Diese Seite erklärt, wie man die Sekans- und Kosekans-Funktionen der Form \[ y = a \sec\left(k(x - d)\right) \quad \text{und} \quad y = a \csc\left(k(x - d)\right) \] skizziert. Detaillierte Beispiele veranschaulichen Schritt für Schritt ihre Graphen, Transformationen und Hauptmerkmale.
Wertebereich: \[ (-\infty , -1] \cup [1 , +\infty) \]
Periode: \[ 2\pi \]
Vertikale Asymptoten von \( y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \) treten an den Nullstellen von \( \cos(x) \) auf, gegeben durch: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots \]
Vertikale Asymptoten von \( y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \) treten an den Nullstellen von \( \sin(x) \) auf, gegeben durch: \[ x = k\pi,\quad k = 0, \pm1, \pm2, \dots \]
Um grundlegende Sekans- und Kosekansfunktionen zu skizzieren, verwendet man die Identitäten: \[ y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \quad \text{und} \quad y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \] Diese Identitäten helfen, die Positionen der vertikalen Asymptoten zu identifizieren.
Alle Nullstellen von \( \cos(x) \) (die im Nenner vorkommen) sind vertikale Asymptoten von \( \sec(x) \).
Alle Nullstellen von \( \sin(x) \) (die im Nenner vorkommen) sind vertikale Asymptoten von \( \csc(x) \).
Skizzieren Sie den Graphen von \( y = \sec(2x - \pi/3) \) über eine Periode.
Graphische Parameter
Wertebereich: \( (-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty) \)
Periode: \[ \frac{2\pi}{2} = \pi \]
Vertikale Asymptoten erhält man durch Lösen der Gleichung: \[ 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \] was ergibt: \[ x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, \quad k = 0 , \pm1, \pm2, \ldots \]
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \( -\pi/3 \) wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: \[ y = \sec\left[2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] \] Wir können nun die horizontale Verschiebung als \( \frac{\pi}{6} \) nach rechts identifizieren.
Wir skizzieren \( y = \sec(2x - \pi/3) \), indem wir den Graphen von \( y = \sec(2x) \) um \( \pi/6 \) nach rechts verschieben (roter Graph unten), so dass die gezeichnete Periode bei \( \pi/6 \) beginnt und bei \( \pi/6 + \pi = 7\pi/6 \) endet, was einer vollen Periode von \( \pi \) entspricht.
Skizzieren Sie den Graphen von \[ y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right) \] über eine Periode.
Graphische Parameter
Wertebereich: \[ (-\infty , -3] \cup [ 3, +\infty) \]
Periode: \[ \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi \]
Vertikale Asymptoten erhält man durch Lösen von: \[ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{2} = k\pi \] Löst man nach \(x\) auf, erhält man: \[ x = (2k - 1)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms \(\frac{\pi}{2}\) wird der Graph horizontal verschoben. Umformung der Funktion: \[ y = -3 \csc\left(\frac{1}{2}(x + \pi)\right) \] Dies zeigt eine horizontale Verschiebung um \(\pi\) Einheiten nach links.
Wir skizzieren
\[
y = -3 \csc\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{2}\right)
\]
indem wir den Graphen von
\[
y = -3 \csc\left(\frac{x}{2}\right)
\]
um \(\pi\) nach links verschieben, so dass die gezeichnete Periode bei \(-\pi\) beginnt und bei \(\pi + 4\pi = 3\pi\) endet, was einer vollen Periode entspricht.
