Ein an einer Feder befestigtes Gewicht wird in Richtung Boden gezogen, so dass seine Höhe über dem Boden 10 mm (Millimeter) beträgt. Das Gewicht wird dann losgelassen und bewegt sich auf und ab, wobei es maximale und minimale Höhen von 20 und 10 mm erreicht, bei einer Zyklusdauer von 0,8 Sekunden.
a) Nehmen Sie an, dass die Höhe h(t) des Gewichts eine Sinusfunktion ist, wobei t die Zeit in Sekunden ist. Skizzieren Sie einen Graphen von h von t = 0 bis t = 0,8 Sekunden. t = 0 ist die Zeit, zu der das Gewicht losgelassen wird.
b) Finden Sie eine Sinusfunktion für die Höhe h(t).
c) Wie viele Sekunden ist die Höhe des Gewichts über 17 mm in einem Zyklus?
Lösung
a) Das Gewicht wird bei t = 0 losgelassen, wenn h minimal ist. Eine halbe Periode später erreicht h sein Maximum, und eine weitere halbe Periode später erreicht es erneut sein Minimum. Daher variiert h über einen Zyklus hinweg wie folgt:
b) Gemäß dem im Teil a) erhaltenen Graphen könnte h(t) durch eine nach oben verschobene und horizontal nach rechts verschobene Kosinusfunktion modelliert werden. Daher
h(t) = a cos[ b(t - d) ] + c
Sei hmax der maximale Wert von h und hmin der minimale Wert von h. Daher
|a| = (hmax - hmin) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 , a = ±5
c = (hmax + hmin) / 2 = (20 + 10) / 2 = 15
Periode = 2π / |b| = 0,8, daher b = ± 2.5π
Wir verwenden a = 5 und b = 2.5π. Die Verschiebung der Kosinusfunktion erfolgt nach rechts und entspricht einer halben Periode. Daher d = 0,4
h(t) = 5 cos[ 2.5π(t - 0.4) ] + 15
Überprüfen Sie, dass h bei t = 0 ein Minimum hat: h(0) = 5 cos[ 2.5π(0 - 0.4) ] + 15 = 5 cos( -π ) + 15 = 10
Überprüfen Sie, dass h bei t = 0,4 ein Maximum hat: h(0) = 5 cos[ 2.5π(0.4 - 0.4) ] + 15 = 5 cos( 0 ) + 15 = 20
c) Im Folgenden ist der Graph von y = h(t) und y = 17 gezeigt. Wir müssen zunächst t1 und t2 finden, die Werte von t, für die h(t) = 17, indem wir die Gleichung lösen
5 cos[ 2.5π(t - 0.4) ] + 15 = 17
cos[ 2.5π(t - 0.4) ] + 15 = (17 - 15) / 5 = 0.4
2.5π(t - 4) = arccos(0.4)
t = arccos(0.4) / (2.5π) + 0.4 = 0.547 Sekunden
Die gefundene Lösung t ist größer als 0,4, was die Position des Maximums ist, und kleiner als 0,8, und entspricht daher t2. Daher
t2 = arccos(0.4) / (2.5π) + 0.4 = 0.547 Sekunden
t1 wird unter Verwendung der Symmetrie der beiden Lösungen bezüglich der Position des Maximums zu t = 0,4 gefunden. Daher
t1 = 0.4 - (0.547 - 0.4) = 0.252 Sekunden
Die Höhe des Gewichts beträgt mehr als 17 Millimeter für
t2 - t1 = 0.547 - 0.252 = 0.295 Sekunden
Die Anzahl der Tageslichtstunden H in einer bestimmten Region wird ungefähr durch die Funktion
H(t) = 2,5 cos[ b(t - d) ] + 11,5
angegeben, wobei H in Stunden und t in Tagen ist, und die Funktion eine Periode von einem Jahr (365 Tage) hat.
a) Finde b (b > 0) und d, wenn H am 21. Juni maximal ist (der Monat Februar hat 28 Tage).
b) Welcher Tag ist der kürzeste (hat die geringste Anzahl an Tageslichtstunden)?
Lösung
a) Da die Periode bekannt ist und 365 Tage beträgt, gilt:
365 = 2π / b , daher b = 2π / 365
Wenn wir d = 0 in die Funktion H(t) = 2,5 cos[ b(t - d) ] + 11,5 setzen, wird sie zu H(t) = 2,5 cos[ b t ] + 11,5, die bei t = 0 ein Maximum hat.
In unserem Problem tritt das Maximum am 21. Juni auf, was t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172 (Anzahl der Tage vom 1. Januar bis zum 21. Juni) entspricht.
Daher ist die horizontale Verschiebung (Translation) um 172 nach rechts, und d = 172. Daher
H(t) = 2,5 cos[ 42,2(t - 172) ] + 11,5
b) Der kürzeste Tag entspricht dem t, der H minimiert, was gleich 11,5 - 2,5 ist. Daher müssen wir die Gleichung lösen
2,5 cos[ (2π / 365)(t - 172) ] + 11,5 = 9
cos[ (2π / 365)(t - 172) ] = (9 - 11,5) / 2,5 = - 1
(2π / 365)(t - 172) = π
t = 365π/(2π) + 172 = 354,5 Tage
HINWEIS Wir hätten Teil b) auch mit der Tatsache beantworten können, dass der Abstand zwischen einem Maximum und dem folgenden Minimum in einer sinusförmigen Funktion eine halbe Periode beträgt, und daher h an t = 172 + (1/2)365 = 354,5 Tagen minimal ist.
Für die ersten 11 Monate (von Januar bis November) des Jahres wird t durch
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 31 + 30 = 334
Anzahl der Tage im Dezember
354,5 - 334 = 20,5 Anzahl der Tage im Dezember
was ungefähr dem 21. Dezember entspricht.
Die durchschnittliche monatliche Temperatur T (in °C) in einer bestimmten Stadt kann durch die Funktion
T(t) = a cos[ b(t - d) ] + c
ungefähr approximiert werden, wobei t die Zeit in Monaten ist, t = 0 dem 1. Januar entspricht und wir annehmen, dass die Funktion T(t) eine Periode von 12 Monaten hat.
a) Finde a, b (b > 0), c und d, wenn T ein Maximum von 22,4 °C in der Mitte des Juli (t = 6,5) und ein Minimum von -10 °C hat.
b) In welchem Monat ist T minimal?
c) Über wie viele Monate ist T größer als 18 °C?
Lösung
a) Die minimalen und maximalen Werte von T, Tmax und Tmin, erlauben es uns, a und c wie folgt zu finden
Wir haben: Tmax = 22,4 und Tmin = -10
c = (Tmax + Tmin) / 2 = 6,2
|a| = (Tmax - Tmin) / 2 = 16,2 , wir nehmen a > 0 und setzen es gleich 16,2
Der Graph von T ist der einer a cos(bt)-Funktion, die um 6,5 nach rechts verschoben ist. Daher
T(t) = 16,2 cos[ b(t - 6,5) ] + 6,2
Jetzt verwenden wir die Periode, um b zu finden.
Die Periode beträgt 12 = 2π / b , daher b = π / 6
T(t) ist gegeben durch
T(t) = 16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2
b) Finde t, für das T minimal ist. Der minimale Wert von T ist gleich -10. Daher lösen wir
16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = -10,2
cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = - 1
(π / 6)(t - 6,5) = π
t = 12,5
HINWEIS Wir hätten Teil b) auch mit der Tatsache beantworten können, dass der Abstand zwischen einem Maximum und dem folgenden Minimum in einer sinusförmigen Funktion eine halbe Periode beträgt, und daher T bei t = 6,5 + (1/2)12 = 12,5 Tagen minimal ist.
t = 12,5 ist größer als eine Periode, die 12 beträgt. Daher entspricht 12,5 einer Periode von 12 Monaten (einem Jahr) und 0,5 Monaten im Januar. Die Temperatur ist daher im Mittel Januar minimal.
c) (Siehe Graph unten) Wir finden zunächst die Zeiten t1 und t2, bei denen T = 18, indem wir die Gleichung lösen
16,2 cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] + 6,2 = 18
cos[ (π / 6)(t - 6,5) ] = (18 - 6,2) / 16,2
(π / 6)(t - 6,5) = arccos((18 - 6,2) / 16,2)
t = (6/π) arccos((18 - 6,2) / 16,2) + 6,5 = 7,94 Monate
Betrachten Sie den Graphen von T unten und die horizontale Linie y = 18 (graphische Interpretation der obigen Gleichung), wir bemerken, dass die Lösung t = 7,94 größer ist als 6,5, was t2 = 7,94 entspricht. Durch Symmetrie kann t1 wie folgt berechnet werden
t1 = 6,5 - (t2 - 6,5) = 6,5 - (7,94 - 6,5) = 5,06 Monate
Die Anzahl der Monate, in denen T größer als 18 ist, beträgt
t2 - t1 = 7,94 - 5,06 = 2,88 ; etwa 3 Monate.
Der Durchmesser eines großen Riesenrads beträgt 48 Meter, und es dauert 2,8 Minuten, um eine Umdrehung zu vollenden. Ein Fahrgast steigt am tiefsten Punkt des Rades ein, der 60 cm über dem Boden liegt, bei t = 0.
a) Finde eine sinusförmige Funktion h(t), die die Höhe h, in Metern, des Fahrgasts über dem Boden als Funktion der Zeit t in Minuten angibt.
b) Finde die Zeitintervalle, in denen sich der Fahrgast in einer Höhe von weniger als 30 Metern für den Zeitraum von t = 0 bis t = 2,8 Minuten befindet.
c) Wie viele Minuten dauert es, ab t = 0, bis der Fahrer zum zweiten Mal den höchsten Punkt erreicht?
Lösung
a) Die minimale Höhe hmin über dem Boden beträgt 0,6 Meter. Die maximale Höhe hmax entspricht der minimalen Höhe plus dem Durchmesser des Rades.
hmax = 0,6 + 48 = 48,6
Da h(t) bei t = 0 minimal ist, wäre es einfacher, es durch eine reflektierte Cosinus-Funktion zu modellieren. Daher
h(t) = a cos [b(t - d)] + c
|a| = (hmax - hmin) / 2 = -(48,6 - 0,6) / 2 = 24 , zwei Lösungen für a = ±24
Wir nehmen a = -24, wobei das Minuszeichen die Spiegelung an der horizontalen Achse berücksichtigt.
c = (hmax + hmin) / 2 = (48,6 + 0,6) / 2 = 24,6
Die Periode = 2,8 = 2π/b , daher b = 2π/2,8
h(t) = - 24 cos [ (2π/2,8)t ] + 24,6
Überprüfen Sie, dass bei t = 0, h(0) = 0,6 m die minimale Höhe ist und bei t = 1,4 (eine halbe Periode später) , h(1,4) = - 24 cos ( (2π/2,8) 1,4 ) + 24,6 = - 24 cos ( π ) + 24,6 = 48,6 m das Maximum ist.
b) Zuerst müssen wir die Gleichung lösen
- 24 cos [ (2π/2,8)t ] + 24,6 = 30
cos [ (2π/2,8)t ] = (30 - 24,6) / (-24)
t = 2,8 arccos [ (30 - 24,6) / (-24) ] / (2 π) = 0,8 mn
Die gefundene Lösung entspricht t1, das ist der Schnittpunkt des Graphen von h(t) und y = 30.
Daher t1 = 0,8 mn und t2 = 2,8 - 0,8 = 2 mn.
h(t) ist weniger als 30 von t =0 bis t = 0,8 mn und von t = 2 bis t = 2,8 mn, insgesamt 1,6 mn.
c) Der Fahrer erreicht das Maximum zum ersten Mal bei t = halbe Periode und zum zweiten Mal bei t = halbe Periode + eine Periode. Daher dauert es
(1/2)2,8 + 2,8 = 4,2 mn, bis der Fahrer zum zweiten Mal das Maximum erreicht.
Aufgrund der Gravitationsattraktionen von Mond und Sonne auf die Erde neigt das Wasser in Meeren und Ozeanen dazu, periodisch zu steigen und zu fallen, was den sogenannten Hoch- und Niedrigwasser entspricht. In einer typischen Situation liegt die Zeit zwischen zwei Hochwassern nahe bei 12 Stunden. In einem bestimmten Küstengebiet kann die Wassertiefe durch eine sinusförmige Funktion der Form d(t) = - 2,5 cos[ b(t - 2) ] + 3,5 approximiert werden, wobei d in Metern und t in Stunden ist, wobei t = 0 12 Uhr entspricht.
a) Finde b (b > 0), wenn d eine Periode von 12 Stunden hat.
b) Von t = 0 bis t = 12, zu welcher Zeit ist d am kleinsten (Niedrigwasser) und zu welcher Zeit ist es am höchsten (Hochwasser)?
c) Von t = 0 bis t = 12, was sind die Zeitintervalle, in denen die Wassertiefe 4,5 Meter oder mehr beträgt?
Lösung
a) Unter Verwendung der Periode erhalten wir
12 = 2π/b
b = π/6
b) d(t) wird nun durch die Gleichung
d(t) = - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5
gegeben, der kleinste Wert von d = -2,5 + 3,5 = 1
daher ist d am kleinsten für t, sodass - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 1
Lösen Sie, um zu erhalten: cos[ (π/6)(t - 2) ] = 1
(π/6)(t - 2) = 0
t = 2 , entsprechend 2 Uhr
der höchste Wert von d = 2,5 + 3,5 = 6
daher ist d am größten für t, sodass - 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 6
Lösen Sie, um zu erhalten: cos[ (π/6)(t - 2) ] = - 1
(π/6)(t - 2) = π
t = 8 , entsprechend 10 Uhr
HINWEIS Wir hätten Teil b) auch mit der Tatsache beantworten können, dass der Abstand zwischen einem Minimum und dem folgenden Maximum in einer sinusförmigen Funktion eine halbe Periode beträgt und daher d bei t = 2 + (1/2)12 = 8 maximal ist
c) Zuerst müssen wir t finden, für das h(t) = 4,5, indem wir die Gleichung lösen
- 2,5 cos[ (π/6)(t - 2) ] + 3,5 = 4,5
t1 = 6 arccos(-1/2,5) + 2 = 5,8 Stunden
t2 = 8 + (8 - 5,8) = 10,2 Stunden (Symmetrie bezüglich der Position des Maximums verwenden)
Gesamtzahl der Stunden, in denen d(t) mehr als 4,5 m beträgt, beträgt: 10,2 - 5,8 = 4,4 Stunden.
Aufgrund der Gezeiten können die Wassertiefe d in einem bestimmten Küstengebiet durch eine sinusförmige Funktion ausgedrückt werden. Die höchste Flut tritt um 8 Uhr auf und die niedrigste Flut tritt 6 Stunden später auf. Der maximale Wasserstand beträgt 2,8 Meter und der niedrigste Wasserstand beträgt 0,4 Meter.
a) Verwenden Sie Sinusfunktionen, um die Tiefe d(t) des Wassers in Metern als Funktion der Zeit t in Stunden zu finden. (Nehmen Sie an, dass 8 Uhr t = 0 entspricht).
b) Finden Sie die Wassertiefe um 12 Uhr.
c) Verwenden Sie den Graphen von d(t) und analytische Berechnungen, um das Zeitintervall zu berechnen, in dem die Tiefe d von 12 bis 18 Uhr unter 1,5 m liegt.
Lösung
a) Lassen Sie d(t) wie folgt geschrieben sein
d(t) = a cos[b(t - d)] + c
Das Minimum dmin und das Maximum dmax von d sind
dmin = 0,4
dmax = 2,8
c = (dmax + dmin) / 2 = (2,8 + 0,4) / 2 = 1,6
|a| = (dmax - dmin) / 2 = (2,8 - 0,4) / 2 = 1,2
Da d(t) ein Minimum bei t = 0 (8 Uhr) hat, können wir a = - 1,2 und d = 0 wählen
d(t) = -1,2 cos[b(t)] + 1,6 , wobei leicht zu überprüfen ist, dass d = -1,2 + 1,6 = 0,4 bei t = 0.
Wir verwenden jetzt die Periode, um b (b > 0) wie folgt zu finden
Periode = 12 = 2π / b
daher b = π / 6
d(t) wird jetzt geschrieben als
d(t) = -1,2 cos[ (π / 6)(t) ] + 1,6 , wobei leicht zu überprüfen ist, dass das Maximum bei t = 6 liegt.
b) Um 12 Uhr ist t = 4, daher
d(4) = -1,2 cos[ (π / 6)(4) ] + 1,6 = 2,2 m
c) Der Graph von d(t) ist unten mit vertikalen Linien für 12 bis 18 Uhr und einer horizontalen Linie für d = 1,5 dargestellt. Die Wassertiefe ist von t0 bis 18 Uhr (t = 10) weniger als 1,5. Wir müssen t0 finden, das ein Schnittpunkt von d(t) und y = 1,5 ist, indem wir die Gleichung lösen
-1,2 cos[ (π / 6)(t) ] + 1,6 = 1,5
t = 6 arccos ( (1,5 - 1,6)/(-1,2) ) / π ≈ 2,84
Die gefundene Lösung entspricht dem linken Schnittpunkt von d(t) und y = 1,5. Der rechte Punkt t0 kann unter Verwendung der Symmetrie des Graphen bezüglich des Maximumpunkts gefunden werden. Daher
t0 = 6 + (6 - 2,84) = 9,16 Stunden
9,16 Stunden entsprechen 17 Uhr und 0,16×60 Minuten ≈ 17:10 Uhr
Von 12 bis 18 Uhr liegt die Wassertiefe von 17:10 bis 18 Uhr unter 1,5.
Ein System von Solarzellen erzeugt eine tägliche durchschnittliche Leistung P, die sich im Laufe des Jahres ändert. Sie erreicht am 21. Juni (Tag mit der längsten Tageslichtzeit) ihren Höchstwert und beträgt 20 kWh/Tag. Wir nehmen an, dass P mit der Zeit t gemäß der sinusförmigen Funktion variiert
P(t) = a cos [b(t - d)] + c
wobei t = 0 dem ersten Januar entspricht, P die Leistung in kWh/Tag ist und P(t) eine Periode von 365 Tagen hat (28 Tage im Februar). Der minimale Wert von P beträgt 4 kWh/Tag.
a) Finden Sie die Parameter a, b, c und d.
b) Skizzieren Sie P(t) über eine Periode von t = 0 bis t = 365.
c) Wann ist die vom Solarsystem erzeugte Leistung minimal?.
d) Die von diesem Solarsystem erzeugte Leistung reicht aus, um eine Gruppe von Maschinen mit Strom zu versorgen, wenn die Leistung des Systems größer oder gleich 16 kWh/Tag ist. Für wie viele Tage im Jahr reicht die Leistung des Systems aus?
Lösung
a) Lassen Sie P(t) wie folgt geschrieben sein
P(t) = a cos[b(t - d)] + c
Der minimale Pmin und der maximale Pmax von P(t) sind gegeben.
Pmin = 4
Pmax = 20
c = (Pmax + Pmin) / 2 = (20 + 4) / 2 = 12
|a| = (Pmax - Pmin) / 2 = (20 - 4) / 2 = 8
Wir müssen jetzt die Anzahl der Tage t nach dem 1. Januar finden, an denen P(t) maximal ist, indem wir die Tage der Monate von Januar bis Mai zählen und 21 Tage im Juni hinzufügen.
t = 31 + 28 + 31 + 30 + 31 + 21 = 172
Wir verwenden jetzt die Periode, um b (b > 0) wie folgt zu finden
Periode = 365 = 2π / b
daher b = 2π / 365
Eine Cosinusfunktion ohne Verschiebung hat ein Maximum bei t = 0. P(t) hat ein Maximum bei t = 172. Wir können P(t) durch eine verschobene cos(x)-Funktion modellieren, die um 172 nach rechts verschoben ist, wie folgt:
P(t) = 8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12
Überprüfen Sie, dass P(t) bei t = 172 maximal ist: P(172) = 8 cos[(2π / 365)(172 - 172)] + 12 = 8 cos[(0)] + 12 = 20
b) Der Graph von P(t) ist unten dargestellt.
c) Zwischen dem Maximum bei t = 172 und dem Minimum danach gibt es einen Unterschied von einer halben Periode. Daher ist P(t) minimal bei
t = 172 + 0,5(365) = 354,5
Die ersten 11 Monate haben 334 Tage. Daher entspricht 354,5 dem 21. Dezember, dem Tag, an dem P(t) minimal ist.
d) Um die Anzahl der Tage zu finden, an denen die erzeugte Leistung ausreicht, müssen wir t1 und t2 entsprechend den Schnittpunkten von P(t) und y = 16 im Graphen finden, indem wir die Gleichung lösen
P(t) = 16
8 cos[(2π / 365)(t - 172)] + 12 = 16
cos[(2π / 365)(t - 172)] = 1/2
t = 172 + 365 arccos(1/2) / 2π = 232,8
Die oben gefundene Lösung ist größer als 172 und entspricht dem Maximum. Daher entspricht die Lösung oben t2 in den Graphen (Lösung rechts). Die Lösung links wird durch Symmetrie wie folgt gefunden:
t1 = 172 - (232,8 - 172) = 111,2
t2 - t1 = 232,8 - 111,2 = 121,6 Tage
Das System erzeugt etwa 121 Tage lang ausreichend Strom.
