Aufgaben zu Geraden im 3D-Raum mit detaillierten Lösungen

Schreiben Sie die in Vektorform gegebene Geradengleichung $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle $$ in Parameterform und symmetrische Form um.

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Lösung:

Das Gleichsetzen der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt die Parameterform:

$$ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t $$

Lösen Sie jede der obigen Gleichungen nach $t$ auf:

$$ t = \frac{x + 2}{3}, \quad t = \frac{y - 3}{2}, \quad t = \frac{z}{5} $$

Da alle gleich $t$ sind, ergibt sich die symmetrische Form der Gleichung zu:

$$ \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z}{5} $$

Finden Sie die symmetrische Form der Geradengleichung durch den Punkt $P(1, -2, 3)$ und parallel zum Vektor $\vec{n} = \langle 2, 0, -3 \rangle$.

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Lösung:

Vektorgleichung: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle $$

Gleichsetzen der Vektorkomponenten: $$ x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t $$

Nach $t$ auflösen: $$ t = \frac{x - 1}{2}, \quad t = \frac{z - 3}{-3} $$

Da die $y$-Richtung $0$ ist, ist $y$ konstant $-2$. Die symmetrische Form ist:

$$ \frac{x - 1}{2} = \frac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 $$

Finden Sie die Parametergleichungen der Geraden durch die beiden Punkte $P(1, 2, 3)$ und $Q(0, -2, 1)$.

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Lösung:

Richtungsvektor $\vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle$

Vektorgleichung: $$ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle $$

Das Gleichsetzen der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt:

$$ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t $$

Finden Sie die Parametergleichungen der Geraden, die durch den Punkt $P(-3, 5, 2)$ verläuft und parallel zu der Geraden mit folgenden Gleichungen ist: $$ x = 2t + 5, \quad y = -4t, \quad z = -t + 3 $$

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Lösung:

Schreiben Sie die gegebene Gerade in symmetrischer Form:

$$ \frac{x - 5}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z - 3}{-1} $$

Der Richtungsvektor ist: $\langle 2, -4, -1 \rangle$

Die Gerade durch den Punkt $P(-3, 5, 2)$ verläuft parallel zur gegebenen Geraden und hat daher denselben Richtungsvektor. Die Parametergleichungen der Geraden durch $P$ sind:

$$ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t $$

Finden Sie die Gleichung einer Geraden durch $P(1 , -2 , 3)$, die senkrecht zu den beiden Geraden $L_1$ und $L_2$ verläuft, gegeben durch:

Gerade $L_1$: $$ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z + 9}{4} $$

Gerade $L_2$: $$ x = 3t - 4, \quad y = -t + 6, \quad z = 5t $$

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Lösung:

Die gesuchte Gerade $L$ steht senkrecht auf den Geraden $L_1$ und $L_2$ und ist daher senkrecht zu deren Richtungsvektoren $\vec{d}_1$ und $\vec{d}_2$. Daher liefert das Kreuzprodukt von $\vec{d}_1$ und $\vec{d}_2$ den Richtungsvektor der Geraden $L$.

Aus der symmetrischen Gleichung von $L_1$ ergibt sich der Richtungsvektor: $$ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle $$

Der Richtungsvektor von $L_2$ ist: $$ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle $$

Der Richtungsvektor der Geraden $L$ kann als Kreuzprodukt berechnet werden:

$$ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle $$

Die Gleichung für die Gerade $L$ durch den Punkt $P(1, -2, 3)$ und parallel zum Vektor $\vec{d}$ lautet:

$$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle $$

Finden Sie den Schnittpunkt der beiden 3D-Geraden $L_1$ und $L_2$, definiert durch:

Gerade $L_1$: $$ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 $$

Gerade $L_2$: $$ \frac{x - 7}{4} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 2}{-3} $$

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Lösung:

Schreiben Sie die Gleichungen der Geraden $L_2$ in Parameterform mit einem anderen Parameter $s$:

$$ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 $$

Sei $A(x, y, z)$ der Schnittpunkt. Das Gleichsetzen der Koordinaten ergibt folgendes System:

$$ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) $$

$$ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) $$

$$ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) $$

Gleichungen (1) und (2) umschreiben:

$$ 2t - 4s = 8 \quad \text{und} \quad -3t - 2s = -4 $$

Nach $t$ und $s$ auflösen: $$ t = 2 \quad \text{und} \quad s = -1 $$

Überprüfen Sie dies in Gleichung (3):

Linke Seite: $4(2) - 3 = 5$. Rechte Seite: $-3(-1) + 2 = 5$. Sie stimmen überein, also schneiden sie sich.

Setzen Sie $t=2$ wieder in die Gleichungen von $L_1$ ein, um den Schnittpunkt zu finden:

$$ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 $$

Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden $L_1$ und $L_2$ mit den symmetrischen Gleichungen:

$$ L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z}{-4} $$

$$ L_2: \frac{x + 3}{6} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{2} $$

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Lösung:

Seien $\mathbf{d}_1$ und $\mathbf{d}_2$ die Richtungsvektoren der Geraden $L_1$ und $L_2$.

$$ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \quad \text{und} \quad \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle $$

Der Winkel $\theta$ zwischen den Geraden $L_1$ und $L_2$ ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren, gegeben durch:

$$ \theta = \arccos\left( \frac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) $$

Berechnen Sie das Skalarprodukt:

$$ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 $$

Da das Skalarprodukt $0$ ist und die Beträge ungleich null sind:

$$ \theta = \arccos(0) = 90^\circ $$

Zeigen Sie, dass die unten angegebenen symmetrischen Gleichungen dieselbe Gerade darstellen.

Gerade $L_1$: $$ \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{4} $$

Gerade $L_2$: $$ \frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{8} $$

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Lösung:

Wir können zeigen, dass die beiden Geraden zwei Punkte gemeinsam haben. Schreiben Sie die beiden Gleichungen in Parameterform um als:

$$ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t $$

$$ L_2: \quad x = 1 - 2s, \quad y = 2 + 4s, \quad z = 3 + 8s $$

Punkt $P_1$ auf $L_1$: $(2, 0, -1)$

Punkt $P_2$ auf $L_2$: $(1, 2, 3)$

Überprüfen Sie, ob $P_1(2, 0, -1)$ auf $L_2$ liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von $L_2$ verwenden:

$$ \frac{2 - 1}{-2} = \frac{0 - 2}{4} = \frac{-1 - 3}{8} = -\frac{1}{2} $$

Alle Terme sind gleich, also liegt $P_1$ auf $L_2$.

Überprüfen Sie, ob $P_2(1, 2, 3)$ auf $L_1$ liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von $L_1$ verwenden:

$$ \frac{1 - 2}{-1} = \frac{2}{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$

Alle Terme sind gleich, also liegt $P_2$ auf $L_1$.

Da sie mindestens zwei verschiedene Punkte gemeinsam haben, stellen die beiden Gleichungen dieselbe Gerade dar.

Finden Sie den Abstand zwischen dem Punkt $P_0(1, -2, 3)$ und der Geraden, die durch folgende Vektorgleichung gegeben ist: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 3, 0 \rangle + t \langle -2, 3, 1 \rangle $$

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Lösung:

Laut der Gleichung liegt der Punkt $P(2, 3, 0)$ auf der Geraden. Der Richtungsvektor ist $\vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle$.

Der Abstand $D$ von der Geraden zum Punkt $P_0$ ist gegeben durch:

$$ D = \frac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} $$

Sei $\vec{P_0P} = \langle 2-1, 3-(-2), 0-3 \rangle = \langle 1, 5, -3 \rangle$.

Dann ist $\vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 1, 5, -3 \rangle \times \langle -2, 3, 1 \rangle = \langle 14, 5, 13 \rangle$.

$$ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{196 + 25 + 169} = \sqrt{390} $$

$$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} $$

$$ D = \frac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} $$

Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen den beiden Geraden $L_1$ und $L_2$, die durch ihre Gleichungen definiert sind:

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle -1, 4, -4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Lösung:

Die Punkte $P_1(2, 0, -1)$ und $P_2(1, -2, 3)$ liegen auf den Geraden $L_1$ bzw. $L_2$. Die Richtungsvektoren sind:

$$ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{und} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle $$

Der kürzeste Abstand $D$ zwischen den beiden Geraden ist durch folgende Formel gegeben:

$$ D = \frac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} $$

wobei $\mathbf{n}$ das Kreuzprodukt von $\mathbf{d}_1$ und $\mathbf{d}_2$ ist.

$$ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle $$

$$ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle 1-2, -2-0, 3-(-1) \rangle = \langle -1, -2, 4 \rangle $$

$$ D = \frac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \frac{| -36 + 72 |}{18\sqrt{2}} = \frac{36}{18\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Finden Sie den Wert von $b$, sodass die Geraden $L_1$ und $L_2$, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind, parallel verlaufen.

$$ L_1: \langle x, y, z \rangle = \langle 2, 0, -1 \rangle + t \langle 10, b, 4 \rangle $$

$$ L_2: \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + m \langle -5, 2, -2 \rangle $$

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Lösung:

Die Richtungsvektoren müssen proportional sein: $$ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle $$

Aus der ersten Komponente: $$ 10 = -5k \implies k = -2 $$

Aus der dritten Komponente (zur Überprüfung): $$ 4 = k(-2) \implies k = -2 $$

Aus der zweiten Komponente: $$ b = k(2) = -2 \times 2 = -4 $$

Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt $P(1, -2, 3)$ verläuft, die durch die Parametergleichungen $$ x = -3 + t, \quad y = 3 + t, \quad z = -1 + t $$ gegebene Gerade schneidet und senkrecht dazu steht. Finden Sie außerdem den Schnittpunkt der beiden Geraden.

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Lösung:

Gleichung der gesuchten Geraden: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle a, b, c \rangle $$

Senkrecht zu: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + t \langle 1, 1, 1 \rangle $$

Für den Schnittpunkt muss ein spezifischer Punkt $M(x_0, y_0, z_0)$ auf der gegebenen Geraden gefunden werden, sodass $\vec{PM}$ senkrecht zur Richtung der gegebenen Geraden $\langle 1,1,1 \rangle$ steht.

$\vec{PM} = \langle -3+t - 1, 3+t - (-2), -1+t - 3 \rangle = \langle t-4, t+5, t-4 \rangle$.

Da $\vec{PM}$ senkrecht zu $\langle 1,1,1 \rangle$ steht, ist ihr Skalarprodukt null:

$$ (t-4)(1) + (t+5)(1) + (t-4)(1) = 0 $$

$$ 3t - 3 = 0 \implies t = 1 $$

Der Schnittpunkt $M$ (für $t=1$) ist: $$ M(-3+1, 3+1, -1+1) = (-2, 4, 0) $$

Der Richtungsvektor $\vec{PM}$ lautet $\langle 1-4, 1+5, 1-4 \rangle = \langle -3, 6, -3 \rangle$. Dieser kann skaliert werden zu $\langle 1, -2, 1 \rangle$.

Gleichung der neuen Geraden: $$ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + s \langle 1, -2, 1 \rangle $$

Welche der Punkte $A(3, 4, 4)$, $B(0, 5, 3)$ und $C(6, 3, 7)$ liegen auf der Geraden, die durch die folgenden Parametergleichungen definiert ist: $$ x = 3t + 3, \quad y = -t + 4, \quad z = 2t + 5 $$

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Lösung:

Schreiben Sie die Gerade in Form von symmetrischen Gleichungen: $$ \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 4}{-1} = \frac{z - 5}{2} $$

Punkt A $(3, 4, 4)$: $$ \frac{3 - 3}{3} = 0, \quad \frac{4 - 4}{-1} = 0, \quad \frac{4 - 5}{2} = -\frac{1}{2} $$
Der letzte Ausdruck ist nicht gleich den ersten beiden, daher liegt $A$ nicht auf der Geraden.

Punkt B $(0, 5, 3)$: $$ \frac{0 - 3}{3} = -1, \quad \frac{5 - 4}{-1} = -1, \quad \frac{3 - 5}{2} = -1 $$
Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt $B$ auf der Geraden.

Punkt C $(6, 3, 7)$: $$ \frac{6 - 3}{3} = 1, \quad \frac{3 - 4}{-1} = 1, \quad \frac{7 - 5}{2} = 1 $$
Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt $C$ auf der Geraden.