Interaktiver Gradienten- und Höhenlinien-Explorer

Der Gradient einer Funktion mit zwei Variablen $f(x,y)$, bezeichnet als $\nabla f(x,y)$, ist der Vektor der partiellen Ableitungen: \[ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right). \] Man leitet also $f(x,y)$ nach $x$ ab und behandelt $y$ als Konstante, und dann nach $y$ und behandelt $x$ als Konstante.

Interpretation des Gradienten

• Es ist ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstiegs der Funktion zeigt.
• Seine Größe gibt an, wie steil der Anstieg ist.
• An einem Punkt $(x_0, y_0)$ ist der Gradientenvektor:

\[ \nabla f(x_0,y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right). \] Dieses interaktive Tool ermöglicht es Ihnen, die Beziehung zwischen einer 3D-Oberfläche, ihrem Höhenliniendiagramm und dem Gradientenvektorfeld zu visualisieren. Erkunden Sie, wie der Gradientenvektor immer in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt und senkrecht zu den Höhenlinien steht. Sie können die Funktion, den Definitionsbereich und die Visualisierungsoptionen anpassen, um mehrdimensionale Analysis-Konzepte besser zu verstehen.