Fragen: Polynome zuordnen und identifizieren
Frage 1: Falsche Graphen ausschließen
Nennen Sie vier verschiedene Gründe, warum der untenstehende Graph unmöglich der Graph der Polynomfunktion $$ p(x) = x^4-x^2+1 $$ sein kann.
Lösung: Die vier Gründe sind:
- Symmetrie: Die gegebene Polynomfunktion $p(x) = x^4-x^2+1$ enthält nur gerade Potenzen und ist daher eine gerade Funktion. Folglich muss ihr Graph symmetrisch zur y-Achse sein. Der gegebene Graph ist nicht symmetrisch zur y-Achse.
- Reelle Nullstellen: Das Polynom $p(x)$ kann durch die Substitution $u = x^2$ analysiert werden. Die Diskriminante von $u^2 - u + 1$ ist $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = -3$. Da die Diskriminante negativ ist, hat das Polynom keine reellen Nullstellen. Der gegebene Graph hat jedoch offensichtlich x-Achsenabschnitte.
- y-Achsenabschnitt: Der y-Achsenabschnitt wird durch Auswertung von $p(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1$ berechnet, was positiv ist. Der y-Achsenabschnitt des gegebenen Graphen ist offensichtlich negativ.
- Randverhalten: Mit einem positiven Leitkoeffizienten ($a = 1$) und einem geraden Grad ($n = 4$) muss das Polynom einen Graphen haben, bei dem sowohl die linke als auch die rechte Seite ansteigen ($y \to \infty$). Im gegebenen Graphen fallen jedoch beide Seiten.
Frage 2: Gleichungen komplexen Graphen zuordnen
Ordnen Sie die Polynomfunktionen ihren Graphen zu, bei denen alle x-Achsenabschnitte gezeigt werden.
$$ f(x) = (x+1)(x-1)^2(x+2)^2 $$
$$ g(x) = -(x+1)(x-1)^4 $$
$$ h(x) = (x+1)(x-1)^3(x-3) $$
$$ i(x) = (x+1)^2(x-2)^3 $$
$$ j(x) = (x+1)^2(1-x)(x-2)^2 $$
$$ k(x) = -(x+1)^2(x-1)^2(x-3) $$
Lösung:
Ihren Gleichungen zufolge haben alle 6 gegebenen Polynomfunktionen den Grad 5 (Summe der Exponenten der Faktoren). Ihre Leitkoeffizienten haben jedoch unterschiedliche Vorzeichen. Wir teilen die Polynome in zwei Gruppen ein:
Gruppe I: Positive Leitkoeffizienten
Die Polynome $f$, $h$ und $i$ haben positive Leitkoeffizienten.
$$ f(x) = (x + 1)(x - 1)^2(x + 2)^2 $$
$$ h(x) = (x + 1)(x - 1)^3(x - 3) $$
$$ i(x) = (x + 1)^2(x - 2)^3 $$
Da sie den Grad 5 (ungerade) und positive Leitkoeffizienten haben, weisen diese Graphen folgendes Randverhalten auf:
Für $x \to \infty$, $y \to \infty$ (rechte Seite steigt).
Für $x \to -\infty$, $y \to -\infty$ (linke Seite fällt).
Die gegebenen Graphen in den Teilen a), c) und e) entsprechen diesem Randverhalten. Wir ordnen sie anhand ihrer Nullstellen und Vielfachheiten zu:
- Polynom $f(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei $x = -1$ (schneidet), Vielfachheit 2 bei $x = 1$ (berührt) und Vielfachheit 2 bei $x = -2$ (berührt). Dies entspricht Graph e).
- Polynom $h(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei $x = -1$ (schneidet), Vielfachheit 3 bei $x = 1$ (schneidet und flacht ab) und Vielfachheit 1 bei $x = 3$ (schneidet). Dies entspricht Graph a).
- Polynom $i(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei $x = -1$ (berührt) und Vielfachheit 3 bei $x = 2$ (schneidet und flacht ab). Dies entspricht Graph c).
Gruppe II: Negative Leitkoeffizienten
Die Polynome $g$, $j$ und $k$ haben ausmultipliziert negative Leitkoeffizienten (Hinweis: Bei $j(x)$ erzeugt der Term $(1-x)$ den negativen Koeffizienten).
$$ g(x) = - (x + 1)(x - 1)^4 $$
$$ j(x) = (x + 1)^2(1 - x)(x - 2)^2 $$
$$ k(x) = - (x + 1)^2(x - 1)^2(x - 3) $$
Da sie den Grad 5 (ungerade) und negative Leitkoeffizienten haben, weisen diese Graphen folgendes Randverhalten auf:
Für $x \to \infty$, $y \to -\infty$ (rechte Seite fällt).
Für $x \to -\infty$, $y \to \infty$ (linke Seite steigt).
Die gegebenen Graphen in den Teilen b), d) und f) entsprechen diesem Verhalten. Wir ordnen sie anhand ihrer Nullstellen zu:
- Polynom $g(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 1 bei $x = -1$ (schneidet), Vielfachheit 4 bei $x = 1$ (berührt). Dies entspricht Graph f).
- Polynom $j(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei $x = -1$ (berührt), Vielfachheit 1 bei $x = 1$ (schneidet) und Vielfachheit 2 bei $x = 2$ (berührt). Dies entspricht Graph d).
- Polynom $k(x)$ hat eine Nullstelle der Vielfachheit 2 bei $x = -1$ (berührt), Vielfachheit 2 bei $x = 1$ (berührt) und Vielfachheit 1 bei $x = 3$ (schneidet). Dies entspricht Graph b).
Herausforderungsfragen für zusätzliche Übung
Testen Sie Ihr Verständnis von Randverhalten, Vielfachheiten und dem Zeichnen von Polynomen:
- Herausforderung 1: Ein Polynom 4. Grades hat eine doppelte Nullstelle bei $x=2$, eine einfache Nullstelle bei $x=-1$ und eine einfache Nullstelle bei $x=4$. Sein y-Achsenabschnitt liegt bei $(0, 16)$. Schreiben Sie die Gleichung des Polynoms in faktorisierter Form.
- Herausforderung 2: Bestimmen Sie das Randverhalten des Polynoms $P(x) = -3x^2(x-4)^3(2x+1)^2$. (Tipp: Was sind der Grad und der Leitkoeffizient?)
- Herausforderung 3: Wahr oder Falsch: Wenn ein Polynomgraph die x-Achse bei $x=c$ schneidet, ohne abzuflachen, muss der Faktor $(x-c)$ genau die Vielfachheit 1 haben.
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- Antwort 1: $P(x) = -1(x-2)^2(x+1)(x-4)$. (Der Koeffizient $a=-1$ wird berechnet, indem man $P(0) = a(-2)^2(1)(-4) = -16a = 16$ setzt).
- Antwort 2: Der Grad ist $2 + 3 + 2 = 7$ (ungerade). Der Leitkoeffizient ist negativ ($-3 \times 1^3 \times 2^2 = -12$). Daher gilt: Für $x \to -\infty$, $y \to \infty$; und für $x \to \infty$, $y \to -\infty$.
- Antwort 3: Wahr. Eine Vielfachheit von 3 oder höher (ungerade) schneidet die Achse, flacht aber an der Nullstelle merklich ab (Wendepunkt).