Gelöste Aufgaben zu Skalar- und Kreuzprodukt von 3D-Vektoren

Das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{v} \) ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) steht.

Daher ist das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{u} \times \vec{v} \) gleich 0.

\[ \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0 \]

Wenn zwei Vektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Daher gilt:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \langle -2, -k, 1 \rangle \cdot \langle 8, -2, -3 \rangle = 0 \]

Erweitern Sie das Skalarprodukt, um die Gleichung zu erhalten:

\[ (-2)(8) + (-k)(-2) + (1)(-3) = 0 \]

Vereinfachen Sie und lösen Sie nach \( k \) auf:

\[ -16 + 2k - 3 = 0 \]

\[ k = \dfrac{19}{2} \]

Zwei beliebige Vektoren liegen in derselben Ebene (d. h. sie sind komplanar). Wenn ein dritter Vektor ebenfalls in dieser Ebene liegt, dann ist das Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds Null. Dieses Volumen wird mit dem Spatprodukt berechnet:

\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0 \]

Der Ausdruck \(\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})\) heißt Spatprodukt und kann mit der Determinante einer 3x3-Matrix berechnet werden:

\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ w_x & w_y & w_z \end{bmatrix} \]

Hier repräsentieren \(u_x, u_y, u_z, v_x, \ldots\) die Komponenten der Vektoren \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\).

Einsetzen der spezifischen Vektorkomponenten in die Determinante ergibt:

\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \det \begin{bmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & k \\ -1 & 3 & -5 \end{bmatrix} \]

\[ = -3(-5 - 3k) - 2(-10 + k) - 2(6 + 1) = 21 + 7k \]

Damit die drei Vektoren komplanar sind, muss das Spatprodukt Null sein:

\[ 21 + 7k = 0 \]

Auflösen nach \(k\):

\[ k = -3 \]

Unten sind die drei Vektoren dargestellt, die in derselben Ebene liegen.

Verwenden Sie die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) und seinen Ausdruck mit den Vektorkomponenten.

Definition: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos \theta \] wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

Das Skalarprodukt ist auch gegeben durch \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \] wobei \(u_x, v_x, u_y, \ldots\) die Komponenten der Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) sind.

Berechnen wir die Beträge \(\|\vec{u}\|\) und \(\|\vec{v}\|\): \[ \|\vec{u}\| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{5} \] \[ \|\vec{v}\| = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{77} \]

Wir verwenden nun die Komponenten, um das Skalarprodukt zu finden: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(8) + (0)(-2) + (1)(-3) = 13 \]

Wir verwenden nun die Definition, um den Winkel \(\theta\) zu finden: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos \theta \] \[ \cos \theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|} = \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \] \[ \theta = \arccos\left( \dfrac{13}{\sqrt{5} \sqrt{77}} \right) = 48.5^\circ \]

Die Vektorprojektion von \(\vec{u}\) auf \(\vec{v}\) ist gegeben durch (siehe Formel in Skalar- und Kreuzprodukte von 3D-Vektoren):

\[ \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v} \]

\[ = \dfrac{ \langle -1,-1,1 \rangle \cdot \langle 2,1,1 \rangle }{2^2 + 1^2 + 1^2} \langle 2,1,1 \rangle = \dfrac{(-1)(2) + (-1)(1) + (1)(1)}{6} \langle 2,1,1 \rangle \]

\[ = -\dfrac{2}{6} \langle 2,1,1 \rangle = \langle -2/3, -1/3, -1/3 \rangle \]

Die Vektoren \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) und \(\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\) sind unten dargestellt.

Damit das Dreieck ABC bei A rechtwinklig ist, müssen die Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) senkrecht zueinander stehen, und daher ist ihr Skalarprodukt gleich 0. Wir beginnen mit der Berechnung der Komponenten der Vektoren.

\[ \vec{AB} = \langle -2, 4, 3 - k \rangle \]

\[ \vec{AC} = \langle 2, 1, 6 - k \rangle \]

Das Skalarprodukt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) muss Null sein.

\[ \langle -2, 4, 3 - k \rangle \cdot \langle 2, 1, 6 - k \rangle = 0 \]

\[ -4 + 4 + (3 - k)(6 - k) = 0 \]

Vereinfachen und nach \(k\) auflösen.

\[ \text{Zwei Lösungen: } k = 3 \text{ und } k = 6 \]

Seien \( a, b, c \) die Komponenten des Vektors \( \vec{u} \). Daher gilt \[ \vec{v} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -1 & -2 \\ a & b & c \end{vmatrix} \]

\[ = \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ b & c \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ a & c \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ a & b \end{vmatrix} \vec{k} = (-c + 2b)\vec{i} + (-2a - 3c)\vec{j} + (3b + a)\vec{k} \]

Wir setzen nun die Komponenten von \( \vec{v} \times \vec{u} \) und \( \langle 4, 2, 5 \rangle \) gleich, wie oben angegeben. Daher gilt \[ -c + 2b = 4 \] \[ -2a - 3c = 2 \] \[ 3b + a = 5 \]

Beachten Sie, dass die Gleichungen im obigen System nicht unabhängig sind (addiert man das -3-fache der ersten Gleichung \( -c + 2b = 4 \) zur zweiten Gleichung \( -2a - 3c = 2 \), erhält man eine Gleichung, die der dritten Gleichung \( 3b + a = 5 \) entspricht), und daher hat es viele Lösungen. Sei \( a = t \) und verwenden Sie die zweite Gleichung, um \( c \) zu finden: \[ -2t - 3c = 2 \] \[ c = \dfrac{2 + 2t}{-3} \]

Sei \( a = t \) und verwenden Sie die dritte Gleichung, um \( b \) zu finden: \[ 3b + t = 5 \] \[ b = \dfrac{5 - t}{3} \]

Wir verwenden nun die Bedingung \( ||\vec{u}|| = 3 \), um die Gleichung zu schreiben: \[ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 3 \]

Quadrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung und ersetzen Sie \( a, b, c \) durch ihre Ausdrücke in \( t \): \[ t^2 + \left( \dfrac{5 - t}{3} \right)^2 + \left( \dfrac{2 + 2t}{-3} \right)^2 = 9 \]

Multiplizieren Sie alle Terme der Gleichung mit 9 und vereinfachen Sie: \[ 9t^2 + (5 - t)^2 + (2 + 2t)^2 = 81 \]

Erweitern Sie das Obige, um eine quadratische Gleichung zu erhalten, und lösen Sie sie, um zu finden \[ t = 2 \quad \text{und} \quad t = -\dfrac{13}{7} \]

Daher zwei Lösungen für den Vektor \( \vec{u} \): Für \( t = 2 \): \[ \vec{u}_1 = \langle t, \dfrac{5 - t}{3}, \dfrac{2 + 2t}{-3} \rangle = \langle 2, 1, -2 \rangle \]

Für \( t = -\dfrac{13}{7} \): \[ \vec{u}_2 = \langle t, \dfrac{5 - t}{3}, \dfrac{2 + 2t}{-3} \rangle = \langle -\dfrac{13}{7}, \dfrac{16}{7}, \dfrac{4}{7} \rangle \]

a) Seien \( a, b \) und \( c \) die Koordinaten des Punktes \( D \), und bestimmen Sie die Komponenten der Vektoren \( \vec{AB} \) und \( \vec{DC} \).

\[ \vec{AB} = \langle 2 - 4 ,\ 2 - 6 ,\ 4 - 2 \rangle = \langle -2, -4, 2 \rangle \]

\[ \vec{DC} = \langle -2 - a ,\ -3 - b ,\ 1 - c \rangle \]

Damit die Punkte \( A, B, C \) und \( D \) ein Parallelogramm bilden, müssen die Vektoren \( \vec{AB} \) und \( \vec{DC} \) gleich sein. Daher haben wir die folgende Vektorgleichung:

\[ \langle -2, -4, 2 \rangle = \langle -2 - a, -3 - b, 1 - c \rangle \]

Dies ergibt die folgenden drei algebraischen Gleichungen:

\[ -2 - a = -2 \]

\[ -3 - b = -4 \]

\[ 1 - c = 2 \]

Das Lösen dieser Gleichungen ergibt die Koordinaten des Punktes \( D \):

\[ D(0, 1, -1) \]

b) Die Fläche \( A \) des Parallelogramms ist gegeben durch:

\[ A = \left\| \vec{AB} \times \vec{BC} \right\| \]

Berechnen Sie zuerst das Kreuzprodukt:

\[ \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & 2 \\ -4 & -5 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -4 & -3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -4 & -5 \end{vmatrix} \vec{k} \]

\[ = 22\vec{i} + 14\vec{j} -6\vec{k} \]

Berechnen Sie nun die Größe dieses Kreuzprodukts, um die Fläche zu erhalten:

\[ A = \left\| \vec{AB} \times \vec{BC} \right\| = \sqrt{22^2 + 14^2 + (-6)^2} = 2\sqrt{179} \]

Wir finden zuerst die Komponenten der Vektoren \(\vec{AG}\) und \(\vec{BH}\).

\[ \vec{AG} = \langle 2, 2, 2 \rangle \]

\[ \vec{BH} = \langle -2, 2, 2 \rangle \]

Unter Verwendung des Skalarprodukts, wobei \(\theta\) der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{AG}\) und \(\vec{BH}\) ist, gilt (siehe Aufgabe 5 oben):

\[ \cos \theta = \dfrac{\vec{AG} \cdot \vec{BH}}{||\vec{AG}|| \cdot || \vec{BH} ||} = \dfrac{2\cdot (-2)+2\cdot2+2\cdot2}{\sqrt{2^2+2^2+2^2}\sqrt{(-2)^2+2^2+2^2}} = \dfrac{1}{3} \]

\[ \theta = \arccos \left( \dfrac{1}{3} \right) \approx 70.5^{\circ} \]

Um einen Vektor zu finden, der orthogonal zur Ebene ist, welche die Punkte \( A(1,2,-3) \), \( B(0,-2,1) \) und \( C(-2,0,1) \) enthält, berechnen wir zunächst zwei Vektoren in der Ebene:

\[ \vec{AB} = \langle 0 - 1,\ -2 - 2,\ 1 - (-3) \rangle = \langle -1, -4, 4 \rangle \]

\[ \vec{AC} = \langle -2 - 1,\ 0 - 2,\ 1 - (-3) \rangle = \langle -3, -2, 4 \rangle \]

Berechnen Sie als nächstes das Kreuzprodukt \( \vec{AB} \times \vec{AC} \), um einen Vektor zu finden, der orthogonal zu beiden ist (und somit normal zur Ebene):

\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -4 & 4 \\ -3 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \left( (-4)(4) - (4)(-2) \right)\vec{i} - \left( (-1)(4) - (4)(-3) \right)\vec{j} + \left( (-1)(-2) - (-4)(-3) \right)\vec{k} \]

\[ = (-16 + 8)\vec{i} - (-4 + 12)\vec{j} + (2 - 12)\vec{k} = \langle -8, -8, -10 \rangle \]

Ein zur Ebene orthogonaler Vektor ist also:

\[ {\langle -8, -8, -10 \rangle} \]

Die Fläche \( A \) eines Dreiecks ist gegeben durch die Hälfte der Größe des Kreuzprodukts \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) zweier beliebiger Vektoren, die von den Seiten des Dreiecks gebildet werden. Daher gilt:

\( \vec{AB} = \langle 0, -2, 3 \rangle \), \( \vec{AC} = \langle -1, 2, 4 \rangle \).

\( \vec{AB} \times \vec{AC} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 0 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}0 & 3\\ -1 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}0 & -2\\ -1& 2\end{vmatrix}} \vec{k} = -14\vec{i} - 3\vec{j} -2\vec{k} \)

\( A_t = (1/2) || \vec{AB} \times \vec{AC} || = (1/2)\sqrt{(-14)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = (1/2) \sqrt{209} \) FE

Das Volumen \( V \) des Parallelepipeds ist gegeben durch \[ V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = |\vec{v} \cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = |\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \]

Lassen Sie uns zuerst die Komponenten der Vektoren \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{w} \) finden. \[ \vec{u} = \langle -3, 0, 7 \rangle \] \[ \vec{v} = \langle -8, 0, 0 \rangle \] \[ \vec{w} = \langle 0, -9, 0 \rangle \]

\[ \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & 0 & 0 \\ 0 & -9 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \left\{ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -9 & 0 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -8 & 0 \\ 0 & -9 \end{vmatrix} \vec{k} \right\} \]

\[ = \langle -3 , 0 , 7 \rangle \cdot \langle 0 , 0 , 72 \rangle = 0 + 0 + 7 \cdot 72 = 504 \]

Das Volumen ist \[ V = |504| = 504 \quad \text{VE}^3 \]