Was ist die Periode der Funktion $y = \tan(2x + \dfrac{\pi}{2})$?

Die Periode ist $\dfrac{\pi}{2}$. Für Tangens- und Kotangensfunktionen beträgt die Basisperiode $\pi$, daher lautet die Formel $\dfrac{\pi}{|k|}$.

Wo liegen die vertikalen Asymptoten für die Basisfunktion $y = \cot(x)$?

Vertikale Asymptoten für $y = \cot(x)$ treten bei $x = k\pi$ auf, wobei $k$ eine ganze Zahl ist. Dies liegt daran, dass $\cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}$ ist und $\sin(x) = 0$ bei $k\pi$ gilt.

Wie findet man die vertikalen Asymptoten einer Tangensfunktion?

Da $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ ist, treten vertikale Asymptoten dort auf, wo der Nenner $\cos(x)$ gleich Null ist. Für die Basisfunktion ist dies bei $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$. Setzen Sie bei transformierten Funktionen das Innere der Tangensfunktion gleich $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ und lösen Sie nach $x$ auf.

Was ist der Wertebereich von Tangens- und Kotangensfunktionen?

Im Gegensatz zu Sinus und Kosinus, die begrenzt sind, umfasst der Wertebereich sowohl von Tangens- als auch von Kotangensfunktionen alle reellen Zahlen: $(-\infty, \infty)$.

Tangens- und Kotangensfunktionen zeichnen

Diese Seite erklärt das Skizzieren und Zeichnen der Tangens- und Kotangensfunktionen der Form:

$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{und} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$

Detaillierte Beispiele werden unten bereitgestellt, um Schülern zu helfen, ihr Verhalten, Asymptoten und Graphentransformationen zu verstehen.

Grafische Parameter von $y = \tan(x)$ und $y = \cot(x)$

Wertebereich: $ (- \infty , +\infty) $

Periode: $ \pi $ (Hinweis: Dies unterscheidet sich von Sinus/Kosinus, die eine Basisperiode von $2\pi$ haben)

Horizontale Verschiebung (Translation): $d$. Der Graph verschiebt sich nach links, wenn $(- d)$ positiv ist, und nach rechts, wenn $(- d)$ negativ ist.

Vertikale Asymptoten des Tangens: Treten bei den Nullstellen des Kosinus auf, gegeben durch:

$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Vertikale Asymptoten des Kotangens: Treten bei den Nullstellen des Sinus auf, gegeben durch:

$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Identitäten: Um die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen zu verstehen, erinnern Sie sich an die Verhältnisidentitäten:

$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{und} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

Alle Nullstellen von $\sin(x)$ entsprechen den Nullstellen von $\tan(x)$. Alle Nullstellen von $\cos(x)$, die im Nenner erscheinen, entsprechen den vertikalen Asymptoten von $\tan(x)$.

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Alle Nullstellen von $\cos(x)$ entsprechen den Nullstellen von $\cot(x)$. Alle Nullstellen von $\sin(x)$, die sich im Nenner befinden, entsprechen den vertikalen Asymptoten von $\cot(x)$.

Tangens- und Kotangensfunktionen skizzieren: Beispiele mit detaillierten Lösungen

Beispiel 1: Zeichnen einer transformierten Tangensfunktion

Skizzieren Sie den Graphen von $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ über eine Periode.

Lösung:

Grafische Parameter

Wertebereich: $(- \infty , +\infty)$

Periode: Berechnung unter Verwendung der Tangens-Basisperiode $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

Vertikale Asymptoten: Treten dort auf, wo das Innere der Tangensfunktion den Basis-Asymptoten $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ entspricht:

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Was vereinfacht ergibt:

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Horizontale Verschiebung: Die horizontale Verschiebung aufgrund von $\dfrac{\pi}{2}$ ermöglicht es, die Funktion durch Ausklammern der $2$ umzuschreiben:

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

Dies bedeutet, dass sich der Graph um $\dfrac{\pi}{4}$ Einheiten nach links verschiebt.

Zwei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$:

1) Skizzieren Sie $\tan(2x)$ über eine Periode von $0$ bis $\dfrac{\pi}{2}$ (blauer Graph unten).

2) Skizzieren Sie dann $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$, indem Sie den vorherigen Graphen um $\dfrac{\pi}{4}$ nach links verschieben (roter Graph unten), sodass die Periode bei $- \dfrac{\pi}{4}$ beginnt und bei $\dfrac{\pi}{4}$ endet, was eine volle Periode von $\dfrac{\pi}{2}$ ergibt.

Beispiel 2: Zeichnen einer transformierten Kotangensfunktion

Skizzieren Sie den Graphen von $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ über eine Periode.

Lösung:

Grafische Parameter

Wertebereich: $(- \infty , +\infty)$

Periode: Berechnung unter Verwendung der Kotangens-Basisperiode $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

Vertikale Asymptoten: Gefunden durch Lösen der Gleichung, wenn das Innere der Kotangensfunktion $k\pi$ entspricht:

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

Dies ergibt:

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Horizontale Verschiebung: Die horizontale Verschiebung aufgrund von $- \dfrac{\pi}{4}$ kann durch Ausklammern der $4$ identifiziert werden:

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

Dies stellt eine Verschiebung um $\dfrac{\pi}{16}$ Einheiten nach rechts dar.

Zwei Schritte zum Zeichnen der Funktion $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$:

1) Beginnen Sie mit dem Skizzieren von $\cot(4x)$ über eine Periode von $0$ bis $\dfrac{\pi}{4}$ (blauer Graph).

2) Skizzieren Sie dann $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$, indem Sie den Graphen um $\dfrac{\pi}{16}$ nach rechts verschieben (roter Graph unten), sodass die Periode bei $\dfrac{\pi}{16}$ beginnt und bei $\dfrac{5\pi}{16}$ endet, was einer vollen Periode entspricht.

Grafische Parameter von $y = \tan(x)$ und $y = \cot(x)$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Tangens- und Kotangensfunktionen skizzieren: Beispiele mit detaillierten Lösungen

Weitere Referenzen und Links