Reale Anwendungen von Sinusfunktionen mit Lösungen
Probleme mit Lösungen
Sinusfunktionen sind leistungsstarke mathematische Werkzeuge zur Modellierung periodischer Phänomene, die sich im Laufe der Zeit wiederholen. Diese Webseite zeigt, wie Sinusfunktionen helfen, reale Probleme mit Bewegung, Zyklen und Schwingungen zu lösen. Ob es um die Analyse der Bewegung einer schwingenden Masse, die Vorhersage der Anzahl der Tageslichtstunden im Jahresverlauf, die Schätzung monatlicher Durchschnittstemperaturen, die Modellierung der Rotation eines Riesenrads, das Verständnis von Ebbe und Flut oder die Optimierung der Leistung von Solarpanelen geht – Sinusfunktionen liefern genaue und praktische Lösungen. Tauchen Sie in jedes Beispiel ein, um zu sehen, wie Mathematik durch sinusförmige Modelle auf die reale Welt trifft.
Problem 1
Eine an einer Feder befestigte Masse wird in Richtung Boden gezogen, sodass ihre Höhe über dem Boden 10 mm (Millimeter) beträgt. Die Masse wird dann losgelassen und beginnt sich auf und ab zu bewegen, wobei sie maximale und minimale Höhen von 20 bzw. 10 mm erreicht, mit einer Periodendauer von 0,8 Sekunden.
- Nehmen Sie an, dass die Höhe \( h(t) \) der Masse eine Sinusfunktion ist, wobei \( t \) die Zeit in Sekunden ist. Skizzieren Sie einen Graphen von \( h \) von \( t = 0 \) bis \( t = 0,8 \) Sekunden. \( t = 0 \) ist der Zeitpunkt, zu dem die Masse losgelassen wird.
- Finden Sie eine Sinusfunktion für die Höhe \( h(t) \).
- Wie viele Sekunden pro Zyklus befindet sich die Höhe der Masse über 17 mm?
Lösung
-
Die Masse wird zum Zeitpunkt \( t = 0 \) losgelassen, wenn \( h \) minimal ist. Einen halben Zyklus später erreicht \( h \) sein Maximum und nach einem weiteren halben Zyklus wieder sein Minimum. Über einen Zyklus variiert \( h \) also mit \( t \) wie folgt:
-
Gemäß dem in Teil a) erhaltenen Graphen könnte \( h(t) \) durch eine Kosinusfunktion modelliert werden, die vertikal nach oben und horizontal nach rechts verschoben (translatiert) ist. Daher
\[
h(t) = a \cos[ b(t - d) ] + c
\]
Sei \( h_{\text{max}} \) der Maximalwert von \( h \) und \( h_{\text{min}} \) der Minimalwert von \( h \). Daher
\[
|a| = \frac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 , \quad a = \pm 5
\]
\[
c = \frac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \frac{20 + 10}{2} = 15
\]
\[
\text{Periodendauer} = \frac{2\pi}{|b|} = 0,8 \Rightarrow b = \pm 2,5\pi
\]
Wir verwenden \( a = 5 \) und \( b = 2,5\pi \). Die Verschiebung der Kosinusfunktion erfolgt nach rechts und entspricht einer halben Periodendauer. Daher ist \( d = 0,4 \)
\[
h(t) = 5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15
\]
Überprüfung, dass \( h \) bei \( t = 0 \) ein Minimum hat:
\[
h(0) = 5 \cos[ 2,5\pi(0 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( -\pi ) + 15 = 10
\]
Überprüfung, dass \( h \) bei \( t = 0,4 \) ein Maximum hat:
\[
h(0,4) = 5 \cos[ 2,5\pi(0,4 - 0,4) ] + 15 = 5 \cos( 0 ) + 15 = 20
\]
-
Unten ist der Graph von \( y = h(t) \) und \( y = 17 \) dargestellt. Wir müssen zuerst \( t_1 \) und \( t_2 \) finden, die Werte von \( t \), für die \( h(t) = 17 \) ist, indem wir die Gleichung lösen
\[
5 \cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] + 15 = 17
\]
\[
\cos[ 2,5\pi(t - 0,4) ] = \frac{17 - 15}{5} = 0,4
\]
\[
2,5\pi(t - 0,4) = \arccos(0,4)
\]
\[
t = \frac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ Sekunden}
\]
Die gefundene Lösung \( t \) ist größer als \( 0,4 \), was der Position des Maximums entspricht, und kleiner als \( 0,8 \) und entspricht daher \( t_2 \). Daher
\[
t_2 = \frac{\arccos(0,4)}{2,5\pi} + 0,4 = 0,547 \text{ Sekunden}
\]
\( t_1 \) wird unter Ausnutzung der Symmetrie der beiden Lösungen in Bezug auf die Position des Maximums bei \( t = 0,4 \) ermittelt. Daher
\[
t_1 = 0,4 - (0,547 - 0,4) = 0,252 \text{ Sekunden}
\]
Die Höhe der Masse beträgt mehr als 17 Meter für
\[
t_2 - t_1 = 0,547 - 0,252 = 0,295 \text{ Sekunden}
\]
Problem 2
Die Anzahl der Tageslichtstunden \( H \) in einem bestimmten Gebiet wird näherungsweise durch die Funktion
\[
H(t) = 2,5 \cos\left[ b(t - d) \right] + 11,5
\]
angegeben, wobei \( H \) in Stunden und \( t \) in Tagen gemessen wird, und die Funktion eine Periode von einem Jahr (365 Tage) hat.
- Finden Sie \( b \) (\( b > 0 \)) und \( d \), wenn \( H \) am 21. Juni maximal ist (der Monat Februar hat 28 Tage).
- Welcher Tag ist der kürzeste (hat die wenigsten Tageslichtstunden)?
Lösung
-
Da die Periodendauer bekannt ist und 365 Tage beträgt, verwenden wir die Formel:
\[
365 = \frac{2\pi}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2\pi}{365}
\]
Wenn wir \( d = 0 \) in der Funktion
\[
H(t) = 2,5 \cos[b(t - d)] + 11,5
\]
setzen, wird daraus
\[
H(t) = 2,5 \cos(bt) + 11,5
\]
welche bei \( t = 0 \) ein Maximum hat.
In unserem Problem tritt das Maximum am 21. Juni auf, was
\[
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172
\]
(Tage vom 1. Januar bis zum 21. Juni) entspricht.
Daher beträgt die horizontale Verschiebung 172 Einheiten nach rechts und \( d = 172 \). Somit,
\[
H(t) = 2,5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5
\]
-
Der kürzeste Tag entspricht dem Wert von \( t \), der das Minimum von \( H \) ergibt, also:
\[
11,5 - 2,5 = 9
\]
Wir lösen die Gleichung:
\[
2,5 \cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] + 11,5 = 9
\]
\[
\cos\left[\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right] = \frac{9 - 11,5}{2,5} = -1 = \cos(\pi)
\]
woraus folgt
\[
\frac{2\pi}{365}(t - 172) = \pi
\]
\[
t = \frac{365\pi}{2\pi} + 172 = 354,5 \text{ Tage}
\]
Hinweis: Wir könnten dies auch bestimmen, indem wir erkennen, dass die Zeit von einem Maximum bis zum folgenden Minimum bei einer Kosinusfunktion eine halbe Periodendauer beträgt. Daher tritt das Minimum auf bei:
\[
t = 172 + \frac{1}{2}(365) = 354,5 \text{ Tage}
\]
Um die Anzahl der Tage von Januar bis November zu berechnen:
\[
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334
\]
Dann beträgt die Anzahl der Tage im Dezember:
\[
354,5 - 334 = 20,5
\]
was ungefähr dem 21. Dezember entspricht.
Problem 3
Die monatliche Durchschnittstemperatur \( T \) (in \( ^{\circ} \mathrm{C} \)) in einer bestimmten Stadt kann angenähert werden durch
\[
T(t) = a \cos\left[ b(t - d) \right] + c
\]
wobei \( t \) die Zeit in Monaten ist, \( t = 0 \) dem 1. Januar entspricht, und wir annehmen, dass die Funktion \( T(t) \) eine Periode von 12 Monaten hat.
- Finden Sie \( a \), \( b \) (mit \( b > 0 \)), \( c \) und \( d \), wenn \( T \) Mitte Juli (\( t = 6,5 \)) ein Maximum von \( 22,4^{\circ} \mathrm{C} \) und ein Minimum von \( -10^{\circ} \mathrm{C} \) hat.
- In welchem Monat ist \( T \) minimal?
- Über wie viele Monate ist \( T \) größer als \( 18^{\circ} \mathrm{C} \)?
Lösung
-
Die Minimal- und Maximalwerte von \( T \), bezeichnet mit \( T_{\text{max}} \) und \( T_{\text{min}} \), ermöglichen es uns, \( a \) und \( c \) wie folgt zu finden:
Gegeben sind:
\[
T_{\text{max}} = 22,4 \quad \text{und} \quad T_{\text{min}} = -10
\]
\[
c = \frac{T_{\text{max}} + T_{\text{min}}}{2} = 6,2
\]
\[
|a| = \frac{T_{\text{max}} - T_{\text{min}}}{2} = 16,2 \quad \text{(wir nehmen \( a > 0 \))}
\]
Der Graph von \( T \) ist der einer Kosinusfunktion \( a \cos(bt) \), die um 6,5 Einheiten nach rechts verschoben ist. Daher,
\[
T(t) = 16,2 \cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2
\]
Wir verwenden nun die Periodendauer, um \( b \) zu finden. Die Periode beträgt 12, und da
\[
\text{Periodendauer} = \frac{2\pi}{b} = 12 , \quad \text{erhalten wir } b = \frac{\pi}{6}
\]
Somit lautet die Temperaturfunktion
\[
T(t) = 16,2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2
\]
-
Finden Sie \( t \), für das \( T \) minimal ist. Der Minimalwert von \( T \) ist -10. Wir lösen:
\[
16,2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = -10
\]
\[
\cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = -1 = \cos(\pi)
\]
\[
\frac{\pi}{6}(t - 6,5) = \pi
\]
\[
t = 12,5
\]
Hinweis: Wir hätten dies auch beantworten können, indem wir die Tatsache nutzen, dass der Abstand zwischen einem Maximum und dem nächsten Minimum bei einer Sinusfunktion eine halbe Periodendauer beträgt. Also,
\[
t = 6,5 + \frac{1}{2}(12) = 12,5 \text{ Tage}
\]
Da \( t = 12,5 \) etwas mehr als eine Periode (12 Monate) beträgt, entspricht es Mitte Januar, was bedeutet, dass die Temperatur um diese Zeit minimal ist.
-
Wir finden nun die Zeitpunkte \( t_1 \) und \( t_2 \), bei denen \( T = 18 \) ist, indem wir die Gleichung lösen:
\[
16,2 \cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] + 6,2 = 18
\]
\[
\cos\left[ \frac{\pi}{6}(t - 6,5) \right] = \frac{18 - 6,2}{16,2}
\]
\[
\frac{\pi}{6}(t - 6,5) = \arccos\left( \frac{18 - 6,2}{16,2} \right)
\]
\[
t = \frac{6}{\pi} \arccos\left( \frac{18 - 6,2}{16,2} \right) + 6,5 = 7,94 \text{ Monate}
\]
Aus dem Graphen von \( T(t) \) und der horizontalen Linie \( y = 18 \) entspricht die Lösung \( t = 7,94 \) \( t_2 = 7,94 \). Durch Symmetrie,
\[
t_1 = 6,5 - (t_2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 \text{ Monate}
\]
Die Anzahl der Monate, in denen \( T > 18 \) ist, beträgt:
\[
t_2 - t_1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 \text{ Monate (ungefähr 3 Monate)}
\]
Problem 4
Der Durchmesser eines großen Riesenrads beträgt 48 Meter und es dauert 2,8 Minuten, bis das Rad eine volle Umdrehung vollendet hat. Ein Fahrgast steigt zum Zeitpunkt \( t = 0 \) am tiefsten Punkt des Rades ein, der sich 60 cm über dem Boden befindet.
- Finden Sie eine Sinusfunktion \( h(t) \), die die Höhe \( h \) des Fahrgastes über dem Boden in Metern als Funktion der Zeit \( t \) in Minuten angibt.
- Finden Sie die Zeitintervalle, in denen sich der Fahrgast in einer Höhe von weniger als 30 Metern befindet, für den Zeitraum von \( t = 0 \) bis \( t = 2,8 \) Minuten.
- Wie viele Minuten ab \( t = 0 \) dauert es, bis der Fahrgast zum zweiten Mal den höchsten Punkt erreicht?
Lösung
-
Die minimale Höhe \( h_{\text{min}} \) über dem Boden beträgt 0,6 Meter. Die maximale Höhe \( h_{\text{max}} \) ist gleich der minimalen Höhe plus dem Durchmesser des Rades.
\[
h_{\text{max}} = 0,6 + 48 = 48,6
\]
Da \( h(t) \) bei \( t = 0 \) minimal ist, wäre es einfacher, es durch eine gespiegelte Kosinusfunktion zu modellieren. Daher:
\[
h(t) = a \cos[b(t - d)] + c
\]
\[
|a| = \frac{h_{\text{max}} - h_{\text{min}}}{2} = -\frac{48,6 - 0,6}{2} = 24
\]
Zwei Lösungen für \( a \) sind \( \pm 24 \).
Wir wählen \( a = -24 \), wobei das Minuszeichen die Spiegelung an der horizontalen Achse berücksichtigt.
\[
c = \frac{h_{\text{max}} + h_{\text{min}}}{2} = \frac{48,6 + 0,6}{2} = 24,6
\]
Die Periode beträgt 2,8, und da:
\[
\text{Periodendauer} = \frac{2\pi}{b} \Rightarrow b = \frac{2\pi}{2,8}
\]
\[
h(t) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6
\]
Überprüfung:
Bei \( t = 0 \),
\[
h(0) = -24 \cos(0) + 24,6 = -24(1) + 24,6 = 0,6 \, \text{m}
\]
Bei \( t = 1,4 \) (eine halbe Periode später),
\[
h(1,4) = -24 \cos\left( \frac{2\pi}{2,8} \cdot 1,4 \right) + 24,6 = -24 \cos(\pi) + 24,6 = 48,6 \, \text{m}
\]
-
Wir müssen zuerst die Gleichung lösen:
\[
-24 \cos\left( \frac{2\pi}{2,8} t \right) + 24,6 = 30
\]
\[
\cos\left( \frac{2\pi}{2,8} t \right) = \frac{30 - 24,6}{-24}
\]
\[
t = \frac{2,8}{2\pi} \arccos\left( \frac{30 - 24,6}{-24} \right) = 0,8 \, \text{Minuten}
\]
Die Lösung entspricht \( t_1 \), dem ersten Schnittpunkt des Graphen von \( h(t) \) mit der Linie \( y = 30 \).
Daher:
\[
t_1 = 0,8 \, \text{min}, \quad t_2 = 2,8 - 0,8 = 2 \, \text{min}
\]
\( h(t) \lt 30 \) von \( t = 0 \) bis \( t = 0,8 \) und von \( t = 2 \) bis \( t = 2,8 \), also insgesamt 1,6 Minuten.
-
Der Fahrgast erreicht das Maximum zum ersten Mal bei \( t = \frac{1}{2} \cdot 2,8 \) und erneut bei:
\[
t = \frac{1}{2} \cdot 2,8 + 2,8 = 4,2 \, \text{Minuten}
\]
um die maximale Höhe zum zweiten Mal zu erreichen.
Problem 5
Aufgrund der Gravitationsanziehung von Mond und Sonne auf die Erde steigt und fällt das Wasser in Meeren und Ozeanen periodisch, was als Ebbe und Flut bezeichnet wird. In einer typischen Situation beträgt die Zeit zwischen zwei Fluten nahezu 12 Stunden. In einem bestimmten Küstengebiet kann die Wassertiefe durch eine Sinusfunktion der Form
\[
d(t) = -2,5 \cos[ b(t - 2) ] + 3,5
\]
angenähert werden, wobei \( d \) in Metern und \( t \) in Stunden gemessen wird, mit \( t = 0 \) entsprechend 0 Uhr.
- Finden Sie \( b \) (\( b > 0 \)), wenn \( d \) eine Periode von 12 Stunden hat.
- Von \( t = 0 \) bis \( t = 12 \), zu welcher Zeit ist \( d \) am kleinsten (Niedrigwasser) und zu welcher Zeit ist es am höchsten (Hochwasser)?
- Von \( t = 0 \) bis \( t = 12 \), was sind die Zeitintervalle, in denen die Wassertiefe 4,5 Meter oder mehr beträgt?
Lösung
-
Unter Verwendung der Periode haben wir
\[
12 = \frac{2\pi}{b}
\]
\[
b = \frac{\pi}{6}
\]
-
\( d(t) \) ist nun gegeben durch
\[
d(t) = -2,5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5
\]
Der kleinste Wert von \( d \) ist
\[
-2,5 + 3,5 = 1
\]
Daher ist \( d \) am kleinsten für \( t \), so dass
\[
-2,5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 1
\]
Lösen ergibt:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = 1
\]
\[
\frac{\pi}{6}(t - 2) = 0
\]
\[
t = 2 \quad \text{(entspricht 2 Uhr morgens)}
\]
Der höchste Wert von \( d \) ist
\[
2,5 + 3,5 = 6
\]
Daher ist \( d \) am größten für \( t \), so dass
\[
-2,5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 6
\]
Lösen ergibt:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = -1
\]
\[
\frac{\pi}{6}(t - 2) = \pi
\]
\[
t = 8 \quad \text{(entspricht 10 Uhr morgens)}
\]
HINWEIS: Wir hätten Teil b) auch mit der Tatsache beantworten können, dass der Abstand zwischen einem Minimum und dem folgenden Maximum bei einer Sinusfunktion eine halbe Periodendauer beträgt. Daher,
\[
d \text{ ist maximal bei } t = 2 + \frac{1}{2} \cdot 12 = 8
\]
-
Wir müssen zuerst \( t \) finden, für das \( h(t) = 4,5 \) ist, indem wir die Gleichung lösen
\[
-2,5 \cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) + 3,5 = 4,5
\]
was geschrieben werden kann als:
\[
\cos\left( \frac{\pi}{6}(t - 2) \right) = \dfrac{1}{-2,5}
\]
Lösen nach \( t \):
\[
t_1 = \dfrac{6}{\pi}\cdot \arccos\left( -\frac{1}{2,5} \right) + 2 = 5,8 \text{ Stunden}
\]
\[
t_2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 \text{ Stunden (unter Verwendung der Symmetrie bezüglich der Position des Maximums)}
\]
Die Gesamtzahl der Stunden, in denen \( d(t) > 4,5 \, \text{m} \) ist, beträgt:
\[
10,2 - 5,8 = 4,4 \text{ Stunden}
\]
Problem 6
Aufgrund von Ebbe und Flut kann die Tiefe \( d \) des Wassers in einem bestimmten Küstengebiet durch eine Sinusfunktion ausgedrückt werden. Die höchste Flut tritt um 8 Uhr morgens auf und die niedrigste Flut tritt 6 Stunden später ein. Der maximale Wasserstand beträgt 2,8 Meter und der niedrigste Wasserstand 0,4 Meter.
- Verwenden Sie Sinusfunktionen, um die Wassertiefe \( d(t) \) in Metern als Funktion der Zeit \( t \) in Stunden zu finden. (Nehmen Sie an, dass 8 Uhr morgens \( t = 0 \) entspricht.)
- Finden Sie die Wassertiefe um 12 Uhr mittags.
- Verwenden Sie den Graphen von \( d(t) \) und analytische Berechnungen, um das Zeitintervall zu berechnen, in dem die Tiefe \( d \) unter \( 1,5 \, \text{m} \) liegt, von 12 Uhr mittags bis 18 Uhr abends.
Lösung
-
Sei \( d(t) \) geschrieben als
\[
d(t) = a \cos[b(t - d)] + c
\]
Das Minimum \( d_{\min} \) und das Maximum \( d_{\max} \) von \( d \) sind
\[
d_{\min} = 0,4
\]
\[
d_{\max} = 2,8
\]
\[
c = \frac{d_{\max} + d_{\min}}{2} = \frac{2,8 + 0,4}{2} = 1,6
\]
\[
|a| = \frac{d_{\max} - d_{\min}}{2} = \frac{2,8 - 0,4}{2} = 1,2
\]
Da \( d(t) \) bei \( t = 0 \) (8 Uhr morgens) ein Minimum hat, können wir \( a = -1,2 \) und \( d = 0 \) wählen
\[
d(t) = -1,2 \cos(bt) + 1,6
\]
wobei leicht zu überprüfen ist, dass \( d = -1,2 + 1,6 = 0,4 \) bei \( t = 0 \) ist.
Wir verwenden nun die Periode, um \( b \) (\( b > 0 \)) wie folgt zu finden
\[
\text{Periodendauer} = 12 = \frac{2\pi}{b}
\]
\[
\Rightarrow b = \frac{\pi}{6}
\]
\( d(t) \) wird nun geschrieben als
\[
d(t) = -1,2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1,6
\]
wobei leicht zu überprüfen ist, dass das Maximum bei \( t = 6 \) auftritt.
-
Um 12 Uhr mittags ist \( t = 4 \), also
\[
d(4) = -1,2 \cos\left( \frac{\pi}{6} \cdot 4 \right) + 1,6 = 2,2 \, \text{m}
\]
-
Der Graph von \( d(t) \) ist unten dargestellt mit vertikalen Linien entsprechend 12 Uhr mittags bis 18 Uhr abends und einer horizontalen Linie entsprechend \( d = 1,5 \). Die Wassertiefe ist geringer als 1,5 von \( t_0 \) bis 18 Uhr abends (\( t = 10 \)). Wir müssen \( t_0 \) finden, einen Schnittpunkt von \( d(t) \) und \( y = 1,5 \), indem wir die Gleichung lösen
\[
-1,2 \cos\left( \frac{\pi}{6}t \right) + 1,6 = 1,5
\]
\[
t = \frac{6 \cdot \arccos\left( \frac{1,5 - 1,6}{-1,2} \right)}{\pi} \approx 2,84
\]
Die gefundene Lösung entspricht dem linken Schnittpunkt von \( d(t) \) und \( y = 1,5 \). Der rechte Punkt \( t_0 \) kann durch die Symmetrie des Graphen bezüglich des Maximalpunkts gefunden werden. Daher
\[
t_0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 \, \text{Stunden}
\]
\(0,16 \) Stunden entsprechen
\[
0,16 \times 60 \, \text{Minuten} \approx 10 \text{Minuten}
\]
\( 9,16 \) Stunden entsprechen
\[
\approx 17:10 \, \text{Uhr}
\]
Von 12 Uhr mittags bis 18 Uhr abends liegt die Wassertiefe von 17:10 Uhr bis 18 Uhr abends unter 1,5.
Problem 7
Eine Anlage von Solarmodulen erzeugt eine durchschnittliche Tagesleistung \( P \), die sich im Laufe des Jahres ändert. Sie ist am 21. Juni (dem Tag mit der höchsten Anzahl an Tageslichtstunden) maximal und beträgt \( 20 \ \text{kWh/Tag} \). Wir nehmen an, dass \( P \) mit der Zeit \( t \) gemäß der Sinusfunktion variiert:
\[
P(t) = a \cos[b(t - d)] + c
\]
wobei \( t = 0 \) dem ersten Januar entspricht, \( P \) die Leistung in kWh/Tag ist und \( P(t) \) eine Periode von 365 Tagen hat (Februar mit 28 Tagen). Der Mindestwert von \( P \) beträgt \( 4 \ \text{kWh/Tag} \).
- Finden Sie die Parameter \( a \), \( b \), \( c \) und \( d \).
- Skizzieren Sie \( P(t) \) über eine Periode von \( t = 0 \) bis \( t = 365 \).
- Wann ist die von der Solaranlage erzeugte Leistung am geringsten?
- Die von dieser Solaranlage erzeugte Leistung reicht aus, um eine Gruppe von Maschinen zu betreiben, wenn die erzeugte Leistung größer oder gleich \( 16 \ \text{kWh/Tag} \) ist. An wie vielen Tagen im Jahr ist die erzeugte Leistung der Anlage ausreichend?
Lösung
-
Sei \( P(t) \) geschrieben als
\[
P(t) = a \cos[b(t - d)] + c
\]
Das Minimum \( P_{\text{min}} \) und das Maximum \( P_{\text{max}} \) von \( P(t) \) sind gegeben:
\[
P_{\text{min}} = 4
\]
\[
P_{\text{max}} = 20
\]
\[
c = \frac{P_{\text{max}} + P_{\text{min}}}{2} = \frac{20 + 4}{2} = 12
\]
\[
|a| = \frac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \frac{20 - 4}{2} = 8
\]
Wir müssen nun die Anzahl der Tage \( t \) nach dem 1. Januar finden, an denen \( P(t) \) maximal ist, indem wir die Tage der Monate von Januar bis Mai zählen und 21 Tage im Juni hinzufügen:
\[
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172
\]
Wir verwenden nun die Periode, um \( b \) (mit \( b > 0 \)) wie folgt zu finden:
\[
\text{Periodendauer} = 365 = \frac{2\pi}{b}
\]
\[
\Rightarrow b = \frac{2\pi}{365}
\]
Eine Kosinusfunktion ohne Verschiebung hat ein Maximum bei \( t = 0 \). \( P(t) \) hat ein Maximum bei \( t = 172 \). Wir können \( P(t) \) durch eine um 172 Einheiten nach rechts verschobene Kosinusfunktion modellieren:
\[
P(t) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12
\]
Überprüfung, dass \( P(t) \) bei \( t = 172 \) maximal ist:
\[
P(172) = 8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(172 - 172)\right) + 12 = 8 \cos(0) + 12 = 20
\]
-
Der Graph von \( P(t) \) ist unten dargestellt.
\[
\text{{(Siehe Graph: }} \text{{http://www.analyzemath.com/high_school_math/grade_12/sinus_applications/question_7_sol_1.gif}} \text{{)}}
\]
-
Zwischen dem Maximum bei \( t = 172 \) und dem darauffolgenden Minimum liegt eine halbe Periodendauer. Daher ist \( P(t) \) minimal bei
\[
t = 172 + 0,5(365) = 354,5
\]
Die ersten 11 Monate haben 334 Tage. Somit entspricht 354,5 dem 21. Dezember, dem Tag, an dem \( P(t) \) minimal ist.
-
Um die Anzahl der Tage zu finden, an denen die erzeugte Leistung ausreicht, müssen wir \( t_1 \) und \( t_2 \) finden, die den Schnittpunkten von \( P(t) \) und \( y = 16 \) entsprechen, wie im Graphen gezeigt, indem wir die Gleichung lösen:
\[
P(t) = 16
\]
\[
8 \cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) + 12 = 16
\]
\[
\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - 172)\right) = \frac{1}{2}
\]
\[
t = 172 + \frac{365}{2\pi} \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 232,8
\]
Die oben gefundene Lösung ist größer als 172 und entspricht dem Maximum. Daher entspricht die obige Lösung \( t_2 \) im Graphen (rechte Lösung). Die Lösung auf der linken Seite wird durch Symmetrie gefunden:
\[
t_1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2
\]
\[
t_2 - t_1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 \text{ Tage}
\]
Die Anlage produziert etwa 121 Tage lang genug Strom.
Referenzen