Erfahren Sie, wie Sie in der 12. Klasse Ausdrücke mit inversen trigonometrischen Funktionen vereinfachen. Diese Seite enthält Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen und klaren Erklärungen, die Ihnen helfen, dieses wichtige Thema zu meistern.
Vereinfachen Sie die Ausdrücke:
Sinus und Arkussinus sind Umkehrfunktionen voneinander, daher können die Eigenschaften von Umkehrfunktionen genutzt werden, um zu schreiben: \[ \sin(\arcsin(x)) = x, \quad \text{für } -1 \leq x \leq 1 \] \[ \arcsin(\sin(x)) = x, \quad \text{für } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \]
HINWEIS:
Wenn \( x \) in \( \arcsin(\sin(x)) \) nicht im Intervall \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) liegt, finden Sie \( \theta \) im Intervall \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) mit \[ \sin(x) = \sin(\theta) \] und vereinfachen Sie dann: \[ \arcsin(\sin(x)) = \theta \]
Kosinus und Arkuskosinus sind Umkehrfunktionen voneinander. Daher können die Eigenschaften von Umkehrfunktionen genutzt werden, um zu schreiben: \[ \cos(\arccos(x)) = x, \quad \text{für } -1 \leq x \leq 1 \] \[ \arccos(\cos(x)) = x, \quad \text{für } x \in [0, \pi] \]
HINWEIS:
Wenn \( x \) in \( \arccos(\cos(x)) \) nicht im Intervall \([0, \pi]\) liegt, finden Sie \( \theta \) im Intervall \([0, \pi] \) mit \( \cos(x) = \cos(\theta) \), und vereinfachen Sie dann \( \arccos(\cos(x)) = \theta \).
Tangens und Arkustangens sind Umkehrfunktionen voneinander, daher können die Eigenschaften von Umkehrfunktionen genutzt werden, um zu schreiben
\[ \tan(\arctan(x)) = x \] \[ \arctan(\tan(x)) = x \quad \text{für } x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \]HINWEIS:
Wenn \( x \) in \( \arctan(\tan(x)) \) nicht im Intervall \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) liegt, finden Sie \( \theta \) im Intervall \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) mit \( \tan(x) = \tan(\theta) \) und vereinfachen Sie dann \( \arctan(\tan(x)) = \theta \).
Drücken Sie die Folgenden als algebraische Ausdrücke aus: \[ \sin(\arccos(x)) \] und \[ \tan(\arccos(x)) \]
Sei \( A = \arccos(x) \). Daher gilt: \[ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x \]
Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \( A \), so dass \( \cos(A) = x \) (oder \( \frac{x}{1} \)) ist. Berechnen Sie die zweite Kathete und bestimmen Sie \( \sin(A) \) und \( \tan(A) \).
Drücken Sie die Folgenden als algebraische Ausdrücke aus: \[ \cos(\arcsin(x)) \] und \[ \tan(\arcsin(x)) \]
Sei \( A = \arcsin(x) \). Daher gilt: \[ \sin(A) = \sin(\arcsin(x)) = x \]
Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \( A \), so dass \( \sin(A) = x \) (oder \( \frac{x}{1} \)) ist, berechnen Sie die zweite Kathete und bestimmen Sie \( \cos(A) \) und \( \tan(A) \).
\[
\cos(\arcsin(x)) = \cos(A) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2} \quad \text{für } x \in [-1, 1]
\]
\[
\tan(\arcsin(x)) = \tan(A) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \quad \text{für } x \in (-1, 1)
\]
Drücken Sie die Folgenden als algebraische Ausdrücke aus: \[ \sin(\arctan(x)) \] und \[ \cos(\arctan(x)) \]
Sei \( A = \arctan(x) \). Daher gilt: \[ \tan(A) = \tan(\arctan(x)) = x \]
Verwenden Sie ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel \( A \), so dass \( \tan(A) = x \) (oder \( \frac{x}{1} \)) ist. Berechnen Sie die Hypotenuse und bestimmen Sie \( \sin(A) \) und \( \cos(A) \).
\[
\sin(\arctan(x)) = \sin(A) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}
\]
\[
\cos(\arctan(x)) = \cos(A) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
\]
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke:
Verwenden Sie die Definition. \[ \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \quad \text{weil} \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \quad \text{und} \quad \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] \] \[ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \quad \text{weil} \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \quad \text{und} \quad -\frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \] \[ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} \quad \text{weil} \quad \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 \quad \text{und} \quad -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \]
Vereinfachen Sie die inneren Funktionen, dann die äußeren Funktionen mithilfe der Definitionen. \[ \sin(\arcsin(-\frac{1}{2})) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \] \[ \arccos(\cos(\frac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \] \[ \arccos(\cos(-\frac{\pi}{2})) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]
Vereinfachen Sie die inneren Funktionen, dann die äußeren Funktionen mithilfe der Definitionen. \[ \cos(\arcsin(-\frac{1}{2})) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \arcsin(\sin(\frac{\pi}{3})) = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \] \[ \arcsin(\tan(\frac{3\pi}{4})) = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \]
Vereinfachen Sie die inneren Funktionen, dann die äußeren Funktionen mithilfe der Definitionen. \[ \arccos\big(\tan(7\pi/4)\big) = \arccos(-1) = \pi \] \[ \arcsin\big(\sin(13\pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(4\pi + \pi/3)\big) = \arcsin\big(\sin(\pi/3)\big) = \pi/3 \] \[ \arctan\big(\tan(-17\pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-4\pi - \pi/4)\big) = \arctan\big(\tan(-\pi/4)\big) = -\pi/4 \] \[ \arcsin\big(\sin(9\pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(2\pi - \pi/5)\big) = \arcsin\big(\sin(-\pi/5)\big) = -\pi/5 \]
Sei \( A = \arcsin(2/3) \) und \( B = \arccos(-1/2) \). Finden Sie den exakten Wert von \( \sin(A + B) \).
Verwenden Sie die Identität \[ \sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \] um den gegebenen Ausdruck zu entwickeln. \[ \sin(A + B) = \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) + \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3}))\sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) \] Verwenden Sie die obigen Identitäten, um jeden Term im Ausdruck zu vereinfachen. \[ \sin(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \tfrac{2}{3} \] (wir haben \(\sin(\arcsin(x)) = x\) verwendet) \[ \cos(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = -\tfrac{1}{2} \] (wir haben \(\cos(\arccos(x)) = x\) verwendet) \[ \cos(\arcsin(\tfrac{2}{3})) = \sqrt{1 - \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{5}{9}} = \tfrac{\sqrt{5}}{3} \] (wir haben \(\cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2}\) verwendet) \[ \sin(\arccos(-\tfrac{1}{2})) = \sqrt{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3}{4}} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \] (wir haben \(\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}\) verwendet)
Setzen Sie ein und berechnen Sie. \[ \sin(A + B) = \left(\tfrac{2}{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\tfrac{1}{3} + \tfrac{\sqrt{15}}{6} \]
Schreiben Sie \( Y = \sin(2 \arcsin(x)) \) als algebraischen Ausdruck.
Sei \( A = \arcsin(x) \). Daher kann \( Y \) geschrieben werden als \[ Y = \sin(2A) \]
Verwenden Sie die Identität \[ \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] um \( Y \) wie folgt umzuschreiben: \[ Y = 2 \sin(A) \cos(A) = 2 \sin(\arcsin(x)) \cos(\arcsin(x)) \]
Verwenden Sie die Identitäten \[ \sin(\arcsin(x)) = x \quad \text{und} \quad \cos(\arcsin(x)) = \sqrt{1 - x^2} \] um \( Y \) wie folgt umzuschreiben: \[ Y = 2 x \sqrt{1 - x^2} \]
Finden Sie den exakten Wert von \( Y = \sin(2 \arctan(3/4)) \).
Sei \( A = \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \). Daher kann \( Y \) geschrieben werden als \[ Y = \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] \[ \sin(A) = \sin\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{3}{5} \] \[ \cos(A) = \cos\left(\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}} = \frac{4}{5} \] \[ Y = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]