Das Eliminationsverfahren bei Systemen – Aufgaben mit Lösungen

Betrachten Sie ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten:

\[ \begin{cases} x - y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases} \]

Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems ist die Menge der geordneten Paare \((x,y)\), die alle Gleichungen im System gleichzeitig erfüllen. Zum Beispiel ist das geordnete Paar \((1,1)\) eine Lösung, weil das Einsetzen von \(x = 1\) und \(y = 1\) in beide Gleichungen diese erfüllt.

Grafische Interpretation:

Die Lösung \((1,1)\) entspricht dem Schnittpunkt der beiden Geraden, die durch die Gleichungen im System dargestellt werden.

Betrachten Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

\[ \begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - y + z = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \]

Das geordnete Tripel \((1,1,0)\) ist eine Lösung, weil es alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt:

\[ 1 + 1 + 0 = 2 \quad \checkmark \] \[ 1 - 1 + 0 = 0 \quad \checkmark \] \[ 1 - 1 = 0 \quad \checkmark \]

Grafische Interpretation:

Jede Gleichung wird durch eine Ebene im 3D-Raum dargestellt. Der Schnittpunkt der drei Ebenen ist der Punkt \((1,1,0)\).

Systeme in den Beispielen 1 und 2, die Lösungen besitzen, heißen konsistente Systeme. Systeme ohne Lösungen heißen inkonsistent.

Betrachten Sie das System:

\[ \begin{cases} 2x + 2y = -1 \\ x + y = -1/2 \end{cases} \]

Dieses System hat unendlich viele Lösungen. Die Multiplikation aller Terme der zweiten Gleichung mit \(2\) ergibt die erste Gleichung. Somit sind die beiden Gleichungen äquivalent zu einer einzigen Gleichung mit zwei Variablen, die unendlich viele Lösungen hat (z. B. \((0, -1/2)\), \((1, -3/2)\), \((2, -5/2)\) usw.).

In Parameterform ist die Lösungsmenge \( \left(t, -t - \frac{1}{2}\right) \) für \( t \in \mathbb{R} \).

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} -2x + 3y = 8 \\ 3x - y = -5 \end{cases} \]

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Lösung

Multiplizieren Sie alle Terme der zweiten Gleichung mit \(3\):

\[ \begin{cases} -2x + 3y = 8 \\ 9x - 3y = -15 \end{cases} \]

Addieren Sie die beiden Gleichungen, um \(y\) zu eliminieren:

\[ -2x + 9x + 3y - 3y = 8 - 15 \implies 7x = -7 \implies x = -1 \]

Setzen Sie \(x = -1\) in die erste Gleichung ein:

\[ -2(-1) + 3y = 8 \implies 2 + 3y = 8 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \]

Die Lösung ist das geordnete Paar \((-1, 2)\), wodurch das System konsistent ist.

Überprüfung: \( -2(-1) + 3(2) = 2 + 6 = 8 \) ✓ und \( 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5 \) ✓

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} 4x - y = 8 \\ -8x + 2y = -5 \end{cases} \]

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Lösung

Multiplizieren Sie alle Terme der ersten Gleichung mit \(2\):

\[ \begin{cases} 8x - 2y = 16 \\ -8x + 2y = -5 \end{cases} \]

Addieren Sie die beiden Gleichungen:

\[ (8x - 8x) + (-2y + 2y) = 16 - 5 \implies 0x + 0y = 11 \implies 0 = 11 \]

Schlussfolgerung: Da keine Werte von \(x\) und \(y\) die Gleichung \(0 = 11\) erfüllen, hat das System keine Lösungen und ist inkonsistent.

Geometrische Interpretation: Die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nie.

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ -4x + 6y = -16 \end{cases} \]

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Lösung

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(2\):

\[ \begin{cases} 4x - 6y = 16 \\ -4x + 6y = -16 \end{cases} \]

Addieren Sie die beiden Gleichungen:

\[ 0x + 0y = 0 \]

Schlussfolgerung: Mit \(y = t\) (wobei \(t \in \mathbb{R}\)) und Einsetzen in die obere Gleichung ergibt sich:

\[ 2x - 3t = 8 \implies x = \frac{3}{2}t + 4 \]

Die Lösungsmenge ist gegeben durch \(\left(\frac{3}{2}t + 4, \; t\right)\) für \(t \in \mathbb{R}\).

Geometrische Interpretation: Die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar, sodass es unendlich viele Schnittpunkte gibt.

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} x + y + 2z = 3 \\ -2x + 3y - 2z = 6 \\ 4x - y + z = -5 \end{cases} \]

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Lösung

Schritt 1: Eliminieren Sie \(x\) aus der zweiten Gleichung. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(2\) und addieren Sie sie zur zweiten Gleichung:

\[ 2(x + y + 2z) + (-2x + 3y - 2z) = 2(3) + 6 \implies 5y + 2z = 12 \]

Schritt 2: Eliminieren Sie \(x\) aus der dritten Gleichung. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(-4\) und addieren Sie sie zur dritten Gleichung:

\[ -4(x + y + 2z) + (4x - y + z) = -4(3) + (-5) \implies -5y - 7z = -17 \]

Das reduzierte System lautet:

\[ \begin{cases} x + y + 2z = 3 \\ 5y + 2z = 12 \\ -5y - 7z = -17 \end{cases} \]

Schritt 3: Addieren Sie die zweite Gleichung zur dritten Gleichung, um \(y\) zu eliminieren:

\[ (5y - 5y) + (2z - 7z) = 12 - 17 \implies -5z = -5 \implies z = 1 \]

Schritt 4: Verwenden Sie das Rückwärtseinsetzen:

• \(5y + 2(1) = 12 \implies 5y = 10 \implies y = 2\)
• \(x + 2 + 2(1) = 3 \implies x + 4 = 3 \implies x = -1\)

Schlussfolgerung: Das System ist konsistent mit der eindeutigen Lösung \((-1, 2, 1)\).

Überprüfung:

\[ -1 + 2 + 2(1) = 3 \quad \checkmark \] \[ -2(-1) + 3(2) - 2(1) = 2 + 6 - 2 = 6 \quad \checkmark \] \[ 4(-1) - 2 + 1 = -4 - 2 + 1 = -5 \quad \checkmark \]

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} -x + y + 2z = 1 \\ 3x - 3y - 6z = -5 \\ -4x + 4y + 8z = 9 \end{cases} \]

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Lösung

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(3\) und addieren Sie sie zur zweiten Gleichung:

\[ 3(-x + y + 2z) + (3x - 3y - 6z) = 3(1) + (-5) \implies 0 = -2 \]

Das System wird zu:

\[ \begin{cases} -x + y + 2z = 1 \\ 0x + 0y + 0z = -2 \\ -4x + 4y + 8z = 9 \end{cases} \]

Da die zweite Gleichung \(0 = -2\) ergibt, was ein Widerspruch ist, hat das System keine Lösungen und ist inkonsistent.

Lösen Sie mit dem Eliminationsverfahren:

\[ \begin{cases} x - y + 6z = -5 \\ 6x - 12y - 6z = -24 \\ -2x + 4y + 2z = 8 \end{cases} \]

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Lösung

Schritt 1: Eliminieren Sie \(x\) aus der zweiten Gleichung. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(-6\) und addieren Sie sie zur zweiten:

\[ -6(x - y + 6z) + (6x - 12y - 6z) = -6(-5) + (-24) \implies -6y - 42z = 6 \]

Schritt 2: Eliminieren Sie \(x\) aus der dritten Gleichung. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(2\) und addieren Sie sie zur dritten:

\[ 2(x - y + 6z) + (-2x + 4y + 2z) = 2(-5) + 8 \implies 2y + 14z = -2 \]

Das reduzierte System lautet:

\[ \begin{cases} x - y + 6z = -5 \\ -6y - 42z = 6 \\ 2y + 14z = -2 \end{cases} \]

Schritt 3: Beachten Sie, dass die dritte Gleichung das \(-1/3\)-fache der zweiten Gleichung ist, also redundant. Das System wird zu:

\[ \begin{cases} x - y + 6z = -5 \\ -6y - 42z = 6 \end{cases} \]

Mit \(z = t\) (wobei \(t \in \mathbb{R}\)) ergibt das Rückwärtseinsetzen:

• \(-6y - 42t = 6 \implies y = -7t - 1\)
• \(x - (-7t - 1) + 6t = -5 \implies x + 7t + 1 + 6t = -5 \implies x = -13t - 6\)

Schlussfolgerung: Das System ist konsistent mit unendlich vielen Lösungen, gegeben durch \((-13t - 6, \; -7t - 1, \; t)\) für \(t \in \mathbb{R}\).

Verwenden Sie das Eliminationsverfahren, um die folgenden Systeme zu lösen:

a) \( \begin{cases} -x + 3y = 11 \\ 4x - y = -11 \end{cases} \)      b) \( \begin{cases} 2x + y = 8 \\ -6x - 3y = 10 \end{cases} \)      c) \( \begin{cases} x - 2y = 3 \\ -3x + 6y = -9 \end{cases} \)

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Lösungen zu Teil 1

a) Multiplizieren Sie die obere Gleichung mit \(4\) und addieren Sie sie zur zweiten Gleichung:

\[ \begin{cases} -4x + 12y = 44 \\ 4x - y = -11 \end{cases} \implies 11y = 33 \implies y = 3 \]

Setzen Sie \(y = 3\) in die erste Gleichung ein: \( -x + 3(3) = 11 \implies -x = 2 \implies x = -2 \).

Überprüfung mit der ursprünglichen zweiten Gleichung: \( 4(-2) - 3 = -8 - 3 = -11 \) ✓

Lösung: \((-2, 3)\) (konsistent, eindeutige Lösung).

b) Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(3\) und addieren Sie sie zur zweiten:

\[ \begin{cases} 6x + 3y = 24 \\ -6x - 3y = 10 \end{cases} \implies 0 = 34 \]

Lösung: Keine Lösung / inkonsistent.

c) Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(3\) und addieren Sie sie zur zweiten:

\[ \begin{cases} 3x - 6y = 9 \\ -3x + 6y = -9 \end{cases} \implies 0 = 0 \]

Mit \(y = t\) ergibt sich \(x = 2t + 3\). Lösung: unendlich viele Lösungen \((2t + 3, \; t)\) für \(t \in \mathbb{R}\).

Verwenden Sie das Eliminationsverfahren, um Folgendes zu lösen:

a) \( \begin{cases} 2x + 3y - z = -1 \\ -x - y + 2z = -1 \\ 3x - 2y - z = 2 \end{cases} \)      b) \( \begin{cases} 2x - y - 5z = 1 \\ -x - y - z = -1 \\ 3x + 3y + 3z = 3 \end{cases} \)

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Lösungen zu Teil 2

a) Die sequenzielle Eliminierung der Variablen durch elementare Operationen ergibt:

\[ z = -\frac{4}{5}, \quad y = -\frac{3}{5}, \quad x = 0 \]

Lösung: \((0, -3/5, -4/5)\).

b) Die Anwendung der Elimination ergibt eine Identitätszeile \((0 = 0)\) und führt zu Parameterlösungen:

Lösung: \(\left(\frac{4t+2}{3}, \; -\frac{7t-1}{3}, \; t\right)\) für \(t \in \mathbb{R}\).

Verwenden Sie das Eliminationsverfahren, um Folgendes zu lösen:

\[ \begin{cases} -x - 2y + z + w = -6 \\ 2x - y - 3z - 2w = 5 \\ -4x + 2y + 2z - w = -8 \\ -x + 2y + 3z - w = -8 \end{cases} \]

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Lösung

Mithilfe systematischer Zeilenelimination und Rückwärtseinsetzen:

• \(w = 2\)
• \(-4z - 5(2) = 2 \implies -4z = 12 \implies z = -3\)
• \(-5y - (-3) = -7 \implies -5y = -10 \implies y = 2\)
• \(-x - 2(2) + (-3) + 2 = -6 \implies -x - 4 - 3 + 2 = -6 \implies -x = -1 \implies x = 1\)

Lösung: \((1, 2, -3, 2)\).

Finden Sie alle Werte des Parameters \(k\) für das System:

\[ \begin{cases} -x - 2y = -5 \\ 3x - ky = 8 \end{cases} \]

a) Nur eine Lösung      b) Keine Lösung

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Lösung

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(3\): \( -3x - 6y = -15 \). Addieren Sie die zweite Gleichung \( 3x - ky = 8 \):

\[ (-3x + 3x) + (-6y - ky) = -15 + 8 \implies -(k + 6)y = -7 \implies (k + 6)y = 7 \]

Das reduzierte System lautet:

\[ \begin{cases} -x - 2y = -5 \\ (k + 6)y = 7 \end{cases} \]

• a) Es gibt eine eindeutige Lösung für jeden Wert, bei dem \(k + 6 \neq 0\), also \(k \neq -6\).
• b) Es gibt keine Lösung, wenn der Koeffizient von \(y\) null ist, die rechte Seite aber nicht null ist, also \(k + 6 = 0\) und \(0 \neq 7\), was immer zutrifft. Daher ergibt \(k = -6\) keine Lösung.

Finden Sie alle Werte des Parameters \(k\), sodass das System unendlich viele Lösungen hat:

\[ \begin{cases} x - 5y = 5 \\ 4x - 2ky = 20 \end{cases} \]

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Lösung

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit \(-4\) und addieren Sie sie zur zweiten Gleichung:

\[ -4(x - 5y) + (4x - 2ky) = -4(5) + 20 \implies 20y - 2ky = 0 \implies (20 - 2k)y = 0 \]

Damit das System unendlich viele Lösungen hat, muss der Koeffizient von \(y\) null sein (damit \(y\) zu einer freien Variablen wird):

\[ 20 - 2k = 0 \implies \mathbf{k = 10} \]

Überprüfung: Für \(k = 10\) wird die zweite Gleichung zu \(4x - 20y = 20\), was das \(4\)-fache der ersten Gleichung \(x - 5y = 5\) ist. Die beiden Gleichungen stellen dieselbe Gerade dar und liefern unendlich viele Lösungen.