Trigonometrieprobleme und Fragen mit Lösungen – Klasse 12

Es werden Trigonometrieaufgaben und Fragen mit Antworten und Lösungen der 12. Klasse vorgestellt.

Lösen Sie die folgenden Fragen

1. Beweisen Sie die Identität
   \( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) \)
   

   
   

2. Beweisen Sie die Identität
   \( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) \)
   

   
   

3. Beweisen Sie die Identität
   \( 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} \)
   

   
   

4. Lösen Sie die trigonometrische Gleichung, die durch gegeben ist
   \( \sin(x) + \sin(x/2) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
   

   
   

5. Lösen Sie die trigonometrische Gleichung, die durch gegeben ist
   \( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
   

   
   

6. Lösen Sie die trigonometrische Gleichung, die durch gegeben ist
   \( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{für} \quad 0 \le x \le 2 \pi \)
   

   
   

7. Vereinfachen Sie den trigonometrischen Ausdruck gegeben durch
   \( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } \)
   

   
   

8. Beweise das
   \( \sin(105^{\circ}) = \dfrac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4} \)
   

   
   

9. Wenn \( \sin(x) = \dfrac{2}{5}\) und x ein spitzer Winkel ist, ermitteln Sie die genauen Werte von
   a) \( \cos(2x) \)
   b) \( \cos(4x) \)
   c) \( \sin(2x) \)
   d) \( \sin(4x) \)
   

   
   

10. Finden Sie die Länge der Seite AB in der Abbildung unten. Runden Sie Ihre Antwort auf drei signifikante Ziffern.
    

    

    .

Lösungen für die oben genannten Probleme

1. 
   Wir beginnen mit der linken Seite der gegebenen Identität
   Verwenden Sie die Identität \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \) auf der linken Seite der gegebenen Identität.
   \( \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) \)
   \( = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) \)
   \( = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
   \( = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} \)
   \( = \dfrac{ \sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \)
   \( = \sin^2(x) \tan^2(x) \)   was gleich der rechten Seite der gegebenen Identität ist.



2. 
   Verwenden Sie auf der linken Seite die Identitäten \( \cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1 \) und \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \). der gegebenen Identität.
   \( \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} \)
   \( = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
   \( = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x) } \)
   \( = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x)) } \) \( = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
   \( = \cot(x) \)   was gleich der rechten Seite der gegebenen Identität ist.



3. 
   Verwenden Sie die Identität \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), um rechts \( \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) \) zu schreiben Seite der gegebenen Identität.
   \( \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)}\)
   \( = 2 \sin(2x) \)
   \( = 2 \times 2 \sin(x) \cos(x) \)
   \( = 4 \sin(x) \cos(x) \), was gleich der linken Seite der gegebenen Identität ist.



4. 
   Verwenden Sie die Identität \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), um \( \sin(x) \) als zu schreiben
   \( \sin(x) = \sin(2 \times x/2) = 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) \)
   und verwenden Sie es auf der rechten Seite der gegebenen Gleichung, um sie wie folgt zu schreiben
   \( 2 \sin(x / 2) \cos(x / 2) + \sin(x / 2) = 0 \)
   Faktor \( \sin(x / 2) \)
   \( \sin(x/2) ( 2 \cos(x/2) + 1 ) = 0 \)
   was zwei zu lösende Gleichungen ergibt
   \( \sin(x/2) = 0 \)   oder   \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \)
   a)   Die Gleichung \( \sin(x / 2) = 0 \) hat die Lösungen \( x / 2 = 0 \) oder \( x / 2 = \pi \)
   Lösen Sie nach x auf, um die Lösungen zu erhalten: \( x = 0 \) oder \( x = 2 \pi \)
   b)   Die Gleichung \( 2 \cos(x/2) + 1 = 0 \) führt zu \( \cos(x/2) = -1/2 \), die die Lösungen \( x/2 = 2 \pi/ hat 3 \) und \( x/2 = 4 \pi/3 \)
   Lösen Sie nach x auf, um die Lösungen zu erhalten: \( x = 4 \pi/3 \) und \( x = 8 \pi/3 \)
   Beachten Sie, dass \( 8 \pi/3 \) größer als \( 2 \pi \) ist und daher nicht akzeptiert wird. Endgültige Lösungen für die gegebene Gleichung sind: \( \{ 0 , 4 \pi/3 , 2 \pi \} \)



5. 
   Die angegebene Gleichung ist bereits faktorisiert
   \( (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \)
   was zu zwei Gleichungen führt
   \( 2\sin(x) - 1 = 0 \)   oder   \( \tan(x) - 1 = 0 \)
   Die obigen Gleichungen können geschrieben werden als:
   \( \sin(x) = 1/2 \)   oder   \( \tan(x) = 1 \)
   Die Lösungen von \( \sin(x) = 1/2 \) sind Lösungen: \( x = \pi/6 \) und\( x = 5 \pi/6 \)
   Die Lösungen von \( \tan(x) = 1 \) sind: \( x = \pi /4 \) und \( x = 5 \pi/4 \)
   Die Lösungen der gegebenen Gleichung innerhalb des gegebenen Intervalls sind: \( \{\pi/6, 5 \pi/6 , \pi /4 , 5 \pi/4 \}\)



6. 
   Verwenden Sie zum Schreiben die Formel für \( \cos(A + B) \).
   \( \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) \) .
   Daher die gegebene Gleichung
   \( \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \)
   kann geschrieben werden als
   \( \cos(3x) = 0 \)
   Lösen Sie die obige Gleichung nach \( 3x \) auf, um Folgendes zu erhalten:
   \( 3x = \pi/2 \), \( 3x = 3\pi/2 \), \( 3x = 5\pi/2 \), \( 3x = 7\pi/2 \), \( 3x = 9\pi/2 \) und \( 3x = 11\pi/2 \)
   Lösen Sie das Obige nach x auf, um die Lösungen zu erhalten: \( \{\pi/6, \pi/2, 5\pi/6, 7\pi/6, 3\pi/2 , 11\pi/6 \} \ )



7. 
   Verwenden Sie die Identitäten \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \) und \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) \), um den gegebenen Ausdruck umzuschreiben folgendermaßen
   \( \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1 } = \dfrac{ 2 \sin(x) \cos(x) - \cos (x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1 } \)
   Vereinfachen Sie die rechte Seite und faktorisieren Sie Zähler und Nenner
   \( = \dfrac{\cos(x)( 2 \sin(x) -1) }{ \sin(x)( - 2 \sin(x) + 1) } \)
   Vereinfachen
   \( = - \dfrac{\cos(x)}{ \sin(x)} \)
   \( = - \cot(x) \)
   



8. 
   
   \( 105^{\circ} \) kann als Summe zweier spezieller Winkel wie folgt geschrieben werden:
   \( 105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}\)
   Somit
   \( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ} + 45^{\circ}) \)
   Verwenden Sie die Identitäten \( \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b) \)
   \( \sin(105^{\circ}) = \sin(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) + \cos(60^{\circ}) \sin(45^{ \circ}) \)
   Verwenden Sie die Tabelle mit Sonderwinkeln
   \( = (\sqrt {3} / 2 )(\sqrt {2}/2) + (1/2)(\sqrt {2}/2) \)
   \( = \dfrac{ \sqrt {6} + \sqrt {2} } {4} \)



9. 
   Wenn \( \sin(x) = 2/5 \) dann \( \cos(x) = \sqrt {1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - (2/5)^2} = \ sqrt{21}/5 \)
   a) Identität verwenden: \( \cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x) = 17/25 \)
   b) Identität verwenden: \( \cos(4x) = 1 - 2 \sin^2(2 x) \)
   \( = 1 - 2 [ 2\sin(x) \cos(x) ]^2 \)
   \( = 457 / 625 \)
   c) \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) = 4 \sqrt{21}/25 \)
   d) \( \sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \cos(2x) \sin(2x) \)
   \( = 2 (17/25)(4 \sqrt{21}/25) = 136 \sqrt{21} / 625 \)
   


10. 
    Beachten Sie, dass das Dreieck \( DAC \) gleichschenklig ist. Wenn wir daher die Senkrechte von D nach AC zeichnen, wird AC in zwei Hälften geteilt und der Winkel D halbiert. Daher
    

    

    .
    \( (1/2) AC = 10 \sin(35^{\circ}) \)
    was gibt
    \( AC = 20 \sin(35^{\circ}) \)
    Beachten Sie, dass sich die beiden Innenwinkel B und C des Dreiecks ABC zu \( 90^{\circ} \) addieren und daher der dritte Winkel des Dreiecks ABC ein rechter Winkel ist. Wir können also schreiben
    \( \tan(32^{\circ}) = AB / AC \)
    Was gibt
    \( AB = AC \tan(32^{\circ}) \)
    \( = 20 \sin(35^{\circ})\tan(32^{\circ}) = 7,17 \quad \) (gerundet auf 3 signifikante Ziffern)

Referenzen und Links