Diese Seite erklärt das Skizzieren und Zeichnen der Tangens- und Kotangens-Funktionen der Form \[ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{und} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] \] mit detaillierten Beispielen, um Schülern zu helfen, ihr Verhalten und Graphentransformationen zu verstehen.
Der Wertebereich sowohl der Tangens- als auch der Kotangensfunktionen ist \((- \infty , +\infty)\). Die Periode für jede ist \(\pi\). Die horizontale Verschiebung oder Translation wird durch \(d\) angegeben, wobei der Graph nach links verschoben wird, wenn \((- d)\) positiv ist, und nach rechts, wenn \((- d)\) negativ ist.
Vertikale Asymptoten treten auf bei
\[ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
für \(y = \tan(x)\), und bei
\[ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
für \(y = \cot(x)\).
Um die wichtigsten Eigenschaften dieser Funktionen zu verstehen, erinnern Sie sich an die Identitäten:
\[ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{und} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}. \]
Alle Nullstellen von \(\sin(x)\) entsprechen Nullstellen von \(\tan(x)\). Alle Nullstellen von \(\cos(x)\), die im Nenner vorkommen, entsprechen vertikalen Asymptoten von \(\tan(x)\), wie unten dargestellt.
Alle Nullstellen von \(\cos(x)\) entsprechen Nullstellen von \(\cot(x)\). Alle Nullstellen von \(\sin(x)\), die im Nenner sind, entsprechen vertikalen Asymptoten von \(\cot(x)\), wie unten gezeigt.
Skizzieren Sie den Graphen von \[ y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) \] über eine Periode.
Wertebereich: \((- \infty , +\infty)\).
Periode: \(\dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2}\).
Vertikale Asymptoten treten auf, wo \[ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \] was vereinfacht wird zu \[ x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]
Die horizontale Verschiebung aufgrund von \(\dfrac{\pi}{2}\) erlaubt es, die Funktion umzuschreiben als \[ y = \tan \big[ 2 ( x + \dfrac{\pi}{4} ) \big]. \]
Das bedeutet, der Graph verschiebt sich um \(\dfrac{\pi}{4}\) Einheiten nach links.
Zwei Schritte, um die Funktion \( y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right) \) zu zeichnen
1) Skizzieren Sie \(\tan(2x)\) über eine Periode von \(0\) bis \(\dfrac{\pi}{2}\) (blauer Graph unten).
2) Skizzieren Sie dann \[ y = \tan \big[ 2 ( x + \dfrac{\pi}{4} ) \big] \] indem Sie den vorherigen Graphen um \(\dfrac{\pi}{4}\) nach links verschieben (roter Graph unten), sodass die Periode bei \(- \dfrac{\pi}{4}\) beginnt und bei \(\dfrac{\pi}{4}\) endet, was einer vollen Periode \(\dfrac{\pi}{2}\) entspricht.
Skizzieren Sie den Graphen von \[ y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right) \] über eine Periode.
Wertebereich: \((- \infty , +\infty)\). Periode: \(\dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4}\). Vertikale Asymptoten werden gefunden durch Lösen von \[ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi, \] was ergibt \[ x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \] Die horizontale Verschiebung aufgrund von \(- \dfrac{\pi}{4}\) kann umgeschrieben werden als \[ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]. \] Dies stellt eine Verschiebung um \(\dfrac{\pi}{16}\) Einheiten nach rechts dar.
Zwei Schritte, um die Funktion \( y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right) \) zu zeichnen
1) Beginnen Sie, indem Sie \(\cot(4x)\) über eine Periode von \(0\) bis \(\dfrac{\pi}{4}\) skizzieren (blauer Graph).
2) Skizzieren Sie dann \[ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] \] indem Sie den Graphen um \(\dfrac{\pi}{16}\) nach rechts verschieben (roter Graph unten), sodass die Periode bei \(\dfrac{\pi}{16}\) beginnt und bei \(\dfrac{5\pi}{16}\) endet, was einer vollen Periode entspricht.
