Frage
Finde alle Lösungen der GleichungLösung
sin(x) ist im ersten und zweiten Quadranten positiv, daher hat die gegebene Gleichung zwei Lösungen.
Im ersten Quadranten ist die Lösung für sin(x) = 1 / 2 x = π / 6. (grün im Einheitskreis)
Im zweiten Quadranten und aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises ist die Lösung für sin(x) = 1 / 2 x = π - π / 6 = 5π/6 (braun im Einheitskreis)
Die grafischen Lösungen der Gleichung sin(x) = 1 / 2 werden erhalten, indem man die Gleichung zuerst mit der rechten Seite gleich Null setzt, sin(x) - 1 / 2 = 0. Dann wird die linke Seite der Gleichung graphisch dargestellt, und die Lösungen der Gleichung sind die x-Intercepten des Graphen von f(x) = sin(x) - 1 / 2, wie unten gezeigt. Es ist leicht zu überprüfen, dass die beiden x-Intercepten im untenstehenden Graphen nahe an den oben gefundenen analytischen Lösungen liegen: π / 6 und 5π/6.
Frage
Finde alle Lösungen der GleichungLösung
Die Gleichung kann geschrieben werden als: sin(x) = -cos(x).
Teile beide Seiten der Gleichung durch cos(x): sin(x)/ cos(x) = -1
Verwende die Identität tan(x) = sin(x)/cos(x), um die Gleichung umzuschreiben als: tan(x) = -1
Löse die Gleichung tan(x) = -1
tan(x) ist im zweiten und vierten Quadranten negativ
Lösung im zweiten Quadranten: x = 3π/4
Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises ist die Lösung im vierten Quadranten gegeben durch: 3π/4 + π = 7π / 4
Die grafischen Lösungen können durch die x-Intercepten des Graphen von g(x) = sin(x) + cos(x) approximiert werden. Wir können leicht überprüfen, dass die beiden oben gefundenen Lösungen 3π/4 und 7π/4 nah an den x-Intercepten des unten gezeigten Graphen liegen.
Frage
Finde alle Lösungen der Gleichung:und überprüfe graphisch die ersten paar positiven Lösungen.
Lösung
Wir verwenden zuerst die Formel sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
um zu schreiben: sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) = sin(πx / 2 - π/3)
Schreibe die gegebene Gleichung wie folgt um: sin(πx / 2 - π/3) = 0
Löse die obige Gleichung, um zu erhalten: πx / 2 - π/3 = k π wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Vereinfache und schreibe die Lösung um als: x = 2 k + 2/3 wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Die ersten 3 positiven Lösungen sind: 2/3 , 8/3 und 14/3 für k = 0, 1 und 2. Diese Werte liegen nahe an den x-Interzepten des Graphen von f(x) = sin(πx / 2)cos(π/3) - cos(πx / 2)sin(π/3) oben gezeigt.
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Finde alle Lösungen der Gleichungen: 2 sin2(x) + cos (x) = 1.und überprüfe graphisch die ersten paar positiven Lösungen.
Lösung
Wir verwenden zuerst die Identität: sin2(x) = 1 - cos2(x)
um die Gleichung umzuschreiben als: 2(1 - cos2(x)) + cos (x) = 1
fasse gleiche Terme zusammen und schreibe die Gleichung mit rechter Seite gleich Null: -2 cos2(x) + cos (x) +1 = 0
Setze u = cos (x) und schreibe die Gleichung um als: -2 u2 + u +1 = 0
Löse nach u: u = 1 und u = - 1 / 2
Erste Gruppe von Lösungen: Löse u = 1 nach x: u = cos (x) = 1 : x1 = 2 k π wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Löse u = -1 / 2 nach x:
cos(x) ist negativ im zweiten und dritten Quadranten, daher hat u = cos (x) = - 1/2 zwei weitere Gruppen von Lösungen, gegeben durch
Zweite Gruppe von Lösungen: x2 = 2π/3 + 2 k π wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Dritte Gruppe von Lösungen: x3 = 4π/3 + 2 k π wobei k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Die ersten 3 positiven Lösungen werden erhalten, indem man k = 0 in allen drei Gruppen von Lösungen setzt, um: 0, 2π/3 und 4π/3 zu erhalten. Diese Werte liegen nahe an den x-Interzepten des Graphen von g(x) = 2 sin2(x) + cos (x) - 1 oben gezeigt.
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Finde alle Lösungen der Gleichung: 6 cos2(x / 2) - cos (x) = 4.und überprüfe graphisch die ersten paar positiven Lösungen.
Lösung
Wir verwenden zuerst die Identität: cos(x) = 2 cos2(x / 2) - 1
um die Gleichung umzuschreiben als: 6 cos2(x / 2) - (2 cos2(x / 2) - 1 ) = 4
fasse gleiche Terme zusammen und schreibe die Gleichung mit rechter Seite gleich Null: 4 cos2(x / 2) = 3
cos(x / 2) = ± √3 / 2
Löse die erste Gleichung cos(x / 2) = √3 / 2
Die Kosinusfunktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv, daher gibt es zwei Gruppen von Lösungen:
x / 2 = π / 6 + 2 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (Quadrant I)
und
x / 2 = 11π / 6 + 2 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (Quadrant VI)
Multipliziere alle Terme mit 2, um die ersten beiden Gruppen von Lösungen zu erhalten:
x1 = π / 3 + 4 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x2 = 11π / 3 + 4 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Löse die zweite Gleichung cos(x / 2) = - √3 / 2
Die Kosinusfunktion ist in Quadrant II und III negativ, daher gibt es zwei Gruppen von Lösungen:
x / 2 = 5 π / 6 + 2 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (Quadrant II)
und
x / 2 = 7 π / 6 + 2 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ... (Quadrant III)
Multipliziere alle Terme mit 2, um zwei weitere Gruppen von Lösungen zu erhalten:
x3 = 5 π / 3 + 4 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x4 = 7 π / 3 + 4 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Die ersten 4 positiven Lösungen werden erhalten, indem man k = 0 in allen vier Gruppen von Lösungen setzt, um: π/3 , 5π/3, 7π/3 und 11π/3 zu erhalten. Diese Werte liegen nahe an den x-Interzepten des Graphen von f(x) = 6 cos2(x / 2) - cos (x) - 4 oben gezeigt.
Frage
Löse die Gleichung: tan2 ( x) + 2 sec (x) + 1 = 0.und überprüfe graphisch die ersten paar positiven Lösungen.
Lösung
Wir verwenden zuerst die Identität: tan2(x) = sec2(x) - 1
um die Gleichung umzuschreiben als: sec2(x) - 1 + 2 sec (x) + 1 = 0
fasse gleiche Terme zusammen und schreibe die Gleichung mit rechter Seite gleich Null: sec2(x) + 2 sec (x) = 0
Faktorisierung: sec (x) (sec (x) + 2) = 0
sec (x) = 0 hat keine Lösung.
Löse: sec (x) + 2 = 0
Verwende sec (x) = 1 / cos (x) um die Gleichung umzuschreiben als: cos(x) = - 1 / 2
Die Kosinusfunktion ist negativ im zweiten und dritten Quadranten, daher gibt es zwei Gruppen von Lösungen
x1 = 2π/3 + 2 k π where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
x2 = 4π/3 + 2 k π; where k = 0 , ± 1 , ± 2, ...
Die ersten 2 positiven Lösungen werden erhalten, indem man k = 0 in den beiden Lösungsgruppen setzt, um: 2π/3 und 4π/3 zu erhalten. Diese Werte liegen nahe an den x-Interzepten des Graphen von f(x) = tan2 ( x) + 2 sec (x) + 1, der oben gezeigt ist.
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Löse die Gleichung: cos(3x) + sin(2x) = cos(x).Lösung
Wir verwenden zuerst die Identitäten:
cos(3x) = cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x)
und
sin(2x) = 2sin(x) cos(x)
um die gegebene Gleichung umzuschreiben: cos3(x) - 3 cos(x)sin2(x) + 2sin(x) cos(x) = cos(x)
Schreibe mit rechter Seite gleich Null und faktorisiere cos(x)
cos(x) ( cos2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0
Verwende die Identität cos2(x) = 1 - sin2(x) um die Gleichung wie folgt umzuschreiben
cos(x) (1 - sin2(x) - 3 sin2(x) + 2 sin(x) - 1) = 0
Vereinfache
cos(x) (- 4 sin2(x) + 2 sin(x) ) = 0
Faktorisierung
2 sin(x) cos(x) (1 - 2 sin(x)) = 0
Setze jeden Faktor gleich Null und löse.
sin(x) = 0 gibt Lösungen: x1 = kπ
cos(x) = 0 gibt Lösungen: x2 = π/2 + kπ
1 - 2 sin(x) = 0 oder sin(x) = 1/2 gibt 2 weitere Gruppen von Lösungen.
x3 = π/6 + 2kπ
und
x4 = 5π/6 + 2kπ
Die ersten 6 positiven Lösungen werden erhalten, indem man k = 0 und k = 1 in den ersten beiden Gruppen von Lösungen x1 und x2 setzt, um: 0 , π, π/2, 3π/2, und k = 0 in den zweiten und dritten Gruppen von Lösungen x3 und x4 setzt, um π/6 und 5π/6 zu erhalten. Diese 6 Lösungen liegen nahe an den x-Interzepten des Graphen von f(x) = cos(3x) + sin(2x) - cos(x), der oben gezeigt ist.
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Löse die Gleichung: cos(3x) = cos(2x + π/4).Lösung
Wir verwenden die Tatsache, dass wenn cos(A) = cos(B) ist, dann A = B + 2kπ oder A = - B + 2kπ gilt, um zu schreiben:
3 x = 2 x + π/4 + 2kπ
oder
3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ
Löse 3 x = 2 x + π/4 + 2kπ Lösungen: x1 = π/4 + 2kπ
Löse 3 x = -(2 x + π/4) + 2kπ ,
ergibt 5x = - π/4 + 2kπ
teile alle Terme durch 5 : x2 = - π/20 + 2kπ / 5
wo k = 0 , ± 1 , ± 2, ... in beiden Lösungsgruppen
Die 6 x-Interzepten, die im Graphen von f(x) = cos(3x) - cos(2x + π/4) gezeigt sind, entsprechen den Lösungen k = 0 in der ersten Gruppe x1 und k = 0, 1, 2, 3 und 4 in der zweiten Gruppe von Lösungen x2 = - π/20 + 2kπ / 5.
