Algebra-Fragen und -Aufgaben für die 6. Klasse mit ausführlichen Lösungen. Die Themen umfassen das Erweitern und Vereinfachen von Ausdrücken, das Lösen linearer Gleichungen, das Faktorisieren von Ausdrücken, die Bestimmung von GGT und KGV, Brüche und Prozentrechnung.
Listen Sie alle gleichartigen Terme (Like Terms) in den unten angegebenen Ausdrücken auf.
A) \(6x + 5 + 12x - 6\)
B) \(2x^2 - 4 + 9x^2 + 9\)
C) \( \dfrac{x}{5} + \dfrac{x}{7} + 7 \)
D) \(0.2x + 1.2x + \dfrac{x}{2} + 5\)
E) \(5x - 8 + 7x - 2x^2 - 4 + 9x^2 + 4x^3\)
F) \(5a + 8 - 7ab\)
G) \(5ab + 8 + 6ba - a + 3b\)
A) Die Terme \(6x\) und \(12x\) haben die gleiche Variable \(x\) mit Exponenten gleich 1 und sind daher gleichartige Terme.
Die Terme \(5\) und \(-6\) sind Zahlen und daher gleichartige Terme.
B) Die Terme \(2x^2\) und \(9x^2\) haben die gleiche Variable \(x\) mit Exponenten gleich 2, sie sind gleichartige Terme.
Die Terme \(-4\) und \(+9\) sind Zahlen und daher gleichartige Terme.
C) Die Terme \(\dfrac{x}{5}\) und \(\dfrac{x}{7}\) haben die gleiche Variable mit Exponenten gleich 1, sie sind gleichartige Terme.
D) Die Terme \(0.2x\), \(1.2x\) und \(\dfrac{x}{2}\) haben die gleiche Variable \(x\) mit Exponenten gleich 1; sie sind gleichartige Terme.
E) Die Terme \(5x\) und \(7x\) sind gleichartige Terme.
Die Terme \(-8\) und \(-4\) sind gleichartige Terme.
Die Terme \(-2x^2\) und \(+9x^2\) sind gleichartige Terme.
F) In diesem Ausdruck gibt es keine gleichartigen Terme.
G) Die Terme \(5ab\) und \(6ba\) sind gleichartige Terme.
Berechnen Sie den Wert jedes Ausdrucks für die gegebenen Werte der Variablen.
A) \(6x + 5\) für \(x = 2\)
B) \(12x^2 + 5x - 2\) für \(x = 1\)
C) \(2(x + 7) + x\) für \(x = 0\)
D) \(2a + 3b - 7\) für \(a = 2\) und \(b = 4\)
A) \(6(2) + 5 = 12 + 5 = 17\)
B) \(12(1)^2 + 5(1) - 2 = 12(1) + 5 - 2 = 12 + 5 - 2 = 15\)
C) \(2(0 + 7) + 0 = 2(7) = 14\)
D) \(2(2) + 3(4) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9\)
Erweitern (falls nötig) und vereinfachen Sie jeden der folgenden Ausdrücke.
A) \(3x + 5x\)
B) \(2(x + 7) + x\)
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
A) \(3x + 5x\)
\(= (3 + 5)x\), \(x\) ausklammern
\(= 8x\), vereinfachen
B) \(2(x + 7) + x\)
\(= 2(x) + 2(7) + x = 2x + 14 + x\), erweitern und vereinfachen
\(= (2x + x) + 14\), gleichartige Terme gruppieren
\(= (2 + 1)x + 14 = 3x + 14\), vereinfachen
C) \(2(x + 3) + 3(x + 5) + 3\)
\(= 2(x) + 2(3) + 3(x) + 3(5) + 3 = 2x + 6 + 3x + 15 + 3\), erweitern und vereinfachen
\(= (2x + 3x) + (6 + 15 + 3)\), gleichartige Terme gruppieren
\(= (2 + 3)x + 24 = 5x + 24\), vereinfachen
D) \(2(a + 1) + 5b + 3(a + b) + 3\)
\(= 2(a) + 2(1) + 5b + 3(a) + 3(b) + 3 = 2a + 2 + 5b + 3a + 3b + 3\), erweitern und vereinfachen
\(= (2a + 3a) + (5b + 3b) + (2 + 3)\), gleichartige Terme gruppieren
\(= (2 + 3)a + (5 + 3)b + 5 = 5a + 8b + 5\), vereinfachen
Faktorisieren Sie jeden der untenstehenden Ausdrücke, indem Sie den größten gemeinsamen Teiler (GGT) finden.
A) \(3x + 3\)
B) \(8x + 4\)
C) \(ax + 3a\)
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
A) \(3x + 3\)
\(= 3(x) + 3(1)\), 3 ist ein gemeinsamer Faktor
\(= 3(x + 1)\), faktorisierte Form
B) \(8x + 4\)
\(= 4(2)(x) + 4\), schreibe 8 als 4(2)
\(= 4(2x) + 4(1)\), 4 ist ein gemeinsamer Faktor
\(= 4(2x + 1)\), faktorisierte Form
C) \(ax + 3a\), a ist ein gemeinsamer Faktor
\(= a(x + 3)\), faktorisierte Form
D) \((x + 1)y + 4(x + 1)\)
\(= (x + 1)(y) + (x + 1)(4)\), x + 1 ist ein gemeinsamer Faktor
\(= (x + 1)(y + 4)\), faktorisierte Form
E) \(x + 2 + bx + 2b\)
\(= (x + 2) + b(x + 2)\), klammere b aus in bx + 2b
\(= (x + 2)(1) + (x + 2)b\), x + 2 ist nun ein gemeinsamer Faktor
\(= (x + 2)(1 + b)\), faktorisierte Form
Lösen Sie jede der unten stehenden Gleichungen und überprüfen Sie Ihre Antwort.
A) \(x + 5 = 8\)
B) \(2x = 4\)
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
D) \(0.2x = 1\)
E) \(3x + 6 = 12\)
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
A) \(x + 5 = 8\)
\(x + 5 - 5 = 8 - 5\), subtrahiere 5 von beiden Seiten der Gleichung
\(x = 3\), vereinfachen und nach x auflösen
Setzen Sie \(x\) durch 3 (die oben gefundene Lösung) in beide Seiten der gegebenen Gleichung ein:
Rechte Seite: \(3 + 5 = 8\)
Linke Seite = \(8\)
\(x = 3\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
B) \(2x = 4\)
\(\dfrac{2x}{2} = \dfrac{4}{2}\), dividiere beide Seiten durch 2
\(x = 2\), vereinfachen und nach x auflösen
Setzen Sie \(x\) durch 2 in beide Seiten der gegebenen Gleichung ein:
Rechte Seite: \(2(2) = 4\)
Linke Seite = \(4\)
\(x = 2\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
C) \(\dfrac{x}{3} = 2\)
\(3(\dfrac{x}{3}) = 3(2)\), multipliziere beide Seiten mit 3
\(x = 6\), vereinfachen und nach x auflösen
Setzen Sie \(x\) durch 6 in beide Seiten der gegebenen Gleichung ein:
Rechte Seite: \(\dfrac{6}{3} = 2\)
Linke Seite = \(2\)
\(x = 6\) ist die Lösung der gegebenen Gleichung.
D) \(0.2x = 1\)
\(x = \dfrac{1}{0.2}\), dividiere beide Seiten durch 0.2
\(x = 5\)
E) \(3x + 6 = 12\)
\(3x = 12 - 6 = 6\), subtrahiere 6 von beiden Seiten
\(x = \dfrac{6}{3} = 2\), dividiere durch 3
F) \(3(x + 2) + 2 = 8\)
\(3(x + 2) = 8 - 2 = 6\), subtrahiere 2 von beiden Seiten
\(x + 2 = \dfrac{6}{3} = 2\), dividiere durch 3
\(x = 2 - 2 = 0\), subtrahiere 2
Es gibt \(n\) Kisten in einer großen Tasche und \(m\) Spielzeuge in jeder Kiste. Wie viele Spielzeuge sind insgesamt in der Tasche?
Um die Gesamtzahl zu finden, multiplizieren Sie die Anzahl der Kisten mit der Anzahl der Spielzeuge pro Kiste:
$$\text{Gesamtzahl Spielzeuge} = n \times m = nm$$
Schreiben Sie den Ausdruck \(a \times a \times a - b \times b\) unter Verwendung von Exponenten.
Das Multiplizieren einer Variablen mit sich selbst wird durch einen Exponenten dargestellt:
$$a \times a \times a = a^3$$
$$b \times b = b^2$$
Der Ausdruck ist: $$a^3 - b^2$$
Die Länge eines Rechtecks ist gegeben durch \(x + 2\) und seine Breite ist gleich 3. Geben Sie einen vereinfachten Ausdruck für den Flächeninhalt dieses Rechtecks an.
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist Länge \(\times\) Breite:
$$\text{Fläche} = 3(x + 2)$$
Erweitern Sie den Ausdruck:
$$\text{Fläche} = 3x + 6$$
Zwei Drittel der Schüler einer Klasse lernen Mathe und die verbleibenden acht Schüler nicht. Wie viele Schüler sind insgesamt in dieser Klasse?
Wenn \(\dfrac{2}{3}\) der Klasse Mathe lernt, dann ist der Anteil der Klasse, der kein Mathe lernt:
$$1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$$
Uns wird gesagt, dass dieses \(\dfrac{1}{3}\) der Klasse 8 Schülern entspricht. Sei \(T\) die Gesamtzahl der Schüler:
$$\dfrac{1}{3}T = 8$$
$$T = 8 \times 3 = 24$$
Es sind insgesamt 24 Schüler.
Ein Auto fährt 60 Kilometer in einer Stunde. Welche Strecke legt dieses Auto bei gleichbleibender Geschwindigkeit in \(x\) Stunden zurück?
Die Geschwindigkeit beträgt \(60\) km/h. Strecke ist Geschwindigkeit multipliziert mit Zeit:
$$\text{Strecke} = 60 \times x = 60x \text{ Kilometer}$$
Werten Sie die Ausdrücke aus.
A) \(2^3 + 3^2\)
B) \(0.1^3\)
C) \(6 \times \dfrac{2}{3}\)
A) \(2^3 = 8\) und \(3^2 = 9\):
$$8 + 9 = 17$$
B) Multiplizieren Sie 0.1 dreimal mit sich selbst:
$$0.1 \times 0.1 \times 0.1 = 0.001$$
C) Multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Zähler und dividieren Sie durch den Nenner:
$$\dfrac{6 \times 2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$$
Eine Tasche enthält drei rote Murmeln, fünf blaue Murmeln und sieben grüne Murmeln. Wie ist das Verhältnis von blauen Murmeln zur Gesamtzahl der Murmeln?
Finden Sie zuerst die Gesamtzahl der Murmeln:
$$\text{Gesamt} = 3 + 5 + 7 = 15$$
Das Verhältnis von blauen Murmeln zur Gesamtzahl ist:
$$\dfrac{5}{15}$$
Vereinfachen Sie das Verhältnis, indem Sie Zähler und Nenner durch 5 teilen:
$$\dfrac{1}{3}$$
Lösen Sie die Proportion: \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{5}{18}\)
Multiplizieren Sie über Kreuz, um nach \(a\) aufzulösen:
$$18a = 3 \times 5$$
$$18a = 15$$
$$a = \dfrac{15}{18}$$
Vereinfachen Sie den Bruch durch Teilen durch 3:
$$a = \dfrac{5}{6}$$
Welches der folgenden geordneten Paare ist eine Lösung der Gleichung \(2x + 3y = 8\)?
A) \((0, 0)\)
B) \((4, 0)\)
C) \((1, 2)\)
Testen Sie jedes Paar, indem Sie die x- und y-Werte in die Gleichung einsetzen:
A) \(2(0) + 3(0) = 0 \neq 8\) (Falsch)
B) \(2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8\). Moment! Schauen wir genau hin: \(2(4) = 8\). Also ist \((4,0)\) eine gültige Lösung.
C) \(2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8\). \((1,2)\) ist EBENFALLS eine gültige Lösung.
Korrekturhinweis: Sowohl (4,0) als auch (1,2) sind korrekte Lösungen für diese lineare Gleichung.
Listen Sie alle Faktoren der folgenden Zahlen auf.
A) \(4\)
B) \(12\)
C) \(50\)
A) Faktoren von 4: \(1, 2, 4\)
B) Faktoren von 12: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
C) Faktoren von 50: \(1, 2, 5, 10, 25, 50\)
Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (GGT) für jedes Paar der angegebenen Zahlen.
A) 6 und 3
B) 18 und 24
C) 50 und 60
A) Faktoren von 3: 1, 3. Faktoren von 6: 1, 2, 3, 6. Der GGT ist 3.
B) Faktoren von 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Faktoren von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Der GGT ist 6.
C) Faktoren von 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50. Faktoren von 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Der GGT ist 10.
Schreiben Sie die Zahl „Sechshundertzweiundsiebzig Millionen zweihundertneunundfünfzig“ unter Verwendung der Ziffern 0, 1, 2, ...9.
Zerlegen Sie sie in Perioden:
Kombinieren Sie sie: 672.000.259
Welche der folgenden Ausdrücke sind äquivalent?
A) \(2(x + 3) - 2\)
B) \(2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5\)
Vereinfachen Sie die Ausdrücke A und C, um sie mit B zu vergleichen:
A) \(2(x + 3) - 2 = 2x + 6 - 2 = 2x + 4\)
C) \(3(x + 3) - x - 5 = 3x + 9 - x - 5 = 2x + 4\)
Alle drei Ausdrücke (A, B und C) vereinfachen sich zu \(2x + 4\), daher sind sie alle äquivalent.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) für jedes Paar der angegebenen Zahlen.
A) 2 und 3
B) 7 und 14
C) 25 und 15
A) Vielfache von 2: 2, 4, 6... Vielfache von 3: 3, 6... Das KGV ist 6.
B) Vielfache von 7: 7, 14, 21... Da 14 ein Vielfaches von 7 ist, ist das KGV 14.
C) Vielfache von 25: 25, 50, 75, 100... Vielfache von 15: 15, 30, 45, 60, 75... Das KGV ist 75.
Addieren und/oder subtrahieren Sie und vereinfachen Sie.
A) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\)
B) \(\dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{7}\)
A) Die Nenner sind gleich, also addieren Sie die Zähler:
$$\dfrac{1 + 2}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$$
B) Finden Sie einen gemeinsamen Nenner (35):
$$\dfrac{2 \times 7}{5 \times 7} - \dfrac{1 \times 5}{7 \times 5} = \dfrac{14}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{9}{35}$$
Was ist \(\dfrac{2}{3}\) von 21?
Multiplizieren Sie den Bruch mit der ganzen Zahl:
$$\dfrac{2}{3} \times 21 = \dfrac{2 \times 21}{3} = \dfrac{42}{3} = 14$$
Alternative Methode: Teilen Sie 21 durch 3, um 7 zu erhalten, dann multiplizieren Sie mit 2, um 14 zu erhalten.
Was ist 40% von \(\dfrac{1}{4}\)?
Wandeln Sie 40% in einen Bruch oder eine Dezimalzahl um. 40% = \(\dfrac{40}{100} = \dfrac{2}{5}\).
Multiplizieren Sie nun mit \(\dfrac{1}{4}\):
$$\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20}$$
Vereinfachen Sie den Bruch:
$$\dfrac{1}{10}$$ (oder \(0.1\))
Was ist 20% von 50%?
Wandeln Sie die Prozentsätze in Dezimalzahlen oder Brüche um:
20% = 0.20
50% = 0.50
Multiplizieren Sie diese:
$$0.20 \times 0.50 = 0.10$$
Wandeln Sie zurück in einen Prozentsatz: 0.10 = 10%.
Wie viele Sekunden hat eine Stunde?
Es gibt 60 Minuten in einer Stunde und 60 Sekunden in einer Minute. Multiplizieren Sie diese, um die Gesamtzahl der Sekunden zu erhalten:
$$60 \times 60 = 3.600 \text{ Sekunden}$$
Wie viele Minuten hat der Monat Januar?
Der Januar hat 31 Tage. Es gibt 24 Stunden in einem Tag und 60 Minuten in einer Stunde.
$$\text{Gesamtzahl Minuten} = 31 \times 24 \times 60$$
$$31 \times 1.440 = 44.640 \text{ Minuten}$$
Wo befindet sich jeder der Punkte: \((-2, 0)\), \((0, 3)\) und \((-2, -3)\) in einem Koordinatensystem?
Ordnen Sie \(\dfrac{7}{5}\), \(\dfrac{12}{10}\), \(\dfrac{21}{20}\) und 111% von der kleinsten zur größten Zahl.
Wandeln Sie alle Werte für einen einfachen Vergleich in Dezimalzahlen um:
Ordnen Sie nun die Dezimalzahlen von klein nach groß: \(1.05 < 1.11 < 1.20 < 1.40\).
Ersetzen Sie diese durch die ursprünglichen Werte:
\(\dfrac{21}{20}\) , 111% , \(\dfrac{12}{10}\) , \(\dfrac{7}{5}\)