Basis 10) um:
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$

Schritt 4: Isolieren Sie die Quadratwurzel und lösen Sie nach $x$ auf:
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$

Schritt 5: Überprüfen.
$x = 10$ ist strikt größer als 5, liegt also im Definitionsbereich.
Endgültige Antwort: Der $x$-Achsenabschnitt liegt bei $(10, 0)$.

Schritt 1: Erkennen Sie, dass dies eine versteckte quadratische Gleichung ist. Schreiben Sie $9^x$ in Abhängigkeit von der Basis 3 um:
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
Somit wird die Gleichung zu:
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$

Schritt 2: Sei $y = 3^x$ und schreiben Sie die Gleichung um:
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$

Schritt 3: Lösen Sie nach $y$ mit der Mitternachtsformel auf ($a=1, b=-1, c=-8$):
$$ y = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

Schritt 4: Substituieren Sie $y = 3^x$ zurück. Da eine Exponentialfunktion $3^x$ streng positiv sein muss, müssen wir die negative Wurzel $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$ verwerfen.
$$ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} $$

Schritt 5: Wenden Sie den natürlichen Logarithmus ($\ln$) auf beide Seiten an, um nach $x$ aufzulösen:
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$

Schritt 1: Wenden Sie den natürlichen Logarithmus ($\ln$) auf beide Seiten an:
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$

Schritt 2: Bringen Sie die Exponenten mit der Potenzregel nach vorne:
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$

Schritt 3: Multiplizieren Sie beide Seiten aus:
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$

Schritt 4: Gruppieren Sie die Terme mit $x$ auf einer Seite und die Konstanten auf der anderen:
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$

Schritt 5: Klammern Sie $x$ aus und lösen Sie auf:
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \dfrac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$

Schritt 6 (Optional): Fassen Sie den Logarithmus für ein aufgeräumteres Endergebnis zusammen:
Zähler: $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. Hinweis: $1296 = 6^4$, also ist dies $4\ln(6)$.
Nenner: $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
$$ x = \dfrac{4 \ln(6)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} $$

Schritt 1: Schreiben Sie die Logarithmusgleichung in die Exponentialform um:
$$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{8} $$

Schritt 2: Um $x$ zu isolieren, potenzieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert, $-\dfrac{4}{3}$:
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$

Schritt 3: Vereinfachen Sie die rechte Seite. Der negative Exponent kehrt den Bruch um:
$$ x = 8^{4/3} $$

Schritt 4: Berechnen Sie $8^{4/3}$ (zuerst dritte Wurzel, dann 4. Potenz):
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$

Endgültige Antwort: $x = 16$