Probleme mit Geraden im 3D-Raum mit ausführlichen Lösungen

Probleme mit Geraden im 3D-Raum mit detaillierten Lösungen werden präsentiert.

Fragen

1. Schreiben Sie die Gleichung der Linie, die durch den Vektor < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 > im Vektorformat gegeben ist, in parametermäßiger und symmetrischer Form.

2. Finden Sie die symmetrische Form der Gleichung der Linie durch den Punkt P(1 , - 2 , 3) und parallel zum Vektor n = < 2, 0 , -3 >.

3. Finden Sie die parametermäßigen Gleichungen der Linie durch die beiden Punkte P(1 , 2 , 3) und Q(0 , - 2 , 1).

4. Welcher der Punkte A(3 , 4 , 4) , B(0 , 5 , 3) und C(6 , 3 , 7) liegt auf der Linie mit den parametermäßigen Gleichungen x = 3t + 3, y = - t + 4 und z = 2t + 5?

5. Finden Sie die parametermäßigen Gleichungen der Linie durch den Punkt P(-3 , 5 , 2) und parallel zur Linie mit der Gleichung x = 2 t + 5, y = -4 t und z = -t + 3.

6. Finden Sie die Gleichung einer Linie durch P(1 , - 2 , 3), die zu den Linien L1 und L2 senkrecht ist, gegeben durch:
   L1: (x - 2) / 3 = (y + 1) / (-4) = (z + 9) / 4
   L2: x = 3t - 4 , y = - t + 6 und z = 5t .

7. Finden Sie den Schnittpunkt der Linien L1 und L 2 im 3D-Raum, definiert durch:
   L1 (in parametermäßiger Form): x = 2t - 1 , y = -3 t + 2 und z = 4 t -3
   L2 (in symmetrischer Form) : (x - 7) / 4 = (y + 2) / 2 = (z - 2)/(-3)

8. Finden Sie den Winkel zwischen den Linien L1 und L 2 mit symmetrischen Gleichungen:
   L1: (x - 1) / 2 = (y + 2) / (-2) = z / -(4)
   L2 = (x + 3) / 6 = (y + 2) / 2 = (z - 1) / 2

9. Zeigen Sie, dass die gegebenen symmetrischen Gleichungen die gleiche Linie beschreiben.
   L1: (x - 2) / (- 1) = y / 2 = (z + 1) / 4
   L2 = (x - 1) / (-2) = (y - 2) / 4 = (z - 3) / 8

10. Finden Sie den Abstand zwischen dem Punkt P₀(1 , - 2 , 3) und der Linie mit der Vektorgleichung: < x , y , z > = < 2 , 3, 0 > + t < -2 , 3 , 1 >

11. Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen den beiden Linien L1 und L2, definiert durch ihre Gleichungen::
    L1: < x , y , z > = < 2 , 0 , -1 > + t < -1 , 4 , -4 >
    L2: < x , y , z > = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >

12. Finden Sie den Wert von b, so dass die Linien L1 und L2, gegeben durch ihre Gleichungen, parallel sind.
    L1: < x , y , z > = < 2 , 0 , -1 > + t < 10 , b , 4 >
    L2: < x , y , z > = < 1 , - 2 , 3 > + m < - 5 , 2 , - 2 >

13. Finden Sie die Gleichung einer Linie durch den Punkt P(1 , -2 , 3), die die Linie mit parametermäßiger Gleichung x = - 3 + t , y = 3 + t , z = -1 + t schneidet und senkrecht zu ihr ist. Finden Sie den Schnittpunkt der beiden Linien.

Lösungen zu den obigen Fragen

1. Lösung
   Gegeben: < x , y , z > = < -2 , 3 , 0 > + t < 3 , 2 , 5 >
   Gleichheit der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt: x = - 2 + 3 t , y = 3 + 2 t und z = 0 + 5 t
   Lösen Sie jeweils nach t auf: t = (x + 2) / 3 , t = (y - 3) / 2 und t = z / 5
   Alle gleich t, daher die symmetrische Form der Gleichung: (x + 2) / 3 = (y - 3) / 2 = z / 5
   
   
2. Lösung
   < x , y , z > = < 1, -2 , 3 > + t < 2 , 0 ,-3 >
   Gleichheit der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt: x = 1 + 2 t , y = - 2 und z = 3 - 3 t
   Lösen Sie jeweils nach t auf: t = (x - 1) / 2 und t = (z - 3) / - 3
   Symmetrische Form der Gleichung: (x - 1) / 2 = (z - 3) / - 3 und y = -2
   
   
3. Lösung
   Richtungsvektor PQ = < 0 - 1 , - 2 - 2 , 1 - 3 > = < -1 , -4 , -2>
   < x , y , z > = < 1 , 2 , 3> + t < -1 , -4 , -2 >
   Gleichheit der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt: x = 1 - t , y = 2 - 4 t und z = 3 - 2 t
   
   
4. Lösung
   Schreiben Sie die symmetrischen Gleichungen der Linie: (x - 3)/ 3 = (y - 4) / (-1) = (z - 5) / 2
   Punkt A: Setzen Sie x, y und z in die symmetrischen Gleichungen ein, indem Sie die Koordinaten des Punktes A(3 , 4 , 4) verwenden.
   (x - 3)/ 3 = (3 - 3)/ 3 = 0
   (y - 4) / (-1) = (4 - 4) / (-1) = 0
   (z - 5) / 2 = (4 - 5) / 2 = - 1 / 2
   Letzter Ausdruck ist nicht gleich den ersten beiden, daher liegt A nicht auf der Linie.
   Punkt B: Setzen Sie x, y und z in die symmetrischen Gleichungen ein, indem Sie die Koordinaten des Punktes B(0 , 5 , 3) verwenden.
   (x - 3)/ 3 = (0 - 3)/ 3 = - 1
   (y - 4) / (-1) = (5 - 4) / (-1) = -1
   (z - 5) / 2 = (3 - 5) / 2 = - 1
   Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt B auf der Linie.
   Punkt C: Setzen Sie x, y und z in die symmetrischen Gleichungen ein, indem Sie die Koordinaten des Punktes B(6 , 3 , 7) verwenden.
   
   (x - 3)/ 3 = (6 - 3)/ 3 = 1
   (y - 4) / (-1) = (3 - 4) / (-1) = 1
   (z - 5) / 2 = (7 - 5)/ 2 = 1
   Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt C auf der Linie.
   
   
5. Lösung
   Schreiben Sie die gegebene Linie x = 2t + 5, y = -4t und z = -t + 3 in der symmetrischen Form:
   (x - 5) / 2 = y / (-4) = (z - 3) / (-1)
   Der Richtungsvektor ist: < 2, -4, -1 >
   Die Linie durch den Punkt P(-3, 5, 2) ist parallel zur gegebenen Linie, und daher haben sie den gleichen Richtungsvektor. Daher lautet die Vektorgleichung der Linie durch P:
   x = -3 + 2t, y = 5 - 4t, z = 2 - t
   
   
6. Lösung
   Die Linie L (zu finden) ist senkrecht zu den Linien L1 und L2 und daher senkrecht zu ihren Richtungsvektoren d1 und d2. Daher gibt das Kreuzprodukt von d1 und d2 den Richtungsvektor der Linie L.
   Aus der symmetrischen Gleichung von L1: d1 = < 3, -4, 4 >
   Schreiben Sie die Gleichung von L2 in symmetrischer Form: (x + 4) / 3 = (y - 6) / (-1) = z / 5
   Richtungsvektor von L2: d2 = < 3, -1, 5>
   Der Richtungsvektor von L kann als Kreuzprodukt von d1 und d2 genommen werden: d = d1 × d2 = < 3, -4, 4> × < 3, -1, 5> = < -16, -3, 9>
   Gleichung für L durch den Punkt P(1, -2, 3) und parallel zum Vektor d lautet:
   < x, y, z > = < 1, -2, 3 > + t < -16, -3, 9 >
   
   
7. Lösung
   L1: x = 2t - 1, y = -3t + 2 und z = 4t - 3
   Schreiben Sie die Gleichungen von Linie L2 in parametrischer Form mit dem Parameter s wie folgt:
   x = 4s + 7, y = 2s - 2, z = -3s + 2
   Sei A(x, y, z) der Schnittpunkt der beiden Linien. Um ein Schnittpunkt zu sein, müssen die Koordinaten von A die Gleichungen beider Linien gleichzeitig erfüllen. Daher:
   Gleichung für x-Koordinaten: 2t - 1 = 4s + 7
   Gleichung für y-Koordinaten: -3t + 2 = 2s - 2
   Gleichung für z-Koordinaten: 4t - 3 = -3s + 2
   Schreiben Sie die ersten beiden Gleichungen in t und s um:
   2t - 4s = 8 und -3t - 2s = -4
   Lösen Sie für t und s, um t = 2 und s = -1 zu erhalten.
   Um einen Schnittpunkt zu haben, müssen t = 2 und s = -1 auch Lösung für die dritte Gleichung 4t - 3 = -3s + 2 sein.
   Überprüfen Sie: 4(2) - 3 = 5 und -3(-1) + 2 = 5, und t = 2 und s = -1 sind Lösungen für alle drei Gleichungen.
   Der Schnittpunkt wird durch Verwendung einer der beiden parametrischen Gleichungen von L1 und L2 erhalten.
   Verwenden Sie L1: Setzen Sie t = 2 in die Gleichungen ein: x = 2t - 1, y = -3t + 2 und z = 4t - 3, um die Koordinaten des Schnittpunkts zu erhalten: x = 3, y = -4 und z = 5
   Verwenden Sie L2 (zum Überprüfen): x = 4s + 7, y = 2s - 2, z = -3s + 2, s = -1, gibt die Koordinaten des Schnittpunkts: x = 3, y = -4 und z = 5
   
   
8. Lösung
   Lassen Sie d1 und d2 die Richtungsvektoren von L1 und L2 sein.
   Für L1: d1 = < 2, -2, -4 >
   Für L2: d2 = < 6, 2, 2 >
   Der Winkel θ zwischen den Linien L1 und L2 ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren d1 und d2, der gegeben ist durch
   θ = arccos(d1·d2 / |d1| |d2|)
   wobei d1·d2 das Skalarprodukt der Vektoren d1 und d2 ist; |d1| ist die Länge des Vektors d1 und |d2| ist die Länge des Vektors d2.
   d1·d2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 0
   |d1| und |d2| sind beide ungleich null, daher
   θ = arccos(0) = 90°
   Wenn die Linien sich schneiden, bilden sie einen Winkel von 90°. Wenn sie sich nicht schneiden, bilden die schneidenden Linien zu diesen beiden Linien einen Winkel von 90°.
   
   
9. Lösung
   Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, besteht darin zu zeigen, dass die beiden Linien L1 und L2 zwei Punkte gemeinsam haben. Schreiben Sie die beiden Gleichungen in parametrischer Form als:
   L1: x = 2 - t, y = 2t, z = -1 + 4t
   L2: x = 1 - 2t, y = 2 + 4t, z = 3 + 8t
   Punkt P1 auf L1: (2, 0, -1)
   Punkt P2 auf L2: (1, 2, 3)
   Überprüfen Sie, dass P1(2, 0, -1) auf L2 liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von L2 verwenden: (2 - 1) / (-2) = (0 - 2) / 4 = (-1 - 3) / 8 = -1 / 2, alle Terme sind gleich, also liegt P1 auf L2.
   Überprüfen Sie, dass P2(1, 2, 3) auf L1 liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von L1 verwenden: (1 - 2) / (-1) = 2 / 2 = (3 + 1) / 4 = 1, alle Terme sind gleich, P2 liegt auf L1
   P1 liegt auf L1 und L2, und P2 liegt auch auf L2 und L1. Die beiden Gleichungen sind von der gleichen Linie.
   
   
10. Lösung
    Gemäß der Gleichung der Linie liegt der Punkt P(2,3,0) auf der Linie. Der Vektorrichtung ist d = < -2,3,1 >
    Der Abstand D zwischen der Linie und dem Punkt P₀(1, -2, 3) wird gegeben durch 1
    D = | P₀P × d | / |d|
    P₀P = < 1, 5, -3 >, d = < -2, 3, 1 >
    P₀P × d = < 14, 5, 13 >
    | P₀P × d | = √(14² + 5² + 13²) = √390
    |d| = √((-2)² + 3² + 1²) = √14
    D = √390 / √14 = √195 / √7
    
    
11. Lösung
    Die Punkte P1(2, 0, -1) und P2(1, -2, 3) sind Punkte auf L1 bzw. L2. d1 = < -1, 4, -4> und d2 = < -5, 2, -2> sind die Richtungsvektoren von L1 bzw. L2
    Der kürzeste Abstand D zwischen den beiden Linien wird gegeben durch 1
    D = | n · P1 P2 | / |n|
    wobei P1 P2 der Vektor ist, der durch die Punkte P1 und P2 definiert ist, und n das Kreuzprodukt von d1 und d2 ist.
    n = d1 × d2 = < -1, 4, -4> × < -5, 2, -2> = < 0, 18, 81 >
    P1 P2 = < -1, -2, 4 >
    D = | < 0, 18, 18 > · < -1, -2, 4 > | / √(0² + 18² + 18² ) = √ 2
    
    
12. Lösung
    Richtungsvektoren müssen proportional sein < 10 , b , 4 > = k < - 5 , 2 , - 2 >
    10 = - 5 k , k = -2
    4 = k (-2) , k = - 2
    b = k(2) = -2 (2) = -4
    
    
13. Lösung
    a) Gleichung der zu findenden Linie: < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t < a , b , c >
    Senkrecht zu: < x , y , z > = < - 3 , 3 , -1 > + m < 1 , 1 , 1 >
    Anwendung der Bedingungen, um a, b und c zu finden.
    Der Schnittpunkt liefert 3 Gleichungen:
    1 + a t = - 3 + m
    -2 + b t = 3 + m
    3 + c t = -1 + m
    Addieren Sie die Seiten aller drei Gleichungen, um zu erhalten:
    1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m
    Richtungsvektoren < a , b , c > und < 1 , 1 , 1 > sind orthogonal, daher ist ihr Skalarprodukt null.
    a + b + c = 0
    Die obige Gleichung     1 - 2 + 3 +t (a + b + c) = -1 + 3m   wird zu   3m = 3
    Lösen Sie nach m:
    m = 1
    Setzen Sie m = 1 in die erste der drei Gleichungen ein:   1 + a t = - 3 + m   um    a t = - 3 zu finden
    Lassen Sie a = 1, um t = - 3 zu erhalten
    Verwenden Sie die Gleichung, um b zu finden:    -2 + b t = 3 + m , -2 + b(-3) = 3 + 1 , b = - 6 / 3 = - 2
    Verwenden Sie die Gleichung, um c zu finden:    3 + c t = -1 + m , 3 + c(-3) = - 1 + 1 , c = 1
    Gleichung der Linie durch den Punkt (1 , -2 , 3) :   < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t < 1 , -2 , 1 >
    b) Schnittpunkt
    Setzen Sie t = -3 in die Gleichung der gefundenen Linie ein: < x , y , z > = < 1 , -2 , 3 > + t < 1 , -2 , 1 > = < 1 , -2 , 3 > - 3 < 1 , -2 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
    Zur Überprüfung setzen Sie m = 1 in die gegebene Gleichung der Linie ein.
    < x , y , z > = < - 3 , 3 , -1 > + m < 1 , 1 , 1 > = < - 3 , 3 , -1 > + 1 < 1 , 1 , 1 > = < -2 , 4 , 0 >
    Dies ist ein Schnittpunkt, gegeben durch: < -2 , 4 , 0 >