Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen lösen
Erfahren Sie, wie Sie Gleichungen lösen, die inverse trigonometrische Funktionen wie Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens enthalten. Dieser Leitfaden richtet sich an Mathematikschüler der 12. Klasse und enthält schrittweise Lösungen für gängige Arkusgleichungen. Jede Lösung wird auch grafisch überprüft, indem beide Seiten der Gleichung im selben Koordinatensystem dargestellt werden. Der Schnittpunkt liefert eine Näherungslösung und hilft den Schülern, die Gleichung zu visualisieren und das Konzept besser zu verstehen.
Aufgabe 1
Lösen Sie die Gleichung \( 3 \arcsin(x) = \dfrac{\pi}{2} \) nach x auf.
Lösung
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 3.
\[
\arcsin(x) = \dfrac{\pi}{6}
\]
Wenden Sie den Sinus auf beide Seiten an und vereinfachen Sie.
\[
\sin(\arcsin(x)) = \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
\]
Das vereinfacht sich zu
\[
x = \dfrac{1}{2}
\]
Aufgrund des Definitionsbereichs von arcsin(x) müssen wir überprüfen, ob die erhaltene Lösung gültig ist.
Lösung überprüfen
\[
x = \dfrac{1}{2}
\]
Rechte Seite der Gleichung: \( 3 \arcsin\left(\dfrac{1}{2}\right) = 3 \cdot \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} \)
Linke Seite der Gleichung: \( \dfrac{\pi}{2} \)
Die Lösung der obigen Gleichung ist \( x = \dfrac{1}{2} \)
Die grafische Näherung der Lösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der linken und rechten Seite der gegebenen Gleichung beträgt 0,5, was der analytisch gefundenen Lösung entspricht.
Aufgabe 2
Lösen Sie die Gleichung \( 3 \cot(\arccos(x)) = 2 \) nach x auf.
Lösung
Teilen Sie beide Seiten der gegebenen Gleichung durch 3 und vereinfachen Sie.
\[
\cot(\arccos(x)) = \dfrac{2}{3}
\]
Sei \( A = \arccos(x) \)
und wenden Sie den Kosinus auf beide Seiten an, um zu erhalten.
\[
\cos(A) = \cos(\arccos(x)) = x
\]
Unter Verwendung der Definition von A oben kann die Gleichung geschrieben werden als
\[
\cot(A) = \dfrac{2}{3}
\]
Verwenden Sie \( \cot(A) = \dfrac{2}{3} \), um ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren und \( \cos(A) \) zu finden. Berechnen Sie zuerst die Hypotenuse h.
\[
h = \sqrt{13}
\]
Wir verwenden nun dasselbe oben gezeigte Dreieck, um \( \cos(A) \) zu finden.
\[
x = \cos(A) = \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0.55
\]
Die grafische Näherung der Lösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt.
Aufgabe 3
Lösen Sie die Gleichung \( \arcsin(x) = \arccos(x) \) nach x auf.
Lösung
Wenden Sie die Sinusfunktion auf beide Seiten an.
\[
\sin(\arcsin(x)) = \sin(\arccos(x))
\]
Vereinfachen Sie die linke Seite mit der Identität \( \sin(\arcsin(A)) = A \).
\[
x = \sin(\arccos(x))
\]
Sei \( A = \arccos(x) \), dann ist \( \cos(A) = x \)
\[
\sin(\arccos(x)) = \sin(A) = \pm \sqrt{1 - x^2}
\]
Verwenden Sie das Obige, um die gegebene Gleichung in algebraischer Form umzuschreiben.
\[
x = \pm \sqrt{1 - x^2}
\]
Quadrieren Sie beide Seiten.
\[
x^2 = 1 - x^2
\]
\[
2x^2 = 1
\]
\[
x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}
\]
Aufgrund des Definitionsbereichs der Arkuskosinusfunktion und weil wir beide Seiten der Gleichung quadriert haben, müssen wir die Lösungen überprüfen und alle ungültigen (überflüssigen) eliminieren.
Lösung überprüfen
1) \( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Linke Seite: \( \arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
Rechte Seite: \( \arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{\pi}{4} \)
\( x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
2) \( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Linke Seite: \( \arcsin\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \)
Rechte Seite: \( \arccos\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = \dfrac{3\pi}{4} \)
\( x = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) ist keine Lösung der gegebenen Gleichung.
Die grafische Näherung der Lösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts 0,71 liegt nahe bei \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \).
Aufgabe 4
Lösen Sie die Gleichung \( \arccos(x) = \arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2} \) nach x auf.
Lösung
Wenden Sie die Kosinusfunktion auf beide Seiten an.
\[
\cos(\arccos(x)) = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right)
\]
Vereinfachen Sie die linke Seite mit der Identität \( \cos(\arccos(A)) = A \).
\[
x = \cos\left(\arcsin(x) + \dfrac{\pi}{2}\right)
\]
Entwickeln Sie die rechte Seite mit der Identität \( \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \).
\[
x = \cos(\arcsin(x))\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \sin(\arcsin(x))\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)
\]
Verwenden Sie \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 \), \( \sin(\arcsin(x)) = x \), und \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \)
\[
x = -x
\]
\[
2x = 0
\]
\[
x = 0
\]
Lösung überprüfen
Linke Seite: \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \)
Rechte Seite: \( \arcsin(0) + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \)
\( x = 0 \) ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
Die grafische Näherung der Lösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist genau 0, wie der oben analytisch berechnete Wert.
Aufgabe 5
Lösen Sie die Gleichung \( \arccos(2x) = \dfrac{\pi}{3} + \arccos(x) \) nach x auf.
Lösung
Wenden Sie die Kosinusfunktion auf beide Seiten an.
\[
\cos(\arccos(2x)) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right)
\]
Vereinfachen Sie die linke Seite mithilfe der Identität und entwickeln Sie die rechte Seite.
Linke Seite: \( \cos(\arccos(2x)) = 2x \)
Rechte Seite:
\[
\cos\left(\dfrac{\pi}{3} + \arccos(x)\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\cos(\arccos(x)) - \sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\sin(\arccos(x))
\]
\[
= \dfrac{1}{2}x \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}
\]
Schreiben Sie die Gleichung mit dem Radikal auf der rechten Seite um.
\[
2x = \dfrac{x}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\dfrac{3x}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - x^2}
\]
Quadrieren Sie beide Seiten.
\[
\dfrac{9x^2}{4} = \dfrac{3}{4}(1 - x^2)
\]
\[
\dfrac{12x^2}{4} = \dfrac{3}{4}
\]
\[
x^2 = \dfrac{1}{4}
\]
\[
x = \pm \dfrac{1}{2}
\]
Lösung überprüfen
1) \( x = \dfrac{1}{2} \)
Linke Seite: \( \arccos(2x) = \arccos(1) = 0 \)
Rechte Seite: \( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} \)
\( x = \dfrac{1}{2} \) ist KEINE Lösung.
2) \( x = -\dfrac{1}{2} \)
Linke Seite: \( \arccos(-1) = \pi \)
Rechte Seite: \( \dfrac{\pi}{3} + \arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{2\pi}{3} = \pi \)
\(x = -1/2 \) ist eine Lösung der gegebenen Gleichung.
Die grafische Näherung der Lösung der gegebenen Gleichung ist unten dargestellt. Der Schnittpunkt hat eine x-Koordinate von -0,5, was genau der analytisch gefundenen Lösung entspricht.
Weitere Referenzen und Links