Wie man Sekans- und Kosekansfunktionen mit Beispielen zeichnet

Skizzieren Sie den Graphen von $y = \sec(2x - \pi/3)$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

Wertebereich: $(-\infty , -1] \cup [ 1, +\infty)$

Periode: Berechnung mit $\dfrac{2\pi}{|k|}$:

$$ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi $$

Vertikale Asymptoten: Finden Sie die Asymptoten, indem Sie das Innere der Sekansfunktion für die standardmäßigen Kosinus-Nullstellen lösen:

$$ 2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Auflösen nach $x$ ergibt:

$$ 2x = \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \implies x = \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0 , \pm1, \pm2, \ldots $$

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $-\pi/3$ ist der Graph horizontal verschoben. Wir klammern zuerst den $k$-Wert ($2$) aus, um die gegebene Funktion in die Standardform $y = a\sec(k(x-d))$ umzuwandeln:

$$ y = \sec\left[2\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right] $$

Wir können nun die horizontale Verschiebung als $\dfrac{\pi}{6}$ nach rechts identifizieren.

Skizzieren: Wir skizzieren $y = \sec(2x - \pi/3)$, indem wir den Graphen von $y = \sec(2x)$ um $\pi/6$ nach rechts verschieben (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei $\pi/6$ beginnt und bei $\pi/6 + \pi = 7\pi/6$ endet, was einer vollen Periode gleich $\pi$ entspricht.

Skizzieren Sie den Graphen von $y = -3 \csc\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)$ über eine Periode.

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Lösung:

Grafische Parameter

Wertebereich: Aufgrund des vertikalen Streckungsfaktors $a = -3$ erweitert sich der Wertebereich:

$$ (-\infty , -3] \cup [ 3, +\infty) $$

Periode: Berechnung mit $\dfrac{2\pi}{|k|}$:

$$ \text{Periode} = \dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{2}} = 4\pi $$

Vertikale Asymptoten: Finden Sie die Asymptoten, indem Sie das Innere der Kosekansfunktion gleich den standardmäßigen Sinus-Nullstellen ($k\pi$) setzen:

$$ \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{2} = k\pi $$

Auflösen nach $x$ ergibt:

$$ \dfrac{x}{2} = k\pi - \dfrac{\pi}{2} \implies x = (2k - 1)\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms $\dfrac{\pi}{2}$ ist der Graph horizontal verschoben. Umschreiben der Funktion durch Ausklammern von $\dfrac{1}{2}$:

$$ y = -3 \csc\left(\dfrac{1}{2}(x + \pi)\right) $$

Dies zeigt eine horizontale Verschiebung um $\pi$ Einheiten nach links.

Skizzieren: Wir skizzieren $y = -3 \csc\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)$, indem wir den Graphen von $y = -3 \csc\left(\dfrac{x}{2}\right)$ um $\pi$ nach links verschieben, sodass die skizzierte Periode bei $-\pi$ beginnt und bei $-\pi + 4\pi = 3\pi$ endet, was einer vollen Periode entspricht.

Eine Kosekansfunktion der Form $y = a \csc(k(x - d))$ hat eine Periode von $6\pi$. Sie hat eine vertikale Asymptote bei $x = \pi$, und ihr lokales Minimum liegt bei $y = 4$. Unter der Annahme $a > 0$ und $k > 0$, bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

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Lösung:

1. $k$ finden: Die Periode ist $6\pi$. Da $\text{Periode} = \dfrac{2\pi}{k}$ für $k > 0$:
$$ \dfrac{2\pi}{k} = 6\pi \implies k = \dfrac{1}{3} $$

2. $a$ finden: Das lokale Minimum einer positiven Kosekans-Standardkurve stellt den Beginn der nach oben geöffneten "U"-Formen dar. Für $y = a \csc(\dots)$ ist dieser Minimalwert $a$. Somit ist $a = 4$.

3. $d$ finden: Eine Standard-Kosekansfunktion $y = \csc(x)$ hat ihre erste positive Asymptote bei $x=0$, gefolgt von einer nach genau einer halben Periode und einer weiteren nach einer vollen Periode. Da unsere Funktion $y = 4\csc(\dfrac{1}{3}(x-d))$ eine Phasenverschiebung aufweist, verwenden wir die Asymptotenbedingung:
Das Innere des Kosekans muss für die erste Hauptasymptote gleich Null sein:
$$ \dfrac{1}{3}(x - d) = 0 \implies x = d $$

Uns wurde gesagt, dass eine Asymptote bei $x = \pi$ liegt. Wenn wir dies als primäre Verschiebung festlegen, dann ist $d = \pi$.

Endgültige Gleichung:
$$ y = 4 \csc\left(\dfrac{1}{3}(x - \pi)\right) $$

Geben Sie den Amplitudenfaktor, die Periode, die Phasenverschiebung, die vertikale Verschiebung und den Wertebereich der Funktion an: $$ y = -2 \sec\left(3x - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1 $$ Bestimmen Sie dann die Gleichungen ihrer vertikalen Asymptoten.

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Lösung:

1. Standardform: Klammern Sie die 3 aus, um die wahre Phasenverschiebung zu identifizieren.
$$ y = -2 \sec\left[3\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right] + 1 $$

2. Parameter:
* Amplitudenfaktor ($|a|$): $2$ (Hinweis: Sekanskurven haben keine echte "Amplitude", da sie gegen Unendlich streben, aber der Streckungsfaktor ist 2, invertiert durch das negative Vorzeichen).
* Periode: $\dfrac{2\pi}{3}$
* Phasenverschiebung: $\dfrac{\pi}{6}$ nach rechts.
* Vertikale Verschiebung: 1 Einheit nach oben.
* Wertebereich: Die lokalen Maxima liegen bei $c - |a| = 1 - 2 = -1$. Die lokalen Minima liegen bei $c + |a| = 1 + 2 = 3$. Daher ist der Wertebereich $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

3. Vertikale Asymptoten: Setzen Sie das Innere des Sekans gleich $\dfrac{\pi}{2} + n\pi$ (wobei $n$ eine ganze Zahl ist):
$$ 3x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + n\pi $$
$$ 3x = \pi + n\pi $$
$$ x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{n\pi}{3} $$