Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen lösen
Wie löst man Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen? Fragen für Mathematik der 12. Klasse werden zusammen mit detaillierten Lösungen präsentiert. Die Lösungen der Gleichungen werden auch grafisch überprüft. Die linke Seite und die rechte Seite einer gegebenen Gleichung werden im selben Koordinatensystem gezeichnet, und die Näherungslösung der Gleichung ergibt sich aus der x-Koordinate des Schnittpunkts der beiden Graphen.
Lösen Sie die Gleichung 3 arcsin(x) = π / 2 für x.
Lösung
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3.
arcsin(x) = (π / 2) / 3
arcsin(x) = π / 6
Wenden Sie nun die Sinusfunktion auf beide Seiten an und vereinfachen Sie.
sin(arcsin(x)) = sin(π / 6)
Das obige vereinfacht sich zu
x = 1 / 2
Aufgrund des Definitionsbereichs von arcsin(x) müssen wir überprüfen, ob die gefundene Lösung gültig ist.
x = 1 / 2
Rechte Seite der Gleichung: 3 arcsin(1 / 2) = 3 (π6) = π / 2.
Linke Seite der Gleichung: π / 2.
Die Lösung der obigen Gleichung ist x = 1 / 2.
Die grafische Näherungslösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen auf der linken und rechten Seite der gegebenen Gleichung beträgt 0,5, was der analytisch gefundenen Lösung entspricht.
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Frage 2
Lösen Sie die Gleichung 3 cot (arccos(x)) = 2 für x.
Lösung
Teilen Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung durch 3 und vereinfachen Sie.
cot (arccos(x)) = 2 / 3
Lassen Sie
A = arccos(x)
und wenden Sie dann die Kosinusfunktion auf beide Seiten an, um zu erhalten.
cos (A) = cos(arccos(x)) = x
Unter Verwendung der obigen Definition von A kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden.
cot (A) = 2 / 3
Verwenden Sie cot (A) = 2 / 3, um ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, und finden Sie cos(A). Finden Sie zuerst die Hypotenuse h.
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h = √(13)
Verwenden Sie dasselbe oben gezeigte Dreieck, um cos (A) zu finden.
x = cos(A) = 2 / √(13) ≈ 0,55
Die grafische Näherungslösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt.
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Frage 3
Lösen Sie die Gleichung arcsin(x) = arccos(x) für x.
Lösung
Wenden Sie die Sinusfunktion auf beide Seiten an.
sin(arcsin(x)) = sin(arccos(x))
Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität sin(arcsin(A)) = A.
x = sin(arccos(x))
Lassen Sie A = arccos(x)
cos A = x
sin(arccos(x)) = sin (A) = ± √ (1 - x 2)
Verwenden Sie dies, um die gegebene Gleichung in algebraischer Form umzuschreiben.
x = ± √ (1 - x 2)
Beide Seiten quadrieren.
x 2 = (1 - x 2)
2 x 2 = 1
x = ± 1 / √(2)
Aufgrund des Definitionsbereichs der arccos-Funktion und da wir beide Seiten der Gleichung quadriert haben, müssen wir die Lösungen überprüfen und ungültige (extrane) ausschließen.
1) x = 1 / √(2)
linke Seite: arcsin( 1 / √(2) ) = π / 4
rechte Seite: arccos( 1 / √(2) ) = π / 4
x = 1 / √(2) ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
2) x = - 1 / √(2)
linke Seite: arcsin( - 1 / √(2) ) = - π / 4
rechte Seite: arccos( - 1 / √(2) ) = 3 &pi / 4
x = - 1 / √(2) ist keine Lösung der gegebenen Gleichung.
Die grafische Näherungslösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts 0,71 liegt nahe bei 1/√2.
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Frage 4
Lösen Sie die Gleichung arccos(x) = arcsin(x) + π / 2 für x.
Lösung
Wenden Sie die Kosinusfunktion auf beide Seiten an.
cos(arccos(x)) = cos( arcsin(x) + π / 2 )
Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität cos(arccos(A)) = A.
x = cos( arcsin(x) + π / 2 )
Erweitern Sie die rechte Seite unter Verwendung der Identität cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
x = cos( arcsin(x)) cos(π / 2) - sin( arcsin(x)) sin(π / 2)
Verwenden Sie cos(π / 2) = 0 , sin( arcsin(x)) = x und sin(π / 2) = 1, um die rechte Seite der Gleichung zu vereinfachen.
x = - x
2 x = 0
x = 0
Überprüfen Sie die gefundene Lösung.
Linke Seite: arccos(0) = π / 2
Rechte Seite: arcsin(0) + π / 2 = π / 2
x = 0 ist eine Lösung der gegebenen Gleichung
Die grafische Näherungslösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts beträgt genau 0, wie der analytisch berechnete Wert.
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Frage 5
Lösen Sie die Gleichung arccos(2x) = π/3 + arccos(x) für x.
Lösung
Wenden Sie die Kosinusfunktion auf beide Seiten an.
cos(arccos(2x)) = cos(π/3 + arccos(x))
Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität cos(arccos(A)) = A und erweitern Sie die rechte Seite unter Verwendung der Identität cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sin(a)sin(b).
linke Seite: cos(arccos(2x)) = 2x
rechte Seite: cos(π/3 + arccos(x)) = cos(π/3)cos(arcos(x)) - sin(π/3)sin(arccos(x))
= cos(π/3)x - sin(π/3)sin(arccos(x))
Schreiben Sie sin(arccos(x)) und die rechte Seite der Gleichung als algebraischen Ausdruck um.
Sei A = arccos(x),
cos(A) = cos(cos(x)) = x
sin(arcos(x)) = sin(A) = ± √ (1 - cos 2A) = ± √ (1 - x 2)
rechte Seite: cos(π/3) x ± sin(π/3)√ (1 - x 2)
Verwenden Sie cos(π/3) = 1 / 2 und sin(π/3) = √3 / 2 und schreiben Sie die Gleichung mit algebraischen Ausdrücken um.
2x = x / 2 ± √3 / 2√ (1 - x 2)
Schreiben Sie die Gleichung mit einer Wurzel auf der rechten Seite um.
3x / 2 = ± (√3 / 2) √ (1 - x 2)
Quadrieren Sie beide Seiten der Gleichung und vereinfachen Sie.
9x 2 / 4 = [ ± (√3 / 2)√ (1 - x 2) ] 2
9x 2 / 4 = (3 / 4)(1 - x 2)
Lösen Sie nach x.
12x 2 / 4 = 3 / 4
x 2 = 1 / 4
x = ± 1 / 2
Aufgrund des Definitionsbereichs der Arkuskosinusfunktion und weil wir beide Seiten der Gleichung quadriert haben, müssen wir die Lösungen überprüfen und ungültige (überflüssige) ausschließen.
1) x = 1 / 2
linke Seite: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2(1/2))) = cos(arccos(1)) = 0
rechte Seite: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(1 / 2) = π/3 + π/3 = 2 π/3
x = 1 / 2 ist keine Lösung für die gegebene Gleichung.
2) x = - 1 / 2
linke Seite: cos(arccos(2x)) = cos(arccos(2( - 1/2))) = cos(arccos( - 1)) = π
rechte Seite: π/3 + arccos(x) = π/3+ arccos(- 1 / 2) = π/3 + 2 π/3 = π
x = - 1 / 2 ist eine Lösung für die gegebene Gleichung.
Die grafische Näherungslösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt. Der Schnittpunkt hat eine x-Koordinate von -0,5, was genau der analytisch gefundenen Lösung entspricht.
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