Vereinfachen inverser trigonometrischer Funktionen

Vereinfachen Sie die Ausdrücke:

1. $\sin(\arcsin(x))$ und $\arcsin(\sin(x))$
2. $\cos(\arccos(x))$ und $\arccos(\cos(x))$
3. $\tan(\arctan(x))$ und $\arctan(\tan(x))$

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Lösung:

1. Sinus und Arkussinus sind Umkehrfunktionen voneinander. Daher können die Eigenschaften von Umkehrfunktionen genutzt werden, um zu schreiben:

   $$ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{für } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{für } x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   HINWEIS: Wenn $x$ in $\arcsin(\sin(x))$ nicht im Intervall $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ liegt, suchen Sie einen Winkel $\theta$ im Intervall $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, so dass $\sin(x) = \sin(\theta)$ gilt, und vereinfachen Sie dann: $\arcsin(\sin(x)) = \theta$

2. Kosinus und Arkuskosinus sind Umkehrfunktionen voneinander:

   $$ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{für } -1 \leq x \leq 1 $$

   $$ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{für } x \in [0, \pi] $$

   HINWEIS: Wenn $x$ in $\arccos(\cos(x))$ nicht im Intervall $[0, \pi]$ liegt, suchen Sie einen Winkel $\theta$ im Intervall $[0, \pi]$, so dass $\cos(x) = \cos(\theta)$ gilt, und vereinfachen Sie dann: $\arccos(\cos(x)) = \theta$.

3. Tangens und Arkustangens sind Umkehrfunktionen voneinander:

   $$ \tan(\arctan(x)) = x $$

   $$ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{für } x \in \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) $$

   HINWEIS: Wenn $x$ in $\arctan(\tan(x))$ nicht im Intervall $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$ liegt, suchen Sie einen Winkel $\theta$ im Intervall $\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)$, so dass $\tan(x) = \tan(\theta)$ gilt, und vereinfachen Sie dann: $\arctan(\tan(x)) = \theta$

Drücken Sie Folgendes als algebraische Ausdrücke aus:

$$ \sin(\arccos(x)) \quad \text{und} \quad \tan(\arccos(x)) $$

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Lösung:

Sei $A = \arccos(x)$. Daraus folgt,

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $A$, so dass $\cos(A) = x$ (bzw. $\dfrac{x}{1}$) gilt. Finden Sie die zweite Kathete und berechnen Sie $\sin(A)$ und $\tan(A)$.

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{für } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arccos(x)) = \tan(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \quad \text{für } x \in [-1, 0) \cup (0, 1] $$

Drücken Sie Folgendes als algebraische Ausdrücke aus:

$$ \cos(\arcsin(x)) \quad \text{und} \quad \tan(\arcsin(x)) $$

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Lösung:

Sei $A = \arcsin(x)$. Daraus folgt,

$$ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x $$

Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $A$, so dass $\sin(A) = x$ (bzw. $\dfrac{x}{1}$) gilt, finden Sie die zweite Kathete und berechnen Sie $\cos(A)$ und $\tan(A)$.

$$ \cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{für } x \in [-1, 1] $$

$$ \tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{für } x \in (-1, 1) $$

Drücken Sie Folgendes als algebraische Ausdrücke aus:

$$ \sin(\arctan(x)) \quad \text{und} \quad \cos(\arctan(x)) $$

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Lösung:

Sei $A = \arctan(x)$. Daraus folgt,

$$ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x $$

Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $A$, so dass $\tan(A) = x$ (bzw. $\dfrac{x}{1}$) gilt. Finden Sie die Hypotenuse und berechnen Sie $\sin(A)$ und $\cos(A)$.

$$ \sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

$$ \cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:

1. $\arccos(0)$, $\arcsin(-1)$, $\arctan(-1)$
2. $\sin(\arcsin(-1/2))$, $\arccos(\cos(\pi/2))$, $\arccos(\cos(-\pi/2))$
3. $\cos(\arcsin(-1/2))$, $\arcsin(\sin(\pi/3))$, $\arcsin(\tan(3\pi/4))$
4. $\arccos(\tan(7\pi/4))$, $\arcsin(\sin(13\pi/3))$, $\arctan(\tan(-17\pi/4))$, $\arcsin(\sin(9\pi/5))$

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Lösung:

1. Verwenden Sie die direkten Definitionen der Umkehrfunktionen:

   $$ \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{weil} \quad \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{und} \quad \dfrac{\pi}{2} \in [0, \pi] $$

   $$ \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} \quad \text{weil} \quad \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{und} \quad -\dfrac{\pi}{2} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] $$

   $$ \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4} \quad \text{weil} \quad \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{und} \quad -\dfrac{\pi}{4} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) $$

2. Vereinfachen Sie zuerst die inneren Funktionen, dann die äußeren Funktionen anhand der Definitionen:

   $$ \sin\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

   $$ \arccos\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\right) = \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} $$

3. Vereinfachen Sie zuerst die inneren Funktionen, dann die äußeren Funktionen:

   $$ \cos\left(\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $$

   $$ \arcsin\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} $$

   $$ \arcsin\left(\tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\right) = \arcsin(-1) = -\dfrac{\pi}{2} $$

4. Passen Sie die Winkel so an, dass sie in die korrekten Intervalle fallen, bevor Sie die Umkehrfunktionen anwenden:

   $$ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi $$

   $$ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 $$

   $$ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 $$

   $$ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 $$

Seien $A = \arcsin(2/3)$ und $B = \arccos(-1/2)$. Finden Sie den exakten Wert von $\sin(A + B)$.

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Lösung:

Verwenden Sie das Additionstheorem für den Sinus:

$$ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) $$

Erweitern Sie den gegebenen Ausdruck, indem Sie $A$ und $B$ einsetzen:

$$ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) $$

Verwenden Sie die Identitäten der Umkehrfunktionen, um jeden einzelnen Term zu vereinfachen:

• $\sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3}$
• $\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2}$
• $\cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3}$
• $\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Setzen Sie diese Werte wieder in die erweiterte Gleichung ein und berechnen Sie:

$$ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} $$

Schreiben Sie $Y = \sin(2 \arcsin(x))$ als algebraischen Ausdruck.

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Lösung:

Sei $A = \arcsin(x)$. Daher kann $Y$ geschrieben werden als:

$$ Y = \sin(2A) $$

Verwenden Sie die Doppelwinkelidentität $\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)$, um $Y$ umzuschreiben:

$$ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) $$

Wenden Sie die Standardidentitäten $\sin(\arcsin(x)) = x$ und $\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}$ an, um den endgültigen Ausdruck zu erhalten:

$$ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} $$

Finden Sie den exakten Wert von $Y = \sin(2 \arctan(3/4))$.

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Lösung:

Sei $A = \arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)$. Daher kann $Y$ geschrieben werden als:

$$ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) $$

Werten Sie die inneren Funktionen mithilfe der standardmäßigen algebraischen Umwandlungseigenschaften für den Arkustangens aus:

$$ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{3}{5} $$

$$ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\dfrac{3}{4}\right)\right) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2}} = \dfrac{4}{5} $$

Setzen Sie diese in die Doppelwinkelformel ein:

$$ Y = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25} $$