Fragen zu Polynomgraphen mit Lösungen

Wie man die Eigenschaften von Polynomgraphen nutzt, um Polynome zu identifizieren. Mathematik-Fragen der 12. Klasse mit detaillierten Lösungen und grafischen Interpretationen werden vorgestellt.

Frage 1

Nennen Sie vier verschiedene Gründe, warum der untenstehende Graph unmöglich der Graph der Polynomfunktion \( p(x) = x^4-x^2+1 \) sein kann. Graph des Polynoms in Frage 1

Lösung

Die vier Gründe sind:

  1. ) Die gegebene Polynomfunktion ist gerade und daher muss ihr Graph symmetrisch zur y-Achse sein. Der gegebene Graph ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
  2. ) Die gegebene Polynomfunktion hat keine reellen Nullstellen (Diskriminante = -3 : negativ). Der gegebene Graph hat x-Achsenabschnitte, die reellen Nullstellen entsprechen müssen.
  3. ) Der y-Achsenabschnitt, berechnet mit \(p(x)\), ist: \( p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \) und ist positiv. Der y-Achsenabschnitt des Graphen ist negativ.
  4. ) Mit einem positiven Leitkoeffizienten (= 1) und einem geraden Grad (= 4) muss der Graph des Polynoms rechts und links steigen. Im gegebenen Graphen fallen beide Seiten.

Frage 2

Ordnen Sie die Polynomfunktionen ihren Graphen zu, wobei alle x-Achsenabschnitte gezeigt sind. \[ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 \] \[ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 \] \[ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3)\] \[ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3\] \[ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2\] \[ k(x) =-(x+1)^2(x-1)^2(x-3)\] Graph der Polynome in Frage 2

Lösung

Laut ihren Gleichungen sind alle 6 gegebenen Polynomfunktionen vom Grad 5. Ihre Leitkoeffizienten haben jedoch unterschiedliche Vorzeichen. Wir klassifizieren die 6 Polynome in zwei Gruppen: I und II:

Gruppe I - Gegebene Polynome mit positiven Leitkoeffizienten \[ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 \] \[ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) \] \[ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 \]

Mit Grad 5 (ungerade) und positiven Leitkoeffizienten hat jeder der Graphen der obigen Polynome \( f, h \) und \( i \) die folgenden grafischen Eigenschaften:

Wenn \( x \to \infty \), dann \( y \to \infty \) (die rechte Seite des Graphen steigt).

Wenn \( x \to -\infty \), dann \( y \to -\infty \) (die linke Seite des Graphen fällt).

Die gegebenen Graphen in Teilen a), c) und e) haben die obigen Eigenschaften mit unterschiedlichen x-Achsenabschnitten und deren Vielfachheiten. Daher:

1 - Polynom \( f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 1 \), und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = -2 \), und sollte dem Graphen in Teil e) entsprechen.

2 - Polynom \( h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 3 bei \( x = 1 \), und eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = 3 \), und sollte dem Graphen in Teil a) entsprechen.

3 - Polynom \( i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = -1 \) und eine Nullstelle der Vielfachheit 3 bei \( x = 2 \), und sollte dem Graphen in Teil c) entsprechen.

Gruppe II - Gegebene Polynome mit negativen Leitkoeffizienten

Die Polynomfunktionen \( g \), \( j \) und \( k \) haben, wenn sie ausmultipliziert werden, negative Leitkoeffizienten. \[ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 \] \[ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 \] \[ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) \]

Mit Grad 5 (ungerade) und negativen Leitkoeffizienten hat jeder der Graphen der Polynome \( g \), \( j \) und \( k \) die folgenden grafischen Eigenschaften: \[ \text{Wenn } x \to \infty, \quad y \to -\infty \quad \text{(die rechte Seite des Graphen fällt)} \] \[ \text{Wenn } x \to -\infty, \quad y \to \infty \quad \text{(die linke Seite des Graphen steigt)} \]

Die gegebenen Graphen in Teilen \( b \), \( d \) und \( f \) zeigen die obigen Endverhaltenseigenschaften, unterscheiden sich jedoch in den x-Achsenabschnitten und deren Vielfachheiten. Daher:

1 - Polynom \( g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 4 bei \( x = 1 \), und sollte dem Graphen in Teil f) entsprechen.

2 - Polynom \( j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = 1 \), und eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 2 \), und sollte dem Graphen in Teil d) entsprechen.

3 - Polynom \( k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) \) hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = -1 \), eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei \( x = 1 \), und eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei \( x = 3 \), und sollte dem Graphen in Teil b) entsprechen.

Referenzen und Links