Lösen Sie rationale Ungleichungen Beispiele mit Lösungen
Rationale Ungleichungen werden in den folgenden Beispielen gelöst. In der Erkenntnis, dass das Vorzeichen eines algebraischen Ausdrucks an seinen Nullstellen ungerader Vielfachheit wechselt, kann das Lösen einer Ungleichung darauf reduziert werden, das Vorzeichen eines algebraischen Ausdrucks innerhalb von Intervallen zu finden, die durch die Nullstellen des betreffenden Ausdrucks definiert sind.
Lösen Sie die folgenden Ungleichungen
Frage 1
Lösung
Wir ordnen zuerst die Nullen des Zählers und des Nenners des rationalen Ausdrucks auf der linken Seite des Ungleichheitszeichens auf der Zahlengeraden an, vom kleinsten zum größten, wie folgt.
-∞
- 1
2
+∞
Wählen Sie einen Wert für x in einem der Intervalle und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = -3 im Intervall (-∞ , -1), der rationale Ausdruck (x - 2)/(x + 1) = (- 3 - 2)/(- 3 + 1) = 5 / 2. Daher ist der rationale Ausdruck (x - 2)/(x + 1) im Intervall (-∞ , -1) positiv.
-∞
+
- 1
2
+∞
Die Nullen -1 und 2 haben eine ungerade Vielfachheit, und daher ändert sich das Vorzeichen des Ausdrucks (x - 2)/(x + 1), wenn wir von einem Intervall zum anderen gehen. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks (x - 2)/(x + 1) beim Gehen von links nach rechts:
-∞
+
- 1
-
2
+
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich aus der Vereinigung aller Intervalle, in denen (x - 2)/(x + 1) positiv oder gleich 0 ist. Daher wird die Lösungsmenge für die obige Ungleichung in Intervallnotation angegeben durch:
(-∞ , -1) ∪ [ 2 , +∞)
Frage 2
Lösung
Wir schreiben zuerst die gegebene Ungleichung mit der rechten Seite gleich 0.
Verwenden Sie x + 3 als gemeinsamen Nenner, um die linke Seite der Ungleichung als einzigen rationalen Ausdruck umzuschreiben, wie folgt.
Addieren Sie die beiden rationalen Ausdrücke, um zu erhalten
Wir ordnen die Nullen des Zählers und des Nenners auf der Zahlengeraden vom kleinsten zum größten, wie folgt.
-∞
- 5
- 3
+∞
Wählen Sie einen Wert für x im Intervall (-∞ , - 5) aus und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = - 6, der rationale Ausdruck (-x - 5)(x + 3) = (6 - 5)/(- 6 + 3) = -1 / 3. Daher ist der rationale Ausdruck (-x - 5)(x + 3) im Intervall (-∞ , - 5) negativ.
-∞
-
- 5
- 3
+∞
Die Nullen - 5 und - 3 haben eine ungerade Vielfachheit, und daher ändert sich das Vorzeichen von (-x - 5)(x + 3) an beiden Nullen. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks (-x - 5)(x + 3) beim Gehen von links nach rechts:
-∞
-
- 5
+
- 3
-
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich aus der Vereinigung aller Intervalle, in denen (-x - 5)(x + 3) negativ oder gleich 0 ist. Daher wird die Lösungsmenge für die obige Ungleichung in Intervallnotation angegeben durch:
(-∞ , - 5] ∪ ( - 3 , +∞)
Frage 3
Lösung
Wir müssen die Nullen des Zählers und des Nenners durch Faktorisierung (oder eine andere Methode) finden. Faktorisieren Sie den Zähler und den Nenner.
4 x 2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) und x 2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)
Schreiben Sie die gegebene Ungleichung um als
Ordnen Sie die Nullen des Zählers und des Nenners auf der Zahlengeraden an, vom kleinsten zum größten, wie folgt.
-∞
- 9 / 4
- 2
1
3
+∞
Wählen Sie einen Wert für x im Intervall (-∞ , - 9/4) und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = - 3, der rationale Ausdruck ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) = 2. Daher ist der rationale Ausdruck ( (4x + 9)(x - 1)) / ( (x - 3)(x + 2) ) im Intervall (-∞ , - 9/4) positiv.
Alle Nullen haben eine ungerade Vielfachheit, und daher ändert sich das Vorzeichen von ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) an allen Nullen. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) beim Gehen von links nach rechts:
-∞
+
- 9 / 4
-
- 2
+
1
-
3
+
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich aus der Vereinigung aller Intervalle, in denen ( (4x + 9)(x - 1) ) / ( (x - 3)(x + 2) ) positiv oder gleich 0 ist. Daher wird die Lösungsmenge für die obige Ungleichung in Intervallnotation angegeben durch:
(-∞ , - 9/4] ∪ ( - 2 , 1] ∪ (3 , +∞)
Frage 4
Lösung
-∞
- 6
- 4
2
+∞
Wählen Sie einen Wert für x im Intervall (-∞ , - 6) und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = - 7, der rationale Ausdruck ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) = 1/4536. Daher ist der rationale Ausdruck ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) im Intervall (-∞ , - 6) positiv.
Das Vorzeichen von ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) wird sich an den Nullen -6 und 2 ändern, da sie eine ungerade Vielfachheit haben. Das Vorzeichen von ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) ändert sich nicht bei - 4, da es eine Null mit einer geraden Vielfachheit ist. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) beim Gehen von links nach rechts:
-∞
+
- 6
-
- 4
-
2
+
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich aus der Vereinigung aller Intervalle, in denen ( (x+4) 2(x+6) ) / ( (x 2+7)(x-2) 3) negativ ist. Daher wird die Lösungsmenge für die obige Ungleichung in Intervallnotation angegeben durch:
(- 6 , - 4) ∪ ( - 4 , 2)
Frage 5
Lösung:
Faktorisieren Sie den Zähler und den Nenner der gegebenen Ungleichung.
x 3 + 1 = (x + 1)(x 2 - x + 1) und x 2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
Schreiben Sie die gegebene Ungleichheit wie folgt um
Der rationale Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung hat die Nullen: - 3, - 1 und 3 ( x 2 - x + 1 hat keine realen Nullen). Ordnen Sie alle drei Nullen auf der Zahlengeraden an und zwar in aufsteigender Reihenfolge:
-∞
- 3
- 1
3
+∞
Wählen Sie einen Wert für x im Intervall (-∞ , - 3) und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = - 4, der rationale Ausdruck ( x 3 + 1) / ( (x 2 - 9) ) = - 9. Daher ist der rationale Ausdruck auf der linken Seite der gegebenen Ungleichung im Intervall (-∞ , - 3) negativ.
Das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks auf der linken Seite der gegebenen Ungleichung ändert sich an den Nullen - 1 und 3, da sie eine ungerade Vielfachheit haben. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks des rationalen Ausdrucks beim Gehen von links nach rechts:
-∞
-
- 3
+
- 1
-
3
+
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ergibt sich aus der Vereinigung aller Intervalle, in denen der rationale Ausdruck auf der linken Seite der gegebenen Ungleichung negativ ist. Daher wird die Lösungsmenge für die obige Ungleichung in Intervallnotation angegeben durch:
(-∞ , - 3) ∪ ( - 1 , 3)
Frage 6
Lösung
Zuerst schreiben wir die gegebene Ungleichung so um, dass die rechte Seite gleich Null ist.
Finden Sie den Nenner (kleinste gemeinsame Vielfache) von (x - 2)(x + 3) und x - 2, der (x - 2)(x + 3) ist.
Schreiben Sie es mit gemeinsamem Nenner um.
Addieren Sie die rationalen Ausdrücke auf der linken Seite und vereinfachen Sie.
Der rationale Ausdruck auf der linken Seite der Ungleichung hat die Nullen bei: - 3, 1 - √14, 2 und 1 + √14. Ordnen Sie alle Nullen auf der Zahlengeraden an und zwar in aufsteigender Reihenfolge:
-∞
- 3
1 - √14
2
1 + √14
+∞
Wählen Sie einen Wert für x im Intervall (-∞ , - 3) und verwenden Sie ihn, um das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks zu finden. Beispiel für x = - 4, der rationale Ausdruck (-x 2 + 2x + 13) / ( (x-2)(x+3) ) = -11/6. Daher ist der rationale Ausdruck auf der linken Seite der gegebenen Ungleichung im Intervall (-∞ , - 3) negativ.
Das Vorzeichen des rationalen Ausdrucks auf der linken Seite der gegebenen Ungleichung ändert sich an allen Nullen, da sie alle eine ungerade Vielfachheit haben. Daher sind die Vorzeichen des Ausdrucks des rationalen Ausdrucks beim Gehen von links nach rechts:
-∞
-
- 3
+
1 - √14
-
2
+
1 + √14
-
+∞
Die Lösungsmenge der Ungleichung ist gegeben durch:
(-∞ , - 3) ∪ [ 1 - √14 , 2) ∪ [ 1 + √14 , +∞)
Frage 7
Grafisch lösen Sie die Ungleichung
Lösung
Zeichnen Sie die beiden Seiten der Ungleichung in ein Diagramm ein und schätzen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Graphen ab. Bestimmen Sie dann die Intervalle, über die (x + 2)/(x - 1) größer oder gleich ln(x + 1) ist.
ln(x + 1) ist definiert für x > - 1, daher muss jede Lösungsmenge die Bedingung x > - 1 erfüllen. (x + 2)/(x - 1) hat eine vertikale Asymptote bei x = 1. Aus den beiden Graphen ist ersichtlich, dass (x + 2)/(x - 1) (grün) größer oder gleich ln(x + 1) (rot) ist für
(- 1, -0.59] ∪ (1 , 4.88]
