Rationale Ungleichungen lösen: Beispiele mit Lösungen

Lösen Sie die Ungleichung:

$$ \dfrac{x-2}{x+1} \ge 0 $$

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Lösung:

Schritt 1: Kritische Punkte identifizieren (Nullstellen von Zähler und Nenner)

Kritische Punkte treten dort auf, wo der Ausdruck null ist oder nicht definiert ist.

• Zähler: $x - 2 = 0 \implies x = 2$
• Nenner: $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Die kritischen Punkte sind also: $x = -1$ (nicht definiert) und $x = 2$ (Nullstelle).

Schritt 2: Zahlenstrahl in Intervalle unterteilen

Verwenden Sie die kritischen Punkte, um den Zahlenstrahl zu unterteilen:

• Intervall 1: $(-\infty, -1)$
• Intervall 2: $(-1, 2)$
• Intervall 3: $(2, \infty)$

Schritt 3: Einen Testpunkt in jedem Intervall wählen

Wählen Sie einen Wert in jedem Intervall und testen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks.

Intervall 1: $x = -2$

$$ \dfrac{-2 - 2}{-2 + 1} = \dfrac{-4}{-1} = 4 > 0 \quad (\text{Positiv}) $$

Intervall 2: $x = 0$

$$ \dfrac{0 - 2}{0 + 1} = \dfrac{-2}{1} = -2 < 0 \quad (\text{Negativ}) $$

Intervall 3: $x = 3$

$$ \dfrac{3 - 2}{3 + 1} = \dfrac{1}{4} > 0 \quad (\text{Positiv}) $$

Schritt 4: Kritische Punkte ein- oder ausschließen

$x = -1$ macht den Nenner zu null und ist daher ausgeschlossen.

$x = 2$ macht den Zähler zu null, was $\ge 0$ erfüllt, und ist daher eingeschlossen.

Endergebnis: Die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung ist:

$$ (-\infty, -1) \cup [2, \infty) $$

Lösen Sie die Ungleichung:

$$ \dfrac{x+1}{x+3} \le 2 $$

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Lösung:

Schritt 1: Ungleichung so umschreiben, dass eine Seite null ist

$$ \dfrac{x + 1}{x + 3} - 2 \le 0 $$

Auf einen gemeinsamen Nenner bringen:

$$ \dfrac{x + 1 - 2(x + 3)}{x + 3} \le 0 $$

Zähler vereinfachen:

$$ \dfrac{x + 1 - 2x - 6}{x + 3} = \dfrac{-x - 5}{x + 3} $$

Die Ungleichung lautet also:

$$ \dfrac{-x - 5}{x + 3} \le 0 $$

Schritt 2: Kritische Punkte identifizieren

• Zähler: $-x - 5 = 0 \implies x = -5$
• Nenner: $x + 3 = 0 \implies x = -3$

Die kritischen Punkte sind also: $x = -5$ (Nullstelle) und $x = -3$ (nicht definiert).

Schritt 3: Zahlenstrahl in Intervalle unterteilen

• Intervall 1: $(-\infty, -5)$
• Intervall 2: $(-5, -3)$
• Intervall 3: $(-3, \infty)$

Schritt 4: Einen Testpunkt in jedem Intervall wählen

Intervall 1: $x = -6$

$$ \dfrac{-(-6) - 5}{-6 + 3} = \dfrac{6 - 5}{-3} = \dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3} < 0 $$

Intervall 2: $x = -4$

$$ \dfrac{-(-4) - 5}{-4 + 3} = \dfrac{4 - 5}{-1} = \dfrac{-1}{-1} = 1 > 0 $$

Intervall 3: $x = 0$

$$ \dfrac{-0 - 5}{0 + 3} = \dfrac{-5}{3} < 0 $$

Schritt 5: Kritische Punkte ein- oder ausschließen

$x = -3$ macht den Nenner zu null und ist daher ausgeschlossen.

$x = -5$ macht den Zähler zu null, was $\le 0$ erfüllt, und ist daher eingeschlossen.

Endergebnis: Die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichung ist:

$$ (-\infty, -5] \cup (-3, \infty) $$

Lösen Sie die Ungleichung:

$$ \dfrac{4x^2+5x-9}{x^2-x-6} \ge 0 $$

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Lösung:

Schritt 1: Zähler und Nenner faktorisieren

$$ 4x^2 + 5x - 9 = (4x + 9)(x - 1) $$

$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

Die Ungleichung wird zu:

$$ \dfrac{(4x + 9)(x - 1)}{(x - 3)(x + 2)} \ge 0 $$

Schritt 2: Kritische Punkte identifizieren

Zähler:

• $4x + 9 = 0 \implies x = -\dfrac{9}{4}$
• $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Nenner:

• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Kritische Punkte sind: $x = -\dfrac{9}{4}, x = -2, x = 1, x = 3$.

Schritt 3: Anordnen der kritischen Punkte auf dem Zahlenstrahl

Von links nach rechts auf dem Zahlenstrahl: $-\infty, -\dfrac{9}{4}, -2, 1, 3, +\infty$. Die Intervalle sind:

• Intervall 1: $(-\infty, -\dfrac{9}{4})$
• Intervall 2: $(-\dfrac{9}{4}, -2)$
• Intervall 3: $(-2, 1)$
• Intervall 4: $(1, 3)$
• Intervall 5: $(3, \infty)$

Schritt 4: Testpunkt in jedem Intervall

Intervall 1: $x = -3$: Ergebnis 2 > 0 (Positiv)

Intervall 2: $x = -2.1$: Ergebnis < 0 (Negativ)

Intervall 3: $x = 0$: Ergebnis 1.5 > 0 (Positiv)

Intervall 4: $x = 2$: Ergebnis -4.25 < 0 (Negativ)

Intervall 5: $x = 4$: Ergebnis > 0 (Positiv)

Schritt 5: Kritische Punkte ein- oder ausschließen

• $x = -\dfrac{9}{4}$ und $x = 1$: Nullstellen Zähler $\to$ $\ge 0$ erfüllt $\to$ eingeschlossen
• $x = -2$ und $x = 3$: Nenner zu null $\to$ ausgeschlossen

Endergebnis:

$$ (-\infty, -\dfrac{9}{4}] \cup (-2, 1] \cup (3, \infty) $$

Lösen Sie die Ungleichung:

$$ \dfrac{x^3+1}{x^2-9} < 0 $$

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Lösung:

Schritt 1: Ausdruck faktorisieren

• Zähler: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$
• Nenner: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Die Ungleichung lautet:

$$ \dfrac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} < 0 $$

Schritt 2: Kritische Punkte

Die Diskriminante von $x^2 - x + 1$ ist negativ, der Ausdruck ist immer positiv und beeinflusst das Vorzeichen nicht.

Kritische Punkte: $x = -3$ (nicht definiert), $x = -1$ (Nullstelle), $x = 3$ (nicht definiert).

Schritt 3: Intervalle und Vorzeichentest

Testintervalle: $(-\infty, -3), (-3, -1), (-1, 3), (3, \infty)$

Ergebnisse: Intervall 1 (negativ), Intervall 2 (positiv), Intervall 3 (negativ), Intervall 4 (positiv).

Schritt 4: Einschließen/Ausschließen

Da es sich um eine strikte Ungleichung (< 0) handelt, sind alle kritischen Punkte ausgeschlossen.

Endergebnis:

$$ (-\infty, -3) \cup (-1, 3) $$

Grafisch lösen:

$$ \dfrac{x + 2}{x - 1} \ge \ln(x + 1) $$

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Lösung:

Zeichnen Sie beide Seiten der Ungleichung und nähern Sie die Schnittpunkte der Graphen an; bestimmen Sie dann die Intervalle, in denen $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ größer oder gleich $\ln(x + 1)$ ist.

$\ln(x + 1)$ ist definiert für $x > -1$. Die Funktion $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ hat eine vertikale Asymptote bei $x = 1$.

Aus den Graphen ist ersichtlich, dass $\dfrac{x + 2}{x - 1}$ (grün) größer oder gleich $\ln(x + 1)$ (rot) ist für:

$$ (-1, -0.59] \cup (1, 4.88] $$

Lösen Sie die doppelte rationale Ungleichung:

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 $$

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Lösung:

Eine doppelte Ungleichung muss gelöst werden, indem sie in zwei separate Ungleichungen aufgeteilt wird. Die endgültige Lösung ist die Schnittmenge (Überlappung) der beiden Lösungsmengen.

Teil 1: Linke Ungleichung

$$ -1 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} \implies 0 < \dfrac{2x - 1}{x + 2} + 1 $$

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner:

$$ 0 < \dfrac{2x - 1 + x + 2}{x + 2} \implies \dfrac{3x + 1}{x + 2} > 0 $$

Kritische Punkte: $x = -\dfrac{1}{3}$ und $x = -2$.

Die Vorzeichentabelle für $(-\infty, -2)$, $(-2, -1/3)$, $(-1/3, \infty)$ liefert positive Ergebnisse in den äußeren Intervallen.

Lösungsmenge 1: $(-\infty, -2) \cup (-\dfrac{1}{3}, \infty)$

Teil 2: Rechte Ungleichung

$$ \dfrac{2x - 1}{x + 2} \le 3 \implies \dfrac{2x - 1}{x + 2} - 3 \le 0 $$

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner:

$$ \dfrac{2x - 1 - 3(x + 2)}{x + 2} \le 0 \implies \dfrac{-x - 7}{x + 2} \le 0 $$

Kritische Punkte: $x = -7$ und $x = -2$.

Die Vorzeichentabelle für $(-\infty, -7)$, $(-7, -2)$, $(-2, \infty)$ liefert negative Ergebnisse in den äußeren Intervallen. Wir schließen $-7$ aufgrund des $\le$-Zeichens ein.

Lösungsmenge 2: $(-\infty, -7] \cup (-2, \infty)$

Schnittmenge:

Wir müssen herausfinden, wo sich Lösung 1 UND Lösung 2 überschneiden.

• Die linken Seiten überlappen sich von $(-\infty, -7]$.
• Die rechten Seiten überlappen sich von $(-\dfrac{1}{3}, \infty)$.

Endergebnis:

$$ (-\infty, -7] \cup \left(-\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

Lösen Sie die Ungleichung:

$$ \dfrac{(x - 3)^2 (x + 1)}{(x - 2)^3} \le 0 $$

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Lösung:

Dieses Problem führt das Konzept der Vielfachheit ein. Wenn ein Faktor quadriert ist (oder eine beliebige gerade Potenz hat), ändert sich das Vorzeichen des Ausdrucks nicht, wenn man diesen kritischen Punkt überschreitet. Wenn ein Faktor eine ungerade Potenz hat, ändert sich das Vorzeichen schon.

Schritt 1: Kritische Punkte identifizieren

• Zähler: $x = 3$ (gerade Vielfachheit), $x = -1$ (ungerade Vielfachheit)
• Nenner: $x = 2$ (ungerade Vielfachheit, ausgeschlossen)

Schritt 2: Vorzeichentabelle

Zu testende Intervalle: $(-\infty, -1), (-1, 2), (2, 3), (3, \infty)$

• Teste $x = -2$: $\dfrac{(+)(-)}{(-)} = (+) > 0$
• Teste $x = 0$: $\dfrac{(+)(+)}{(-)} = (-) \le 0$ (Dieses Intervall ist eine Lösung)
• Teste $x = 2.5$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$
• Teste $x = 4$: $\dfrac{(+)(+)}{(+)} = (+) > 0$ (Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen beim Überschreiten von $x=3$ nicht geändert hat)

Schritt 3: Endpunkte analysieren

Wir suchen den Bereich, in dem die Funktion negativ ODER genau null ist.

• Das Intervall $(-1, 2)$ ist negativ.
• $x = -1$ ergibt null (eingeschlossen).
• $x = 2$ macht sie undefiniert (ausgeschlossen).
• $x = 3$ ergibt null (eingeschlossen).

Obwohl das Intervall um $3$ herum positiv ist, ergibt der Punkt $x=3$ genau $0$, was $\le 0$ erfüllt. Dies erzeugt einen isolierten Lösungspunkt.

Endergebnis:

$$ [-1, 2) \cup \{3\} $$