Matheaufgaben Klasse 12 mit Lösungen und Antworten

Seien \(R\) und \(r\) die Arbeitsraten der großen bzw. kleinen Pumpen.

\(4(2R + r) = 1\): 2 große und 1 kleine arbeiten 4 Stunden, um 1 Aufgabe zu erledigen

\(4(R + 3r) = 1\): 1 große und 3 kleine arbeiten 4 Stunden, um 1 Aufgabe zu erledigen

\(T(4R + 4r) = 1\): Finde die Zeit \(T\), wenn 4 große und 4 kleine eine Aufgabe erledigen sollen.

Löse das System der ersten beiden Gleichungen nach \(R\) und \(r\), setze es in die dritte ein und löse nach \(T\), um die Zeit zu finden: \(T = \dfrac{5}{3}\) Stunden = 1 Stunde 40 Minuten.

\(x + y + H = 60\): Umfang, \(x\), \(y\) und \(H\) sind die beiden Katheten und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks

\(\dfrac{1}{2}xy = 150\): Fläche

\(x^2 + y^2 = H^2\): Satz des Pythagoras

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

\((x + y)^2 - 2xy = H^2\): Quadratische Ergänzung in der dritten Gleichung.

\(x + y = 60 - H\): Drücke \(x + y\) mit der ersten Gleichung aus und verwende die zweite Gleichung, um \(xy = 300\) zu finden, und setze es in Gleichung 5 ein.

\((60 - H)^2 - 600 = H^2\): Eine Gleichung mit einer Unbekannten.

Löse nach \(H\) auf, um \(H = 25\) cm zu finden. Setze ein und löse nach \(x\) und \(y\) auf, um \(x = 15\) cm und \(y = 20\) cm zu finden.

\(\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}\): Die Abstände vom Mittelpunkt zu jedem Punkt auf dem Kreis sind gleich.

\(25 = (a + 3)^2 + 4\): Vereinfache und quadriere beide Seiten

\((a + 3)^2 = 21\): Schreibe die obige Gleichung um

Löse nach \(a\) auf:

\(a = -3 + \sqrt{21}\) oder \(a = -3 - \sqrt{21}\)

(-2, -1): Mittelpunkt des Kreises

\(m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}\): Steigung der Geraden durch den Mittelpunkt und den Berührungspunkt (0, 2)

Die Gerade durch den Mittelpunkt und den Berührungspunkt (0, 2) steht senkrecht auf der Tangente.

\(M = -\dfrac{2}{3}\): Steigung der Tangente

\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\): Gleichung der Tangente, gegeben ihre Steigung und den Punkt (0, 2).

\(_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84\): Verwendung des fundamentalen Zählprinzips

\( x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \) : gegeben

Sei \( Y = x - 2 \), was \( x = Y + 2 \) ergibt.

\( (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 \) : Ersetze \( x \) durch \( Y + 2 \) in der gegebenen Gleichung.

\( Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 \)

\( Y^2 = |Y|^2 \) : Hinweis

\( |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 \): Schreibe die Gleichung um als

\( (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 \): Faktorisiere

\( |Y| = 2 , |Y| = 1 \) : Löse nach \( |Y| \) auf

\( Y = 2, -2 , 1 , -1 \) : Löse nach \( Y \) auf

\( x = 4 , 0 , 3 , 1 \) : Löse nach \( x \) auf, indem du \( x = Y + 2 \) verwendest.

\( h = \dfrac{-b}{2a} = 2 \quad \): x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel

\( k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C \quad \) : y-Koordinate des Scheitelpunkts

\( x = \left(2 + \sqrt{4 + C} \right), \quad x = \left(2 - \sqrt{4 + C} \right) \) : die beiden x-Schnittpunkte der Parabel.

Länge von \( BA = k = 4 + C \)

Länge von : \( AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}\)

\( \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} \)

\( \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 \quad \text{: Fläche ist gleich 32} \)

\( C = 12 \quad \text{: löse oben nach } C. \)

\( A(0,0) \) , \( B(2k/5 , 4k/5) \) , \( C(2k ,0) \) : Schnittpunkte der 3 Geraden

Fläche = \( (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 \) : gegeben

\( k = 10 \quad \) : löse die obige Gleichung für positives \( k \) (gegebene Bedingung).

\(y = a(x + 2)(x - 3) \) : Verwende die x-Schnittpunkte, um die Gleichung der Parabel in faktorisierter Form zu schreiben.

\( 10 = a(5 + 2)(5 - 2) \) da \( (5 , 10) \) ein Punkt auf dem Graphen der Parabel ist und daher die Gleichung der Parabel erfüllt.

\( a = 5/7 \) : löse die obige Gleichung nach a auf.

Die Division von \( x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \) durch \( x^2 + 1 \) ergibt den Rest \( -x (1 + 2 A) \)

\( - x (1 + 2A) = 5 x \) : Der Rest ist als \( 5 x \) gegeben.

\( -(1 + 2A) = 5 \) : Polynome sind gleich, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind.

\( A = -3 \) : Löse die obige Gleichung nach \( A \) auf.

\( P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 \) : Restsatz

\( P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 \) : Restsatz

was das Gleichungssystem in \( A \) und \( B \) ergibt. \begin{align*} A + B = -1 \\ -3 A + B = -17 \end{align*}

\( A = 4 \) und \( B = -5 \) : löse das obige Gleichungssystem.

\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 \quad \text{: erweitere die Gleichung des ersten Kreises} \)

\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 \quad \text{: erweitere die Gleichung des zweiten Kreises} \)

\( -2x - 2y + 6 = 0 \quad \text{: subtrahiere die linken und rechten Terme der obigen Gleichungen} \)

\( y = 3 - x \quad \text{: löse die obige Gleichung nach } y. \)

\( 2x^2 - 6x + 1 = 0 \quad \) ersetze \( y \) durch \( 3 - x \) in der ersten Gleichung, erweitere und fasse gleichartige Terme zusammen.

\( \left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \quad \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right) \): löse oben nach \(x \) auf und verwende \( y = 3 - x \), um y zu finden.

\( I + 200 = A^2 \) : 200 zu \( I \) (unbekannte ganze Zahl) addiert ergibt ein Quadrat.

\( I + 276 = B^2 \) : 276 zu \( I \) (unbekannte ganze Zahl) addiert ergibt ein weiteres Quadrat.

\( B^2 = A^2 + 76 \) : eliminiere \( I \) aus den beiden Gleichungen.

Addiere Quadrate \( A^2 \) (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) zu 76, bis du ein weiteres Quadrat \( B^2 \) erhältst.

\( 76 + 18^2 = 400 = 20^2 \)

\( A^2 = 18^2 \quad \text{und} \quad B^2 = 20^2 \)

\( I = A^2 - 200 = 124 \)

\(sum_1 = a + a r + a r^2 = 42\) : die Summe der ersten drei Glieder ist gegeben, \( r \) ist der gemeinsame Quotient.

\( sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092\) : die Summe der Quadrate der drei Glieder ist gegeben.

\( sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42 \) : wende die Formel für eine endliche Summe einer geometrischen Reihe an.

\( sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092 \) : die Summe der Quadrate ist ebenfalls eine Summe einer geometrischen Reihe.

\( \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2{r^6 - 1}}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}\) : definiere das Verhältnis.

\( \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} \) : Vereinfache das obige Verhältnis, um eine Gleichung zu erhalten.

\( r = 4 , r = 1/4 \) : löse nach \( r \) auf

\( a = 2 \) : setze \( r = 4 \) in \( sum_1\) ein und löse nach \( a \) auf

\( a = 32 \) : setze \( r = 1/4 \) in \( sum_1\) ein und löse nach \( a \) auf

\( a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 \) : finde die drei Glieder für \( r = 4 \)

\( a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 \) : finde die drei Glieder für \( r = 1/4 \)

\( T_1 + T_2 = 3,5 : \; \)

wobei \( T_1 \) die Zeit ist, die der Stein benötigt, um den Brunnenboden zu erreichen, und \( T_2 \) die Zeit, die der Schall benötigt, um die Brunnenoberseite zu erreichen.

\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 : \; \)

Da beide Terme dieselbe Entfernung darstellen, nämlich die Tiefe des Brunnens.

Lösen nach \( T_2 \):

\( T_2 = 3,5 - T_1 \)

Einsetzen von \( T_2 \) in die Gleichung:

\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3,5 - T_1) \)

Lösen nach \( T_1 \):

\( T_1 = 3,34 \text{ Sekunden} \)

Schließlich die Tiefe des Brunnens berechnen:

\( \text{Tiefe} = 16 \times (3,34)^2 = 178 \text{ Fuß} \quad (\text{auf die nächste Einheit gerundet}) \)

.

\( S_1 \times t_1 = 1400 : \; \quad S_1 \text{(ist die Geschwindigkeit von Boot 1) } , t_1 \text{ ist die Zeit, um 1400 Meter zurückzulegen (Boot 1)} \)

\( 1400 + S_2 \times t_1 = X : \; \quad S_2 \text{(ist die Geschwindigkeit von Boot 2)} \)

\( S_1 \times t_2 = X + 600 \quad \text{(} t_2 \text{ ist die Zeit, um } X + 600 \text{ Meter für Boot 1 zurückzulegen)} \quad (III) \)

\( S_2 \times t_2 = 2X - 600 \quad (IV) \)

\( S_1 = \dfrac{1400}{t_1} \)

\( S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} \)

\( \text{Sei} \quad T = \dfrac{t_2}{t_1} \)

Einsetzen von \( S_1 \), \( S_2 \) und \( \dfrac{t_2}{t_1} \) in die Gleichungen (III) und (IV):

\( 1400 \times T = X + 600 \)

\( X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 \)

Löse das obige System von zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten \( X \) und \( T \), indem du \( T \) eliminierst und nach \( X \) auflöst, um die Breite \( X \) des Flusses zu erhalten:

\( X = 3600 \text{ Meter} \)

Löse das System der ersten beiden Gleichungen, um die Lösung \( (2, -3) \) zu erhalten.

Die Lösung \( (2, -3) \) muss auch die Lösung der letzten beiden Gleichungen sein, da die 4 Geraden durch denselben Punkt \( (2, -3) \) verlaufen.

\( a(2) + b(-3) = 4 : \;\) ersetze x durch 2 und y durch -3 in der dritten Gleichung.

\( 2a(2) - b(-3) = 2 : \; \) ersetze x durch 2 und y durch -3 in der vierten Gleichung.

Löse das obige Gleichungssystem nach \( a \) und \( b \) auf, um zu erhalten:

\( a = 1, \quad b = -\dfrac{2}{3} \)

Arbeiten wir mit Geradengleichungen.

Die Steigung von \( AB \) ist gleich \( -3 \), da sie senkrecht auf \( OB \) steht, dessen Steigung \( \dfrac{1}{3} \) ist.

Die Gleichung von \( AB \) ist gegeben durch:

\[ y = -3x + B \]

Da \( AB \) durch den Punkt \( C(5,5) \) verläuft, haben wir \( 5 = -3 \times 5 + B \), löse nach B auf, um die Gleichung von \( AB \) zu finden.

\[ y = -3x + 20 \]

Die Koordinaten von Punkt \( B \) werden durch Lösen des Systems gefunden:

\[ y = -3x + 20 \] \[ y = \dfrac{1}{3}x \]

Lösen nach \( (x,y) \), ergibt \( B(6,2) \).

Analog werden die Koordinaten von Punkt \( A \) durch Lösen des Systems gefunden:

\[ y = -3x + 20 \] \[ y = 2x \]

Lösen nach \( (x,y) \), ergibt \( A(4,8) \).

Nun berechnen wir die Entfernung \( \overline{OB} \):

\[ \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} \]

Und die Entfernung \( \overline{AB} \):

\[ \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \]

Die Fläche des Dreiecks \( OAB \) ist:

\[ \text{Fläche} = \dfrac{1}{2} \times \overline{OB} \times \overline{AB} \] \[ = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} \] \[ = \dfrac{1}{2} \times 40 \] \[ = 20 \]

Sei \( t \) die Zeit (in Stunden), die Pumpe B allein benötigt, um das Becken zu leeren.

Pumpe A benötigt \( t - 2 \) Stunden, um das Becken allein zu leeren.

Pumpe A arbeitet 4 Stunden (von 8:00 bis 12:00 Uhr) mit der Rate \( \dfrac{1}{t - 2} \).

Pumpe B arbeitet 2 Stunden (von 10:00 bis 12:00 Uhr) mit der Rate \( \dfrac{1}{t} \).

Die Gesamtarbeit, die beide Pumpen bis 12:00 Uhr geleistet haben, beträgt 60% des Beckens:

\[ \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0,6 \]

Multipliziere alle Terme der obigen Gleichung mit \( t(t - 2) \) und vereinfache:

\[ 4t + 2(t - 2) = 0,6t(t - 2) \]

Die obige Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

\[ 0,6t^2 - 7,2t + 4 = 0 \]

Mit der quadratischen Formel finden wir:

\[ t = \dfrac{36 \pm 4\sqrt{66}}{6} = 6 \pm \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \]

Die gültige Lösung ist \( t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).

Die Zeit von Pumpe A, um das Becken allein zu leeren, ist \( t - 2 \):

\[ t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \]

Die Rate von Pumpe A ist \( r = \dfrac{1}{4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}} \).

Zeit, die benötigt wird, um 40% des Beckens zu leeren:

\[ \text{Zeit} = \dfrac{0,4}{r} = 0,4 \times \left(4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}\right) \]

Die Zeit nach 12:00 Uhr, die Pumpe A benötigt, um das Becken zu leeren, ist: \[ \boxed{ 0,4 \times \left(4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}\right) \approx 3,766 \; \text{Stunden}} \]

Sei \( x \) die Anzahl der Schüler (Jungen und Mädchen) in Schule A.

Sei \( y \) die Anzahl der Schüler (Jungen und Mädchen) in Schule B.

Wir wissen, dass die Anzahl der Schüler in Schule A halb so groß ist wie die in Schule B:

\[ x = \dfrac{y}{2} \]

Seien \( b_A \) und \( b_B \) die Anzahl der Jungen in Schulen A bzw. B. Das Verhältnis der Jungen in Schule A zu Schule B ist:

\[ b_A : b_B = 1 : 3 \]

Dies bedeutet:

\[ b_B = 3 b_A \]

Wir wissen auch, dass die Anzahl der Jungen in Schule B 200 mehr ist als in Schule A:

\[ b_B = b_A + 200 \]

Mit \( b_B = 3b_A \) setzen wir ein:

\[ 3b_A = b_A + 200 \]

Lösen nach \( b_A \):

\[ 3b_A - b_A = 200 \] \[ 2b_A = 200 \] \[ b_A = 100 \]

Somit,

\[ b_B = 3(100) = 300 \]

Seien \( g_A \) und \( g_B \) die Anzahl der Mädchen in Schulen A bzw. B. Das Verhältnis der Mädchen in Schule A zu Schule B ist:

\[ g_A : g_B = 3 : 5 \]

Dies bedeutet:

\[ g_B = \dfrac{5}{3} g_A \]

Wir wissen:

\[ x = b_A + g_A \]

und

\[ y = b_B + g_B \]

Einsetzen von \( x = \dfrac{y}{2} \):

\[ b_A + g_A = \dfrac{b_B + g_B}{2} \]

Einsetzen bekannter Werte:

\[ 100 + g_A = \dfrac{300 + g_B}{2} \]

Mit \( g_B = \dfrac{5}{3} g_A \):

\[ 100 + g_A = \dfrac{300 + \dfrac{5}{3} g_A}{2} \]

Multipliziere beide Seiten mit 2:

\[ 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3} g_A \]

Multipliziere alle Terme mit 3, um Brüche zu eliminieren:

\[ 600 + 6g_A = 900 + 5g_A \] \[ 6g_A - 5g_A = 900 - 600 \] \[ g_A = 300 \]

Also,

\[ g_B = \dfrac{5}{3} \times 300 = 500 \]

Endergebnis:

Es gibt 100 Jungen, 300 Mädchen und insgesamt 400 Schüler in Schule A.

Es gibt 300 Jungen, 500 Mädchen und insgesamt 800 Schüler in Schule B.

Sei \( L \) die Rate einer großen Pumpe (Becken pro Stunde).

Sei \( S \) die Rate einer kleinen Pumpe (Becken pro Stunde).

Vier große und zwei kleine Pumpen füllen das Becken in 2 Stunden, also:

\[ 2(4L + 2S) = 1 \]

Zwei große und sechs kleine Pumpen füllen das Becken in 2 Stunden, also:

\[ 2(2L + 6S) = 1 \]

Schreibe das obige System der beiden Gleichungen für \( L \) und \( S \) um als:

\[ 8L + 4 S = 1 \] \[ 4L + 12 S = 1 \]

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2:

\[ 8L + 24S = 2 \]

Subtrahiere die erste Gleichung von der obigen:

\[ (8L + 4 S) - (8L + 24S) = 1 - 2 \] \[ -20 S = -1 \] \[ S = \dfrac{1}{20} \]

Setze \( S = \dfrac{1}{20} \) in die Gleichung \( 8L + 4 S = 1 \) ein:

\[ 8L + 4 (\dfrac{1}{20}) = 1 \]

Löse die obige Gleichung nach \( L \) auf:

\[ L = \dfrac{1}{10} \]

Berechne die Rate von 8 großen und 8 kleinen Pumpen:

\[ \text{Gesamtrate} = 8L + 8S \] \[ = 8 \times \dfrac{1}{10} + 8 \times \dfrac{1}{20} \] \[ = \dfrac{8}{10} + \dfrac{8}{20} \] \[ = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5} \] \[ = \dfrac{6}{5} \]

Da die Pumpen zusammen \( \dfrac{6}{5} \) des Beckens pro Stunde füllen, ist die Zeit, die benötigt wird, um \( 50\%\) des Beckens zu füllen:

\[ {\dfrac{6}{5}} t = 50\% \]

Daher \[ t = \dfrac{50\%}{\dfrac{6}{5}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{6} \] \[ = \dfrac{5}{12} \text{ Stunden} \] \[ = 25 \text{ Minuten} \]

Es wird 25 Minuten dauern, um \( 50\% \) des Beckens mit 8 großen und 8 kleinen Pumpen zu füllen.