Die Skizzierung und Darstellung der Tangens- und
Kotangens
Funktionen der Form
y = a tan [ k ( x - d) ] und y = a cot [ k ( x - d) ]
werden mit detaillierten Beispielen erläutert.
Graphische Parameter von y = tan(x) und y = cot(x)
Bereich: (-∞ , +∞)
Periode = π
Horizontale Verschiebung (Translation) = d , nach links, wenn (- d) positiv ist, und nach rechts, wenn (- d) negativ ist.
Vertikale Asymptoten von y = tan(x) bei x = π/2 + kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Vertikale Asymptoten von y = cot(x) bei x = kπ , k = 0 , ±1, ±2, ...
Wir müssen wissen, wie man grundlegende Tangens- und Kotangensfunktionen zeichnet, indem man die Identitäten y = tan(x) = sin(x) / cos(x) und y = cot(x) = sin(x) / cos(x) verwendet, um bestimmte Eigenschaften zu verstehen.
1) y = tan(x) = sin(x) / cos(x)
Alle Nullen von sin(x) sind auch Nullen von tan(x), und alle Nullen von cos(x) (die sich im Nenner befindet) sind vertikale Asymptoten von tan(x), wie unten gezeigt.
2) y = cot(x) = cos(x) / sin(x)
Alle Nullen von cos(x) sind auch Nullen von cot(x), und alle Nullen von sin(x) (die sich im Nenner befindet) sind vertikale Asymptoten von cot(x), wie unten gezeigt.
Skizzieren von Tangens- und Kotangensfunktionen: Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Skizzieren Sie den Graphen von y = tan(2x + π/2) über eine Periode.
Lösung Graphische Parameter
Bereich: (-∞ , +∞)
Periode = π/|k| = π/2
Vertikale Asymptoten werden gefunden, indem man die Gleichung nach x auflöst: 2x + π/2 = π/2 + kπ, was x = kπ/2 ergibt , k = 0 , ±1, ±2, ...
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms π/2 wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = tan [ 2( x + π/4)] und können die Verschiebung nun als gleich π/4 nach links schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von tan(2 x) über eine Periode von 0 bis π/2 (blauer Graph unten).
Dann zeichnen wir y = tan [ 2( x + π/4)] und verschieben den vorherigen Graphen π/4 nach links (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei - π/4 beginnt und bei - π/4 + π/2 = π/4 endet, was einem Intervall über eine Periode von π/2 entspricht.
Beispiel 2
Skizzieren Sie den Graphen von y = cot(4x - π/4) über eine Periode.
Lösung Graphische Parameter
Bereich: (-∞ , +∞)
Periode = π/|k| = π/4
Vertikale Asymptoten werden gefunden, indem man die Gleichung nach x auflöst: 4x - π/4 = kπ, was x = (kπ + π/4) / 4 ergibt , k = 0 , ±1, ±2, ...
Horizontale Verschiebung: Aufgrund des Terms - π/4 wird der Graph horizontal verschoben. Wir schreiben die gegebene Funktion zunächst um als: y = cot [ 4( x - π/16)] und können die Verschiebung nun als gleich π/16 nach rechts schreiben.
Wir beginnen mit der Skizzierung von cot(4 x) über eine Periode von 0 bis π/4 (blauer Graph).
Dann zeichnen wir y = cot [ 4( x - π/16)] und verschieben den vorherigen Graphen π/16 nach rechts (roter Graph unten), sodass die skizzierte Periode bei π/16 beginnt und bei π/16 + π/4 = 5π/16 endet, was einer Periode entspricht.
