Trigonometrie-Aufgaben & Fragen mit Lösungen

Beweisen Sie die Identität: $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$

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Lösung:

Wir beginnen mit der linken Seite der gegebenen Identität.

Verwenden Sie die Identität $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, um zu schreiben:

$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$

$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

Klammern Sie $\sin^2(x)$ im Zähler aus:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$

Wenden Sie die pythagoreische Identität $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$ an:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$

Dies ist exakt gleich der rechten Seite der gegebenen Identität.

Beweisen Sie die Identität: $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$

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Lösung:

Verwenden Sie die Doppelwinkel-Identitäten $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ und $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ auf der linken Seite der gegebenen Identität:

$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$

$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Vereinfachen Sie den Zähler, indem Sie $1$ und $-1$ kürzen:

$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Klammern Sie $\cos(x)$ im Zähler und $\sin(x)$ im Nenner aus:

$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$

Kürzen Sie den gemeinsamen binomischen Faktor $(1 + 2 \cos(x))$:

$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = \cot(x) $$

Dies ist gleich der rechten Seite.

Beweisen Sie die Identität: $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$

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Lösung:

Verwenden Sie die Doppelwinkel-Identität $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$. Durch Substitution von $\theta = 2x$ können wir $\sin(4x)$ als $2 \sin(2x) \cos(2x)$ umschreiben.

Setzen Sie dies in die rechte Seite der gegebenen Identität ein:

$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$

Kürzen Sie $\cos(2x)$:

$$ = 2 \sin(2x) $$

Wenden Sie die Doppelwinkel-Identität erneut für $\sin(2x)$ an:

$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$

$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$

Dies ist gleich der linken Seite.

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung:

$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Lösung:

Verwenden Sie die Identität $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$, um $\sin(x)$ umzuschreiben, indem Sie $\theta = \dfrac{x}{2}$ setzen:

$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$

Setzen Sie dies in die gegebene Gleichung ein:

$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$

Klammern Sie $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$ aus:

$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$

Dies führt zu zwei separaten Gleichungen, die gelöst werden müssen:

a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$

Die Lösungen für den Winkel sind $\dfrac{x}{2} = 0$ und $\dfrac{x}{2} = \pi$.

Lösen Sie nach $x$ auf: $x = 0$ und $x = 2\pi$.

b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$

Dies kann als $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$ geschrieben werden.

Die Lösungen für den Winkel sind $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ und $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$.

Lösen Sie nach $x$ auf: $x = \dfrac{4\pi}{3}$ und $x = \dfrac{8\pi}{3}$.

Beachten Sie, dass $\dfrac{8\pi}{3}$ größer als $2\pi$ ist und außerhalb des gegebenen Intervalls liegt, daher wird es verworfen.

Endergebnisse: $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung:

$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Lösung:

Die gegebene Gleichung liegt bereits in faktorisierter Form vor, was direkt zu zwei Gleichungen führt:

$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{und} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$

Die obigen Gleichungen können geschrieben werden als:

$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{und} \quad \tan(x) = 1 $$

Die Lösungen der Gleichung $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ im Intervall $[0, 2\pi]$ sind:

$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{und} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$

Die Lösungen der Gleichung $\tan(x) = 1$ im Intervall $[0, 2\pi]$ sind:

$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{und} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$

Endergebnisse: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$

Lösen Sie die trigonometrische Gleichung:

$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

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Lösung:

Verwenden Sie die Formel für $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$, um den Ausdruck zu verkürzen. Hier sei $A = 2x$ und $B = x$:

$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

Daher kann die gegebene Gleichung geschrieben werden als:

$$ \cos(3x) = 0 $$

Da $x \in [0, 2\pi]$, ist der Bereich für $3x$ gleich $[0, 6\pi]$. Lösen Sie die Gleichung für $3x$, um alle Nullstellen der Kosinusfunktion in diesem erweiterten Intervall zu erhalten:

$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$

Teilen Sie jedes durch $3$, um nach $x$ aufzulösen:

Endergebnisse: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$

Vereinfachen Sie den trigonometrischen Ausdruck:

$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$

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Lösung:

Verwenden Sie die Identitäten $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ und $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$, um den Ausdruck umzuschreiben:

$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$

Vereinfachen Sie den Nenner, indem Sie $1$ und $-1$ kürzen:

$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$

Klammern Sie $\cos(x)$ im Zähler und $\sin(x)$ im Nenner aus:

$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$

Beachten Sie, dass $(2 \sin(x) - 1)$ und $(-2 \sin(x) + 1)$ Gegensätze sind (sie unterscheiden sich um den Faktor $-1$). Kürzen Sie diese, was einen Faktor von $-1$ übrig lässt:

$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = - \cot(x) $$

Beweisen Sie, dass:

$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

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Lösung:

$105^\circ$ kann als Summe zweier spezieller Winkel geschrieben werden:

$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$

Daher:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$

Verwenden Sie die Identität $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$, um zu schreiben:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$

Verwenden Sie die Tabelle der speziellen Winkel für exakte Werte:

$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Multiplizieren Sie die Brüche:

$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

Wenn $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ und $x$ ein spitzer Winkel ist, finden Sie die exakten Werte von:

1. $\cos(2x)$
2. $\cos(4x)$
3. $\sin(2x)$
4. $\sin(4x)$

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Lösung:

Wenn $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$, dann gilt unter Verwendung der pythagoreischen Identität $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$:

$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$

a) Finden Sie $\cos(2x)$:

Verwenden Sie die Identität $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:

$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$

c) Finden Sie $\sin(2x)$ zuerst (benötigt für Teile b und d):

Verwenden Sie die Identität $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$:

$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$

b) Finden Sie $\cos(4x)$:

Verwenden Sie die Identität $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$:

$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$

d) Finden Sie $\sin(4x)$:

Verwenden Sie die Identität $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$:

$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$

Finden Sie die Länge der Seite $AB$ in der Abbildung unten. Runden Sie Ihre Antwort auf 3 signifikante Stellen.

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Lösung:

Beachten Sie, dass das Dreieck $DAC$ gleichschenklig ist. Wenn wir das Lot von $D$ auf $AC$ ziehen, wird $AC$ in zwei gleiche Hälften geteilt und der Winkel $D$ halbiert.

Unter Verwendung des rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse $AD$ ($10$ Einheiten) ist und dessen Winkel $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$ beträgt, können wir schreiben:

$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$

Daraus folgt:

$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$

Beachten Sie als Nächstes, dass die beiden Innenwinkel $B$ und $C$ des Dreiecks $ABC$ sich zu $90^\circ$ addieren und daher der dritte Winkel des Dreiecks $ABC$ (Winkel $A$) ein rechter Winkel ist.

Wir können daher schreiben:

$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$

Daraus folgt:

$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$

Setzen Sie den Wert von $AC$ in die Gleichung ein:

$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7,17 \quad \text{(gerundet auf 3 signifikante Stellen)} $$

Lösen Sie die Gleichung für alle reellen Werte von $x \in [0, 2\pi]$:

$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

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Lösung:

Verwenden Sie die pythagoreische Identität $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$, um alles in Bezug auf Kosinus auszudrücken:

$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$

$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

Multiplizieren Sie mit $-1$, damit der führende Term positiv wird:

$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$

Setzen Sie $u = \cos(x)$, um die quadratische Form zu verdeutlichen:

$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$

Dies führt zu zwei Gleichungen:

$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{und} \quad \cos(x) = 2 $$

Da der Wertebereich der Kosinusfunktion $[-1, 1]$ ist, hat die Gleichung $\cos(x) = 2$ keine reelle Lösung.

Wir lösen $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ für $x$ im Definitionsbereich $[0, 2\pi]$:

$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$

Beweisen Sie die folgende Identität:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$

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Lösung:

Wir können dies beweisen, indem wir von der linken Seite ausgehen und die Summe-zu-Produkt-Identität anwenden:

$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$

Sei $A = 3x$ und $B = x$. Setzen Sie diese in die Formel ein:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$

Vereinfachen Sie die Brüche innerhalb der trigonometrischen Funktionen:

$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$

$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$

Die Identität ist bewiesen.