Geben Sie vier verschiedene Gründe an, warum der unten stehende Graph unmöglich der Graph der Polynomfunktion \( p(x) = x^4-x^2+1 \) sein kann.
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Lösung
Die vier Gründe sind:
1) Die gegebene Polynomfunktion ist gerade und daher muss ihr Graph symmetrisch zur y-Achse sein. Der gegebene Graph ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
2) Die gegebene Polynomfunktion hat keine realen Nullstellen (Diskriminante = -3: negativ). Der gegebene Graph hat x-Intercepte, die realen Nullen entsprechen müssen.
3) Der y-Intercept, der mit \( p(x)( p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \) berechnet wird, ist positiv. Der y-Intercept des Graphen ist negativ.
4) Mit einem positiven Leitkoeffizienten ( = 1) und einem geraden Grad ( = 4) muss das Polynom einen Graphen haben, der auf der rechten und linken Seite ansteigt. Im gegebenen Graphen fallen sie beide.
Ordnen Sie die Polynomfunktionen ihren Graphen zu, auf denen alle x-Intercepte gezeigt sind.
$$f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2$$
$$g(x) = -(x+1)(x-1)^4$$
$$h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3)$$
$$i(x) = (x+1)^2(x-2)^3$$
$$j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2$$
$$k(x) =-(x+1)^2(x-1)^2(x-3)$$
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Lösung
Gemäß ihren Gleichungen sind alle 6 gegebenen Polynomfunktionen vom Grad 5. Ihre Leitkoeffizienten sind jedoch unterschiedlich. Wir klassifizieren die 6 Polynome in 2 Gruppen: I und II
Gruppe I - Gegebene Polynome mit positiven Leitkoeffizienten
f(x) = (x + 1)(x - 1)2(x + 2)2
h(x) = (x + 1)(x - 1)3(x - 3)
i(x) = (x + 1)2(x - 2)3
Mit Grad 5 (ungerade) und positiven Leitkoeffizienten hat jeder der Graphen der oben genannten Polynome (f, h und i) die folgenden graphischen Eigenschaften:
Wenn x ____> ∞ , y ____> ∞ (der rechte Teil der Graphen steigt)
Wenn x ____> - ∞ y , ____> - ∞ (der linke Teil des Graphen fällt)
Die gegebenen Graphen in den Teilen a) c) und e) haben die obigen Eigenschaften mit unterschiedlichen x-Intercepten und ihren Multiplizitäten. Daher
Polynom f(x) = (x + 1)(x - 1)2(x + 2)2 hat eine Null der Vielfachheit 1 bei x = -1 , eine Null der Vielfachheit 2 bei x = 1 und eine Null der Vielfachheit 2 bei x = - 2 und sollte dem Graphen in Teil e) entsprechen.
Polynom h(x) = (x + 1)(x - 1)3(x - 3) hat eine Null der Vielfachheit 1 bei x = -1 , eine Null der Vielfachheit 3 bei x = 1 und eine Null der Vielfachheit 1 bei x = 3 und sollte dem Graphen in Teil a) entsprechen.
Polynom i(x) = (x + 1)2(x - 2)3 hat eine Null der Vielfachheit 2 bei x = -1 und eine Null der Vielfachheit 3 bei x = 2 und sollte dem Graphen in Teil c) entsprechen.
Gruppe II - Gegebene Polynome mit negativen Leitkoeffizienten
Die Polynomfunktionen g, j und k haben bei Ausdehnung Leitkoeffizienten, die negativ sind.
g(x) = - (x + 1)(x - 1)4
j(x) = (x + 1)2(1 - x)(x - 2)2
k(x) = - (x + 1)2(x - 1)2(x - 3)
Mit Grad 5 (ungerade) und negativen Leitkoeffizienten hat jeder der Graphen der oben genannten Polynome (g, j und k) die folgenden graphischen Eigenschaften:
Wenn x ____> ∞ , y ____> - ∞ (der rechte Teil der Graphen fällt)
Wenn x ____> - ∞ y , ____> ∞ (der linke Teil des Graphen steigt)
Die gegebenen Graphen in den Teilen b) d) und f) haben die obigen Eigenschaften mit unterschiedlichen x-Intercepten und ihren Multiplizitäten. Daher
Polynom g(x) = - (x + 1)(x - 1)4 hat eine Null der Vielfachheit 1 bei x = -1 , eine Null der Vielfachheit 4 bei x = 1 und sollte dem Graphen in Teil f) entsprechen.
Polynom j(x) = (x + 1)2(1 - x)(x - 2)2 hat eine Null der Vielfachheit 2 bei x = -1 , eine Null der Vielfachheit 1 bei x = 1 und eine Null der Vielfachheit 2 bei x = 2 und sollte dem Graphen in Teil d) entsprechen.
Polynom k(x) = - (x + 1)2(x - 1)2(x - 3) hat eine Null der Vielfachheit 2 bei x = -1 , eine Null der Vielfachheit 2 bei x = 1 und eine Null der Vielfachheit 1 bei x = 3 und sollte dem Graphen in Teil b) entsprechen.
