y = a sec[ k ( x - d) ] und y = a csc[ k ( x - d)]
werden mit detaillierten Beispielen besprochen.
Graphen der Funktionen y = sec(x) und y = csc(x)
Bereich: (-∞ , -1) ∪ (1 , +∞)
Periode = 2π
Horizontale Verschiebung (Translation) = d , nach links, wenn (- d) positiv ist, und nach rechts, wenn (- d) negativ ist.
Vertikale Asymptoten von y = sec(x) = 1 / cos(x) an den Nullstellen von cos(x) gegeben durch x = π/2 + kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Vertikale Asymptoten von y = csc(x) = 1 / sin(x) an den Nullstellen von sin(x) gegeben durch x = kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Wir müssen wissen, wie man grundlegende Sekanten- und Kotangenfunktionen skizziert, indem man die Identitäten y = sec(x) = 1 / cos(x) und y = csc(x) = 1 / sin(x) verwendet, um die vertikalen Asymptoten zu verstehen.
y = sec(x) = 1 / cos(x)
Alle Nullen von cos(x) (die im Nenner stehen) sind vertikale Asymptoten der sec(x).
y = csc(x) = 1 / sin(x)
Alle Nullen von sin(x) (die im Nenner stehen) sind vertikale Asymptoten der csc(x).
Skizzierung und Graphen von Sekanten- und Kotangenfunktionen: Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Skizzieren Sie den Graphen von y = sec(2x - π/3) über eine Periode.
Lösung
Graphing Parameters
Bereich: (-∞ , - 1) ∪ (1, +∞)
Periode = 2π/2 = π
Vertikale Asymptoten gegeben durch die Lösung der Gleichung: 2x - π/3 = π/2 + kπ welche x = 5π/12 + kπ/2, , k = 0 , ±1, ±2, ...
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms - π/3 ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zuerst als: y = sec[2(x - π/6)] und wir können die Verschiebung jetzt als π/6 nach rechts gleichsetzen.
Wir skizzieren y = sec(2x - π/3), indem wir den Graphen von y = sec(2x) um π/6 nach rechts verschieben (roter Graph unten), so dass die skizzierte Periode bei π/6 beginnt und bei π/6 + π = 7π/6 endet, was einer Periode von π entspricht.
Beispiel 2
Skizzieren Sie den Graphen von y = - 3 csc(x/2 + π/2) über eine Periode.
Lösung
Graphing Parameters
Bereich: (-∞ , -3) ∪ (3, +∞)
Periode = 2π/|k| = 2 π / (1/2) = 4 π
Vertikale Asymptoten gegeben durch die Lösung der Gleichung: x/2 + π/2 = kπ welche x = (2k-1)π, , k = 0 , ±1, ±2, ...
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms π/2 ist der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zuerst als: y = - 3 csc[(1/2)(x + π)] und wir können die Verschiebung jetzt als π nach links gleichsetzen.
Wir skizzieren - 3 csc(x/2 + π/2), indem wir den Graphen von y = - 3 csc(x/2) um π nach links verschieben (roter Graph unten), so dass die skizzierte Periode bei -π beginnt und bei π + 4 π = 3π endet, was einem Intervall von einer Periode entspricht.
