Wie löst man ein Leistungsproblem mit verschiedenen Pumpengrößen?

Definieren Sie eine Leistung für jeden Pumpentyp (z. B. $R$ für groß, $r$ für klein). Stellen Sie ein Gleichungssystem basierend auf der kombinierten Arbeit über die Zeit auf (Leistung $\times$ Zeit = Arbeit). Lösen Sie das System, um die individuellen Leistungen zu finden, und wenden Sie diese dann auf die geforderten Bedingungen an.

Wie berechnet man die Fläche eines in eine Parabel eingeschriebenen Dreiecks?

Identifizieren Sie die Koordinaten der Eckpunkte. Verwenden Sie die Scheitelpunktformel ($h = -b/(2a)$), um den maximalen Punkt zu finden, und lösen Sie nach den x-Achsenabschnitten, um die Basis zu ermitteln. Die Höhe des Dreiecks ist typischerweise die y-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel.

Meistere Mathematik der 12. Klasse: 21 umfassende Aufgaben & Lösungen

Aufgabe 1

Zwei große und 1 kleine Pumpe können ein Schwimmbecken in 4 Stunden füllen. Eine große und 3 kleine Pumpen können dasselbe Schwimmbecken ebenfalls in 4 Stunden füllen. Wie viele Stunden benötigen 4 große und 4 kleine Pumpen, um das Schwimmbecken zu füllen? (Wir nehmen an, dass alle großen Pumpen gleichartig sind und alle kleinen Pumpen ebenfalls gleichartig sind.)

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Lösung:

Seien $R$ und $r$ jeweils die Arbeitsleistung der großen und der kleinen Pumpen.

$4(2R + r) = 1$: 2 große und 1 kleine arbeiten 4 Stunden lang, um 1 Aufgabe zu erledigen

$4(R + 3r) = 1$: 1 große und 3 kleine arbeiten 4 Stunden lang, um 1 Aufgabe zu erledigen

$T(4R + 4r) = 1$: Finde die Zeit $T$, wenn 4 große und 4 kleine eine Aufgabe erledigen sollen.

Lösen Sie das System der ersten beiden Gleichungen nach $R$ und $r$ auf, setzen Sie die Werte in die dritte ein und lösen Sie nach $T$ auf, um die Zeit zu finden: $T = \dfrac{5}{3}$ Stunden = 1 Stunde 40 Minuten.

Aufgabe 2

Finden Sie alle Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Umfang gleich 60 cm und dessen Flächeninhalt gleich 150 Quadratzentimeter ist.

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Lösung:

$x + y + H = 60$: Umfang; $x$, $y$ und $H$ sind die beiden Katheten und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks

$\dfrac{1}{2}xy = 150$: Flächeninhalt

$x^2 + y^2 = H^2$: Satz des Pythagoras

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

$(x + y)^2 - 2xy = H^2$: Quadratische Ergänzung in der dritten Gleichung.

$x + y = 60 - H$: Drücken Sie $x + y$ über die erste Gleichung aus und verwenden Sie die zweite Gleichung, um $xy = 300$ zu finden. Setzen Sie dies in Gleichung 5 ein.

$(60 - H)^2 - 600 = H^2$: Eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Lösen Sie nach $H$ auf, um $H = 25$ cm zu erhalten. Einsetzen und nach $x$ und $y$ auflösen ergibt $x = 15$ cm und $y = 20$ cm.

Aufgabe 3

Ein Kreis mit dem Mittelpunkt (-3, -2) verläuft durch die Punkte (0, -6) und (a, 0). Finden Sie a.

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Lösung:

$\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}$: Die Abstände vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis sind gleich (Radius).

$25 = (a + 3)^2 + 4$: Vereinfachen und quadrieren Sie beide Seiten

$(a + 3)^2 = 21$: Schreiben Sie die obige Gleichung um

Lösen Sie nach $a$ auf:

$a = -3 + \sqrt{21}$ oder $a = -3 - \sqrt{21}$

Aufgabe 4

Finden Sie die Gleichung der Tangente im Punkt (0, 2) an den Kreis mit der Gleichung:

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13$

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Lösung:

(-2, -1): Mittelpunkt des Kreises

$m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}$: Steigung der Geraden durch den Mittelpunkt und den Berührungspunkt (0, 2)

Die Gerade durch den Mittelpunkt und den Berührungspunkt (0, 2) steht senkrecht zur Tangente.

$M = -\dfrac{2}{3}$: Steigung der Tangente

$y = -\dfrac{2}{3}x + 2$: Gleichung der Tangente mit gegebener Steigung und dem Punkt (0, 2).

Aufgabe 5

Eine Prüfung besteht aus drei Teilen. In Teil A muss ein Student 2 von 3 Fragen beantworten. In Teil B muss ein Student 6 von 8 Fragen beantworten, und in Teil C muss er alle Fragen beantworten. Wie viele Auswahlmöglichkeiten an Fragen hat der Student?

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Lösung:

$_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84$: Anwendung der Kombinatorik (Binomialkoeffizient)

Aufgabe 6

Lösen Sie die Gleichung nach x auf: \[ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \]

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Lösung:

$ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 $: gegeben

Sei $ Y = x - 2 $, was $ x = Y + 2 $ ergibt

$ (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 $: Ersetzen Sie $ x $ durch $ Y + 2 $ in der gegebenen Gleichung

$ Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 $

$ Y^2 = |Y|^2 $: Hinweis beachten

$ |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 $: Gleichung umschreiben als

$ (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 $: faktorisieren

$ |Y| = 2 , |Y| = 1 $: nach $ |Y| $ auflösen

$ Y = 2, -2 , 1 , -1 $: nach $ Y $ auflösen

$ x = 4 , 0 , 3 , 1 $: nach $ x $ auflösen mithilfe von $ x = Y + 2$

Aufgabe 7

Das unten gezeigte rechtwinklige Dreieck ABC ist in eine Parabel eingeschrieben. Punkt B ist auch der höchste Punkt der Parabel (Scheitelpunkt) und Punkt C ist der x-Achsenabschnitt der Parabel. Wenn die Gleichung der Parabel durch $ y = -x^2 + 4 x + C $ gegeben ist, finden Sie $ C $ so, dass die Fläche des Dreiecks ABC $ 32 $ Flächeneinheiten entspricht.

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Lösung:

$ h = \dfrac{-b}{2a} = 2 $: x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel

$ k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C $: y-Koordinate des Scheitelpunkts

$ x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) $: die beiden x-Achsenabschnitte der Parabel.

Länge von $ BA = k = 4 + C $

Länge von $ AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}$

$ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} $

$ \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 $: Die Fläche entspricht 32

$ C = 12 $: Lösen Sie das Obige nach $ C $ auf.

Aufgabe 8

Die Fläche des Dreiecks, das durch die Geraden $ y = 0$, $y = 2x $ und $ y = -0.5x + k $ (mit positivem $ k $) begrenzt wird, entspricht $ 80 $ Flächeneinheiten. Finden Sie $ k $.

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Lösung:

$ A(0,0) $, $ B(2k/5 , 4k/5) $, $ C(2k ,0) $: Schnittpunkte der 3 Geraden

Fläche = $ (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 $: gegeben

$ k = 10 $: Lösen Sie die obige Gleichung nach einem positiven $ k $ auf.

Aufgabe 9

Eine Parabel hat zwei x-Achsenabschnitte bei $ (-2 , 0) $ und $ (3 , 0) $ und verläuft durch den Punkt $ (5 , 10) $. Finden Sie die Gleichung dieser Parabel.

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Lösung:

$y = a(x + 2)(x - 3) $: Verwenden Sie die x-Achsenabschnitte, um die Gleichung der Parabel in faktorisierter Form zu schreiben

$ 10 = a(5 + 2)(5 - 3) $, da $ (5 , 10) $ ein Punkt auf dem Graphen der Parabel ist und somit die Gleichung der Parabel erfüllt.

$ a = 5/7 $: Lösen Sie die obige Gleichung nach a auf.

Aufgabe 10

Wenn das Polynom $ P(x) = x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 $, wobei $ A $ eine Konstante ist, durch $ x^2 + 1 $ geteilt wird, erhalten wir einen Rest, der gleich $ 5 x $ ist. Finden Sie $ A $.

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Lösung:

Die Division von $ x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 $ durch $ x^2 + 1 $ ergibt den Rest $ -x (1 + 2 A) $

$ - x (1 + 2A) = 5 x $: Der Rest ist als $ 5 x $ gegeben

$ -(1 + 2A) = 5 $: Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind.

$ A = -3 $: Lösen Sie das Obige nach $ A $ auf.

Aufgabe 11

Wenn das Polynom $ P(x) = x^5 + 2 x^3 + A x + B $, wobei $ A $ und $ B $ Konstanten sind, durch $ x - 1 $ geteilt wird, ist der Rest gleich $ 2 $. Wenn $ P(x) $ durch $ x + 3 $ geteilt wird, ist der Rest gleich $ -314 $. Finden Sie $ A $ und $ B $.

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Lösung:

$ P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 $: Polynomrestsatz (Restsatz)

$ P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 $: Polynomrestsatz

Das ergibt das folgende Gleichungssystem für $ A $ und $ B $:

\[ A + B = -1 \] \[ -3 A + B = -17 \]

$ A = 4 $ und $ B = -5 $: Lösen Sie das obige Gleichungssystem.

Aufgabe 12

Finden Sie alle Schnittpunkte der 2 Kreise, die durch folgende Gleichungen definiert sind:

$ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 $

$ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 $

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Lösung:

$ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 $: Gleichung des ersten Kreises ausmultiplizieren

$ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 $: Gleichung des zweiten Kreises ausmultiplizieren

$ -2x - 2y + 6 = 0 $: Subtrahieren Sie die linken und rechten Terme der obigen Gleichungen

$ y = 3 - x $: Lösen Sie das Obige nach $ y $ auf.

$ 2x^2 - 6x + 1 = 0 $: Ersetzen Sie $ y $ in der ersten Gleichung durch $ 3 - x $, multiplizieren Sie aus und fassen Sie gleiche Terme zusammen.

$\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)$:

Lösen Sie das Obige nach $x $ auf und verwenden Sie $ y = 3 - x $, um y zu finden.

Aufgabe 13

Wenn $ 200 $ zu einer positiven ganzen Zahl $ I $ addiert wird, ist das Ergebnis eine Quadratzahl. Wenn $ 276 $ zu derselben Zahl $ I $ addiert wird, erhält man eine andere Quadratzahl. Finden Sie $ I $.

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Lösung:

$ I + 200 = A^2 $: 200 zu $ I $ addiert ergibt ein Quadrat.

$ I + 276 = B^2 $: 276 zu $ I $ addiert ergibt ein weiteres Quadrat.

$ B^2 = A^2 + 76 $: Eliminieren Sie $ I $ aus den beiden Gleichungen.

Addieren Sie Quadrate $ A^2 $ (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) zu 76, bis Sie ein weiteres Quadrat $ B^2 $ erhalten.

$ 76 + 18^2 = 400 = 20^2 $

$ A^2 = 18^2 $ und $ B^2 = 20^2 $

$ I = A^2 - 200 = 124 $

Aufgabe 14

Die Summe der ersten drei Glieder einer geometrischen Folge ist gleich $ 42 $. Die Summe der Quadrate derselben Glieder ist gleich $ 1092 $. Finden Sie die ersten drei Glieder der Folge.

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Lösung:

$sum_1 = a + a r + a r^2 = 42$: Die Summe der ersten drei Glieder ist gegeben, $ r $ ist das konstante Verhältnis (Quotient).

$ sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092$: Die Summe der Quadrate der drei Glieder ist gegeben.

$ sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 $: Wenden Sie die Formel für die endliche Summe einer geometrischen Reihe an.

$ sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 $: Die Summe der Quadrate ist ebenfalls eine endliche geometrische Reihe.

$ \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}$: Definieren Sie das Verhältnis.

$ \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} $: Vereinfachen Sie das obige Verhältnis, um eine Gleichung zu erhalten.

$ r = 4 , r = 1/4 $: Lösen Sie nach $ r $ auf.

$ a = 2 $: Setzen Sie $ r = 4 $ in $ sum_1$ ein und lösen Sie nach $ a $ auf.

$ a = 32 $: Setzen Sie $ r = 1/4 $ in $ sum_1$ ein und lösen Sie nach $ a $ auf.

$ a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 $: Finden Sie die drei Glieder für $ r = 4 $.

$ a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 $: Finden Sie die drei Glieder für $ r = 1/4 $.

Aufgabe 15

Ein Stein wird in einen Brunnen fallen gelassen und fällt in $ t $ Sekunden ungefähr $ 16 t^2 $ Fuß tief. Wenn das Plätschern $ 3,5 $ Sekunden später zu hören ist und die Schallgeschwindigkeit $ 1087 $ Fuß/Sekunde beträgt, wie tief ist dann der Brunnen?

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Lösung:

$ T_1 + T_2 = 3.5 $: wobei $ T_1 $ die Zeit ist, die der Stein braucht, um den Boden des Brunnens zu erreichen, und $ T_2 $ die Zeit, die der Schall braucht, um den oberen Rand des Brunnens zu erreichen.

$ 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 $: Da beide Ausdrücke dieselbe Strecke darstellen, nämlich die Tiefe (Höhe) des Brunnens.

Auflösen nach $ T_2 $: $ T_2 = 3.5 - T_1 $

Einsetzen von $ T_2 $ in die Gleichung: $ 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) $

Auflösen nach $ T_1 $: $ T_1 = 3.34 \text{ Sekunden} $

Schließlich Berechnung der Brunnentiefe: $ \text{Tiefe} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{ Fuß} $ (auf die nächste ganze Einheit gerundet).

Aufgabe 16

Zwei Boote an gegenüberliegenden Ufern eines Flusses beginnen, sich aufeinander zuzubewegen. Sie fahren in einer Entfernung von $ 1400 $ Metern von dem einen Ufer zum ersten Mal aneinander vorbei. Jedes Boot fährt weiter zum gegenüberliegenden Ufer, wendet sofort und fährt zurück zum anderen Ufer. Als sie ein zweites Mal aneinander vorbeifahren, sind sie $ 600 $ Meter vom anderen Ufer entfernt. Wir nehmen an, dass jedes Boot während der gesamten Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit fährt. Finden Sie die Breite des Flusses.

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Lösung:

$ S_1 \times t_1 = 1400 $: $ S_1 $ ist die Geschwindigkeit von Boot 1, $ t_1 $ ist die Zeit, um 1400 Meter zurückzulegen.

$ 1400 + S_2 \times t_1 = X $: $ S_2 $ ist die Geschwindigkeit von Boot 2, $ X $ ist die Breite.

$ S_1 \times t_2 = X + 600 $: $ t_2 $ ist die Zeit, um $ X + 600 $ Meter für Boot 1 zurückzulegen.

$ S_2 \times t_2 = 2X - 600 $

$ S_1 = \dfrac{1400}{t_1} $

$ S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} $

Sei $ T = \dfrac{t_2}{t_1} $

Einsetzen in die Gleichungen: $ 1400 \times T = X + 600 $ und $ X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 $

Lösen des Systems nach $ X $: $ X = 3600 \text{ Meter} $.

Aufgabe 17

Finden Sie die Konstanten $ a $ und $ b $, sodass alle 4 Geraden, deren Gleichungen unten angegeben sind, durch denselben Punkt verlaufen.

$ x + y = - 1 $

$ - x + 3 y = - 11 $

$ a x + b y = 4 $

$ 2 a x - b y = 2 $

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Lösung:

Lösen Sie das System der ersten beiden Gleichungen, um die Lösung $ (2, -3) $ zu erhalten.

Der Punkt $ (2, -3) $ muss die letzten beiden Gleichungen erfüllen:

$ a(2) + b(-3) = 4 $

$ 2a(2) - b(-3) = 2 $

Auflösen nach $ a $ und $ b $: $ a = 1, b = -\dfrac{2}{3} $.

Aufgabe 18

Finden Sie den Flächeninhalt des unten abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

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Lösung:

Die Steigung von $ AB $ ist $ -3 $, da sie senkrecht zu $ OB $ steht (Steigung $ 1/3 $).

Gleichung von $ AB $: $ y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 $.

Punkt $ B $: lösen Sie $ y = -3x + 20 $ und $ y = x/3 \implies B(6,2) $.

Punkt $ A $: lösen Sie $ y = -3x + 20 $ und $ y = 2x \implies A(4,8) $.

$ \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} $

$ \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} $

$ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 $.

Aufgabe 19

Pumpe A benötigt $ 2 $ Stunden weniger als Pumpe B, um ein Schwimmbecken zu leeren. Pumpe A wird um 8:00 Uhr und Pumpe B um 10:00 Uhr gestartet. Um 12:00 Uhr ist das Becken zu $ 60\% $ geleert, als Pumpe B ausfällt. Wie viel Zeit würde Pumpe A nach 12:00 Uhr noch benötigen, um das Becken vollständig zu leeren?

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Lösung:

Sei $ t $ die Zeit von B; A benötigt $ t - 2 $. A arbeitet 4h, B arbeitet 2h.

$ \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) $

$ 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 $. Die gültige Lösung ist $ t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

Zeit von Pumpe A: $ t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} $.

Zeit für die restlichen 40%: $ \text{Zeit} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \text{ Stunden} $.

Aufgabe 20

Die Anzahl der Schüler in Schule A ist halb so groß wie die Anzahl der Schüler in Schule B. Das Verhältnis der Jungen in Schule A zu den Jungen in Schule B beträgt $ 1 : 3 $ und das Verhältnis der Mädchen in Schule A zu den Mädchen in Schule B beträgt $ 3 : 5 $. Die Anzahl der Jungen in Schule B ist um 200 größer als die Anzahl der Jungen in Schule A. Finden Sie die Anzahl der Jungen und Mädchen in jeder Schule.

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Lösung:

Seien $ x $ und $ y $ jeweils die Anzahl der Schüler in den Schulen A und B. Seien $ b_A, g_A, b_B \text{ und } g_B $ die Anzahl der Jungen und Mädchen in den Schulen A und B.

$ x = y/2 $, $ b_B = 3b_A $.

Gegeben $ b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 $.

$ g_B = \dfrac{5}{3} g_A $. Da $ 2(100 + g_A) = 300 + g_B $:

$ 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 $.

Schule A: 100 Jungen, 300 Mädchen. Schule B: 300 Jungen, 500 Mädchen.

Aufgabe 21

Vier große und 2 kleine Pumpen können ein Schwimmbecken in 2 Stunden füllen. Zwei große und 6 kleine Pumpen können dasselbe Schwimmbecken ebenfalls in 2 Stunden füllen. Wie lange benötigen 8 große und 8 kleine Pumpen, um 50% des Schwimmbeckens zu füllen?

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Lösung:

Seien $ L $ und $ S $ jeweils die Füllraten einer großen und einer kleinen Pumpe

$ 2(4L + 2S) = 1 $ und $ 2(2L + 6S) = 1 $. Auflösen ergibt: $ L = 1/10, S = 1/20 $.

Gesamtleistung für 8L und 8S: $ 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 $ eines Beckens pro Stunde.

Zeit für 50%: $ \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \text{ Stunden} = 25 \text{ Minuten} $.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Aufgabe 4

Aufgabe 5

Aufgabe 6

Aufgabe 7

Aufgabe 8

Aufgabe 9

Aufgabe 10

Aufgabe 11

Aufgabe 12

Aufgabe 13

Aufgabe 14

Aufgabe 15

Aufgabe 16

Aufgabe 17

Aufgabe 18

Aufgabe 19

Aufgabe 20

Aufgabe 21

Weitere Referenzen und Links