Probleme zu Geraden im 3D-Raum mit detaillierten Lösungen

Gegeben: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -2, 3, 0 \rangle + t \langle 3, 2, 5 \rangle \] Die Gleichheit der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt: \[ x = -2 + 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 0 + 5t \] Lösen Sie nach \( t \) aus jeder der obigen Gleichungen: \[ t = \dfrac{x + 2}{3}, \quad t = \dfrac{y - 3}{2}, \quad t = \dfrac{z}{5} \] Alle sind gleich \( t \), daher die symmetrische Form der Gleichung: \[ \dfrac{x + 2}{3} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z}{5} \]

\[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 2, 0, -3 \rangle \] \[ \text{Gleichheit der Vektorkomponenten:} \quad x = 1 + 2t, \quad y = -2, \quad z = 3 - 3t \] \[ \text{Lösen nach } t: \quad t = \dfrac{x - 1}{2}, \quad t = \dfrac{z - 3}{-3} \] \[ \text{Symmetrische Form:} \quad \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{z - 3}{-3}, \quad y = -2 \]

Richtungsvektor \( \vec{PQ} = \langle 0 - 1 , -2 - 2 , 1 - 3 \rangle = \langle -1 , -4 , -2 \rangle \) \[ \langle x , y , z \rangle = \langle 1 , 2 , 3 \rangle + t \langle -1 , -4 , -2 \rangle \] Die Gleichheit der Vektorkomponenten der obigen Vektorgleichung ergibt: \[ x = 1 - t, \quad y = 2 - 4t, \quad z = 3 - 2t \]

Schreiben Sie die gegebene Gerade \( x = 2t + 5 \), \( y = -4t \) und \( z = -t + 3 \). In symmetrischer Form: \[ \dfrac{x - 5}{2} = \dfrac{y}{-4} = \dfrac{z - 3}{-1} \] Der Richtungsvektor ist: \( \langle 2, -4, -1 \rangle \) Die Gerade durch den Punkt \( P(-3, 5, 2) \) ist parallel zur gegebenen Geraden und hat daher denselben Richtungsvektor. Daher die Vektorgleichung der Geraden durch \( P \): \[ x = -3 + 2t, \quad y = 5 - 4t, \quad z = 2 - t \]

Gerade \( L \) (zu finden) ist senkrecht zu den Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \) und daher senkrecht zu deren Richtungsvektoren \( \vec{d}_1 \) bzw. \( \vec{d}_2 \). Folglich ergibt das Kreuzprodukt von \( \vec{d}_1 \) und \( \vec{d}_2 \) den Richtungsvektor der Geraden \( L \).

Aus der symmetrischen Gleichung von \( L_1 \) ergibt sich der Richtungsvektor: \[ \vec{d}_1 = \langle 3, -4, 4 \rangle \]

Schreiben Sie die Gleichung von \( L_2 \) in symmetrischer Form: \[ \dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{y - 6}{-1} = \dfrac{z}{5} \] Der Richtungsvektor von \( L_2 \) ist: \[ \vec{d}_2 = \langle 3, -1, 5 \rangle \]

Der Richtungsvektor der Geraden \( L \) kann als das Kreuzprodukt genommen werden: \[ \vec{d} = \vec{d}_1 \times \vec{d}_2 = \langle 3, -4, 4 \rangle \times \langle 3, -1, 5 \rangle = \langle -16, -3, 9 \rangle \]

Die Gleichung für die Gerade \( L \) durch den Punkt \( P(1, -2, 3) \) und parallel zum Vektor \( \vec{d} \) ist gegeben durch: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle -16, -3, 9 \rangle \]

Gerade \( L_1 \) ist durch die parametrischen Gleichungen gegeben:
\[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \]

Schreiben Sie die Gleichungen der Geraden \( L_2 \) in Parameterform mit dem Parameter \( s \) wie folgt:
\[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \]

Sei \( A(x, y, z) \) der Schnittpunkt der beiden Geraden. Um ein Schnittpunkt zu sein, müssen die Koordinaten von \( A \) gleichzeitig die Gleichungen beider Geraden erfüllen. Daher:

Gleichsetzen der \( x \)-Koordinaten ergibt die Gleichung:
\[ 2t - 1 = 4s + 7 \quad (1) \]

Gleichsetzen der \( y \)-Koordinaten ergibt die Gleichung:
\[ -3t + 2 = 2s - 2 \quad (2) \]

Gleichsetzen der \( z \)-Koordinaten ergibt die Gleichung:
\[ 4t - 3 = -3s + 2 \quad (3) \]

Schreiben Sie die Gleichungen (1) und (2) in Bezug auf \( t \) und \( s \) wie folgt um:
\[ 2t - 4s = 8 \quad \text{und} \quad -3t - 2s = -4 \]

Lösen Sie nach \( t \) und \( s \) auf, um zu erhalten:
\[ t = 2 \quad \text{und} \quad s = -1 \]

Für einen Schnittpunkt müssen \( t = 2 \) und \( s = -1 \) auch Gleichung (3) erfüllen:
\[ 4t - 3 = -3s + 2 \]

Überprüfung:
\[ \text{Linke Seite von Gleichung (3):} \quad 4(2) - 3 = 5 \] \[ \text{Rechte Seite von Gleichung (3):} \quad -3(-1) + 2 = 5 \]
Somit sind \( t = 2 \) und \( s = -1 \) Lösungen aller drei Gleichungen.

Der Schnittpunkt wird durch Einsetzen in eine der parametrischen Gleichungen von \( L_1 \) oder \( L_2 \) erhalten.

Verwendung von \( L_1 \): Setzen Sie \( t = 2 \) in die Gleichungen ein: \[ x = 2t - 1, \quad y = -3t + 2, \quad z = 4t - 3 \] um die Koordinaten des Schnittpunkts zu erhalten: \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

Verwendung von \( L_2 \) (zur Überprüfung): Setzen Sie \( s = -1 \) ein in
\[ x = 4s + 7, \quad y = 2s - 2, \quad z = -3s + 2 \] ergibt die Koordinaten des Schnittpunkts: \[ x = 3, \quad y = -4, \quad z = 5 \]

Seien \( \mathbf{d}_1 \) und \( \mathbf{d}_2 \) die Richtungsvektoren der Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \).

Für \( L_1 \): \[ \mathbf{d}_1 = \langle 2, -2, -4 \rangle \]

Für \( L_2 \): \[ \mathbf{d}_2 = \langle 6, 2, 2 \rangle \]

Der Winkel \( \theta \) zwischen den Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \) ist gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren \( \mathbf{d}_1 \) und \( \mathbf{d}_2 \), gegeben durch \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 }{ |\mathbf{d}_1| \, |\mathbf{d}_2| } \right) \] wobei \( \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 \) das Skalarprodukt der Vektoren \( \mathbf{d}_1 \) und \( \mathbf{d}_2 \) ist.

\( |\mathbf{d}_1| \) ist der Betrag des Vektors \( \mathbf{d}_1 \), und \( |\mathbf{d}_2| \) ist der Betrag des Vektors \( \mathbf{d}_2 \). \[ \mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = (2)(6) + (-2)(2) + (-4)(2) = 12 - 4 - 8 = 0 \]

Da sowohl \( |\mathbf{d}_1| \) als auch \( |\mathbf{d}_2| \) ungleich Null sind, \[ \theta = \arccos(0) = 90^\circ \]

Wenn sich die Geraden schneiden, bilden sie einen rechten Winkel von \( 90^\circ \). Wenn sie sich nicht schneiden, bilden die windschiefen oder parallelen Geraden, die in diesen Richtungen ausgerichtet sind, ebenfalls einen \( 90^\circ \)-Winkel.

Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, besteht darin zu zeigen, dass die beiden Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \) zwei gemeinsame Punkte haben. Schreiben Sie die beiden Gleichungen in Parameterform um als:

\[ L_1: \quad x = 2 - t, \quad y = 2t, \quad z = -1 + 4t \]

\[ L_2: \quad x = 1 - 2t, \quad y = 2 + 4t, \quad z = 3 + 8t \]

Punkt \( P_1 \) auf \( L_1 \): \( (2, 0, -1) \)

Punkt \( P_2 \) auf \( L_2 \): \( (1, 2, 3) \)

Überprüfen Sie, ob \( P_1(2, 0, -1) \) auf \( L_2 \) liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von \( L_2 \) verwenden: \[ \dfrac{2 - 1}{-2} = \dfrac{0 - 2}{4} = \dfrac{-1 - 3}{8} = -\dfrac{1}{2} \] Alle Terme sind gleich, also liegt \( P_1 \) auf \( L_2 \).

Überprüfen Sie, ob \( P_2(1, 2, 3) \) auf \( L_1 \) liegt, indem Sie die symmetrischen Gleichungen von \( L_1 \) verwenden: \[ \dfrac{1 - 2}{-1} = \dfrac{2}{2} = \dfrac{3 + 1}{4} = 1 \] Alle Terme sind gleich, also liegt \( P_2 \) auf \( L_1 \).

\( P_1 \) liegt auf \( L_1 \) und \( L_2 \), und \( P_2 \) liegt ebenfalls auf \( L_1 \) und \( L_2 \). Die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar.

Gemäß der Geradengleichung liegt der Punkt \( P(2, 3, 0) \) auf der Geraden. Der Richtungsvektor ist \( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \).

Der Abstand \( D \) von der Geraden zum Punkt \( P_0(1, -2, 3) \) ist gegeben durch Abstand Punkt-Gerade: \[ D = \dfrac{|\vec{P_0P} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \] Sei \( \vec{P_0P} = \langle 1, 5, -3 \rangle \), und \( \vec{d} = \langle -2, 3, 1 \rangle \).

Dann ist \( \vec{P_0P} \times \vec{d} = \langle 14, 5, 13 \rangle \). \[ |\vec{P_0P} \times \vec{d}| = \sqrt{14^2 + 5^2 + 13^2} = \sqrt{390} \] \[ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14} \] \[ D = \dfrac{\sqrt{390}}{\sqrt{14}} = \dfrac{\sqrt{195}}{\sqrt{7}} \]

Die Punkte \( P_1(2, 0, -1) \) und \( P_2(1, -2, 3) \) sind Punkte auf den Geraden \( L_1 \) bzw. \( L_2 \). Die Richtungsvektoren sind \[ \mathbf{d}_1 = \langle -1, 4, -4 \rangle \quad \text{und} \quad \mathbf{d}_2 = \langle -5, 2, -2 \rangle \] für die Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \).

Der kürzeste Abstand \( D \) zwischen den beiden Geraden ist gegeben durch die Formel: \[ D = \dfrac{|\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_1P_2}|}{|\mathbf{n}|} \] wobei \(\overrightarrow{P_1P_2}\) der Vektor ist, der durch die Punkte \( P_1 \) und \( P_2 \) definiert wird, und \(\mathbf{n}\) das Kreuzprodukt von \(\mathbf{d}_1\) und \(\mathbf{d}_2\) ist.

\[ \mathbf{n} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \langle -1, 4, -4 \rangle \times \langle -5, 2, -2 \rangle = \langle 0, 18, 18 \rangle \]

\[ \overrightarrow{P_1P_2} = \langle -1, -2, 4 \rangle \]

\[ D = \dfrac{| \langle 0, 18, 18 \rangle \cdot \langle -1, -2, 4 \rangle |}{\sqrt{0^2 + 18^2 + 18^2}} = \dfrac{|0 -36 +72|}{\sqrt{648}} = \dfrac{36}{\sqrt{648}} = \dfrac{36}{18\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]

Richtungsvektoren müssen proportional sein:
\[ \langle 10, b, 4 \rangle = k \langle -5, 2, -2 \rangle \]

Aus der ersten Komponente:
\[ 10 = -5k \Rightarrow k = -2 \]

Aus der dritten Komponente:
\[ 4 = k(-2) \Rightarrow 4 = (-2)(-2) = 4 \Rightarrow k = -2 \text{ (bestätigt)} \]

Aus der zweiten Komponente:
\[ b = k(2) = (-2) \times 2 = -4 \]

a) Gleichung der zu findenden Geraden: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle a, b, c \rangle \]
Senkrecht zu: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + m \langle 1, 1, 1 \rangle \]
Bedingungen anwenden, um \(a\), \(b\) und \(c\) zu finden.
Schnittpunkt ergibt 3 Gleichungen:
\[ 1 + a t = -3 + m \quad (1) \]
\[ -2 + b t = 3 + m \quad (2) \]
\[ 3 + c t = -1 + m \quad (3) \]
Addieren Sie die linken und rechten Seiten aller drei Gleichungen, um zu erhalten
\[ (1 - 2 + 3) + t(a + b + c) = (-3 + 3 + -1) + 3m \] \[ 2 + t(a + b + c) = -1 + 3m \]
Die Richtungsvektoren \(\langle a, b, c \rangle\) und \(\langle 1, 1, 1 \rangle\) sind orthogonal, daher ist ihr Skalarprodukt Null.
\[ a + b + c = 0 \]
Die obige Gleichung \[ 2 + t(a + b + c) = -1 + 3m \] wird zu \[ 2 = -1 + 3m \]
Lösen Sie nach \(m\) auf:
\[ 3m = 3 \Rightarrow m = 1 \]
Setzen Sie \(m = 1\) in die erste der drei Gleichungen (1) ein: \[ 1 + a t = -3 + 1 = -2 \implies a t = -3 \]
Wählen Sie \(a = 1\), um \(t = -3\) zu erhalten.
Verwenden Sie Gleichung (2), um \(b\) zu finden: \[ -2 + b t = 3 + m = 4 \implies -2 + b(-3) = 4 \implies -3b = 6 \implies b = -2 \]
Verwenden Sie Gleichung (3), um \(c\) zu finden: \[ 3 + c t = -1 + m = 0 \implies 3 + c(-3) = 0 \implies -3c = -3 \implies c = 1 \]
Gleichung der Geraden durch den Punkt \((1, -2, 3)\): \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + t \langle 1, -2, 1 \rangle \]

b) Schnittpunkt
Setzen Sie \(t = -3\) in die Gleichung der gefundenen Geraden ein: \[ \langle x, y, z \rangle = \langle 1, -2, 3 \rangle + (-3) \langle 1, -2, 1 \rangle = \langle 1 - 3, -2 + 6, 3 - 3 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]
Zur Überprüfung setzen Sie \(m = 1\) in die gegebene Gleichung der Geraden ein:
\[ \langle x, y, z \rangle = \langle -3, 3, -1 \rangle + 1 \langle 1, 1, 1 \rangle = \langle -2, 4, 0 \rangle \]
Dies ist ein Schnittpunkt, gegeben durch: \[ \langle -2, 4, 0 \rangle \]

Schreiben Sie die symmetrische Form der Geraden: \[ \dfrac{x - 3}{3} = \dfrac{y - 4}{-1} = \dfrac{z - 5}{2} \]

Punkt A: Setzen Sie \(x\), \(y\) und \(z\) in die symmetrischen Gleichungen durch die Koordinaten von Punkt \(A(3, 4, 4)\) ein. \[ \dfrac{3 - 3}{3} = 0 \] \[ \dfrac{4 - 4}{-1} = 0 \] \[ \dfrac{4 - 5}{2} = -\dfrac{1}{2} \] Der letzte Ausdruck ist nicht gleich den ersten beiden, daher liegt \(A\) nicht auf der Geraden.

Punkt B: Setzen Sie \(x\), \(y\) und \(z\) in die symmetrischen Gleichungen durch die Koordinaten von Punkt \(B(0, 5, 3)\) ein. \[ \dfrac{0 - 3}{3} = -1 \] \[ \dfrac{5 - 4}{-1} = -1 \] \[ \dfrac{3 - 5}{2} = -1 \] Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt \(B\) auf der Geraden.

Punkt C: Setzen Sie \(x\), \(y\) und \(z\) in die symmetrischen Gleichungen durch die Koordinaten von Punkt \(C(6, 3, 7)\) ein. \[ \dfrac{6 - 3}{3} = 1 \] \[ \dfrac{3 - 4}{-1} = 1 \] \[ \dfrac{7 - 5}{2} = 1 \] Alle Ausdrücke sind gleich, daher liegt \(C\) auf der Geraden.

Schlussfolgerung: Die Punkte B und C liegen auf der Geraden.