Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen

Lösen Sie die Gleichung $3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2}$ nach $x$ auf.

---

Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3.

$$ \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6} $$

Wenden Sie $\sin$ auf beide Seiten an und vereinfachen Sie.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) $$

Dies vereinfacht sich zu

$$ x = \dfrac{1}{2} $$

Aufgrund des Definitionsbereichs von $\arcsin(x)$ müssen wir überprüfen, ob die gefundene Lösung gültig ist.

Lösung überprüfen:

Für $x = \dfrac{1}{2}$

• Rechte Seite der Gleichung: $3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$
• Linke Seite der Gleichung: $\dfrac{\pi}{2}$

Die Lösung für die obige Gleichung ist $x = \dfrac{1}{2}$.

Die grafische Näherung der Lösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen, die die linke und rechte Seite der gegebenen Gleichung bilden, ist $0{,}5$. Dies entspricht der analytisch gefundenen Lösung.

Lösen Sie die Gleichung $3 \cot(\arccos(x)) = 2$ nach $x$ auf.

---

Lösung:

Teilen Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung durch 3 und vereinfachen Sie.

$$ \cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3} $$

Sei $A = \arccos(x)$, wenden Sie $\cos$ auf beide Seiten an, um Folgendes zu erhalten:

$$ \cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x $$

Unter Verwendung der Definition von $A$ von oben kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

$$ \cot(A) = \dfrac{2}{3} $$

Verwenden Sie $\cot(A) = \dfrac{2}{3}$, um ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren und $\cos(A)$ zu finden. Berechnen Sie zuerst die Hypotenuse $h$.

$$ h = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $$

Wir verwenden nun dasselbe Dreieck wie oben, um $\cos(A)$ zu finden.

$$ x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0{,}55 $$

Die grafische Näherung der Lösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt.

Lösen Sie die Gleichung $\arcsin(x) = \arccos(x)$ nach $x$ auf.

---

Lösung:

Wenden Sie die $\sin$-Funktion auf beide Seiten an.

$$ \sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x)) $$

Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität $\sin(\arcsin(A)) = A$.

$$ x = \sin(\arccos(x)) $$

Sei $A = \arccos(x)$, dann ist $\cos(A) = x$. Unter Verwendung der Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck (oder der pythagoreischen Identität):

$$ \sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Verwenden Sie dies, um die gegebene Gleichung in algebraischer Form umzuschreiben.

$$ x = \pm \sqrt{1 - x^2} $$

Quadrieren Sie beide Seiten.

$$ x^2 = 1 - x^2 $$

$$ 2x^2 = 1 $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} $$

Aufgrund des Definitionsbereichs der Arccos-Funktion und der Tatsache, dass wir beide Seiten der Gleichung quadriert haben, müssen wir die Lösungen überprüfen und eventuelle ungültige (Schein-)Lösungen eliminieren.

Lösung überprüfen:

1) Für $x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Linke Seite: $\arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$
• Rechte Seite: $\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$

$\implies x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.

2) Für $x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

• Linke Seite: $\arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$
• Rechte Seite: $\arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4}$

$\implies x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ist keine Lösung der gegebenen Gleichung.

Die grafische Näherung der Lösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts $0{,}71$ liegt nahe bei $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Lösen Sie die Gleichung $\arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}$ nach $x$ auf.

---

Lösung:

Wenden Sie die $\cos$-Funktion auf beide Seiten an.

$$ \cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität $\cos(\arccos(A)) = A$.

$$ x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right) $$

Entwickeln Sie die rechte Seite unter Verwendung der Additionstheoreme $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.

$$ x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) $$

Verwenden Sie die bekannten Werte: $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$, $\sin(\arcsin(x)) = x$ und $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1$.

$$ x = \cos(\arcsin(x)) \cdot 0 - x \cdot 1 $$

$$ x = -x $$

$$ 2x = 0 $$

$$ x = 0 $$

Lösung überprüfen:

• Linke Seite: $\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}$
• Rechte Seite: $\arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$

$x = 0$ ist eine gültige Lösung für die gegebene Gleichung.

Die grafische Näherung der Lösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist gleich $0$, genau wie der oben analytisch berechnete Wert.

Lösen Sie die Gleichung $\arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)$ nach $x$ auf.

---

Lösung:

Wenden Sie die Kosinus-Funktion auf beide Seiten an.

$$ \cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) $$

Vereinfachen Sie die linke Seite unter Verwendung der Identität und entwickeln Sie die rechte Seite unter Verwendung des Additionstheorems.

Linke Seite: $\cos(\arccos(2x)) = 2x$

Rechte Seite:

$$ \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x)) $$

$$ = \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

Setzen Sie beide Seiten gleich und schreiben Sie die Gleichung mit der isolierten Wurzel auf der rechten Seite um.

$$ 2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2} $$

$$ \dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2} $$

Quadrieren Sie beide Seiten.

$$ \dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2) $$

Multiplizieren Sie mit 4, um die Nenner zu eliminieren:

$$ 9x^2 = 3(1 - x^2) $$

$$ 9x^2 = 3 - 3x^2 $$

$$ 12x^2 = 3 $$

$$ x^2 = \dfrac{1}{4} $$

$$ x = \pm \dfrac{1}{2} $$

Lösung überprüfen:

1) Für $x = \dfrac{1}{2}$

• Linke Seite: $\arccos\left(2 \cdot \dfrac{1}{2}\right) = \arccos(1) = 0$
• Rechte Seite: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$

$\implies x = \dfrac{1}{2}$ ist KEINE Lösung.

2) Für $x = -\dfrac{1}{2}$

• Linke Seite: $\arccos\left(2 \cdot -\dfrac{1}{2}\right) = \arccos(-1) = \pi$
• Rechte Seite: $\dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi$

$\implies x = -\dfrac{1}{2}$ ist eine gültige Lösung der gegebenen Gleichung.

Die grafische Näherung der Lösung für die gegebene Gleichung ist unten dargestellt. Der Schnittpunkt hat eine x-Koordinate von $-0{,}5$, was genau der analytisch gefundenen Lösung entspricht.