Lösen trigonometrischer Gleichungen - Klasse 12

\(\sin(x)\) ist im Quadranten I und II positiv, daher hat die gegebene Gleichung zwei Lösungen.

Im Quadranten I ist die Lösung für \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) \[x = \frac{\pi}{6}\] (grüner Winkel im Einheitskreis).

Im Quadranten II ergibt sich aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises die Lösung für \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) \[ x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \] (brauner Winkel im Einheitskreis).

Die grafischen Lösungen der Gleichung \(\sin(x) = \frac{1}{2}\) erhält man, indem man zuerst die Gleichung mit der rechten Seite gleich Null schreibt: \(\sin(x) - \frac{1}{2} = 0\). Dann zeichnet man die linke Seite der Gleichung, und die Lösungen der Gleichung sind die x-Achsenabschnitte des Graphen von \(f(x) = \sin(x) - \frac{1}{2}\), wie unten gezeigt. Es ist leicht zu überprüfen, dass die beiden x-Achsenabschnitte im folgenden Graphen nahe an den oben gefundenen analytischen Lösungen liegen: \(\frac{\pi}{6}\) und \(\frac{5\pi}{6}\).

Die Gleichung kann geschrieben werden als: \[ \sin(x) = -\cos(x) \]

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch \(\cos(x)\): \[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1 \]

Verwenden Sie die Identität \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), um die Gleichung umzuschreiben: \[ \tan(x) = -1 \]

Lösen Sie die Gleichung \(\tan(x) = -1\)

\(\tan(x)\) ist im Quadranten II und IV negativ.

Lösung im Quadranten II: \[ x = \frac{3\pi}{4} \]

Aufgrund der Symmetrie des Einheitskreises ist die Lösung im Quadranten IV gegeben durch: \[ \frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4} \]

Die grafischen Lösungen können durch die x-Achsenabschnitte des Graphen von \( g(x) = \sin(x) + \cos(x) \) angenähert werden. Wir können leicht überprüfen, dass die beiden oben gefundenen Lösungen, \(\frac{3\pi}{4}\) und \(\frac{7\pi}{4}\), nahe an den x-Achsenabschnitten des unten gezeigten Graphen liegen.

Wir verwenden zuerst die Formel \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \] um zu schreiben: \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \] Schreiben Sie die gegebene Gleichung wie folgt um: \[ \sin\left(\frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \] Lösen Sie die obige Gleichung, um zu erhalten: \[ \frac{\pi x}{2} - \frac{\pi}{3} = k\pi \quad \text{wobei} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \] Vereinfachen Sie und schreiben Sie die Lösung als: \[ x = 2k + \frac{2}{3} \quad \text{wobei} \quad k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

Die ersten 3 positiven Lösungen sind: \[ \frac{2}{3}, \quad \frac{8}{3}, \quad \frac{14}{3} \] entsprechend \( k = 0, 1, 2 \). Diese Werte liegen nahe an den x-Achsenabschnitten des Graphen von \[ f(x) = \sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] der oben gezeigt wird.

Wir verwenden zuerst die Identität: \[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \] um die Gleichung umzuschreiben als: \[ 2(1 - \cos^2(x)) + \cos(x) = 1 \]

Fassen Sie gleiche Terme zusammen und schreiben Sie die Gleichung mit der rechten Seite gleich Null: \[ -2 \cos^2(x) + \cos(x) + 1 = 0 \]

Sei \( u = \cos(x) \) und schreiben Sie die Gleichung als: \[ -2u^2 + u + 1 = 0 \]

Lösen Sie nach \( u \) auf, um zu erhalten: \( \quad u = 1 \) und \( \quad u = -\frac{1}{2} \)

1) Lösen Sie \( u = 1 \) nach \( x \) auf: \[ u = \cos(x) = 1 \]

um zu erhalten \[ x_1 = 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

2) Lösen Sie \( u = -\frac{1}{2} \) nach \( x \) auf: \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

\( \cos(x) \) ist im Quadranten II und III negativ, daher hat \( \cos(x) = -\frac{1}{2} \) zwei weitere Gruppen von Lösungen.

\[ x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

und \[ x_3 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Die ersten 3 positiven Lösungen erhält man, indem man \( k = 0 \) in allen drei Lösungsgruppen setzt, um zu erhalten: \[ 0,\quad \frac{2\pi}{3},\quad \frac{4\pi}{3} \] Diese Werte liegen nahe an den \( x \)-Achsenabschnitten des Graphen von \( g(x) = 2\sin^2(x) + \cos(x) - 1 \), der unten gezeigt wird.

Wir verwenden zuerst die Identität: \[ \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 \]

um die Gleichung umzuschreiben als: \[ 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - 1\right) = 4 \]

Fassen Sie gleiche Terme zusammen und schreiben Sie die Gleichung mit der rechten Seite gleich Null: \[ 4\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = 3 \]

\[ \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

1) Lösen Sie die erste Gleichung \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Die Kosinusfunktion ist im Quadranten I und IV positiv, daher die zwei Lösungsgruppen:

\[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(Quadrant I)} \]

und

\[ \frac{x}{2} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(Quadrant IV)} \]

Multiplizieren Sie alle Terme mit 2, um die ersten beiden Lösungsgruppen zu erhalten:

\[ x_1 = \frac{\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

\[ x_2 = \frac{11\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

2) Lösen Sie die zweite Gleichung \(\cos\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Die Kosinusfunktion ist im Quadranten II und III negativ, daher die zwei Lösungsgruppen:

\[ \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(Quadrant II)} \]

und

\[ \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \quad \text{(Quadrant III)} \]

Multiplizieren Sie alle Terme mit 2, um zwei weitere Lösungsgruppen zu erhalten:

\[ x_3 = \frac{5\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

\[ x_4 = \frac{7\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{wobei } k = 0, \pm1, \pm2, \ldots \]

Die ersten 4 positiven Lösungen erhält man, indem man \(k = 0\) in allen vier Lösungsgruppen setzt: \(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}\). Diese Werte liegen nahe an den x-Achsenabschnitten des Graphen von

\[ f(x) = 6\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) - \cos(x) - 4 \]

der unten gezeigt wird.

Wir verwenden zuerst die Identität: \[ \tan^{2}(x) = \sec^{2}(x) - 1 \] um die Gleichung umzuschreiben als: \[ \sec^{2}(x) - 1 + 2 \sec(x) + 1 = 0 \]

Fassen Sie gleiche Terme zusammen und schreiben Sie die Gleichung mit der rechten Seite gleich Null: \[ \sec^{2}(x) + 2 \sec(x) = 0 \]

Faktorisieren: \[ \sec(x) \bigl(\sec(x) + 2\bigr) = 0 \]

\(\sec(x) = 0\) hat keine Lösung.

Lösen Sie: \[ \sec(x) + 2 = 0 \]

Verwenden Sie \(\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}\), um die Gleichung umzuschreiben als: \[ \cos(x) = -\frac{1}{2} \]

Die Kosinusfunktion ist im Quadranten II und III negativ; daher zwei Lösungsgruppen:

\[ x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{wobei} \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

\[ x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{wobei} \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]

Die ersten 2 positiven Lösungen erhält man, indem man \(k = 0\) in den beiden Lösungsgruppen setzt: \(\frac{2\pi}{3}\) und \(\frac{4\pi}{3}\). Diese Werte liegen nahe an den x-Achsenabschnitten des Graphen von \(f(x) = \tan^{2}(x) + 2 \sec(x) + 1\), der oben gezeigt wird.

Wir verwenden zuerst die Identitäten: \[ \cos(3x) = \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) \] und \[ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \] um die gegebene Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ \cos^{3}(x) - 3 \cos(x) \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \cos(x) = \cos(x) \]

Schreiben Sie mit der rechten Seite gleich Null und faktorisieren Sie \(\cos(x)\): \[ \cos(x) \left( \cos^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \]

Verwenden Sie die Identität \(\cos^{2}(x) = 1 - \sin^{2}(x)\), um die Gleichung wie folgt umzuschreiben: \[ \cos(x) \left( 1 - \sin^{2}(x) - 3 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) - 1 \right) = 0 \]

Vereinfachen: \[ \cos(x) \left( -4 \sin^{2}(x) + 2 \sin(x) \right) = 0 \]

Faktorisieren: \[ 2 \sin(x) \cos(x) (1 - 2 \sin(x)) = 0 \]

Setzen Sie jeden Faktor gleich Null und lösen Sie.

\[ \sin(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = k \pi \]

\[ \cos(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + k \pi \]

\[ 1 - 2 \sin(x) = 0 \quad \text{oder} \quad \sin(x) = \frac{1}{2} \]

ergibt zwei weitere Lösungsgruppen: \[ x_3 = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi \] und \[ x_4 = \frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi \]

Die ersten 6 positiven Lösungen erhält man, indem man \(k = 0\) und \(k = 1\) in den ersten beiden Lösungsgruppen \(x_1\) und \(x_2\) setzt: \[ 0, \quad \pi, \quad \frac{\pi}{2}, \quad \frac{3 \pi}{2} \] und \(k=0\) in der zweiten und dritten Lösungsgruppe \(x_3\) und \(x_4\) setzt, um zu erhalten \[ \frac{\pi}{6} \quad \text{und} \quad \frac{5 \pi}{6} \] Diese 6 Lösungen liegen nahe an den \(x\)-Achsenabschnitten des Graphen von \[ f(x) = \cos(3x) + \sin(2x) - \cos(x) \] der unten gezeigt wird.

Wir verwenden die Tatsache, dass wenn \(\cos(A) = \cos(B)\), dann \[ A = B + 2k\pi \quad \text{oder} \quad A = -B + 2k\pi \] um zu schreiben:

\[ 3x = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

oder

\[ 3x = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \]

Lösen Sie

\[ 3x = 2x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Lösungen: \[ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Lösen Sie

\[ 3x = -(2x + \frac{\pi}{4}) + 2k\pi \]

ergibt

\[ 5x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \]

Teilen Sie alle Terme durch 5:

\[ x_2 = -\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \]

wobei \( k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \) in beiden Lösungsgruppen.

Die 6 x-Achsenabschnitte, die im Graphen von \[ f(x) = \cos(3x) - \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \] unten gezeigt werden, entsprechen den Lösungen \(k = 0\) in der ersten Gruppe \(x_1\) und \(k = 0, 1, 2, 3, 4\) in der zweiten Lösungsgruppe \[ x_2 = -\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} . \]